【文档说明】《八年级数学上册期末复习全程检测通关练（讲义＋试题）（湘教版）》第1章《分式》复习讲义（解析版）.docx，共(18)页，138.443 KB，由管理员店铺上传

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2020-2021学年湘教版八年级上册期末复习精选题考点讲义第一章分式1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。3.分式值为零的条件：当分式的分子

等于0且分母不等于0时，分式的值为0。4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。注意:（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；2（2）应用分式的基本

性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫

做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。6

.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。约分的关键是找出分式中分子和分母的

公因式。（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分；（2）找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；②当分子、分母都是多项式时，先把

多项式因式分解。易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；（2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—”放在分数线前；（3）确定几个分式的最简公分

母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；7.分式的运算：3分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。提示：（1）分式与分式相乘，

若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘；（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为

积的分子，分母不变（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，

可先确定积的符号；③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）分式乘方时确定乘

方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。分式的加

减法则：法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；（2）异分母分式相加减，“先通分”

是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；4（3）运算时顺序合理、步骤清晰；（4）运算结果必须化成最简分式或整式。分式的混合运算:分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一

样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。8.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，（注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。9.整数指数幂：整数指数幂可具有下列运算性质：(m,n是整数)

（1）同底数的幂的乘法：；（2）幂的乘方：;（3）积的乘方：；（4）同底数的幂的除法：(a≠0)；（5）商的乘方：；(b≠0)规定：a0＝1（a≠0），即任何不等于0的零次幂都等于110.分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程

。分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程－－－－－→整式方程.（2）解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质

；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。5注意：①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！解分式方程的步骤：

(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。11.含

有字母的分式方程的解法：在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。12.

列分式方程解应用题的步骤是：(1)审：审清题意；(2)找:找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种：(1)

行程问题基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法．(3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效．(4)顺水逆水问题v顺水=v静水+v水．v逆水=v静水-v水

．11.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式,其中1≤︱a︱＜10,n为原整数部分的位数减1；用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为a×10－n

的形式，其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a︱＜10.6考点一：分式有意义、无意义、值为0的条件（易错点）例1.（2020-2021·湖南·月考试卷）当𝑥________时，分式𝑥+

1𝑥−3有意义；当𝑥=________时，分式|𝑥|−1𝑥−1值为0.【解析】根据分式有意义的条件及分式的值为0的条件即可求出答案．【解答】解：当𝑥−3≠0时，分式𝑥+1𝑥−3有意义，∴�

�≠3；当{|𝑥|−1=0,𝑥−1≠0时，分式|𝑥|−1𝑥−1值为0，解得：𝑥=−1.故答案为：≠3；−1.拓展训练：1.（2020-2021·福建·月考试卷）若分式𝑥𝑥−1有意义，则𝑥的取值范围是()A.𝑥≠1B.𝑥≠−1C.𝑥=1D.𝑥=−1【解析】根据分式有意义

，分母不等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，𝑥−1≠0，解得𝑥≠1．故选𝑨.2.（2020-2021·广西·期中试卷）要使分式1(𝑥+1)(𝑥−2)有意义，则𝑥应满足()A.𝑥≠−1B.𝑥≠2C.𝑥≠±1D.𝑥≠−1且𝑥≠2【

答案】D【解析】本题主要考查分式有意义的条件：分母≠0，令分式分母不为0，解得𝑥的取值范围．【解答】解：由题意得，(𝑥+1)(𝑥−2)≠0，∴𝑥+1≠0且𝑥−2≠0，∴𝑥≠−1且𝑥≠2．3.（2020-2021·广西·期中试卷）当𝑥=_

_______时，分式𝑥2−9𝑥−3的值为0．7【答案】−3【解析】分式的值为0的条件是：(1)分子为0；(2)分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由题意可得𝑥2−9=0且𝑥−3≠0，解得𝑥=−3．4.（2020-2021·湖南·期

