【文档说明】《九年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）》专题02 解一元二次方程（知识点串讲）（解析版）.doc，共(17)页，684.129 KB，由管理员店铺上传

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1专题02解一元二次方程重点突破解法一：配方法（最基础的解法）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”用配方法解一元二次方程20(0)axbxca++=的一般步骤:1)移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；2)二次项系数化为1：方程两边都除以二次

项系数；3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为2()(0)xmnn+=的形式；【注意】：当0n时，方程无解4)求解：判断右边等式符号，开平方并求解。解法二：直接开平方法（最基础的解法）概念：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一

次方程得到原方程的解。【注意】1)若b0，方程有两个实数根。（若b0，方程有两个不相等的实数根；若b0，方程有两个相等的实数根）2)若b<0，方程无解。解法三：公式法（常用解法）一元二次方程20(0)

axbxca++=根的判别式：24bac=−（考点）1）0方程有两个不相等的实根:242bbacxa−−=（240bac−）2）0=方程有两个相等的实根3）0方程无实根用公式法解一元二次方程20(0)axbxca++=

的一般步骤：1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;23）如果b2-4ac≥0,将a、b、c的值代入求根公式：242bbacxa−−=4）最后求出

x1，x2解法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）用因式分解一元二次方程20(0)axbxca++=的一般步骤：1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；3）令每个因式分别为零，

得到两个一元一次方程；4）求解归纳：右化零，左分解，两因式，各求解方法五：韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是1x和2x，则1x和2x与方程的系数a，b，c之间有如下关系：1x+2x＝ba−；1x

•2x＝ca考查题型考查题型一利用配方法解一元二次方程典例1．（2020·扬州市期末）用配方法解方程2890xx++=，变形后的结果正确的是()A．()249x+=−B．()247x+=−C．()2425x+=D．()247x+=【答案】D【提示】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项

系数一半的平方，配方后进行判断即可.3【详解】2890xx++=，289xx+=−，2228494xx++=−+，所以()247x+=，故选D.【名师点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关

键.变式1-1．（2019·南阳市期中）用配方法解方程x2﹣23x﹣1＝0时，应将其变形为()A．(x﹣13)2＝89B．(x+13)2＝109C．(x﹣23)2＝0D．(x﹣13)2＝109【答案】D【解析】∵x2﹣23x﹣1=0，∴x2

﹣23x=1，∴x2﹣23x+19=1+19，∴（x﹣13）2=109．选D．名师点拨：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用

配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．变式1-2．（2019·芜湖市期中）用配方法解方程x2+3x+1＝0，经过配方，得到（）A．（x+32）2＝134B．（x+

32）2＝54C．（x+3）2＝10D．（x+3）2＝8【答案】B【提示】把常数项1移项后，在左右两边同时加上一次项系数3的一半的平方，由此即可求得答案.【详解】∵x2+3x+1＝0，4∴x2+3x＝﹣1，∴x2+3x+(32)2＝﹣1+(32)2，即(x+32)2＝54，故选B

．【名师点拨】本题考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)

形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．变式1-3．（2020·包头市期中）用配方法解方程2210xx−−=，变形结果正确的是（）A．213()24x−=B．213()44x−=C．2117()416x−=D．21

9()416x−=【答案】D【提示】将原方程二次项系数化为１后用配方法变形可得结果．【详解】根据配方法的定义,将方程2210xx−−=的二次项系数化为1,得：211022xx−−=，配方得21111216216xx−+=+，即:219()416x−=．本题正确答案为Ｄ．【名师点拨

】本题主要考查用配方法解一元二次方程．变式1-4．（2020阿克苏市期中）用配方法解一元二次方程2x2-4x-2=1的过程中，变形正确的是（）A．2（x-1）2=1B．2（x-1）2=5C．（x-1）2=52D

．（x-2）2=52【答案】C【提示】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，然后根据等式的性质，方程两边都除以2，将二次项系数化为1，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方1，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.5【

详解】2x2-4x-2=1，2x2-4x=3，x2-2x=32，x2-2x+1=32+1，()2512x−=，故选C.【名师点拨】本题考查了配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.考查题型二利用直接开平方法解一元二次方程典

例2．（2020·丹江口市期末）方程（x+1）2＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根【答案】B【提示】根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.【详解】(x+1)2＝0,解:

x+1=0,所以x1＝x2＝﹣1,故选B.【名师点拨】本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.变式2-1．（2018·济南市期末）方程2(2)9x−=的解是（）A．1251xx==−，B．1251xx=−

=，C．12117xx==−，D．12117xx=−=，【答案】A【详解】()229x−＝，故x－2＝3或x－2＝－3，解得：x1＝5，x2＝－1，故答案选A.【名师点拨】6本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难度不大.变式

2-2．（2020·沈阳市期末）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将两边开平方，得，则则另一个一元一次方程是。故选D

。变式2-3．（2019·无锡市期中）解方程22(5x1)(2x3)−=+的最适当方法应是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法【答案】A【提示】把方程22(51)(23)xx−=+，两边开方得到()5123xx−=+，然后解两个一元一次方程即可．【详解】方程22(51

