【文档说明】《八年级数学上册期末复习全程检测通关练（讲义＋试题）（湘教版）》第二章《三角形》（提高卷）（解析版）.docx，共(22)页，354.562 KB，由管理员店铺上传

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2020-2021学年湘教版八年级上册期末真题单元冲关测卷（提高卷）第二章三角形一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1.（2020-2021·湖北·期中试卷）用下列长度的三条线段能组成一个三角形的是()A.2𝑐𝑚，3𝑐

𝑚，4𝑐𝑚B.2𝑐𝑚，3𝑐𝑚，5𝑐𝑚C.3𝑐𝑚，5𝑐𝑚，10𝑐𝑚D.8𝑐𝑚，4𝑐𝑚，4𝑐𝑚【答案】A【解析】根据三角形的三边关系定理即可进行判断．【点评】考查了三角形的三

边关系，验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可．2.（2020-2021·四川·月考试卷）下列是假命题的是()A.有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等B.内错角相等C.有两条边及它们

的夹角对应相等的两个三角形全等D.三角形的高不一定在三角形的内部【答案】B【解析】𝐴，有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等（𝐴𝑆𝐴），故𝐴正确；𝐵，内错角相等，错误，当两直线不平行时，内错角不相等，故𝐵错误；𝐶，有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等（�

�𝐴𝑆），故𝐶正确；𝐷，三角形的高不一定在三角形的内部，如钝角三角形的高在三角形外部，故𝐷正确.【点评】本题考查命题真假的判定，涉及知识点较多，比较基础.3.（2020-2021·广西·月考试卷）等腰三角形的一个外角是80∘，则其底角是()A.100∘B.100

∘或40∘C.40∘D.80∘【答案】C2【解析】首先判断出与80∘角相邻的内角是底角还是顶角，然后再结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行计算．【解答】解：由题意可知，与80∘角相邻的内角度数为100∘，当100∘角是底

角时，100∘+100∘>180∘，则不符合三角形内角和定理，故这种情况不成立；当100∘角是顶角时，底角的度数=80∘÷2=40∘，则等腰三角形的底角为40∘．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中

没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．4.（2019-2020·重庆·期末试卷）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（）A.150∘B.180∘C.21

0∘D.225∘【答案】B【解析】根据𝑆𝐴𝑆可证得△𝐴𝐵𝐶≅△𝐸𝐷𝐶，可得出∠𝐵𝐴𝐶＝∠𝐷𝐸𝐶，继而可得出答案．【解答】由题意得：𝐴𝐵＝𝐸𝐷，𝐵𝐶＝𝐷𝐶，∠𝐷＝∠𝐵＝90∘，∴△𝐴𝐵𝐶≅△𝐸𝐷

𝐶(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐵𝐴𝐶＝∠1，∠1+∠2＝180∘．【点评】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出△𝐴𝐵𝐶≅△𝐸𝐷𝐶．5.（2020-2021·湖南·期中试卷）如图，已知△𝐴𝐶𝐸≅△𝐷𝐵𝐹，下列结论中正确的

个数是()①𝐴𝐶=𝐷𝐵；②𝐵𝐶=𝐴𝐸；③∠1=∠2；④𝐴𝐸//𝐷𝐹；⑤𝑆△𝐴𝐶𝐸=𝑆△𝐷𝐹𝐵；3A.②③④⑤B.①③④⑤C.①②③④D.①②③④⑤【答案】B【解析】运用全等三角形的性质，认真找对对应边和对应角，则

该题易求．【解答】解：∵△𝐴𝐶𝐸≅△𝐷𝐵𝐹，∴𝐴𝐶=𝐷𝐵，①正确；∠𝐸𝐶𝐴=∠𝐷𝐵𝐹，∠𝐴=∠𝐷，𝑆△𝐴𝐶𝐸=𝑆△𝐷𝐹𝐵，⑤正确；∴∠1=∠2，③正确；∵∠𝐴=∠

