【文档说明】《九年级数学下册基础过关演练讲义（北师大版）》专题03 二次函数系数间的关系（解析版）.doc，共(17)页，271.124 KB，由管理员店铺上传

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1三、二次函数系数之间的关系知识点1二次函数图像和系数的关系1.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．2.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称

轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）3.常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．4.抛物线与x轴交点个数．（1）△=

b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点（2）△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点（3）△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．2a﹣b＝0C．9a+3b+c＞0D．c＜﹣3a【解

答】解：∵图象的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x＝1，∴a＜0，c＞0，﹣＝1，即2a+b＝0，b＞0，∴abc＜0，故A、B错误；∵抛物线的图象的对称轴是直线x＝1，∴（﹣1，

0）关于对称轴的对称点坐标是（3，0），∵x＝﹣1时，y＜0，判断系数之间的数量关系知识导航2∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故C错误；∵2a+b＝0，即b＝﹣2a，代入解析式得：y＝ax2﹣2ax+c，当x＝3时，y＝9a﹣6a+c＝3a+c＜0，∴c＜﹣3a

，故D正确；故选：D．2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由图象可知，开口向上；对称轴为直

线x＝1；与y轴的交点在负半轴上；∴a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故说法①符合题意；当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故说法②符合题意；∵对称轴为直线x＝1，∴＝1，∴b＝﹣2a，把b＝﹣2a代入a﹣b+

c＞0得：3a+c＞0，故说法③符合题意；∵a+b≤m（am+b）（m为实数），∴a+b≤am2+bm，∴a+b+c≤am2+bm+c，3∵对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，函数值y取最小值，∴a+b+c≤

am2+bm+c成立，故说法④符合题意．∴正确的结论有：①、②、③、④，故选：D．3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a＜﹣c；④若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b．其中正确

的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①对称轴在y轴左侧，则ab同号，c＞0，故abc＞0，故错误；②对称轴为直线x＝﹣1，b＝2a，即2a﹣b＝0故正确；③x＝1时，y＝a+b+c＝3a+c＜0，即3a＜﹣c，故正确；④x＝﹣1时，y＝ax2+bx

+c＝a﹣b+c，为最大值，故a﹣b+c≥am2+bm+c，即a﹣bm≥am2+b，故错误；正确的结论的个数是②③．故选：C．4．小甬从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面四条信息：①abc＞0；②2a+3b＝0；③a﹣2b+c＞0；④c﹣4b＞0，其中结论正确的个数有（

）4A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线开口方向向上，∴a＞0，∵与y轴交点在x轴的下方，∴c＜0，∵﹣＝，∴b＜0，∴abc＞0，∴①是正确的；对称轴x＝﹣＝，∴3b＝﹣2a，∴2a+3b＝0，∴②是正确的；当x＝﹣1，y＝a﹣b+c＞0，∵b＜0

，∴﹣b＞0，∴a﹣2b+c＞0∴③是正确的；当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0，而点（2，c﹣4b）在第一象限，∴c﹣4b＞0，故④正确．故选：D．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称

轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（）5A．abc＞0B．4a+2b+c＞0C．a+c＞bD．b＝2a【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，对称轴为直线x＝﹣＝1，得

2a＝﹣b，∴a、b异号，即b＞0，即abc＜0，b＝﹣2a，A、D选项结论错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，故C选项结论错误；∵二次函数y＝ax2

+bx+c图象可知，当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故选项结论B正确；故选：B．6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．（a+c）2＞b2D．2a＝﹣n【解答】解：∵图象开口向下，与y轴交点在y

轴正半轴，∴a＜0，c＝n＞0，∵对称轴x＝﹣＝﹣，∴b＝a＜0，∴abc＞0，∴A错误；∵图象与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，∴B错误；6∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于

（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，∵b＝a，∴2a+c＝0，即c＝﹣2a，∴a+c＝a﹣2a＝﹣a，∴（a+c）2＝（﹣a）2＝a2＝b2，∴C错误；∵c＝n，c＝﹣2a，∴2a＝﹣n，∴D正确．故选：D．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①

abc＞0；②a+c＞b；③a+b+c＞0；④2a﹣b＞0；⑤9a﹣3b+c＜0．其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴﹣＜﹣1，∴b＞0，∴2a﹣b＜0，故④结论错误；抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，

∴abc＜0，故①结论错误；当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故②结论错误；当x＝1时，a+b+c＞0，故③结论正确；7当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＜0，故⑤结论正确．故正确的为③⑤，共2个．故选：D．8．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图

象如图所示，下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＝0；④b2＜4ac；⑤若m为任意实数，则a+b≥am2+bm．其中正确的是（）A．①②B．②④C．③⑤D．①⑤【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物

线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＜0．故①正确．②∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②错误；③∵抛物线

对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故③错误；④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故④错误；⑤∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为：a+b+c，8∴a

+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故⑤正确；故选：D．9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝﹣1，给出下列四个结论：①b2＜4ac；②b＝2a；③abc＞0；④3a+c

