【文档说明】《九年级数学下册基础过关演练讲义（北师大版）》专题05 二次函数线段、周长、面积的最大值（解析版）.doc，共(15)页，516.901 KB，由管理员店铺上传

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1五、二次函数线段、周长、面积最值问题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x+2交x轴于A、B，交y轴于点C．（1）求△ABC的面积；（2）D为抛物线的顶点，连接BD，点P为抛物线上点C、D之间一点，连接CP，DP，过点P

作PM∥BD交直线BC于点M，连接DM，求四边形CPDM面积的最大值以及此时P点的坐标；【解答】解：（1）令，解得x1＝1，x2＝4，∴A（1，0），B（4，0），求最大值知识导航2令x＝0，y＝2，∴C（0，2），∴S△ABC

＝AB×OC＝；（2）设CD与x轴交于F，连接BP、过P作y轴平行线，交CD于G，交BD延长线于H，如图：∵y＝＝，∴顶点D（，﹣），∵C（0，2），B（4，0），∴直线CD解析式为y＝﹣x+2，直线BD解析式为y＝x﹣3，在y＝﹣x+2中，

令y＝0得x＝，∴F（，0），∴BF＝，∴S△BCD＝BF•|yC﹣yD|＝××（2+）＝，设P（t，），则G（t，），H（t，），∴GP＝，PH＝3∴S△CPD＝GP•|xD﹣xC|＝，S△PDB＝PH

•|xB﹣xD|＝＝∴S四边形CPDB＝S△CPD+S△BCD＝﹣t2+t+，∵PM∥BD，∴S△MDB＝S△PDB，∴S△MDB＝t2﹣t+，∴S四边形CPDM＝S四边形CPDB﹣S△MDB＝（﹣t2+t+）﹣（t2﹣t+）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S四边形CP

DM最大＝4，此时P（2，﹣1）；2．如图1，在直角坐标系中，批物线C1：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知tan∠CAO＝2，B（4，0）．（1）求抛物线C1的表

达式；（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE∥x轴交BC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），OC＝3，∵tan∠CAO

＝2，∴，∴AO＝，4∴，∵B（4，0），∴设，将C（0，3）代入得：，∴，即，（2）过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，如图：∵PE∥x轴，PF∥y轴，∴∠PEF＝∠CBO，∠EFP＝∠BCO，∴△CBO∼△FEP，∴，∴，∴，设，由B（4，0）、C（0，3）得直线

BC解析式为：，∴，∵PF＝yP﹣yF，∴，∴＝﹣（m﹣2）2+，5∴，此时；3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣交x轴于A、B两点（点A在点B左侧）．一次函数y＝x+b与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C．（1）求点D的坐标；（2）点E是线段CD上任意一点，过点E作EF⊥y轴于点F

，过点E作EP⊥AD交抛物线于点P．点P位于直线AD下方，求PE+EF的最大值及相应的P点坐标；【解答】解：（1）令y＝0得：x2﹣x﹣＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），将A（﹣1，0）代入y＝x+b得：0＝﹣+b，∴b＝，∴AD的解析式为y＝x+，联立，解得x

＝﹣1（舍），x＝4，∴；（2）过P作PG∥y轴，交FE延长线于G，如图：6∵E在线段CD上，∴设E（m，m+），0≤m≤4，∴EF＝m，∵PE⊥AD，∴∠GEP＝90°﹣∠CEF＝∠ECF＝∠ACO，且∠G＝∠AOC＝90°，∴△AOC∽△PGE，∴＝，由AD的解析式为y＝x+知OC＝，OA＝1

，∴OA＝2OC，∴PG＝2EG，PE＝EG，设EG＝a，则PG＝2a，∴P（m+a，m+﹣2a），代入y＝x2﹣x﹣得：m+﹣2a＝（m+a）2﹣（m+a）﹣，解得：a＝﹣m﹣1﹣或a＝﹣m﹣1+，∵点P在AD下方，∴a＝﹣m﹣1+，∴P（﹣1+，+﹣

2）∴PE＝a＝﹣m﹣+5，7∴PE+EF＝﹣5m﹣5+5+m＝﹣m﹣5+5，设＝t，则m＝﹣1，∴PE+EF＝﹣（﹣1）﹣5+5t＝﹣t2+5t﹣＝﹣（t﹣）2+，∴t＝即m＝时，PE+EF的最大值为，此时P（，﹣）；4

．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣），B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．（1）求二次函数解析式；（2

）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C．M为直线AB下方抛物线上一点，过点M作PC平行线交BP于点N，求MN最大值；【解答】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣由于抛物线经过点B（﹣2，0），8∴a（﹣2﹣1）2﹣＝0，解

得：a＝，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4．（2）易知：D点坐标为（0，﹣4），可求得直线AD的函数解析式为y＝﹣x﹣4，由于BP∥AD，故可设直线BP的函数解析式为：y＝﹣x+b，又BP经过点B，得：﹣×（﹣2

）+b＝0，解得：b＝﹣1，从而BP的解析式为y＝﹣x﹣1，∴该直线与抛物线的交点P的坐标为（3，﹣），又可求得点C（4，0），∴PC＝＝，过点M作ME∥x轴交直线BP于点E，设点M的坐标为（m，n），则点