𝐷，∴𝐴𝐸//𝐷𝐹，④正确．𝐵𝐶与𝐴𝐸，不是对应边，也没有办法证明二者相等，②不正确．【点评】本题考查了全等三角形性质的运用，做题时结合图形及其它知识要进行综合思考．6.（2020-2021·山东·期中试卷）如图，已知𝐸𝐵=

𝐹𝐶，∠𝐸𝐵𝐴=∠𝐹𝐶𝐷，下列哪个条件不能判定△𝐴𝐵𝐸≅△𝐷𝐶𝐹()A.∠𝐸=∠𝐹B.∠𝐴=∠𝐷C.𝐴𝐸=𝐷𝐹【答案】C【解析】根据判定两个三角形全等的一般方法有：𝑆𝑆𝑆、𝑆𝐴𝑆、�

�𝑆𝐴、𝐴𝐴𝑆、𝐻𝐿进行分析即可．4【解答】解：𝐴、可利用𝐴𝑆𝐴判定△𝐴𝐵𝐸≅△𝐷𝐶𝐹，故此选项不合题意；𝐵、可利用𝐴𝐴𝑆判定△𝐴𝐵𝐸≅△𝐷𝐶𝐹，故此选项不合

题意；𝐶、不能判定△𝐴𝐵𝐸≅△𝐷𝐶𝐹，故此选项符合题意.【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：𝑆𝑆𝑆、𝑆𝐴𝑆、𝐴𝑆𝐴、𝐴𝐴𝑆、𝐻𝐿．注意：𝐴𝐴𝐴、𝑆𝑆𝐴不能判定两个三角形全

等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7.（2020-2021·江西·月考试卷）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠𝐴′𝑂′𝐵′=∠𝐴𝑂𝐵的依据是()A.𝑆𝐴𝑆B.𝐴𝐴𝑆C.𝐴𝑆𝐴D.𝑆𝑆𝑆【答案】D【解

析】解：根据作法可知：𝑂𝐶=𝑂′𝐶′，𝑂𝐷=𝑂′𝐷′，𝐷𝐶=𝐷′𝐶′，∴△𝑂𝐶𝐷≅△𝑂′𝐶′𝐷′(𝑆𝑆𝑆)，∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴′𝑂′𝐵′.8.（2020-2021·辽宁·期中试卷）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠

𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷是经过𝐴点的一条直线，且𝐵，𝐶在𝐴𝐷的两侧，𝐵𝐷⊥𝐴𝐷于𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于𝐸，交𝐴𝐵于点𝐹，𝐶𝐸=10，𝐵𝐷=4，则𝐷𝐸的长为()A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】根据∠𝐵𝐴𝐶=

90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶，得到∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐷=90∘，由于𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于𝐸，于是得到∠𝐴𝐶𝐸+5∠𝐶𝐴𝐸=90∘，根据余角的性质得到∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，推出△𝐴

𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐷=90∘.∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于𝐸，∴∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐶�

�𝐸=90∘，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐸.在△𝐵𝐴𝐷与△𝐴𝐶𝐸中，.{∠𝐷=∠𝐴𝐸𝐶=90∘,∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐸,𝐵𝐴=𝐴𝐶,∴△𝐵𝐴𝐷≅△𝐴𝐶𝐸(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐴𝐷=𝐶𝐸=10，𝐴𝐸=𝐵𝐷=4，∴𝐷

𝐸=𝐴𝐷−𝐴𝐸=6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，利用余角的性质得出∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐸是解题关键．9.（2020-2021·湖南·期中试卷）如图，△𝐴𝐵�

�是等边三角形，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐸是𝐴𝐶的中点，𝑃是𝐴𝐷上的一个动点，当𝑃𝐶与𝑃𝐸的和最小时，∠𝐶𝑃𝐸的度数是()A.60∘B.45∘C.30∘D.90∘【答案】A【解析】连接𝐵𝐸，则𝐵𝐸的长度即为𝑃𝐸与𝑃𝐶和的最小值．再利用等边

