【文档说明】《九年级数学下册基础过关演练讲义（北师大版）》专题06 二次函数最小值问题（解析版）.doc，共(24)页，621.786 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-eae9e82bad91a3c486e990ea7598fc81.html

以下为本文档部分文字说明：

1六、二次函数最小值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析：（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P

、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：知识导航mBAP'PPmABmABmABPmABA'nmABnmABQPnmABB'2（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,

n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点

P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧：mBAmABmABB'PP'QPnmABP'Q

'QPnmABB'A'nmABmnABEDmnABA'B'mnAPQmnAA"A'3解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’1．如图，已知抛

物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+P

C的最小值；【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，解得，∴y＝﹣x2+3x+4．（2）设BC的解析式为y＝kx+b，求最小值4∵B（4，0），C（0，4），∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．（3）如图

1中，由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，连接BC交直线x＝于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，此时P（，）．2．如图，点A在抛物线y＝﹣x2+6x上，且横坐标为1，点B与点A关于

抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（2，2）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任一点，过P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时

，求PH+HF+FO的最小值；5【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣x2+6x＝5，则A（1，5），∴点B与点A关于抛物线对称轴对称，∵当y＝5，代入y＝﹣x2+6x得5＝﹣x2+6x，解得：x1＝5，x2＝1，则B（5，5），∴AB＝5﹣1＝4，即线段AB的长为4；（2）如图1，过P作PF

∥y轴，交EB于点F，∵E（2，2），（5，5），∴则直线EB的解析式为y＝x，设点P的坐标为（m，﹣m2+6m），则PF＝﹣m2+6m﹣m＝﹣m2+5m，6S△PBE＝S△EFP+S△PBF＝＝＝，故点P的坐标为（﹣，），此时△PBE的面积最大，则此时点H（﹣，5），则PH＝为定长，则HF+FQ

最小时，PH+HF+FO就最小，如图2，过O与y轴夹角60°的直线ON，过H作HG⊥ON于点G，则FG＝FO，则HF+OF的最小时为HG，∴∠FOG＝60°，∠FGO＝∠HTO＝90°，∴∠OFG＝∠TFH＝30°，则

FH＝5，则TF＝FHcos30°＝，∴OF＝5﹣，在Rt△HTF中，HT＝，∠TFH＝30°，∵，∴，7∴PH+HF+FO的最小值为+5；3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A（3，﹣3），F（1，）是该抛物线对称轴上的一个定点，过y轴上的点B（0，）作y轴的垂线l．

（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M．求证：点P在线段FM的垂直平分线上；（3）点E为线段OA的中点，在抛物线上是否存在点Q，使△QEF周长最小？若存在，求点Q的坐标和△QEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．【

解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A（3，﹣3），∴c＝0，9a+3b＝﹣3，∵对称轴为：直线x＝1，∴，∴b＝﹣2a，∴a＝﹣1，b＝2，∴抛物线y＝﹣x2+2x，（2）设P（m，﹣m2+2m），∴PM2＝（m2﹣2m+）2＝（m﹣1）4

+（m﹣1）2+，PF2＝（m﹣1）2+（m2﹣2m+）2，＝（m﹣1）2+（m﹣1）4﹣（m﹣1）2+8＝（m﹣1）4+（m﹣1）2+，∴PM2＝PF2，∴PM＝PF，∴点P在MF的垂直平分线上，（3）如图，E（），EF＝，作QN⊥l于N，由（2）知：Q

N＝QF，∴要想△QEF的周长最小，只要使EQ+QN最小，作EN'⊥l于N'，交抛物线于Q'，∵EQ+QN≥EN'，∴E、Q、N三点共线时，EQ+QN最小，此时EN'＝，Q（，）∴△QEF周长的最小值为

，此时Q（，）．4．如图1，二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M9是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点

，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且AO：BN＝1：7．（1）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使2GH+BH的值最小，求

点H的坐标和2GH+BH的最小值；【解答】解：（1）由题可知C（2，﹣1），∵A（0，1）在直线y＝kx+b上，∴b＝1，∴y＝kx+1，∴M（﹣，0），∵AO：BN＝1：7∴OM：ON＝1：7，设B（m，km+1）

，∴：（m+）＝1：7，∴km＝6，∵y＝x2﹣2x+1与y＝kx+b（k≠0）交于A，B，∴x2﹣2x+1＝kx+1，∴x（x﹣2﹣k）＝0，∴x＝0或x＝4+2k，∴m＝4+2k，∴k＝1或k＝﹣3，10∵点B在第一象限内，∴k＝1，∴AB解析式为y＝x+1，∴B（6，7）