＞0．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①不正确；②如图所示，对称轴x＝﹣＝﹣1，则b＝2a，故②正确；③抛物线开口方

向向上，则a＞0，b＝2a＞0．抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，所以abc＜0，故③不正确；④当x＝1时对应的函数图象在x轴上方，即y＞0，∴a+b+c＞0，而b＝2a，∴3a+c＞0，故④正确；综上所述，正确的结论个数为

2个．故选：B．910．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（）A．二次函数的最大值为a﹣b+cB．a+b+c＞0C

．b2﹣4ac＞0D．2a+b＝0【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c的值最大，选项A不符合题意；抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此选项B不符合题意；抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故选项C不符合题

意；抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，因此有：x＝﹣1＝﹣，即2a﹣b＝0，因此选项D符合题意；故选：D．11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列四个结论中：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③abc＞0；

④5a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①由图示知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．故①错误；②由图示知，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0．故②错误；10③由图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．对称轴x＝﹣＜0，则b＜0．抛物线与y轴交

于正半轴，则c＞0，所以abc＞0．故③正确；④由图示知，当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0．当x＝1时，y＝a+b+c＜0，所以10a﹣2b+2c＜0，即5a﹣b+c＜0，故④正确．综上所述，正解的结论有：③④，共2个．故选：B．12

．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0B．4a+2b+c＞0C．c＞0D．﹣3＜＜0【解答】解：A、由开口向下得a＜0，故A不符合题意，B、由图判断（2，4a+2b+c）

在x轴下方，故4a+2b+c＜0，（如答图），故B符合题意，C、抛物线与y轴交点在y轴正半轴，c＞0，故C不符合题意，D、对称轴在y轴左侧，在（﹣3，0）右侧，故﹣3＜﹣＜0，D不符合题意；故选：B．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞

0；11③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤【解答】解：由图象可知，a＜0，c＝1，对称轴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，①∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+

c＜0，故正确；②∵当x＝﹣1时，y＞1，∴a﹣b+c＞1，故正确；③abc＝2a2＞0，故正确；④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，故正确；⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；∴①②③④⑤正确，故选：D．14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc

＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤1

2【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＜0．故①错误．②∵抛物线对称轴为直线x＝＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；③∵抛物

线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为：a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③错误；④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x＝﹣1

时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故④错误；⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+

b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：C．15．已知某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（）13①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③a＝﹣；④8a+c

＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，则abc＞0，故①错误，不符合题意；②函数的对称轴为x＝1，函数和x轴的一个交点是（3，0），则另外一个交点为（﹣1，0），

当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为x＝1＝﹣，即b＝﹣2a，故③正确，符合题意；④由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0正确，符合题意；故选：B．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下

列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②④【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x＝＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴ab

c＜0，故本选项错误；14②当x＝1时，函数值为2，∴a+b+c＝2；故本选项正确；③∵对称轴x＝＞﹣1，解得：＜a，∵b＞1，∴a＞，故本选项错误；④当x＝﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又a+b+c＝2，将a+c＝2﹣

b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是②④；故选：D．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③a﹣b+c＞1；④4a﹣2b+c＜0；

⑤a+1＜c．其中正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①由图象可得：a＜0，b＜0，c＝1＞0，∴abc＞0，故正确；15②∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故正确；③∵x＝﹣1时，y＞1，∴a﹣b+c＞1，故正确

；④∵对称轴为直线x＝﹣1，当x＝0时，y＝1，∴x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0；故错误⑤∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵a﹣b+c＞1，∴a﹣2a+c＞1，∴a+1＜c，故正确．故选：A．18．已知某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如

图所示，下列结论中正确的有（）①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③a＝﹣；④8a+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，则abc＞0，故①错误；②函数的对称

轴为x＝1，函数和x轴的一个交点是（3，0），则另外一个交点为（﹣1，0），当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误；③函数的对称轴为x＝﹣＝1，即a＝﹣b，故③错误；④由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0，故④正确

；故选：A．19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x116≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（）A

．2B．3C．4D．5【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；∵抛物线与

x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以③错误；∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；∵ax12+bx1＝ax22+bx2

，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，∵b＝﹣2a

，∴x1+x2＝2，所以⑤正确．综上所述，正确的有①②④⑤共4个．17故选：C．二．填空题（共1小题）20．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①a

bc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号是①②．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∵对称轴在y轴的右侧，a，b异号，∴b＞0，∴①abc＜0，正确；∵﹣＜1，∴b＜﹣2a，∴②a＜b＜﹣2a正确；由于抛

物线的顶点纵坐标大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③错误，由题意知，a+b+c＝2，（1）a﹣b+c＜0，（2）4a+2b+c＜0，（3）把（1）代入（3）得到：4a+b+2﹣a＜0，则a＜．由（1）代入（2）得到：b＞1．则a＜﹣1．故

④错误．综上所述，正确的结论是①②．故答案为①②．