三角形的性质可得∠𝑃𝐵𝐶＝∠𝑃𝐶𝐵＝30∘，即可解决问题；6【解答】解：如图，连结𝐵𝐸，与𝐴𝐷交于点𝑃′，此时𝑃′𝐸+𝑃′𝐶最小，∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∴𝑃′𝐶=𝑃′𝐵，∴𝑃′𝐸+𝑃′𝐶=𝑃′𝐵+𝑃′𝐸=�

�𝐸.即𝐵𝐸就是𝑃𝐸+𝑃𝐶的最小值.∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，∴∠𝐵𝐶𝐸=60∘.∵𝐵𝐴=𝐵𝐶，𝐴𝐸=𝐸𝐶，∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐸𝐶=90∘，∴∠𝐸𝐵𝐶=30∘.∵𝑃′𝐵=𝑃′𝐶，∴∠𝑃′𝐶𝐵=∠𝑃′𝐵�

�=30∘，∴∠𝐶𝑃′𝐸=∠𝑃′𝐵𝐶+∠𝑃′𝐶𝐵=60∘.【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．10.（2019-2020·河北·期中试卷）嘉琪同学沿一段笔直的人行道行走，在由𝐴步行

到达𝐵处的过程中，通过隔离带的空隙𝑂，刚好浏览完对面人行道宣传墙𝐶𝐷上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下：如图，𝐴𝐵//𝑂𝐻//𝐶𝐷，相邻的平行线间的距离相等，𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，𝐵𝐷⊥𝐶

𝐷垂足为𝐷，嘉琪想利用全等三角形的知识测出标语𝐶𝐷的长度，则只需测量出其长度的线段是()7A.𝐵𝐷B.𝐴𝐵C.𝐴𝐶D.𝑂𝐴【答案】B【解析】由𝐴𝐵//𝐶𝐷，利用平行线的性质可得∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐶𝐷𝑂，由垂直的定义可得∠𝐶𝐷𝑂=90∘，易得

𝑂𝐵⊥𝐴𝐵，由相邻两平行线间的距离相等可得𝑂𝐷=𝑂𝐵，利用𝐴𝑆𝐴定理可得△𝐴𝐵𝑂≅△𝐶𝐷𝑂，由全等三角形的性质可得结果．【解答】解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐶𝐷𝑂，∵𝑂𝐷⊥𝐶𝐷，∴∠𝐶𝐷𝑂=90∘，∴∠𝐴𝐵𝑂=90∘

，即𝑂𝐵⊥𝐴𝐵，∵相邻两平行线间的距离相等，∴𝑂𝐷=𝑂𝐵，在△𝐴𝐵𝑂与△𝐶𝐷𝑂中，{∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐶𝐷𝑂𝑂𝐵=𝑂𝐷∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷，∴△𝐴𝐵𝑂≅△𝐶𝐷𝑂(𝐴𝑆�

�)，∴𝐶𝐷=𝐴𝐵．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11.（2020-2021·湖南·期中试卷）已知等腰三角形的两边长是5𝑐𝑚和11𝑐𝑚，则它的周长是______

__.【答案】27𝑐𝑚【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为5𝑐𝑚和11𝑐𝑚，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当三边是5，5，11时，5+5<11，8不符合三角形的三边关系，应舍去；当三边是5，11，11时，

符合三角形的三边关系，此时周长是27𝑐𝑚.【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．12.（2019-2020

·江苏·期末试卷）命题“两个锐角的和是钝角”是________命题(填“真”或“假”).【答案】假【解析】解：两个锐角的和可能是锐角，直角或钝角，即两个锐角的和是钝角是假命题.13.（2020-2021·山西·月考试卷）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，�

�𝐷是它的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝑆△𝐴𝐵𝐶=9，𝐷𝐸=2，𝐴𝐵=5，则𝐴𝐶的长是________.【答案】4【解析】根据角平分线性质求出𝐷𝐹，根据三角形面积公式求出△𝐴𝐵𝐷的面积，求出△𝐴𝐷𝐶面积，即可求出答案．【解答】解：过𝐷作�

�𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，如图，∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，∴𝐷𝐸=𝐷𝐹=2.∵𝑆△𝐴𝐷𝐵=12𝐴𝐵×𝐷𝐸=12×5×2=5，∵△𝐴𝐵𝐶的面积为9，∴△𝐴𝐷𝐶的面积为9−5=4.9又𝑆△𝐴𝐷𝐶=12𝐴𝐶×𝐷

