【文档说明】《九年级数学下册基础过关演练讲义（北师大版）》专题02 确定二次函数的表达式（解析版）.doc，共(14)页，277.983 KB，由管理员店铺上传

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1二、确定二次函数的表达式知识点1二次函数的解析式的常见形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）。（2）顶点式：y=a（x-h）2

+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）。（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该

形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）。知识点2待定系数法求二次函数的解析式在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物

线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．1．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物

线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2xB．y＝﹣x2+2xC．y＝x2﹣2xD．y＝x2+2x【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），∴，解

得，∴该抛物线的解析式为y＝．故选：D．2．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．一般式求表达式知识导航2（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标

；（2）如图，连接PB，PO，PC，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入函数解析式，可得，解得：，∴y＝﹣x2﹣2x+3

，又∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；（2）如图，过点D作DM⊥y轴，由y＝﹣x2﹣2x+3，当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，可得：，3解得：，∴直线BC的解

析式为y＝x+3，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴，，又∵DM⊥y轴，∴DM∥OB，∴，∴，解得：OM＝2，在y＝x+3中，当y＝2时，x＝﹣1，∴D点坐标为（﹣1，2）．3．如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于AB两点，点A在y轴上，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上存在一点P，使得△PBO的面积是△ABO面积的两倍，求P点的坐标以及△ABP的面积．【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，∴A（0，4），B（4

，0），将A（0，4），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，4可得，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）设P点坐标为（x，﹣x2+x+4），∵△PBO的面积是△ABO面积的两倍，∴×4×丨﹣x2+x+4丨＝2××4×4，解得：x1＝6，x2＝﹣4，又∵点P位于第三象限，∴x＝

6舍去，当x＝﹣4时，y＝﹣x2+x+4＝﹣8，∴P点坐标为（﹣4，﹣8），设直线PB的解析式为y＝kx+b1，将P（﹣4，﹣8），B（4，0）代入，可得，解得：，∴直线PB的解析式为y＝x﹣4，在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴直线PB与y轴交于点（0，﹣4），如图，过点P

作PM⊥y轴，连接PB交y轴于点N，连接AP，∴△ABP的面积＝AN•（PM+OB）＝×8×8＝32．54．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣5恰好经过A（2，﹣9），B（4，﹣5），C（4，﹣1

3）三点中的两点．（1）求该抛物线解析式；（2）对于这个函数，若自变量x的值增加5时，对应的函数值y增大，求满足条件的x的取值范围．【解答】解：（1）当抛物线经过点A、B时，将A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入y＝ax2+bx﹣5，得：，解得，∴此时抛物线解析

式为：y＝x2﹣4x﹣5，当抛物线经过点A、C时，将A（2，﹣9），C（4，﹣13）代入y＝ax2+bx﹣5，得：，解得，此时不符合条件，当抛物线经过点B、C时，将B（4，﹣5），C（4，﹣13）代入代入y＝ax

2+bx﹣5，得：，此时方程无解，综上所述，抛物线解析式为：y＝x2﹣4x﹣5．（2）由题意得：（x+5）2﹣4（x+5）﹣5＞x2﹣4x﹣5，解得x＞，∴满足条件的x的取值范围为：x＞．5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点

A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3），连接AC．（1）求二次函数的表达式；（2）点P是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上位于第一象限内的一点，过点P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，若PQ

＝AC，求点P的坐标．6【解答】解：（1）把A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3），代入二次函数y＝ax2+bx+c中，得，解得，二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P，A分别作y轴得平行线与直线BC交于点M，N．如图

1.易证△ACN∽△PQM，则，直线BC得解析式为y＝3﹣x，则N（﹣1，4），由AN＝4，得PM＝2，设P点得横坐标为a，则M（a，3﹣a），P（a，﹣a2+2a+3），得PM＝﹣a2+2a+3﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，令，﹣a2+3a＝2，解得a＝1或a＝2，故P为（1，4）或（2

，3）．71．将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣2B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x﹣2）2﹣3【解答】解：y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，所以，y＝（

x﹣1）2﹣3．故选：B．2．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3【解答】解：从图象可知：二

次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，顶点式求表达式8故选：B．3．一

个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）A．y＝﹣2（x+2）2+4B．y＝2（x+2）2﹣4C．y＝﹣2（x﹣2）2+4D．y＝2（x﹣2）2﹣4【解答】解：

设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4，将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2，故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．故选：C．4．把二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方化为y＝a（x﹣h）2+k形式是（