中试卷）当𝑥=________时，分式2𝑥𝑥−3的值不存在．【答案】3【解析】分式的值不存在即分式无意义，从而得到𝑥−3=0.【解答】解：∵分式2𝑥𝑥−3的值不存在，即分式无意义，∴𝑥−3=0，解得：𝑥=3.考点二：

分式的基本性质（重点）例2.（2020-2021·湖南·月考试卷）不改变分式的值，把分式23𝑥−𝑦𝑥+12𝑦的分子、分母中各项的系数都化为整数，结果是()A.4𝑥−6𝑦6𝑥+3𝑦B.2𝑥−6𝑦6𝑥+𝑦C.4𝑥−2𝑦3𝑥+3𝑦D.2𝑥−6𝑦6𝑥+3𝑦【答

案】A【解析】要将分子分母的各项系数都化为整数，先将观察分子分母的系数含有分数，因此乘以两个分数分母的最小公倍数6即可.【解答】解：依题意得：23𝑥−𝑦𝑥+12𝑦=(23𝑥−𝑦)×6(𝑥+12𝑦)×6=4𝑥−6𝑦6𝑥+3𝑦.拓展训练：5.

（2020-2021·湖南·月考试卷）若把分式𝑥+𝑦2𝑥𝑦中的𝑥和𝑦都扩大3倍，那么分式的值()A.扩大3倍B.不变C.缩小3倍D.缩小6倍【答案】C8【解析】把原式中的𝑥、𝑦分别换成3𝑥、3𝑦进行计算，再与原分式比较即可．【解答】解：把原式中的𝑥，𝑦分别

换成3𝑥，3𝑦，那么3𝑥+3𝑦2⋅3𝑥⋅3𝑦=13×𝑥+𝑦2𝑥𝑦.6.（2020-2021·山东·月考试卷）下列等式成立的是()A.−𝑥−𝑦𝑥+𝑦=−𝑥−𝑦𝑥+𝑦B.−𝑥−𝑦

𝑥+𝑦=𝑥−𝑦−𝑥+𝑦C.−𝑥−𝑦𝑥+𝑦=−𝑥+𝑦𝑥+𝑦D.𝑥−𝑦𝑥+𝑦=𝑦−𝑥𝑦+𝑥【答案】C【解析】根据分式的基本性质逐一判断，即可解答【解答】解：−𝑥−𝑦𝑥+𝑦

=−𝑥+𝑦𝑥+𝑦，则𝐴不成立；−𝑥−𝑦𝑥+𝑦=𝑥−𝑦−𝑥−𝑦，则𝐵不成立；−𝑥−𝑦𝑥+𝑦=−𝑥+𝑦𝑥+𝑦，则𝐶成立；𝑥−𝑦𝑥+𝑦=−𝑦−𝑥𝑦+𝑥，则𝐷不成立.7.（2020-20

21·河北·期中试卷）下列各式从左到右的变形正确的是()A.𝑥+𝑦𝑥+𝑦=0B.1𝑎+1𝑏=1𝑎+𝑏C.2(𝑏+𝑐)𝑎+3(𝑏+𝑐)=2𝑎+3D.𝑥−𝑦𝑥2+𝑦2−2𝑥𝑦=1�

�−𝑦【答案】D【解析】根据分式的基本性质逐项判断．【解答】解：A，𝑥+𝑦𝑥+𝑦=1，故A错误；B，1𝑎+1𝑏=𝑎+𝑏𝑎𝑏，故B错误；C，2(𝑏+𝑐)𝑎+3(𝑏+𝑐)=2𝑏+2𝑐𝑎+3𝑏+3𝑐，故C错误；D，�

�−𝑦𝑥2+𝑦2−2𝑥𝑦=𝑥−𝑦(𝑥−𝑦)2=1𝑥−𝑦，故D正确.8.（2019-2020·湖南·月考试卷）利用分式的基本性质填空：(1)3𝑎5𝑥𝑦=()10𝑥𝑦(𝑎≠0)；(2)𝑎+2𝑎2−4