𝐹=4，∴12𝐴𝐶×2=4，∴𝐴𝐶=4.【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．14.（2020-2021·江苏·期中试卷）如图，∠1=∠2，要利用“𝐴𝐴𝑆”得到△𝐴𝐵𝐷≅△�

�𝐶𝐷,需要增加的一个条件是________.【答案】∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷【解析】根据全等三角形的判定定理“𝐴𝐴𝑆”分析即可解答.【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶.在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，现已经有∠𝐴𝐷

𝐵=∠𝐴𝐷𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐷(公共边)，如果要用“𝐴𝐴𝑆”证明△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐷，需要添加的条件是边𝐴𝐷的对角相等，即∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷.【点评】本题主要考查了全等三角形的

判定定理，掌握“𝐴𝐴𝑆”是解答这道题的关键.15.（2020-2021·江西·月考试卷）如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐵顺时针旋转得到△𝐴′𝐵𝐶′，使点𝐴′落在𝐴𝐶上，已知∠𝐶=40∘，

𝐴𝐶//𝐵𝐶′，则∠𝐴=________度．【答案】7010【解析】由平行线的性质知∠𝐶𝐵𝐶′=∠𝐴𝐵𝐴′=40∘，根据旋转性质得出𝐵𝐴=𝐵𝐴′，从而知∠𝐴=∠𝐴𝐴′𝐵=70∘，可得出

答案．【解答】解：∵𝐴𝐶//𝐵𝐶′，∠𝐶=40∘，△𝐴𝐵𝐶旋转得到△𝐴′𝐵𝐶′，∴∠𝐶=∠𝐶𝐵𝐶′=∠𝐴𝐵𝐴′=40∘.∵𝐵𝐴=𝐵𝐴′，∴∠𝐴=∠𝐴𝐴′𝐵=12(180∘−40∘)=70∘.【

点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．16.（2020-2021·湖南·期中试卷）如图，已知等边三角形𝐴𝐵𝐶的边长为3，过𝐴𝐵边上一点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，𝑄为𝐵𝐶延长线上一点，取𝐶𝑄=𝐴𝑃，连接𝑃

𝑄，交𝐴𝐶于𝑀，则𝐸𝑀的长为________.【答案】1.5【解析】过𝑃作𝑃𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于𝐹，得出等边三角形𝐴𝑃𝐹，推出𝐴𝑃=𝑃𝐹=𝑄𝐶，根据等腰三角形性质

求出𝐸𝐹=𝐴𝐸，证△𝑃𝐹𝑀≅△𝑄𝐶𝑀，推出𝐹𝑀=𝐶𝐹M，推出𝑀𝐸=12𝐴𝐶即可．【解答】解：过点𝑃作𝑃𝐹//𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐹，如图所示：∵𝑃𝐹//𝐵𝐶，△�

�𝐵𝐶是等边三角形，∴∠𝑃𝐹𝑀=∠𝑄𝐶𝑀，∠𝐴𝑃𝐹=∠𝐵=60∘，∠𝐴𝐹𝑃=∠𝐴𝐶𝐵=60∘，∠𝐴=60∘，∴△𝐴𝑃𝐹是等边三角形，11∴𝐴𝑃=𝑃𝐹=𝐴𝐹.∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，∴𝐴𝐸=𝐸𝐹.∵𝐴𝑃=𝑃𝐹，𝐴�

�=𝐶𝑄，∴𝑃𝐹=𝐶𝑄.在△𝑃𝐹𝑀和△𝑄𝐶𝑀中，.{∠𝑃𝐹𝑀＝∠𝑄𝐶𝑀，∠𝑃𝑀𝐹＝∠𝑄𝑀𝐶，𝑃𝐹＝𝑄𝐶，∴△𝑃𝐹𝑀≅△𝑄𝐶𝑀(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐹𝑀=𝐶𝑀.∵𝐴𝐸=�

�𝐹，∴𝐸𝐹+𝐹𝑀=𝐴𝐸+𝐶𝑀，∴𝐴𝐸+𝐶𝑀=𝑀𝐸=12𝐴𝐶.∵𝐴𝐶=3，∴𝑀𝐸=1.5.【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质

，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．17.（2020-2021·河南·期中试卷）如图，∠𝐴=∠𝐸𝐺𝐹，点𝐹为𝐵𝐸与𝐶𝐺的中点，𝐷𝐵=4，𝐷𝐸=7，则𝐸𝐺长为________

.【答案】5.5【解析】先证明△𝐴𝐷𝐺和△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，再证明△𝐸𝐺𝐹≅△𝐵𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆)，设𝐴𝐷＝𝑥，则𝐷𝐺＝𝑥，根据𝐷𝐸＝7，列方程可得结论．12【解答】解：∵∠𝐴=∠𝐸𝐺

𝐹，∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐸𝐺𝐹，∴∠𝐴=∠𝐴𝐺𝐷，∴𝐴𝐷=𝐷𝐺.设𝐴𝐷=𝑥，则𝐷𝐺=𝑥，在△𝐸𝐺𝐹和△𝐵𝐶𝐹中，∵{𝐸𝐹=𝐵𝐹，∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐵𝐹𝐶，𝐹𝐺=𝐹𝐶，∴△𝐸𝐺𝐹≅△𝐵𝐶

𝐹(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐵𝐶=𝐸𝐺，∠𝐸=∠𝐸𝐵𝐶，∴𝐸𝐺//𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐶=∠𝐴，∴𝐵𝐶=𝐴𝐵=𝑥+4=𝐸𝐺，∵𝐷𝐸=7，∴𝑥+𝑥+4=7，𝑥=32，∴

𝐸𝐺=𝑥+4=112=5.5．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．18.（2020-2021·辽宁·期中试卷）如图所示，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸，𝐵，𝐷，𝐸三点共线，∠

1=25∘，∠2=30∘，则∠3=________．【答案】55∘【解析】先证明△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸，得出∠2＝∠𝐴𝐵𝐷，再由外角得出∠3＝∠1+∠2，从而得出答案．【解答】解：∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸，1

3∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，即∠1=∠𝐶𝐴𝐸.在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，.{𝐴𝐵=𝐴𝐶,∠1=∠𝐸𝐴𝐶,𝐴𝐷=𝐴𝐸,∴△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸(𝑆�

�𝑆)，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠2.∵∠3=∠1+∠𝐴𝐵𝐷，∴∠3=∠1+∠2.∵∠1=25∘，∠2=30∘，∴∠3=25∘+30∘=55∘.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，判断三角形全等的方法：𝑆𝑆𝑆，𝑆𝐴𝑆，�

�𝑆𝐴，𝐴𝐴𝑆，还有𝐻𝐿．三．解答题（共8小题，满分66分）19.（2020-2021·湖北·月考试卷）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高和角平分线，∠𝐸𝐴𝐷=15∘，∠𝐵=20∘，求∠𝐶的度数．【解析】首先由𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高和已知∠

𝐷𝐴𝐸=10∘，∠𝐶=50∘，求出∠𝐴𝐸𝐷和∠𝐷𝐴𝐶，又由𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线求出∠𝐵𝐴𝐸，再根据三角形外角性质求出∠𝐵．【解答】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴

𝐷𝐵=90∘.∵∠𝐸𝐴𝐷=15∘，∴∠𝐴𝐸𝐷=90∘−∠𝐸𝐴𝐷=90∘−15∘=75∘.∵∠𝐵=20∘，∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐵=75∘−20∘=55∘.∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，14∴∠𝐵

𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐶=55∘，∴∠𝐶=180∘−∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐶=180∘−20∘−2×55∘=50∘．【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180∘．也考查了三角形的高线与角平分线

的性质．20.（2020-2021·江西·月考试卷）如图，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝐵𝐷是角平分线，点𝐹在线段𝐵𝐷上，直线𝐶𝐹与𝐴𝐵交于点𝐸，连接𝐴𝐹．(1)求证：∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐵𝐶𝐹；(2)当𝐴𝐸=𝐴𝐹时，求∠𝐵𝐶

