【文档说明】《八年级数学上册期末复习全程检测通关练（讲义＋试题）（湘教版）》第二章《三角形》复习讲义（解析版）.docx，共(29)页，963.805 KB，由管理员店铺上传

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2020-2021学年湘教版八年级上册期末复习精选题考点讲义第二章三角形2一、三角形及其有关概念1、三角形：[来源由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组

成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。（2）三角形的任意两边之差小于第三边。（3）作用：[来

源:zzst@e%p.c#o*&m]①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。（2）直角三角形的两个锐角互余。5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个

性质叫做三角形的稳定性。6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形[来源:中国^&@教育*出版网~](2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三

角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。37、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。性质：三角

形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。（3）三角形的高

线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的

外部；8、三角形的面积：[来源:*^中国#教~育出版@三角形的面积=×底×高二、全等图形：定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。[来#源*:中国&教育出版网~@]性质：全等图形的形状和大小都相同。三、全等三角形1、全等

三角形及有关概念：[来%源:@~z&zste#p能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。2、全等三角形的表示

：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。214注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。4、三角形全等的判定：（1）边

边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三

角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）考点一：三角形的边角关系（重点）例1.（2020-2021·湖北·月考试卷）如图，在△

ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则阴影部分面积等于()A.2cm2B.1cm2C.12cm2D.14cm2【答案】B【解析】根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．【解答】解：

∵点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，5S阴影=12S△BCE=14S△ABC=1cm2．【点评】本题考查的是三角形的面积，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质．拓展训练：1.（2020-2021·河南·月考试卷）如果有一个等腰

三角形的周长为25，一边长为11，那么腰长为()A.7B.11C.14D.7或11【答案】D【解析】由于本题中等腰三角形的腰和底不确定，因此要分类讨论，最后还要根据三角形的三边关系将不合题意的解舍去．【解答】解：分两种情况：①当底长为11时，腰长为(25−11)

÷2=7；②当腰长为11时，底长为25−2×11=3，经检验两种情况均符合三角形的三边关系，所以腰长为7或11.【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；在等腰三角形腰和底不确定的情况下，一

定要分类讨论，还要注意看最后的结果是否符合三角形的三边关系．2.（2020-2021·广西·月考试卷）以下列各组线段为边，能组成三角形的是()A.1，2，3B.2，3，4C.2，5，8D.6，3，3【答案】B【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第

三边”进行分析．【解答】解：根据三角形的三边关系，A，1+2=3，不能组成三角形；B，2+3>4，能组成三角形；C，2+5<8，不能组成三角形;D，3+3=6，不能组成三角形.【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数

．3.（2020-2021·陕西·月考试卷）如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B=70∘，6∠C=40∘，则∠DAE的度数为________．【答案】15∘【解析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=70∘，又由A

E是∠BAC的平分线，可求∠BAE=35∘，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90∘，可求∠BAD=25∘，所以∠DAE=∠BAE−∠BAD=10∘．【解答】解：在△ABC中，∠BAC=180∘−∠B

−∠C=70∘.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=35∘，又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90∘.在△ABD中，∠BAD=90∘−∠B=20∘，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=15∘．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180∘是解答此题

的关键．4.（2020-2021·安徽·期中试卷）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．7(1)若∠DCB=48∘，求∠CEF的度数．(2)求证：

∠CEF=∠CFE.(1)解：∵CD是高，∠DCB=48∘，∴∠B=42∘．∵∠ACB=90∘，∴∠BAC=48∘．∵AE是角平分线，∴∠BAE=12∠BAC=24∘，∴∠CEF=∠B+∠BAE=42∘+24∘=66∘．(2)证明：∵∠ACB=90∘,CD⊥AB，∴∠B+∠

BAC=∠ACD+∠BAC=90∘，∴∠B=∠ACD．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∵∠CEF是△ABE的外角，∠CFE是△ACF的外角，∴∠CEF=∠B+∠BAE，∠CFE=∠ACD+∠CAE．∴∠CEF=∠