=1().【答案】6𝑎,𝑎−2【解析】①比较左右两边的分母可知，法则：分母同乘以2𝑎；②约分时首先要确定分子、分母的公因式，分子、分母如果是多项式，首先要分解因式．【解答】解：(1)分母5𝑥𝑦变形成

10𝑥𝑦，是乘以2，因而分子是3𝑎⋅2=6𝑎；(2)分子𝑎+2变形成1，是除以𝑎+2，分母应进行相同的变化，因而分母是𝑎−2.9考点三：零指数幂、负整数指数幂的运算（重难点）例3.（20

19-2020·安徽·月考试卷）−23+13(2005+3)0−(−13)−2.【解析】解：原式=−8+13×1−9.=−17+13=−1623.拓展训练：9.（2019-2020·湖南·月考试卷）下列运算正确的是()A.−10=1B.(12)−3=−8

C.(−2)−2=4D.(𝑚𝑛−2)−1=𝑛2𝑚【答案】D【解析】分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质分别分析求出即可．【解答】解：𝐴，−10=−1，故此选项错误；𝐵，(12

)−3=8，故此选项错误；𝐶，(−2)−2=14，故此选项错误；𝐷，(𝑚𝑛−2)−1=1𝑚𝑛−2=𝑛2𝑚，故此选项正确.10.（2019-2020·四川·同步练习）若(2𝑥+1)0=

1，则（）A.𝑥≥−12B.𝑥≠−12C.𝑥≤−12D.𝑥≠12【答案】B11.（2019-2020·重庆·期末试卷）若𝑎＝−0.32，𝑏＝(−3)−2，𝑐＝(−13)−2，𝑑＝(−13)0，则（）A.𝑎<𝑏<𝑐<𝑑B.𝑎<�

�<𝑑<𝑐C.𝑎<𝑑<𝑐<𝑏D.𝑐<𝑎<𝑑<𝑏【答案】B【解析】根据乘方的运算法则、负整数指数幂、零指数幂分别计算，再比较大小可得．【解答】∵𝑎＝−0.32＝−0.09，𝑏＝(−3)−2=19，𝑐＝(−

13)−2＝9，𝑑＝(−13)0＝1，∴𝑎<𝑏<𝑑<𝑐，1012.（2019-2020·河北·期末试卷）计算：(13)−1+(−2)0=________．【答案】4【解析】根据负整数指数幂以及零指数幂的意义即可求出答案．【解答】原式＝3+1＝4，考点四：科学计数法（重点）例4

.（2020-2021·湖南·月考试卷）入冬降温，流感来势汹汹，流感病毒的半径为0.000000126𝑐𝑚，请把0.000000126用科学记数法表示为()A.1.26×10−6B.1.26×10−7C.12.6×10

−6D.1.26×10−8【答案】B【解析】根据科学记数法的定义书写即可.【解答】解：用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10.0.000000126用科学记数法表示为1.26×10−7.拓展训练：13.（202

0-2021·贵州·月考试卷）石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000000000054𝑚，将这个数据用科学记数法表示为()A.0.54×10−9B.5.4×10−9C.5.4

×10−10D.5.4×10−11【答案】D【解析】解：0.000000000054=5.4×10−11.14.（2020-2021·广西·期中试卷）据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000

09克，用科学记数法表示此数正确的是()A.9.0×10−8B.9.0×10−9C.9.0×108D.0.9×109【答案】A【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数

幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．11【解答】解：0.00000009=9.0×10−8.15.（2020-2021·湖南·月考试卷）2020年12月10日最新数据统计全球累计感染过新冠肺炎

的总人数已经超过了700万人，我国科学研究人员为了制造出新冠肺炎的疫苗，采用极限为0.00000005米的光学显微镜研究观测，其中0.00000005米用科学记数法表示为________米.【答案】5×10−8【解析】绝对值小于1的正数

