【文档说明】《九年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）》专题03 一元二次方程与实际问题 （知识点串讲）（解析版）.doc，共(16)页，315.650 KB，由管理员店铺上传

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1专题03一元二次方程与实际问题（知识点串讲）重点突破列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列”指

列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解；“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。实际问

题的解题思路考查题型考查题型一传播问题典例1（2020·白城市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案

】（1）5；（2）180【提示】（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；2（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染

了x个人，根据题意得：x+1+（x+1）x＝36，解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【名师点拨】本题考查一元二次方程的应用，

解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.变式1-1．（2019·长春市）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几

个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了10个人;(2)过三轮后将有1331人受到感染．【提示】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有121人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取

其正值即可得出结论；（2）将x=10代入（x+1）3中即可求出结论．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：（x+1）2=121解得：x1=10，x2=﹣12（不合题意，应舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了1

0个人．（2）当x=10时，（x+1）3=（10+1）3=1331．答：经过三轮后将有1331人受到感染．【名师点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．变式1-2．（2019·开封市期中）某人参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，

问：共有3多少人参加了同学聚会？【答案】有10人参加了同学聚会．【提示】先设有x人参加聚会，根据每两人都握手一次手，所有人共握手45次，列出代数式，求出x的值，再根据x只能取正数，即可得出答案．【详解】解：有x人参加了同学聚会，根据题意得：12x（x﹣

1）＝45，解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去），答：有10人参加了同学聚会．【名师点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键，并且要根据实际情况选择合适的答案.考查题型

二增长率问题典例2（2019·枣庄市期中）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的

生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【提示】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（

2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5

%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），4答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【名师点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．变式2-1．（2020·扬州市期末）2016年，

某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入

是否能达到4200元？【答案】（1）该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．（2）2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．【提示】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该该

贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；（2）根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入＝2018年该贫困户的家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出2019年该贫困户的家庭年人

均纯收入，再与4200比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：2250013600x+（）＝，解得120.220%2.2xx：＝＝，＝﹣（舍去）．答：该贫困户20

16年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．（2）3600120%4320+（）＝（元），43204200＞．答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．【名师点拨】本题考

查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．变式2-2．（2020·益阳市期末）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得

的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.【答案】10%；3327.5万元.5【解析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万

元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用2016年的经费×（1+增长率）即可．试题解析：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）（1+x）万元．则250

0（1+x）（1+x）=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入

教育经费3327.5万元．考查题型三图形有关的问题典例3．（2020·益阳市期末）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为2200

cm？【答案】当剪去正方形的边长为52cm时，所得长方体盒子的侧面积为2200cm．【提示】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为(302)xcm−，宽为(202)xcm−，高为xcm，根据长方体盒子的侧面积为2200cm，即可得出关于x的一元

二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为(302)xcm−，宽为(202)xcm−，高为xcm，依题意，得：2[(302)(202)]200xxx−+−=，整理，得：2225500xx−+=，解得

：152x=，210x=，当10x=时，2020x−=，不合题意，舍去，6∴52x=，答：当剪去正方形的边长为52cm时，所得长方体盒子的侧面积为2200cm．【名师点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．变式3-1．（2020·襄阳市期末）校园

空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14

米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【提示】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB

的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，

解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)

2﹣4×1×85=﹣16＜0，7∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．变式3-2．（2018·沧州市期末）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为114

0m2，求小路的宽．【答案】2m．【提示】设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出小路的宽．【详解】设小路的宽为xm，依题意有（40﹣x）（32﹣x）=1140，整理

，得x2﹣72x+140=0．解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．答：小路的宽应是2m．【名师点拨】考核知识点：二元一次方程的运用.理解题意，列出方程是关键.考查题型四数字问题典例4．（2018·大连市期中）一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位

数，求这个两位数是多少？【答案】这个两位数是36或25.【提示】设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x-3)，由题意，得x2

=10(x-3)+x.解得x1=6，x2=5.8当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2.答：这个两位数是36或25.变式4-1（2019·唐山市期中）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）【答案】周瑜去世的年龄为36岁．【提示】设周瑜逝世时的年龄的个

位数字为x，则十位数字为x-3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．【详解】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为3x−．由题意得；2103xxx+=（﹣），解得：1256xx==，当5x=时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当6x=时，周瑜年龄为36岁，完全符

合题意．答：周瑜去世的年龄为36岁．【名师点拨】本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人30岁的年龄是关键．变式4-2．（2020·苏州市期末）一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方

和为45，求这个两位数.【答案】这个两位数为36或63.【提示】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和=45，把相关数值代入求得整数解即可．【详解】9设个位数字为x，则十位数字为9x−.()22945xx+−=得13x=，26x=∴这个两位数为36或63.【名师点拨】考查一元二次方程的

应用，用到的知识点为：两位数=10×十位数字+个位数字，解题的关键是能够表示这个两位数．巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2017春卫辉市期中）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己