𝐸的度数．【解析】(1)首先根等边三角形的性质及𝐵𝐷是角平分线，即可得到△𝐴𝐵𝐹≅△𝐶𝐵𝐹(𝑆𝐴𝑆)，然后由全等三角形的性质即可得到结论；(2)根据等边三角形的性质和三角形外角的性质以及三角形的内角和即可得到结论．【解答】

(1)证明：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶.∵𝐵𝐷是角∠𝐴𝐵𝐶的平分线，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=30∘.又∵𝐵𝐹=𝐵𝐹，∴△𝐴𝐵𝐹≅△𝐶𝐵𝐹(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐵𝐶𝐹.(2)解：设∠𝐵𝐴𝐹=

∠𝐵𝐶𝐹=𝑥，∴∠𝐴𝐸𝐹=60∘+𝑥.∵𝐴𝐸=𝐴𝐹，∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐹𝐸=60∘+𝑥，15∴60∘+𝑥+60∘+𝑥+𝑥=180∘，∴𝑥=20∘，∴∠𝐵𝐶𝐸=20∘．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和

定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．21.（2020-2021·河南·月考试卷）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝐸，过点𝐸作𝑀𝑁//𝐵𝐶交𝐴𝐵于𝑀，交𝐴𝐶于𝑁，若△𝐴𝐵𝐶

，△𝐴𝑀𝑁周长分别为13𝑐𝑚和8𝑐𝑚．(1)求证：△𝑀𝐵𝐸为等腰三角形；(2)线段𝐵𝐶的长．(1)证明：如图所示：∵𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，∴∠1=∠2，又∵𝑀�

�//𝐵𝐶，∴∠5=∠2，∴∠1=∠5.∴△𝑀𝐵𝐸为等腰三角形.(2)解：△𝑀𝐵𝐸为等腰三角形，16∴𝑀𝐵=𝑀𝐸，同理可得：𝑁𝐸=𝑁𝐶，又∵𝐶△𝐴𝑀𝑁=𝐴𝑀+𝐴𝑁+𝑀𝑁，𝑀𝑁=𝑀𝐸+𝑁𝐸，∴𝐶△𝐴𝑀𝑁=𝐴𝑀+𝐴𝑁+𝑀

𝐸+𝑁𝐸=𝐴𝑀+𝐵𝑀+𝐴𝑁+𝐶𝑁，∴𝐶△𝐴𝑀𝑁=𝐴𝐵+𝐴𝐶=8.又∵𝐶△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶=13，∴𝐵𝐶=13−8=5𝑐𝑚.22.（2020-2021·湖南·月考试卷）如图，△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形

，∠𝐴𝐵𝐸=90∘，𝐵𝐶=𝐵𝐷，∠𝐹𝐴𝐷=25∘.(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≅△𝐸𝐵𝐷；(2)求∠𝐴𝐸𝐹的度数．(1)证明：∵△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，∴𝐴𝐵=𝐸𝐵，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐵𝐷=90∘.∵𝐵𝐶=𝐵𝐷，∴△𝐴𝐵𝐶

≅△𝐸𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆).(2)∵△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，∴∠𝐴𝐸𝐵=45∘.∵△𝐴𝐵𝐶≅△𝐸𝐵𝐷，且∠𝐹𝐴𝐷=25∘，∴∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐹𝐴𝐷=25∘，

∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐵𝐸𝐷=45∘+25∘=70∘.23.（2020-2021·江西·月考试卷）如图，等边△𝐴𝐵𝐶的边长为20，𝐷为𝐴𝐵边上一动点，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴

𝐶于点𝐹．17(1)若𝐴𝐷=4，求𝐶𝐸的长；(2)当𝐴𝐷取何值时，𝐷𝐸=𝐸𝑃？解：(1)∵𝐴𝐵=20，𝐴𝐷=4，∴𝐵𝐷=𝐴𝐵−𝐴𝐷=16．∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴�