也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：绝对值小于1的正数也可以利用科学记

数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．故0.00000005米用科学记数法表示为5×10−8米．16.（2020-2021

·湖南·期中试卷）微电子技术的进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.000000705平方毫米，该数据用科学记数法表示为________．【答案】7.05×10−7【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−

𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：绝对值小于1的正数利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛,所以0.000000705=7.05×10

−7.考点五：分式的化简求值（重点）例5.（2020-2021·江苏·月考试卷）先化简，再求值：2𝑎−4𝑎2+3𝑎÷(4𝑎−13𝑎+3−𝑎+3)，其中𝑎满足𝑎2−2𝑎−5=0．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据

𝑎2−2𝑎−5＝0，可以得到𝑎2−2𝑎＝5，然后代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：2𝑎−4𝑎2+3𝑎÷(4𝑎−13𝑎+3−𝑎+3).=2(𝑎−2)𝑎(𝑎+3)÷4𝑎−

13−(𝑎−3)(𝑎+3)𝑎+3.=2(𝑎−2)𝑎(𝑎+3)⋅𝑎+34𝑎−13−𝑎2+912.=2(𝑎−2)−𝑎(𝑎−2)2=−2𝑎2−2𝑎，∵𝑎2−2𝑎−5=0，∴𝑎2−2𝑎=5，∴原式=−25．拓展训练：17.（2020-2021·河北·期中试

卷）下列结果为𝑥−1的是()A.1−1𝑥B.𝑥2−1𝑥⋅𝑥𝑥+1C.𝑥+1𝑥÷1𝑥−1D.𝑥2+2𝑥+1𝑥+1【答案】B【解析】根据分式的基本性质和运算法则分别计算即可判断．【解答】解：𝐴，1−1𝑥=𝑥−1𝑥，故此选项错误；𝐵，原式=(𝑥+1)(𝑥

−1)𝑥⋅𝑥𝑥+1=𝑥−1，故此选项正确；𝐶，原式=𝑥+1𝑥⋅(𝑥−1)=𝑥2−1𝑥，故此选项错误；𝐷，原式=(𝑥+1)2𝑥+1=𝑥+1，故此选项错误.18.（2020-2021·湖南·月考试卷）已知1𝑎−1

𝑏=6，则𝑎−2𝑎𝑏−𝑏2𝑎−2𝑏+7𝑎𝑏的值等于()A.85B.−85C.45D.−45【答案】A【解析】由1𝑎−1𝑏=6变形可得𝑎−𝑏=−6𝑎𝑏；再把𝑎−2𝑎𝑏−𝑏2𝑎−2𝑏+7𝑎𝑏变形为用𝑎−𝑏和𝑎𝑏表

示的形式，然后把𝑎−𝑏=−6𝑎𝑏代入，约分后即可得到结果．【解答】解：∵1𝑎−1𝑏=6，∴𝑏−𝑎𝑎𝑏=6，13∴𝑎−𝑏=−6𝑎𝑏，∴原式=(𝑎−𝑏)−2𝑎𝑏2(𝑎

−𝑏)+7𝑎𝑏.=−6𝑎𝑏−2𝑎𝑏−12𝑎𝑏+7𝑎𝑏=85．19.（2020-2021·河北·期中试卷）如果𝑎2+𝑎=1，那么代数式1𝑎−𝑎−1𝑎2−1的值是________.【答案】1【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将𝑎2

+𝑎的值整体代入即可得．【解答】解：原式=𝑎2−1𝑎(𝑎+1)(𝑎−1)−𝑎2−𝑎𝑎(𝑎+1)(𝑎−1).=𝑎−1𝑎(𝑎+1)(𝑎−1).=1𝑎(𝑎+1)=1𝑎2+𝑎.当𝑎2+𝑎=1时，原式=1.20.（2020-2021·湖南·月考试卷）若𝑥