不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有()A．9人B．10人C．11人D．12人【答案】B【解析】试题解析：设这个QQ群共有x人，依题意有x（x-1）=90，解得：x=

-9（舍去）或x=10，∴这个QQ群共有10人．故选B.2．（2018春季店乡期末）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人【答案】C【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：12x（x-1）=5

5，10化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为：C.3．（2018春永登县期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）A．50（1+x）2＝18

2B．50+50（1+x）2＝182C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182【答案】D【详解】依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2，∴50+50(1+x)

+50(1+x)2=182.故答案选D.4．（2018春富顺县期中）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下

调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）.A．8%B．9%C．10%D．11%【答案】C【解析】分析：设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．详解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得

6000（1-x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%．故选：C．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据

降低率问题的数量关系建立方程是关键．5．（2019春贵阳市期末）祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）11A．=930B．=930C．x（x+1）=930D．x（x

﹣1）=930【答案】D【解析】分析：可设全班有x名同学,则每人写(x-1)份留言,共写x(x-1)份留言,进而可列出方程即可.详解：设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，根据题意得：x（x﹣1）=930，故选：D．【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方

程,其中x(x-1)不能和握手问题那样除以2,另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性,即考虑解的取舍.6．（2019春浦东新区期中）微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在201

6年“元旦节”收到微信红包为300元，2018年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，根据题意可列方程为()A．300(1+2x)＝675B．300(1+x2)＝675C．300(1

+x)2＝675D．300+x2＝675【答案】C【详解】这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，由题意得：300(1+x)2＝675，故选C．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意，表示出

2017、2018年微信收到的红包是解题的关键.7．（2019春河东区期中）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边

长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=3212C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=32【答案】B【解析】分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2

x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．故选：B．

【名师点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2018春天山师中考）从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48㎡，则原来这块木板的面积是（）A．100㎡B．6

4㎡C．121㎡D．144㎡【答案】B【解析】设原来正方形木板的边长为xm，从一块正方形木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的仍然是一个长方形，此时这个长方形的长等于原来正方形木板的边长，宽等于正方形木板

的边长减去2m，根据剩下的长方形的面积是48m2，列出方程：x（x﹣2）=48，解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）。∴原来这块木板的面积是8×8=64（m2）。故选B。9．（2018春驻马店期末）某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建

设的投入，计划从2017年起到2019年累计投入4250万元，已知2017年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（）A．1500（1+x）2＝4250B．1500（1+2x）＝4250C．1500+1500x+1500x2＝4250D

．1500（1+x）+1500（1+x）2＝4250﹣1500【答案】D13【解析】解：设2017﹣2019年投入经费的年平均增长率为x，则2018年投入1500（1+x）万元，2019年投入1500（1+x）2万元，

根据题意得1500（1+x）+1500（1+x）2=4250﹣1500．故选D．名师点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）

2=b．10．（2018春滁州市期末）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关

于x的方程是()A．x2＋9x－8＝0B．x2－9x－8＝0C．x2－9x＋8＝0D．2x2－9x＋8＝0【答案】C【解析】【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（18﹣3x）（6﹣2x）=60，化简整理得

，x2﹣9x+8=0．故选C．二、填空题（共5小题）11．（2019春莱西市期中）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.【答案】16【解析】分析：首

先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．详解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．14故答案为：16．【名

师点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．12．（2019春嘉定区）某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么

该商品现在的价格是_____元（结果用含m的代数式表示）．【答案】100（1﹣m）2【解析】分析：现在的价格=第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）．详解：第一次降价后价格为100（1-m）元，第二次降价是

在第一次降价后完成的，所以应为100（1-m）（1-m）元，即100（1-m）2元．故答案为：100（1-m）2．【名师点睛】本题难度中等，考查根据实际问题情景列代数式．根据降低率问题的一般公式可得：某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m

，那么该商品现在的价格是100（1-m）2．13．（2019春宁河县期末）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________.【答案】11【详解】解：设参加酒会的人数为x人，根据题意得：12

x（x-1）=55，整理，得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（不合题意，舍去）．答：参加酒会的人数为11人．故答案为：11.【名师点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一

元二次方程是解题的关键．14．（2018春富顺县期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给__________个人.【答案】715【解析】试题分析：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，则根据题意可知：()2x164+=，解得：x=7或x=-9(舍去)，故

每轮传染中平均一个人传染给7个人．15．（2018春莱西市期末）为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为_____．【答案】x（x+40）=1200．【详解】由

题意可得，x（x+40）=1200，故答案是：x（x+40）=1200．【名师点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．三、解答题（共2小题）16．（2019·昆明市期中）有一人患了流感，经过两轮传

染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？【答案】10．【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，依题意得1+x+x（1+x）=121，∴x=10或x=﹣12（不合题意，舍去）．∴每轮传染中平均一个人传染了10个人．17．（2018春宁河县期中）某公司今年1月份的生

产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测

4月份该公司的生产成本为342.95万元．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，16解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：

预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．