�，∠𝐵=∠𝐶=60∘．∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，∴∠𝐵𝐸𝐷=90∘，∴在𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐸中，∠𝐵𝐷𝐸=90∘−∠𝐵=30∘，∴𝐵𝐸=12𝐵𝐷=8，∴𝐶𝐸=𝐵𝐶−𝐵𝐸=12．(2)∵𝐸𝐹⊥𝐴�

�，∴∠𝐶𝐹𝐸=90∘，在△𝐵𝐷𝐸和△𝐸𝐹𝐶中，{∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶𝐹𝐸=90∘，∠𝐵=∠𝐶,𝐷𝐸=𝐸𝐹,∴△𝐵𝐷𝐸≅△𝐶𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐵𝐸=𝐶𝐹，∴𝐵𝐸=𝐶𝐹=12𝐸𝐶，∴𝐵𝐸=13𝐵𝐶=203，𝐵𝐷

=2𝐵𝐸=403，∴𝐴𝐷=𝐴𝐵−𝐵𝐷=203，∴当𝐴𝐷=203时，𝐷𝐸=𝐸𝐹．1824.（2020-2021·河北·月考试卷）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥

𝐴𝐵于点𝐷，𝐶𝐷=𝐵𝐷，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐶𝐷于点𝐹，点𝐻是边𝐵𝐶的中点．连接𝐷𝐻，交𝐵𝐸于点𝐺．连接𝐶𝐺．(1)求证：△𝐴𝐷𝐶≅△𝐹𝐷𝐵；(2)求证：𝐶𝐸=12𝐵𝐹；(3)判断△

𝐸𝐶𝐺的形状，并证明你的结论.(1)证明：∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，∴∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐴𝐵𝐸=90.∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，∴∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐴𝐶𝐷=90∘，∴∠

𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐵𝐸.在△𝐴𝐷𝐶和△𝐹𝐷𝐵中，.{∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐹𝐷𝐵，𝐶𝐷=𝐵𝐷，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐹𝐵𝐷，∴△𝐴𝐷𝐶≅△𝐹𝐷𝐵(𝐴𝑆𝐴).(2)证明：∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐵𝐸平分

∠𝐴𝐵𝐶，∴𝐴𝐸=𝐶𝐸，∴𝐶𝐸=12𝐴𝐶.由(1)知△𝐴𝐷𝐶≅△𝐹𝐷𝐵，∴𝐴𝐶=𝐵𝐹，∴𝐶𝐸=12𝐵𝐹.(3)解：△𝐸𝐶𝐺为等腰直角三角形，证明如下：19∵点𝐻是

𝐵𝐶的中点，𝐶𝐷=𝐵𝐷，∴𝐷𝐻垂直平分𝐵𝐶，∴𝐶𝐺=𝐵𝐺，∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐵𝐶𝐺，∴∠𝐸𝐺𝐶=2∠𝐶𝐵𝐺.∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐶𝐵𝐺，∴∠𝐸𝐺𝐶=∠𝐴𝐵𝐶.∵𝐶𝐷⊥𝐴�

�，𝐶𝐷=𝐵𝐷，∴∠𝐴𝐵𝐶=45∘，∴∠𝐸𝐺𝐶=45∘.又∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，∴∠𝐸𝐶𝐺=90∘−∠𝐸𝐺𝐶=45∘，∴△𝐸𝐶𝐺为等腰直角三角形.25.（2020-2021·

河南·月考试卷）问题发现：如图1，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸均为等边三角形，点𝐷在𝐵𝐶的延长线上，连接𝐶𝐸，求证：△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸.(2)类比探究：如图2，△𝐴𝐵𝐶和△�

�𝐷𝐸均为等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=90∘，点𝐷在边𝐵𝐶的延长线上，连接𝐶𝐸．请判断：①∠𝐴𝐶𝐸的度数为________；②线段𝐵𝐶、𝐶𝐷、𝐶𝐸之间的数量关系是________.(1)证明：∵△𝐴�

�𝐶和△𝐴𝐷𝐸是等边三角形∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐸，且∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐵=60∘，∴∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷，20即∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，在△

𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，𝐴𝐷=𝐴𝐸，∴△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸（𝑆𝐴𝑆）.(2)解：①∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸均为等腰直角三角形，∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠

𝐶𝐴𝐸，𝐴𝐷=𝐴𝐸，在△𝐴𝐶𝐸与△𝐴𝐵𝐷中，.{𝐴𝐵=𝐴𝐶,∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸,𝐴𝐷=𝐴𝐸,∴𝐴𝐶𝐸≅𝐴𝐵𝐷（𝑆𝐴𝑆），∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵=45

∘；②△𝐴𝐶𝐸≅△𝐴𝐵𝐷，∴𝐵𝐷=𝐶𝐸，∴𝐵𝐶+𝐶𝐷=𝐶𝐸，26.（2020-2021·湖南·月考试卷）已知：𝐷，𝐴，𝐸三点都在直线𝑚上，在直线𝑚的同一侧作△

𝐴𝐵𝐶，使𝐴𝐵=𝐴𝐶，连接𝐵𝐷，𝐶𝐸．(1)如图(1)，若∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐵𝐷⊥𝑚，𝐶𝐸⊥𝑚，求证：△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸；(2)如图(2)，若∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐸𝐶

=∠𝐵𝐴𝐶，请判断𝐵𝐷，𝐶𝐸，𝐷𝐸三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)如图(3)，𝐷，𝐸是𝐷，𝐴，𝐸三点所在直线𝑚上的两动点（𝐷，𝐴，𝐸三点互不重合），点𝐹为∠𝐵𝐴𝐶平分线上的

一点，且△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐶𝐹均为等边三角形，连接𝐵𝐷，𝐶𝐸，若∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐵𝐴𝐶，试判断△𝐷𝐸𝐹的形状．(1)证明：∵𝐷，𝐴，𝐸三点都在直线𝑚上，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐶

𝐴𝐸=90∘.21∵𝐵𝐷⊥𝑚，𝐶𝐸⊥𝑚，∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐸𝐴=90∘，∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐴𝐵𝐷=90∘，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中

，.{∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐸𝐴，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，𝐴𝐵=𝐶𝐴，∴△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸(AAS).(2)解：𝐷𝐸=𝐵𝐷+𝐶𝐸，理由如下：∵∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐵𝐴𝐶，由平角性质得：∠�

�𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐸=180∘−∠𝐵𝐴𝐶，由三角形内角和180∘得：∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐴𝐶𝐸=180∘−∠𝐴𝐸𝐶，∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐴𝐵𝐷=180∘−∠𝐵𝐷𝐴，∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸

+∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐴𝐵𝐷，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐸.在△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，.{∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠

𝐴𝐶𝐸，∴△𝐴𝐵𝐷≅△𝐶𝐴𝐸(ASA)，∴𝐵𝐷=𝐴𝐸，𝐴𝐷=𝐶𝐸，∴𝐷𝐸=𝐴𝐷+𝐴𝐸=𝐵𝐷+𝐶𝐸．(3)解：△𝐷𝐸𝐹是等边三角形．由(2)知，△𝐴�

�𝐵≅△𝐶𝐸𝐴，𝐵𝐷=𝐴𝐸，∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐶𝐴𝐸.∵△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐶𝐹均为等边三角形，22∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐶𝐴𝐹=60∘，∴∠𝐷𝐵𝐴+∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐹，∴∠𝐷𝐵𝐹=∠𝐹𝐴𝐸.∵𝐵

𝐹=𝐴𝐹，在△𝐷𝐵𝐹和△𝐸𝐴𝐹中，.{𝐹𝐵=𝐹𝐴，∠𝐹𝐵𝐷=∠𝐹𝐴𝐸，𝐵𝐷=𝐴𝐸，∴△𝐷𝐵𝐹≅△𝐸𝐴𝐹(SAS)，∴𝐷𝐹=𝐸𝐹，∠𝐵𝐹𝐷=∠𝐴𝐹𝐸，∴∠�

�𝐹𝐸=∠𝐷𝐹𝐴+∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷𝐹𝐴+∠𝐵𝐹𝐷=60∘，∴△𝐷𝐸𝐹为等边三角形．