+1𝑥=3，则𝑥2𝑥4−3𝑥2+1的值是________.【答案】14【解析】把所给代数式的分子分母都除以𝑥2，把分子整理为只含得𝑥+1𝑥的式子，代入求值即可．【解答】解：∵𝑥+1𝑥=3，∴𝑥2𝑥4−3𝑥2+1=1𝑥2−3+1𝑥2=1(𝑥+1𝑥)2−5=

14.21.（2020-2021·贵州·月考试卷）先化简，再求值：(2𝑥+2+𝑥+5𝑥2+4𝑥+4)÷𝑥2+3𝑥𝑥+2.(在−3，−2，1，0四个数中取合适的值)【解析】解：原式=(2𝑥+2+𝑥+5(𝑥+2)2)⋅𝑥

+2𝑥2+3𝑥.=2(𝑥+2)+𝑥+5(𝑥+2)2⋅𝑥+2𝑥(𝑥+3)14.=3(𝑥+3)𝑥+2⋅1𝑥(𝑥+3)=3𝑥(𝑥+2).要使原式有意义，则有{(𝑥+2)2≠0,𝑥(𝑥+3)

≠0,解得：𝑥≠0且𝑥≠−2且𝑥≠−3，所以取𝑥=1，则原式=31×(1+2)=1.22.（2020-2021·上海·月考试卷）先化简，再求值：(𝑎−2𝑎2+2𝑎−𝑎−1𝑎2+4𝑎+4)÷𝑎−4𝑎+2，其中，𝑎=−3．【解析】先把原分式按照运算顺序化简，再

进一步代入求得数值即可．【解答】解：原式=[(𝑎−2)(𝑎+2)𝑎(𝑎+2)2−𝑎(𝑎−1)𝑎(𝑎+2)2]÷𝑎−4𝑎+2.=𝑎−4𝑎(𝑎+2)2⋅𝑎+2𝑎−4=1𝑎(𝑎+2)，当𝑎=−3时，原式=1−3×(−3+2)=13．考点六：分式方程解法（重点）例6

.（2019-2020·安徽·期末试卷）解方程：2𝑥𝑥−2=1+14−2𝑥.【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到𝑥的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边同时乘以2𝑥−4，得4𝑥=2𝑥−4−1，移项并合并同类项，得2𝑥=−

5，解得：𝑥=−2.5，经检验，𝑥=−2.5是原方程的根，则原方程的根为𝑥=−2.5．拓展训练：23.（2020-2021·湖南·期中试卷）解分式方程1−𝑥𝑥−2=12−𝑥−2时，去分母变

形正确的是()15A.−1+𝑥=−1−2(𝑥−2)B.1−𝑥=1−2(𝑥−2)C.−1+𝑥=1+2(2−𝑥)D.1−𝑥=−1−2(𝑥−2)【答案】D【解析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．【解答】解：两边同时乘以𝑥−2，去分母得：1−𝑥=−1−2

(𝑥−2).24.（2019-2020·贵州·月考试卷）分式方程𝑥𝑥−2+6𝑥+2=1的解是（）A.𝑥=1B.𝑥=2C.𝑥=3D.𝑥=4【答案】A【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到𝑥的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：𝑥2+2�

�+6𝑥−12=𝑥2−4，移项合并得：8𝑥=8，解得：𝑥=1，经检验𝑥=1是分式方程的解.25.（2019-2020·山东·月考试卷）分式方程𝑥+1𝑥−1−4𝑥2−1=1的解为________.【答案】无解【解析】分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到𝑥

的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：将分式方程化为整式方程得：𝑥2+2𝑥+1−4=𝑥2−1，化简得：2𝑥=2，解得：𝑥=1，经检验当𝑥=1时，𝑥2−1=0，所以分式方程无解.26.（2020-2021·贵州·月考试卷）解分式方程：(1)𝑥𝑥−1−1=3(