CFE．考点二：命题与证明（难点）例2.（2020-2021·江西·期中试卷）如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①CE//AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD．（1）由上述条件可得哪几个

真命题？请按“⊗⊗⇒⊗”的形式一一书写出来；（2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明．【解析】（1）根据题意，结合平行线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题．8（2）任选一个命题，根据平行线的性质或角平分线的定义进行证明．【解答】上述问题有

三种正确命题，分别是：命题1：①②⇒③；命题2：①③⇒②；命题3：②③⇒①．选择命题2：①③⇒②．证明：∵CE//AB，∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．∴∠A＝∠B【点评】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的性质，本题是一道探

索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．拓展训练：5.（2020-2021·四川·月考试卷）下列是假命题的是()A.有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等B.内错角相等C.有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等D.三角形的高不一定在三角形的内部【答

案】B【解析】将各个命题进行逐一分析求解即可.【解答】解：A，有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA），故A正确；B，内错角相等，错误，当两直线不平行时，内错角不相等，故B错误；C，有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS），故C正确；D，三角形的高不一定在三角形

的内部，如钝角三角形的高在三角形外部，故D正确.【点评】本题考查命题真假的判定，涉及知识点较多，比较基础.6.（2020-2021·广西·月考试卷）下列命题，是真命题的是()A.直角三角形的一个内角为32∘，则另外一个锐角为68∘B.如果ab=0，那么a=0C.直角三角形中的两个锐

角不能都大于45∘D.如果a2=b2，那么a=b【答案】C9【解析】根据命题的正确和错误进行判断解答即可．【解答】解：A，直角三角形的一个内角为32∘，则另外一个锐角为58∘，故A错误；B，如果ab=0，那么a=0或b=0或a=b

=0，故B错误；C，直角三角形中的两个锐角不能都大于45∘，故C正确；D，如果a2=b2，那么a=b或a=−b，故D错误.【点评】此题考查命题问题，解答此题的关键是要熟知真命题与假命题的概念．7.（2020-2021·安徽·期中试卷）把“等角的余角相等”改写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形

式是________，________，该命题是________命题(填“真”或“假”)．【答案】如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等,真【解析】解：命题“等角的余角相等”改写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式为：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．这

个命题正确，是真命题.故答案为：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；真.8.（2020·期末试卷）下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）如果两个角是直角，那么它们相等；（3）全等

三角形的对应边相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等．【解析】将每个命题的题设和结论颠倒就可以写出这些命题的逆命题，然后判断正误即可．【解答】逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，成立；逆命题为如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立；逆命题为

对应边相等的两个三角形全等，成立；逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，不成立．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命

题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．考点三：等腰三角形（重点）10例3.（2020-2021·河南·月考试卷）如图，在△ABC中，∠ABC和∠AC

B的平分线交于点E，过点E作MN//BC交AB于M，交AC于N，若△ABC，△AMN周长分别为13cm和8cm．(1)求证：△MBE为等腰三角形；(2)线段BC的长．(1)证明：如图所示：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠1=∠2，又∵MN//BC，∴∠5=∠2

，∴∠1=∠5.∴△MBE为等腰三角形.(2)解：△MBE为等腰三角形，∴MB=ME，同理可得：NE=NC，又∵C△AMN=AM+AN+MN，MN=ME+NE，∴C△AMN=AM+AN+ME+NE=AM+BM+AN+CN，∴C△AMN=AB+AC=8.又∵C△A

BC=AB+AC+BC=13，∴BC=13−8=5cm.11拓展训练：9.（2020-2021·河南·月考试卷）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是()A.∠B=∠CB.BD=CDC.A

D平分∠BACD.AB=2BD【答案】D【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，BD=DC，∴AD平分∠BAC.由已知条件无法确定AB=2BD，故A，B，C正确，D错误.10.（2020-20