，设BC的直线解析式为y＝k1x+b1，则有，解得，∴直线BC解析式为y＝2x﹣5，设点P（k，+1），∴D（，k+1），∴PE＝k+1，PD＝3﹣k，∵∠DPF固定不变，∴PF：PD的值固定，∴PE×PF

最大时，PE×PD也最大，∴PE×PD＝（k+1）（3﹣k）＝﹣k2+k+3，∴当k＝时，PE×PD最大，即：PE×PF最大，此时G（5，），∵△MNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，∴BH＝B1H，GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，∴

当GH和HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小，此时H（5，6），GH+BH最小值为7﹣＝，所以2GH+BH最小值为7；5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x

轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的11最小值；【解答】解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，∵OC＝2OA＝4，故点C的坐标为（0，4），将点A、B、C的坐标代入抛物线

表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+4；（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，1

2理由：由函数的对称性知，AF＝BF，则AF+FC＝BF+FC＝BC为最小，当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，故点F（1，3），由点B、C的坐标知，OB＝OC＝4，则BC＝BO＝4，即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为4；6．已知二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A，B两

点（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线l，顶点为M，点P为直线l上一动点．（1）抛物线上的一点N为点C关于直线l的对称点，直线BN交y轴于点E，交直线l于点K，试在x轴上找一点Q，使得C，E，

Q，P四点围成的四边形周长最小，求出点P，Q的坐标以及这个周长的最小值；（2）通过初中的学习，我们把点到直线上所有点的连线段中最短的垂线段的长度称为点到直线的距离．一般而言，我们通常把点到一个图形上所

有点的连线段中最短的一条的长度定义为这个点到这个图形的距离．①求顶点M到直线BN的距离h；②请找出直线l上所有到直线BN的距离等于h的点坐标；③动点P到此抛物线的距离为3，求出符合条件的所有点P的坐标．【解答】解：（1）∵y＝

x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴对称轴l为x＝﹣1，M（﹣1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，得：C（0，﹣3），当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，得：A（﹣3，0），B（1，0），∴点C关于直线l的对称点N为（﹣2，

﹣3），由B（1，0），N（﹣2，﹣3），得：直线BN的解析式为：y＝x﹣1，∴E（0，﹣1），13∴CE＝2，作点E关于x轴的对称点F（0，1），连接NF，交x轴于点Q，交直线l于点P，即为所求P、Q两点．由点N（

﹣2，﹣3），F（0，1），得：直线NF的解析式为：y＝2x+1，NF＝2．当y＝0时，x＝，得点Q（，0），当x＝﹣1时，y＝﹣1，得点P（﹣1，﹣1），∴C四边形PQEC＝PQ+QE+EC+CF＝PQ+QF+NP+EC＝NF+CE＝2

+2．（2）①对直线BN：y＝x﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣2，∴K（﹣1，﹣2），∵M（﹣1，﹣4），N（﹣2，﹣3），∴MK＝2，MN＝，NK＝．∴MN2+NK2＝MK2，∴MN⊥NK，∴点M到直线BN的距离h＝MN＝．②由①得：∠NKM＝4

5°，设到直线BN的距离为的点为I，则：∠IKN＝45°或∠IKB＝45°，∴IK＝2，∵K（﹣1，﹣2），∴点I的坐标为（﹣1，﹣4），（﹣1，0）．③根据题意可以理解为：以点P为圆心，半径为3的动圆与抛物线相切时，点P即为所求．当动圆P

在点M下方时，P（﹣1，﹣7），当动圆P在点M上方时，设P（﹣1，m），切点M（n，（n+1）2﹣4），∴PM2＝（n+1）2+[（n+1）2﹣4﹣m]2令y＝（n+1）2，则：PM2＝y+（y﹣4﹣m）2＝y2+（﹣2m﹣7）y+（m+

4）2，∵相切时，PM最小，为3，∴PM2的最小值为9，∴，14解得：m＝，∴P（﹣1，），综上所述：P（﹣1，﹣7），（﹣1，）．7．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（﹣3，0），与y轴交于点

C（0，3），点D为抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点．15（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E在x轴上，且∠ECA＝∠CAD，求点E的坐标；（3）如图2，点P为线段AC上方的抛物线上任一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与

AC交于点M．①求△APC的面积最大时点P的坐标；②在①的条件下，若点N为y轴上一动点，求HN+CN的最小值．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①当点E在点A的左侧时，如图1，由抛物线的表达式知，点D的坐标为（﹣1，4），延长AD交y轴于点H

，过点H作HN交AC的延长线于点N，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为y＝2（x+3），故点H的坐标为（0，6），则CH＝6﹣3＝3，由点A、C的坐标知，∠ACO＝45°＝∠HCN，AC＝3，在Rt△CHN中，NH＝CN＝CH＝，16在Rt△AHN中，tan∠HAN＝tan∠D