𝑥−1)(𝑥+2)；(2)𝑥𝑥+1+𝑥−1𝑥=2.16【解析】解：(1)去分母得，𝑥(𝑥+2)−(𝑥−1)(𝑥+2)=3，去括号得，𝑥2+2𝑥−𝑥2−𝑥+2=3，移项并合并同类项得，𝑥=1.当𝑥=1时，(𝑥−1)(𝑥+2)=0，故原方程无解.(2)去分母得

，𝑥2+(𝑥−1)(𝑥+1)=2𝑥(𝑥+1)，去括号得，𝑥2+𝑥2−1=2𝑥2+2𝑥，移项并合并同类项得，2𝑥=−1，解得𝑥=−12.当𝑥=−12时，𝑥(𝑥+1)≠0，故原方程的解为𝑥=

−12.考点七：分式方程的应用（重点）例7.（2020-2021·河北·月考试卷）某市正在进行“打造宜居靓城，建设幸福之都”活动．在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算，获得以下信息：信息1：乙队单独完成这项工

程需要60天；信息2：先由甲、乙两队合作16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可以完成；信息3：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．根据以上信息，解答下列问题：(1)甲队单独完成这项工程需要多少天？(2)若

该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？【解析】（1）设乙队单独完成这项工程需𝑥天，总工作量为单位1，根据题意列方程求解；（2

）分别求出甲乙单独和甲乙合作所需要的钱数，然后比较大小．【解答】解：(1)设：甲队单独完成这项工程需要𝑥天．由题意可列：16(1𝑥+160)+2060=1，17解得：𝑥=40，经检验，𝑥=40是原方程的解．答：甲队单独完成这项工程需要40天.(2)1÷(140+160

)=24，因为全程用甲、乙两队合作需要：(3.5+2)×24=132（万元），单独用甲队完成这项工程需要：40×3.5=140（万元），单独用乙队完成这项工程需要：60×2=120（万元），但60>50，所以，全程用甲、乙两队合作该工程最省钱．拓展训练：27.（2020-2021

·湖南·期中试卷）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为𝑥千米/小时，依题意列方程正确的是()A.25𝑥=35𝑥+20B.25𝑥−20=35𝑥C.25𝑥

=35𝑥−20D.25𝑥+20=35𝑥【答案】A【解析】解：题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，货车行驶25千米所用的时间是25𝑥，因为小车每小时比货车多行驶20千米，所以小车的速度是(𝑥+20)千米/小时，小车行

驶35千米所用的时间是35𝑥+20.根据题意，得25𝑥=35𝑥+20.28.（2020-2021·广西·期中试卷）一艘轮船顺水航行60千米所用的时间与逆水航行40千米所用时间相同，若水流速度为3千米每

小时，则轮船在静水中的速度为________千米每小时．【答案】15【解析】顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．根据“轮船顺水航行60千米所需要的时间和逆水航行40千米所用的时间相同”可列出方程．【解答】解：设船在静水中的速度是𝑥千米

/时，18由题意，得60𝑥+3=40𝑥−3，解得𝑥=15，经检验：𝑥=15是原方程的解，即轮船在静水中的速度是15千米每小时．29.（2019-2020·四川·同步练习）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相

同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是________．【答案】830.（2020-2021·广西·月考试卷）李明到离家2.1千米的学校参加九年级联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于

是他立即步行匀速回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校，已知李明骑自行车的速度是步行速度的3倍，且李明骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了20分钟．(1)李明步行的速度是多少米/分？(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？【解析】（1）设李明

步行的速度是𝑥米/分，则他骑自行车的速度为3𝑥米/分，根据等量关系：骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟可得出方程，解出即可；（2）计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和，然后与42比较即可作出判断．【解答】解：(1)设李明步行的速度是𝑥米/分，则他骑自行车的速

度是3𝑥米/分，根据题意，得2100𝑥−21003𝑥=20，解得𝑥=70，经检验，𝑥=70是原方程的解，答：李明步行的速度是70米/分．(2)因为210070+21003×70+1=41（分）<42（分），所以李明能在联

欢会开始前赶到学校．