21·江西·月考试卷）已知：如图△ABC中，∠B=60∘，∠C=90∘，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠BCD的度数为________.【答案】15∘，60∘或105∘【解析】解：∵∠B=60∘，∠

C=90∘，∴∠BAC=30∘，如图，有三种情形：12①当AC=AD时，∠BCD=15∘；②当CD′=AD′时，∠BCD′=60∘；③当AC=AD′′时，∠BCD′′=105∘．故答案为15∘，60∘或105∘．11.（2020-2

021·湖南·月考试卷）如图，在△ABC中，∠ABC=60∘，∠BAC=75∘，AD，CF分别是BC，AB边上的高且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N．以下三个结论：①△PMN等边三角形；②除了△PMN外，还有4

个等腰三角形；③△ABD≅△CPD；④当DM=2时，则DC=6.其中正确的结论是：________(填序号).【答案】①②③④【解析】由已知条件，根据三角形内角和等于180∘、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难．【解答

】解：∵∠ABC=60∘，∠BAC=75∘，AD，CF分别是BC，AB边上的高，∴∠DAC=∠ACB=45∘，∴△ADC为等腰直角三角形.∵∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N，∴∠ABM=30∘.又∵∠BAM=30∘，13∴△AMB为等腰三角形．∵∠NBC=∠NCB=30∘，∴

△BNC为等腰三角形．∴∠PMN=∠MNP=60∘，∴△MNP为等边三角形，故①正确；∵∠ABE=30∘，∠BAC=75∘，∴∠BEA=75∘，△ABE为等腰三角形，∴除了△PMN外，还有4个等腰三角形，故②正确；∵AD，CF分别是B

C，AB边上的高，∴∠ADB=∠BFC=90∘.∵∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠BCF=90∘，∴∠BAD=∠DCP.∵∠ADB=∠PDC=90∘，AD=CD，∴△ABD≅△CPD(ASA)，故③正确；在直角三角形BDM中，∵MD=2，∠MBD=30∘，

∴BM=4，在等腰三角形ABM中，AM=BM=4，∴AD=AM+MD=6.∵在等腰直角三角形ADC中，AD=DC，∴DC=6，故④正确.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定、角的平分

线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．12.（2020-2021·山东·期中试卷）如图，△ABC中，点D在边BC上，若AB=AD=CD，∠BAD=100∘，则∠C=________度．14【答案】20【解析】根据题意可知∠ADB的度数，然后再利用

∠ADC是三角形ADC的一个外角即可求得答案．【解答】解：∵AB=AD=CD，∠BAD=100∘，∴∠B=∠ADB=12×(180∘−100∘)=40∘，∠C=∠DAC，又∵在等腰三角形ADC中，∠ADB是△ADC的外角，∴∠ADB=∠DAC+

∠C=2∠C，∴∠C=12×40∘=20∘.【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，以及三角形的内角和为180∘的知识点，此题难度不大．13.（2020-2021·江西·月考试卷）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等

边△ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．(1)求证：∠BQM=60∘；(2)若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60∘”的位置交换，得到的是否仍是真命题，并说明理由．(1)证明：∵△AB

C是等边三角形，∴AB=BC，∠ABM=∠C=60∘．在△ABM和△BCN中，.{BM=CN,∠ABM=∠C,AB=BC,∴△ABM≅△BCN(SAS)，∴∠BAM=∠CBN．15∵∠QBA+∠CBN=∠CBA=60∘，∴∠QBA+∠BAM=60∘，∴∠

BQM=60∘．(2)解：是真命题．理由如下：∵∠BQM=60∘，∴∠QBA+∠BAM=60∘．∵∠QBA+∠CBN=60∘，∴∠BAM=∠CBN．在△ABM和△BCN中，.{∠ABM=∠BCN,AB=AC,∠BAM=∠CBN,∴△ABM≅△BCN(ASA