)(23)xx−=+的最适当方法应是直接开平方法．故选:A.【名师点拨】考查一元二次方程的解法，观察方程选择合适的方法是解题的关键.变式2-4．（2019·青浦区期中）解方程：4(x+3)2=25(x-2)2【答案】x1＝163，x2＝47.【详解】解：4(x+3)2=25(x-

2)2，开方得：2(x+3)=±5(x-2)，解得：x1＝163，x2＝47【名师点拨】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．考查题型三利用公式法法解一元二次方程7典例3．（2018·三明市期中）x=

25543123−+是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1=0B．3x2﹣5x+1=0C．3x2﹣5x﹣1=0D．3x2+5x﹣1=0【答案】D【提示】根据一元二次方程的求根公式进行求解.【详解】一元二

次方程的求根公式是242bbcaa−−，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D.所以答案选D.【名师点拨】本题的解题关键是掌握一元二次方程求根公式.变式3-1．（2018·朝阳市期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a

、b、c的值．对于方程-4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a4=−，b5=，c3=B．a4=−，b5=−，c3=C．a4=，b5=，c3=D．a4=，b5=−，c3=−【答案】B【提示】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．【详解】∵-4x2+3=5

x∴-4x2-5x+3=0，或4x2+5x-3=0∴a=-4，b=-5，c=3或a=4，b=5，c=-3．故选B．【名师点拨】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．变式3-2．（2019·合肥市期末）若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，则这个方程

的两根为（）A．x1=1，x2=﹣1B．x1=x2=1C．x1=x2=﹣1D．不确定【答案】C8【提示】根据求出m的值，再把求得的m的值代回原方程，然后解一元二次方程即可求出方程的两个根.【详解】解：∵△=b2﹣4ac=0，∴4﹣4m=0，解得：m=1，∴原方程可化为：x2+2x+

1=0，∴（x+1）2=0，∴x1=x2=﹣1．故选C．【名师点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.变式3-3．（2018·济南市期中）

方程()()521xx−+=的解为（）A．5B．-2C．5和-2D．以上结论都不对【答案】D【解析】∵（x-5）（x+2）=1，∴x2-3x-11=0，∵a=1，b=-3，c=-11，∴x=394435322+=.故

选D.名师点拨：考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，当，注意△≥0时，242bbacxa−−=.变式3-4．（2019·遵义市期末）关于x的方程240xmx−−=的一个根是13x=，则它的另一个根2x是（）9A．3B．43C．43−D．53【答案】C【

提示】先将13x=代入方程240xmx−−=，求出m的值；再解一元二次方程组求出另一个根2x即可.【详解】解：将13x=代入方程240xmx−−=得：9340m−−=解得：53m=将53m=代入原方程：25403xx−−=方法一：解方程组，得：

13x=，243x=−方法二：根据根与系数的关系：12cxxa=g可知：12441xx−==−g∴234x=−243x=−故选C【名师点拨】本题为考查解一元二次方程的变式题，稍有难度，熟练掌握一元二次方

程求解的几种方法是解答本题的关键.考查题型四利用因式分解法解一元二次方程典例4．（2020·合肥市期末）一元二次方程()xx22x−=−的根是（）A．﹣1B．2C．1和2D．﹣1和2【答案】D【提示】先移项得到()()xx2x2

0−+−=，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可.【详解】10()xx22x−=−()()xx2x20−+−=()()x2x10−+=x20x10−=+=或12x2x1，==−,故选D.变式4-1．（2019·寻乌县期末）方程(2)0x

x+=的根是（）A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=-2D．x1=0，x2=2【答案】C【解析】试题解析：x（x+2）=0，⇒x=0或x+2=0，解得x1=0，x2=-2．故选C．变式4-2．（2020·天虹桥区期末）方程x2+x-12=0的两个根为（）A．x

1=-2，x2=6B．x1=-6，x2=2C．x1=-3，x2=4D．x1=-4，x2=3【答案】D【解析】试题提示：将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．x2+x﹣12=

（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．变式4-3．（2018·无锡市期末）用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）A．()()2x23x40−−=，∴22x0−=或3x40−=B．()()x3x11+−=，∴x30+=或x11−=C．

()()x2x323−−=，∴x22−=或x33−=D．()xx20+=，∴x20+=【答案】A11【解析】提示:用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对

，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．详解:用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．所以第一个正确．故选A．【名师

点拨】此题考查了学生对因式分解方法应用的条件的理解，提高了学生学以致用的能力．变式4-4．（2019·海口市期中）已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）A．13B．11或13C．11

D．12【答案】B【解析】试题解析：x2-8x+15=0，分解因式得：（x-3）（x-5）=0，可得x-3=0或x-5=0，解得：x1=3，x2=5，若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=13；若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为

3+3+5=11，综上，△ABC的周长为11或13．故选B.考查题型五利用换元法法解一元二次方程典例5（2020·威海市期中）已知()222226xyyx+−=+，则22xy+的值是（）A．－2B．3C．－2或3D．－2且3【答案】B【解析】试题提示：根据题意，先移项得()22