AC＝＝＝，∴tan∠ECA＝tan∠CAD＝，过点E作EK⊥CA交CA的延长线于点K，在Rt△AEK中，∠EAK＝∠CAO＝45°，故设AK＝EK＝x，则AE＝x，在Rt△CEK中，tan∠ECA＝＝，解得x＝，故AE＝x＝3，则点E的坐标为（﹣6，0）；②当点E（E′）的点A的右

侧时，∵∠ECA＝∠CAD，则直线CE′∥AD，则直线CE′的表达式为y＝2x+r，而直线CE′过点C，故r＝3，故直线CE′的表达式为y＝2x+3，令y＝0，则x＝﹣，故点E′的坐标为（﹣，0）；综上，点E的坐标为（﹣6，0）或（﹣，0）；（3）设点P的坐标为（x

，﹣x2﹣2x+3），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝x+3，则点M（x，x+3），则△APC的面积＝×OA×PM＝×3×（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）＝（﹣x2﹣3x），∵﹣＜0，故△APC的面积有最大值，当x＝﹣时，点P的坐

标为（﹣，），则点H（﹣，0），在x轴上取点G（3，0），则OG＝OC，连接CG，17则∠GCO＝45°，过点H作HR⊥CG于点R，交CO于点N，则点N为所求点，理由：HN+CN＝HN+CNsin∠GCO＝HN+NR＝HR为最小值，∵∠CGO＝45°，故△HRG为等腰直角三角形，

则HR＝HG＝（3+）＝，即HN+CN的最小值为．8．如图1．抛物线与x轴交于A、B两点．交y轴于点C（0，8），点B（6，0），连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）P（﹣4，m）为抛物线上一点，点Q为y轴上一点，点M在x轴上，求PQ+QM+BM的最小值；【解答】解：（1）点C（0，8）

，点B（6，0）代入，得：18，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝．（2）当x＝﹣4时，y＝，∴P（﹣4，），过点M作MH⊥BC与点H，如图，由C（0，8），B（6，0）得：OC＝8，OB＝6，直线BC的解析式

为：y＝，∴BC＝10，∵MH⊥BC，OC⊥OB，∴∠BOC＝∠BHM＝90°，∴sin∠MHB＝sin∠CBO，∴，∴，∴BM＝MH，故PQ+QM+BM＝PQ+QM+MH，过点P作PH垂直BC于点H，则PH的长度即为PQ+QM+BM的最小值，∵PH⊥BC

，且直线BC的解析式为：y＝，∴设直线PH的解析式为：y＝，把点P（﹣4，）代入，得：，解得：m＝，∴直线PH的解析式为：y＝，由，解得：，∴H（4，），19∴PH＝，∴PQ+QM+BM的最小值为10．9．如图1，在平面直角坐标系xO

y中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值

；【解答】解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2

+4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）；（2）如图1，将点沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，20∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP

′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝＝＝，∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝B

C′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为+1；10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．（1

）求抛物线的解析式；（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求BE′+AE′的最小值；21【解答】解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，∴b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3，（

2）在OE上取一点D，使得OD＝OE，连接DE'，BD，∵，对称轴x＝﹣1，∴E（﹣1，0），OE＝1，∴OE'＝OE＝1，OA＝3，∴，又∵∠DOE'＝∠E'OA，△DOE'∽△E'OA，∴，22∴

，当B，E'，D三点共线时，BE′+DE′最小为BD，BD＝＝，∴的最小值为；11．如图，抛物线y＝﹣x2+x+与坐标轴分别交于A，B，C三点，D是抛物线的顶点，连接BC，BD；（1）求点D的坐标及直线BC的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一

点，E为BD上一动点，当△PBC面积为时，求点P的坐标，并求出此时PE+BE的最小值；【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+x+上，当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），当x＝0时，

y＝．∴点C的坐标为（0，），设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（0，），B（3，0）代入得，23解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，∴点D的坐标为（1，2）；（2）设点P坐标为（m，﹣m2+m+），过点P作PM∥y轴，交BC于点M，连接P

C，PB，如图：∴点M的坐标为（m，﹣m+），∴S△PBC＝S△PMC+S△PMB＝PM×（xB﹣xC），PM＝﹣m2+m+﹣（﹣m+）＝﹣m2+，∴S△PBC＝×（﹣m2+）×（3﹣0）＝﹣m2+m＝，解得：m＝，﹣m2+m+＝，∴点P的坐标（，），由B、D的坐标可知，tan∠DBO＝＝1

，∴∠DBO＝45°，过点E作EN⊥x轴于点N，∴EN＝BE，∴PE+BE＝PE+EN，24当P、E、N三点共线且垂直于x轴时，PE+BE值最小，∴PE+BE＝PE+EN＝；