)，∴BM=CN，∴得到的是真命题．14.（2020-2021·江苏·月考试卷）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=58∘，点D，E，F分别在BC，AB，AC边上，且BE=CF，BD=CE，求∠EDF的度

数．解：∵AB=AC，∠A=58∘，.∴∠B=∠C=12(180∘−∠A)=(180∘−58∘)÷2=61∘，在△DBE和△ECF中，.{BD=CE,∠B=∠C,BE=CF,16∴△DBE≅△ECF(SAS)，∴∠FEC=∠BDE，.∴∠DEF=180∘−∠BED

−∠FEC.=180∘−∠DEB−∠EDB=∠B=61∘，∵△DBE≅△ECF∴DE=FE，∴△DEF是等腰三角形，∴∠EDF=(180∘−61∘)÷2=59.5∘．考点四：线段的垂直平分线（重点）例4.（2020-2021·江苏·月考试卷）如图，在△ABC中，AC边

的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F.(1)若△CMN的周长为16cm，求AB的长；(2)若∠MFN=70∘，求∠MCN的度数．解：(1)∵直线DM是AC的垂直平分线，∴MA=MC．同理：NB=NC.∵△CMN的周长16cm，∴CM+MN+

NC=16cm，即MA+MN+NB=AB=16cm．17(2)∵MD⊥AC，NE⊥BC，∴∠ACB=180∘−∠MFN=180∘−70∘=110∘，∴∠A+∠B=70∘.∵MA=MC，NB=NC，∴∠MCA=∠A

，∠NCB=∠B，∴∠MCN=110∘−(∠A+∠B)=40∘．拓展训练：15.（2020-2021·福建·期中试卷）与三角形三个顶点距离相等的点是()A.三条角平分线交点B.三边中线交点C.三边上的高所在直线交点D.三边垂直平分线的交点【答案】D【解析】三角

形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可得：到三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．此点称为外心，也是

这个三角形外接圆的圆心．），难度一般．16.（2020-2021·河南·月考试卷）等腰三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC边所在的直线相交所得的锐角为40∘，则∠A的度数为()A.140∘B.50∘

C.40∘或150∘D.50∘或130∘【答案】D【解析】首先根据题意作图，分别从AB的垂直平分线与线段，与CA的延长线相交所成的锐角为40∘去分析，根据线段垂直平分线的性质，即可求得答案．【解答】解：设DE为AB边上的垂直平分线.如图①：18∵DE是AB的垂直平分线，∴∠DEA=90∘.

∵∠ADE=40∘，∴∠DAE=50∘；如图②：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠DEA=90∘.∵∠ADE=40∘，∴∠DAE=50∘，∴∠BAC=130∘，∴∠A为50∘或130∘．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注

意数形结合思想与分类讨论思想的应用．17.（2020-2021·江苏·月考试卷）如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=22.5∘，DE垂直平分AB交BC于点E，EC=1，则三角形ACE的面积为________．19【答案】12【

解析】利用线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，则根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝22.5∘，根据三角形外角性质得到∠AEC＝45∘，所以△ACE为等腰直角三角形，从而得到三角形ACE的面积．【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点E，∴EA=EB，∴∠EAB=∠B=22.5∘，∴∠

AEC=∠EAB+∠B=45∘，∵∠C=90∘，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CA=CE=1，∴三角形ACE的面积=12×1×1=12．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．18.（2020-2021·河北·月考试

卷）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE.(1)若∠BAE=40∘，求∠C的度数；(2)若△ABC周长为20cm，AC=8cm，求DC长．【解析】（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB=

AE=EC，∴∠C=∠CAE，∵∠BAE=40∘，∴∠AED=70∘，∴∠C=12∠AED=35∘.20（2）∵△ABC周长20cm，AC=8cm，∴AB+BE+EC=12cm，∴即2DE+2EC=12cm，∴DE+EC=DC=6cm.【解答】解：