E的纵坐标为n，∴点E的横坐标为﹣2n﹣2，∴ME＝﹣2n﹣2﹣m，∵ME∥BC，MN∥PC，∴∠E＝∠PBC，∠MNE＝∠BPC，∴△MNE∽△CPB，∴，MN＝PC＝﹣（m+2n+2）＝﹣（m+m2﹣2m﹣8+2）＝﹣（m﹣）

2+，∴当m＝时，MN有最大值，95．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）如图1，连接BC，过点A作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段BE的长；（2）如图1，点P为第三象限内抛物线上一点，连接A

P交BC于点D，连接BP，记△BDP的面积为S1，△ABD的面积为S2，当的值最大时，求出这个最大值和点P的坐标；【解答】解：（1）如答图1所示，作AE∥y轴交BC的延长线于点E．令y＝x2+2x﹣3中y＝0，得方程x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；令y＝

x2+2x﹣3中x＝0，得y＝﹣3，则得点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）．∴BO＝OC＝3，OA＝1．∵∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝．又OC∥AE，10∴，即，解得：CE＝，故线段BE＝BC+CE＝＝．（2）如答图2，在答图1基础上，作PF∥AE交BC于F

．设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B（﹣3，0）、C（0，﹣3），，解得：．则直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3．设点P坐标为（a，a2+2a﹣3），点F坐标为（a，﹣a﹣3），点E坐标为（1，﹣4），则PF＝﹣a﹣3﹣（a2+2a﹣3）＝﹣a2﹣3a，AE＝4．由PF∥AE，可得△

DFP∽△DEA，∴＝＝．又△BDP与△ABD的底可分别看成是DP、DA，而高相等，故＝．∵，∴当a＝时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为（，）．6．如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A，B两点（点A位于点B的左侧），交y轴于点C．直线l

：y＝﹣x+b交y轴于点E，交抛物线于A，D两点．P为直线l下方抛物线上一动点，点M，点N为直线l上的两个动点．（1）求S△ACD；（2）如图2，当PM∥x轴，PM∥y轴时，求PM+PN的最大值及对应的点P的坐标

；11【解答】解：（1）如图，连接AC，CD，抛物线解析式：y＝x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣3），∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2），∵直线l：y＝﹣x+b过点A，把点A（﹣1，0）代入l的解析式，得+b＝0，∴b＝﹣，∴l：y＝﹣x﹣，由，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴D（

2，﹣2），∴CD∥x轴，∴S△ACD＝•CD•OC＝＝2．（2）设点P（a，a2﹣a﹣2），∵PN∥y轴，PM∥x轴，点M、N在直线l上，∴N（a，﹣a﹣），M（﹣a2+2a+2，a2﹣a﹣2），∴PM＝﹣a2+2a+2﹣a＝﹣a2+a+2，PN＝﹣a

﹣﹣（a2﹣a﹣2）＝﹣a2+a+，∴PM+PN＝﹣a2+a+2+（﹣a2+a+）＝﹣a2+a+＝﹣（a﹣）2+，∴a＝时，（PM+PN）max＝，此时，P（，﹣）．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A，C（﹣6，0）

两点（点12A在点C右侧），交y轴于点B，连接BC，且AC＝4．（1）求抛物线的解析式．（2）若P是BC上方抛物线上不同于点A的一动点，连接PA，PB，PC，求当S△PBC﹣S△PAC有最大值时点P的坐标，并求出此时的最大值．【解答】解：（1）∵C（﹣6，0），∴OC＝6，∵AC＝4，∴OA＝2，

即A（﹣2，0），∵点A（﹣2，0），C（﹣6，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣6上，∴，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣6；（2）过点P作x轴的垂线，交x轴于点D，交BC于点E，如图，由（1）中抛物线的解析式可得B（0，﹣6），13∴直线BC的解析

式为：y＝﹣x﹣6，设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2﹣4m﹣6）（﹣6＜m＜0，且m≠0），∴D（m，0），E（m，﹣m﹣6），∴PE＝﹣m2﹣4m﹣6﹣（﹣m﹣6）＝﹣m2﹣3m，|PD|＝|﹣m2﹣4m﹣6|，∴S△PBC﹣S△PAC＝•PE•（xB﹣xC）﹣×|PD|•AC＝•（

﹣m2﹣3m）×6﹣×|﹣m2﹣4m﹣6|×4＝﹣m2﹣9m﹣|﹣m2﹣4m﹣6|，当﹣6＜m＜﹣2时，﹣m2﹣4m﹣6＞0S△PBC﹣S△PAC＝﹣m2﹣9m﹣（﹣m2﹣4m﹣6）＝﹣m2﹣5m+6＝﹣（m+）2+，当m＝﹣时，S△PBC﹣S△

PAC的最大值为，P（﹣，）；当﹣2＜m＜0时，S△PBC﹣S△PAC＝﹣m2﹣9m﹣（m2+4m+6）＝﹣2m2﹣13m﹣6＝﹣2（m+）2+＜，∵＜，综上，当P（﹣，）时，S△PBC﹣S△PAC的最大值为；8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y

轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；

14【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．∵A（﹣3，0）

，C（0，3），∴OA＝OC＝3，AC＝3，∵AC∥直线m，∴△ACH的面积是定值，∵S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH，∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×

3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×315＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，∴m＝﹣时，△AEC的面积最大，∴E（﹣，）．