22260xyyx+−−−=，即()2222260xyxy（）+−+−=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0xyxy+++−=，由此解得22xy+=-2（舍去）或223xy+=.12故选B.名

师点拨：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.变式5-1．（2018·杭州市期末）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+

3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（）A．x1=1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3【答案】D【提示】将x1=1，x2=﹣3代入到方程中，对比前后的方程解的关系，即可列出新的方程.【

详解】将x1=1，x2=﹣3代入到x2+2x﹣3=0得12+2×1﹣3=0，（-3）2+2×（-3）﹣3=0对比方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，可得2x+3=1或﹣3解得：x1=﹣1，x2=﹣3故选D.【名师点拨】此题考查的是方程的解，掌握前后方程

解的关系是解决此题的关键.变式5-2．（2019·延津县期中）若实数x、y满足(3)()20xyxy+−++=，则x+y的值为（）A．-1或-2；B．-1或2；C．1或-2；D．1或2；【答案】D【解析】t=x+y，则由原方程，得t（t-3）+2=0，整理，得（t-1）（t-2）=0．解得t=1或

t=2，所以x+y的值为1或2．故选D．13考查题型六韦达定理典例6．（2019·沈阳市期末）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（）A．3B．1C．﹣1D．﹣3【答案】B【提示】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把

要求的式子进行整理，即可得出答案．【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，故选B．【名师点拨】本题考查了一元二次方程根与系

数的关系，牢记两根之和等于﹣ba、两根之积等于ca是解题的关键．变式6-1．（2019·长沙市期末）关于x的一元二次方程240xxm−+=的两实数根分别为1x、2x，且1235xx+=，则m的值为（）A．74B．75C．76D．0【答案】A【提示】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1

+x2=4，代入代数式计算即可．【详解】解：∵x1+x2=4，∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，∴x2=12，把x2=12代入x2-4x+m=0得：（12）2-4×12+m=0，解得：m=74，故

选：A．【名师点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：14x1+x2=-ba，x1•x2=ca是解题的关键．变式6-2．（2019·成都市期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（）A．

1B．﹣3C．3D．4【答案】C【提示】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣ba，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设方程的另一个解为x1，根据题意得：﹣1+x1=2，解得：x1=3，故选C．【名师点拨】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于

﹣ba、两根之积等于ca是解题的关键．变式6-3．（2019·石家庄市期中）若，是关于x的一元二次方程2x2xm0−+=的两实根，且1123+=−，则m等于（）A．2−B．3−C．2D．3【答案】B【提示】利用一元二次方程

根与系数的关系得到2+=，m=ab，再化简11++=，代入即可求解；【详解】解：，是关于x的一元二次方程2x2xm0−+=的两实根，∴2+=，m=ab，∵11223m++===−，15∴3m=−；故选B.【名师点拨】本题考查一元二次方

程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.变式6-4．（2018·青岛市期中）已知关于x的一元二次方程2210xmxm−+−=的两个实数根的平方和为7，那么m的值是（）A．5B．-1C．5或-1D．-5或

1【答案】B【提示】设方程的两个根为x1、x2，则x12+x22=7，根据方程根与系数的关系可知x1、x2的和与积，列出方程即可求出m的值.【详解】设方程的两个根为x1、x2，则x12+x22=7，∵x1、x2，是方程x2-

mx+2m-1=0的两个根，∴x1+x2=m，x1gx2=2m-1，∴（x1+x2）2=x12+x22+2x1gx2=m2，∴m2-2(2m-1)-7=0，解得：m=5或m=-1，∵方程2210xmxm−+−=有两个实数根，∴（-m）2-4（2m-1）=m2-8m+4≥0，解得m≥4+23或m≤

4-23．∴m=5舍去，m=-1，故选B.【名师点拨】本题考查一元二次方程判别式的性质及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和判别式的性质是解题关键.练一练1．选择适当方法解下列方程16（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2（

2）3x（x﹣1）＝2﹣2x【详解】(1)3x﹣1＝±(x﹣1),即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),所以x1＝0,x2＝12；(2)3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,(x﹣1)(3x+2)＝0,x﹣1＝0或3x+2＝0,所以x1＝1,x2＝﹣23．2．用适当的方法解下列方程．（1）3

x（x+3）＝2（x+3）（2）2x2﹣4x﹣3＝0．【详解】(1)3x(x＋3)＝2(x＋3)3x(x＋3)-2(x＋3)＝0(x＋3)(3x-2)＝03x-2＝0或x＋3＝0∴x1＝23，x2＝－3；(2)2x2－4x－3＝0a=

2，b=-4，c=-3，△=16+24=40＞0，4404210210442x===，∴x1＝1＋102，x2＝1－102.3．解方程：2x2﹣4x+1=0.(用配方法)【解析】172x2﹣4x+1=0，移项，得2x2﹣4x=－1，二次项系数化为1，得x2﹣2x

=－12，配方，得x2﹣2x+12=－12+12，即（x－1）2=12，解得，x－1=±22，即x1=1+22，x2=1－22.