【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册同步备课试题 9.4向量应用 Word版含解析.docx，共(8)页，262.562 KB，由小赞的店铺上传

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课时跟踪检测（十）9.4向量应用基础练1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.v1v2解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.2．已

知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)解析：选D由物理知识知F1＋F2＋F3＋F4＝0，故

F4＝－(F1＋F2＋F3)＝(1,2)．故选D.3．如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么()A．s＞|a|B．s＜|a|C．s＝|a|D．s与|a|不能比大小解析：选As＝200＋300＝500(km)，|a|＝2

002＋3002＝10013(km)，∴s＞|a|.故选A.4．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N，当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40NB．102NC．202ND．402N解析：选B如图，以F1

，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F|＝2|F1|＝20N，∴|F1|＝|F2|＝102N．当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F|＝|F1|＝102N．故选B.5．在△ABC中，若|AB―→＋A

C―→|＝|AB―→－AC―→|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选B由|AB―→＋AC―→|＝|AB―→－AC―→|得|AB―→＋AC―→|2＝|AB―→－AC―→|2，即AB―→·AC―→＝0，

∴AB―→⊥AC―→.∴∠A＝90°，即△ABC为直角三角形．故选B.6．一条河宽400m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________．解析：合速度|v合|

＝202－122＝16(km/h)＝8003(m/min)，∴t＝400÷8003＝1.5(min)．答案：1.5min7．已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上的两点，且|AB|＝5，则AC―→·CB―

→＝________.解析：由弦长|AB|＝5，可知∠ACB＝60°，故AC―→·CB―→＝－CA―→·CB―→＝－|CA―→||CB―→|cos∠ACB＝－52.答案：－528．已知向量a＝－12，32，OA―→＝a－b，OB―→＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，

则△OAB的面积为________．解析：由题意，得|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA―→⊥OB―→，|OA―→|＝|OB―→|.由OA―→⊥OB―→得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，由|OA―→|＝|OB―→|得|a－b|＝|

a＋b|，所以a·b＝0，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以|OA―→|＝|OB―→|＝2，所以S△OAB＝12×2×2＝1.答案：19.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2

－DC2，求证：AD⊥BC.证明：设AB―→＝a，AC―→＝b，AD―→＝e，DB―→＝c，DC―→＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a

2－b2＝c2－d2，所以e·(c－d)＝0.因为BC―→＝BD―→＋DC―→＝d－c，所以AD―→·BC―→＝e·(d－c)＝0所以AD―→⊥BC―→，即AD⊥BC.10.如图所示，用两根分别长52m

和10m的绳子将100N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5m，求A处受力的大小．解：由已知条件可知AG与垂直方向成45°角，BG与垂直方向成60°角，设A处所受的力为Fa，B处所受的力为Fb，∴

|Fa|cos45°＝|Fb|cos30°，|Fa|sin45°＋|Fb|sin30°＝100.解得|Fa|＝1502－506.故A处受力的大小为(1502－506)N.拓展练1．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点

力对物体做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．2解析：选DW＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5，1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.故选D.2．已知△ABC满足AB―→2＝AB―→·AC―→＋BA

―→·BC―→＋CA―→·CB―→，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形解析：选C由题意得，AB―→2＝AB―→·AC―→＋AB―→·CB―→＋CA―→·CB―→＝AB―→·(AC―→＋CB

―→)＋CA―→·CB―→＝AB―→2＋CA―→·CB―→，∴CA―→·CB―→＝0，∴CA―→⊥CB―→，∴△ABC是直角三角形．故选C.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，

点F在边CD上，若AB―→·AF―→＝2，则AE―→·BF―→的值是()A.2B．2C．0D．1解析：选A∵AF―→＝AD―→＋DF―→，AB―→·AF―→＝AB―→·(AD―→＋DF―→)＝AB―→·AD―→＋

AB―→·DF―→＝AB―→·DF―→＝2|DF―→|＝2，∴|DF―→|＝1，|CF―→|＝2－1，∴AE―→·BF―→＝(AB―→＋BE―→)·(BC―→＋CF―→)＝AB―→·CF―→＋BE―→·BC―→＝－2(

2－1)＋1×2＝－2＋2＋2＝2.故选A.4.如图，设P为△ABC内一点，且2PA―→＋2PB―→＋PC―→＝0，则S△ABP∶S△ABC＝()A.15B.25C.14D.13解析：选A设AB的中点是D，∵PA―→＋PB―→＝2PD―→＝－12PC―→，∴PD―→＝－14

PC―→，∴P为CD的五等分点，∴△ABP的面积为△ABC的面积的15.故选A.5．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：根据题意

得|α||β|sinθ＝12.又|α|＝1，|β|≤1，∴12≤sinθ≤1，∴π6≤θ≤5π6.答案：π6，5π66．四边形ABCD中，已知AB―→＝DC―→＝(1,1)且BA―→|BA―→|＋BC―→|B

C―→|＝2BD―→|BD―→|，则此四边形的面积等于________．解析：∵AB―→＝DC―→，∴四边形ABCD是平行四边形．对BA―→|BA―→|＋BC―→|BC―→|＝2BD―→|BD―→|两边平方得1＋1＋2BA―→·BC―→|BA―→||BC―→|＝2，∴BA―→·BC―→＝0，

∴BA⊥BC，且BA＝BC，∴四边形ABCD是正方形，且|AB―→|＝2，∴四边形ABCD的面积为2.答案：27．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.证明：法一：∵AC―→＝AB―→＋AD―→，BD―→＝AD―

→－AB―→，∴AC―→·BD―→＝(AB―→＋AD―→)·(AD―→－AB―→)＝|AD―→|2－|AB―→|2＝0.∴AC―→⊥BD―→，即AC⊥BD.法二：解答本题还可以用坐标法，解法如下．如图，以BC所在直线为x轴

，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2.∵AC―→＝BC―→－BA―→＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，BD―→＝BA―→＋BC―→＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，∴AC―→·BD―→＝c2－a

2－b2＝0.∴AC―→⊥BD―→，即AC⊥BD.培优练在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θcosθ＝210，θ∈(0°，90°)方向300km的海面P处

，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos(θ－45°)＝45解：设th后，台风中心移

动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.∵OQ―→＝OP―→＋PQ―→，∴OQ―→2＝(OP―→＋PQ―→)2＝OP―→2＋PQ―→2＋2OP―→·PQ―→.∴OQ―→2＝OP―→2＋PQ―→2－2|OP―→||PQ―→|cos(θ－

45°)＝3002＋(20t)2－2×300×20t×45＝100(4t2－96t＋900)．依题意得OQ―→2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24.从而12h后该城市开始受到台风的侵袭．