(1)∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，∴∠C=∠CAE.∵∠BAE=40∘，∴∠AED=70∘，∴∠C=12∠AED=35∘.(2)∵△ABC周长为20cm，AC=8cm，∴AB+BE+EC=12cm，∴即

2DE+2EC=12cm，∴DE+EC=DC=6cm.考点五：全等三角形的性质与判定（重难点）例5.（2020-2021·广西·月考试卷）如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，AE是过点A的一条射线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．求证：BD=DE+CE

.【解析】（1）证明△ABD≅△CAE，即可证得BD=AE，AD=CE，而AE=AD+DE=CE+DE，即可证得；（2）（3）图形变换了，但是（1）中的全等关系并没有改变，因而BD与DE、CE的关系并没有改变；（4）把BD与

DE、CE的关系用语言表述出来即可．【解答】证明：∵∠BAC=90∘，∴∠BAD+∠EAC=90∘.又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA=∠AEC=90∘，∠BAD+∠ABD=90∘，∴∠ABD=∠EAC.在△ABD与△CAE中，21.{∠BDA=∠AEC

,∠ABD=∠CAE,AB=CA,∴△ABD≅△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE.∵AE=AD+DE=CE+DE，∴BD=DE+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．拓展训练：1

9.（2020-2021·广西·月考试卷）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的三角形玻璃，最省事的方法是带③去，三角形全等的依据是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS【答案】C【解析】根据全等三角形的判定，已知两角和

夹边，就可以确定一个三角形．【解答】解：第三块玻璃包括了三角形的两角和它们的夹边，所以可以由ASA判定三角形全等．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用

．20.（2020-2021·江西·月考试卷）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=122∘，E，F，D分别是AB，AC，BC上的点，且BE=CD,BD=CF，则∠EDF的度数为()22A.28∘B.29∘C.30∘D.38∘【答案】B【解析】解：∵AB=AC，∠A=122

∘，∴∠B=∠C=29∘．在△BDE和△CFD中，.{BE=CD,∠B=∠C,BD=CF,∴△BDE≅△CFD(SAS)，∴∠BED=∠CDF,∠BDE=∠CFD．∵∠BED+∠B=∠CDE=∠EDF+∠CDF，∴

∠B=∠EDF=29∘.21.（2020-2021·贵州·月考试卷）如图1，点A，B，D，E在同一直线上，AE=DB，∠A=∠D，要使△ABC≅△DEF，则需要添加的条件是________(不添加辅助线，写

一个即可)．【答案】AC=DF或∠C=∠F或∠ABC=∠DEF【解析】先找出题中隐含的已知条件，再根据全等三角形的判定定理，逐一判断，即可解答.【解答】解：∵AE=DB，∴AE+EB=DB+EB，∴AB=DE.∵∠A=∠D，∴当AC=DF时，根据SAS，可得△ABC≅△DEF；当∠C

=∠F时，根据AAS，可得△ABC≅△DEF；当∠ABC=∠DEF时，根据ASA，可得△ABC≅△DEF.23【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．22

.（2020-2021·广西·月考试卷）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，BE=CF，AC=DF.(1)求证：△ABC≅△DEF；(2)判断AC与DF的位置关系，并说明理由．(1)证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中.{AB=DE,

AC=DF,BC=EF,∴△ABC≅△DEF（SSS）．(2)解：AC//DF，理由如下：∵△ABC≅△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴AC//DF．23.（2020-2021·内蒙古·月考试卷）如图1，点A是线段BC上一点

，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连结BE，CD，求证：BE=CD．24(2)如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为________度时，边AD′落在AE上．②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′．当线

段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？请给予证明．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质．【解答】(1)证明：∵△ACE，△ABD都是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60∘，∴∠BAE=∠D

AC.在△BAE和△DAC中，.{AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，∴△BAE≅△DAC(SAS)，∴BE=CD．(2)解：①∵∠BAD=∠CAE=60∘，∴∠DAE=180∘−60∘−60∘=60∘.∵边AD′落在AE上，∴旋转角为∠DAE=60∘.故答案为：60∘；②当AC=2AB