）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4B．y＝﹣（x+1）2+4C．y＝﹣（x﹣1）2+3D．y＝﹣（x+1）2﹣3【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1）+3+1＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣（x+1）2+4．故选：B．5．如图，抛物线与直线交于点

A（﹣4，﹣1）和点B（﹣2，3），抛物线顶点为A，直线与y轴交于点C．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若y轴上存在点P使△PAB的面积为9，求点P的坐标．9【解答】解：（1）由抛物线的顶点A（﹣4，﹣1）设二次函数为y＝a（x+4）2﹣1，将B（﹣2，3）代入得

，3＝a（﹣2+4）2﹣1，解得a＝1，∴二次函数为y＝（x+4）2﹣1（或y＝x2+8x+15），设一次函数的解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，﹣1）和B（﹣2，3）代入得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+7；（2）由直线y＝2x+7可知C（0，7），设P（0

，n），∴PC＝|n﹣7|，∴S△PAB＝S△PAC﹣S△BPC＝（4﹣2）•|n﹣7|＝9，∴|n﹣7|＝9，∴n＝﹣2或16，∴P（0，﹣2）或P（0，16）．6．如图是某个二次函数的图象．（1）求该二次函数关系式；（2

）补全函数图象；（3）若抛物线上点P（m，n）到y轴的距离不大于2，请根据图象直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）根据图象知，抛物线的顶点坐标为（1,4），10∴设二次函数关系式为y＝a(x﹣1)²+4，又∵函数图象过（3,0），∴0＝4a+4

，解得a＝﹣1，∴函数解析式为：y＝﹣(x﹣1)²+4；（2）由（1）函数解析式知，函数与y轴的交点为（0,3），函数与x轴的另一交点为（﹣1,0），∴图象补全如右图所示；（3）由图知，当x＝1时函数有最大值为4，∴n≤4

，当x＝﹣2时P（m，n）到y轴的距离等于2，此时n有最小值，n＝﹣(﹣2﹣1)²+4＝﹣5，综上所述，n的取值为﹣5≤n≤4．7．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（﹣1，4），与x轴交于A，B

两点，与y轴交于点C（0，3），如图．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；11【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（﹣1，4），∴设函数表达式为y＝a（x+1）2+4

∵图象过点C（0，3），∴当x＝0时，y＝3，∴3＝a（0+1）2+4，解得，a＝﹣1，∴函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；（2）﹣x2﹣2x+3＝0，x1＝﹣3，x2＝1，∴

点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），∵A、B关于对称轴x＝﹣1对称，点M在对称轴x＝﹣1上，∴MA＝MB，∴△BCM的周长＝BC+CM+BM＝BC+CM+AM，当A、M、C在同一直线上时，△BCM

的周长最小，设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，则，解得，，∴直线AC的函数解析式为y＝x+3，∵点M的横坐标为x＝﹣1，所以点M的坐标为（﹣1，2）；1．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）

三点．交点式求表达式12（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）设该抛物线解析式为y＝

a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a＝，∴y＝﹣（x﹣4）（x﹣1）＝﹣x2+x﹣2，故该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线

AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：，解得，∴直线AC：y＝x﹣2，13设点D坐标为（x，﹣x2+x﹣2），则点E坐标为（x，x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE＝×DE×xE+×DE×（xA﹣xE）＝

×DE×xA＝×DE×4＝2DE，∵DE＝（﹣x2+x﹣2）﹣（x﹣2）＝﹣x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y＝﹣x2+x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．2．如图

，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求此二次函数的表达式；（2）求△CDB的面积．【解答】解：（1）设解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即y＝a（x+1）

（x﹣3）．把点C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3．a＝﹣1．故该抛物线解析式是y＝﹣（x+1）（x﹣3）或y＝﹣x2+2x+3．（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，顶点坐标D为（1，4）．∵B（3，0），C（0，3），∴BC2＝18，BD2＝（3﹣1）2+（0﹣

4）2＝20，CD2＝（0﹣1）2+（3﹣4）2＝2，∴BD2＝BC2+CD2．∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°．14∴S△BCD＝CD•BC＝××3＝3，即△CDB的面积是3．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A（1，0）

，B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求此二次函数表达式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝ax2﹣4ax+3a，故3a＝

3，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）抛物线的对称轴为x＝2，当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝﹣1，点C（0，3），故点D（2，﹣1），由点B、C、D的坐标得，BC2＝32+32＝18，同理BD2＝2，CD2＝20，故C

D2＝CB2+BD2，故△BCD为直角三角形．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布