时，△BDD′与△CPD′全等．理由如下：∵由旋转性质，得AB′与AD重合，∴AB=BD=DD′=AD′，∠ADD′=60∘，∴四边形ABDD′是菱形，∴∠ABD′=∠DBD′=12∠ABD=12×60∘=30∘.∵△ACE是等边

三角形，∴AC=AE，∠ACE=60∘.∵AC=2AB，∴AE=2AD′，25∴∠PCD′=∠ACD′=12∠ACE=12×60∘=30∘.又由题意，得DP//BC，∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠CD′P=30∘.在△BDD′与△CPD′中，.{∠DBD=∠P

CD′，BD′=CD′，∠BD′D=∠CD′P，∴△BDD′≅△CPD′(ASA).考点六：尺规作图（重难点）例6.（2020-2021·四川·月考试卷）如图，在△ABC中，按要求完成下列各题：(1)作△ABC的

中线AM（要求：不写作法，保留作图痕迹）；(2)已知△ABC≅△DEF，且AM和DN是三角形△ABC和△DEF的中线，求证：AM=DN.【解答】(1)解：如图所示，以点B为圆心，大于12BC的长为半径画圆，以点C为圆心，以同样长为半径画圆，两圆在线段BC两侧有两个交点

，连接两个交点，与BC相交于点M，即M为BC的中点.26(2)证明：∵△ABC≅△DEF，∴AC=DF，∠C=∠F，BC=EF，又∵AM和DN是三角形△ABC和△DEF的中线，∴MC=12BC，NF=12EF，∴MC=NF.∵在△AC

M和△DFN中，{AC=DF,MC=NF,∠C=∠F,∴△ACM≅△DFN(SAS)，∴AM=DN.拓展训练：24.（2020-2021·江西·月考试卷）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是()

A.SASB.AASC.ASAD.SSS【答案】D【解析】此题暂无解析27【解答】解：根据作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′，∴△OCD≅△O′C′D′(SSS)，∴∠AOB=∠

A′O′B′.24.（2020-2021·河南·期中试卷）如图，在△ABC中，∠B=55∘，∠C=30∘，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为()

A.65∘B.60∘C.55∘D.45∘卷【答案】A【解析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C=∠CAD，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，∠B=55∘，∠C=30∘，

∴∠BAC=180∘−55∘−30∘=95∘．∵直线MN是线段AC的垂直平分线，∴∠C=∠CAD=30∘，∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=95∘−30∘=65∘．【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．25.（2020-2021·河

北·期中试卷）如图，已知AB//CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于F，E两点，再分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H，若∠C=120∘，则∠AHD=________.28【解析】利用基本作

图得AH平分∠BAC，再利用平行线的性质得∠BAC=180∘−∠C=60∘，所以∠CAH=12∠BAC=30∘，然后根据三角形外角性质可计算出∠AHD的度数．【解答】解：由基本作图，得AH平分∠BAC，则∠CAH=∠BAH.∵AB//CD，∴∠C+∠BAC=180∘，∠AHC=∠BAH，∴∠

BAC=180∘−∠C=180∘−120∘=60∘，∴∠BAH=∠CAH=12∠BAC=30∘，∴∠AHD=180∘−30∘=150∘．【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于

已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的性质．26.（2020-2021·安徽·月考试卷）如图，A，B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．(1)若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址P应选在

哪个位置？(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址Q应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．【解析】（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线与河岸交与点M，则点M即为所求；（2）作出点A

关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，【解答】解：(1)如图，作AB的垂直平分线，则其与河边的交点P即为所求.29(2)如图，作点A关于河边的对称点C′，连接CB，与河边交于点Q.则点Q即为所求．【点评】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知轴对称的

性质是解答此题的关键．