【文档说明】《2023年高中数学学考复习名师精品课堂（人教A版2019，新教材地区）》07第七章 立体几何初步（原卷版）.docx，共(36)页，3.682 MB，由envi的店铺上传

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第七章立体几何初步7.1基本例题图形+7.2立体图形的直观图7.3简单几何体的表面积和体积7.4空间点、直线、平面的位置关系7.5空间直线、平面的平行7.6空间直线、平面的垂直7.7立体几何初步实战7.1基本例题图形+7.2立体图形的直观图知识回顾1、空间几何体的结构特征

（1）棱柱的定义定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点（2）棱锥的定义定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形

，由这些面所围成的多面体叫做棱锥底面：多边形面侧面：有公共顶点的各三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点（3）棱台的定义定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：

除上下底面以外的面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点（4）圆柱的定义以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于

轴的边（5）圆锥的定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：棱锥和圆锥统称为

锥体（6）圆台的定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：棱台和圆台统称为台体（7）球球

的表面积和体积（1）球的表面积：2=4SR（2）球的体积:343VR=2、直观图（1）空间几何体的直观图的绘制方法（1）画轴.在平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O,画直观图时，把它们分别画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O

,且使45xOy=”(或135o）,它们确定的平面表示水平面；（2）画底面.已知图形中，平行于x轴y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段；（3）画侧棱.已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不

变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；（4）成图.连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性

不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．高频考点1．（2022·全国·高三专题练习）以下四个命题中，真命题为（）A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B．底面是矩形的平行六面体是长方体C．直四棱柱是直平行六面体D．棱台的侧棱延长后必交于一点

2．（2022·安徽·合肥一中高一开学考试）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱3．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见

的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（）A．一个球B．一个球挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球挖去一个正方体4．（2022·福建省福州格致中学高一期末）如图，AOB是用斜二测画法画出的AO

B直观图，则AOB是（）A．锐角B．直角C．钝角D．无法判断5．（2022·辽宁营口·高二开学考试）如图，水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的ABCV，若2AC=，2AB=，则ABC的面积为（）A．22B．42C．8D．826．（2022·全国·高一课时练习）已知圆锥的轴截面

是边长为2cm的正三角形，圆锥的底面面积为______2cm.7．（2022·全国·高一课时练习）如图，一个矩形边长为1和2，绕它的长为2的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有

一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为______．8．（2022·四川·仁寿一中高二开学考试）已知△ABC的平面直观图ABCV是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为9．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）若水平放

置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中//,,2,4ACOBACBCACOB⊥==，则原四边形AOBC的面积为____________10．（2022·全国·高

一课时练习）如图，O为球心，1O为小圆的圆心，大圆O与小圆1O平行，已知球的半径r为5，14OO=，求小圆1O的半径1r．7.3简单几何体的表面积和体积知识回顾1、柱、锥、台、球的表面积和体积几何体表面积体积柱

体（棱柱，圆柱）=+2SSS表侧底VSh=椎体（棱锥，圆锥）=+SSS表侧底13VSh=台体（棱台，圆台）=++SSSS下表侧上1()3VSSSSh=++下下上上球2=4SR343VR=2、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体圆柱圆锥圆台图示侧面积公式=2Srl

侧=Srl侧=+Srrl侧（）高频考点1．（2022·天津河东·高二学业考试）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，如果AB=3，AC=1，AA1=2，那么直三棱柱ABC﹣A1B1C1的

体积为（）A．2B．3C．4D．62．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（）A．823B．43C．8D．123．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体

积为（）A．43B．43C．83D．834．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高21m，底宽34m，则塔身的表面积（精确到20.01)m是()（可能用到的参考数据：227729=，23411

56)=A．23674.52mB．22993.26mC．21837.26mD．21682.26m5．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）半径为2的球的表面积为___________.6．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）在棱长为2的正四面体ABCD−中，

M在线段BC上，满足2BMMC=,N在线段AD上，满足3ANND=，则四面体BDMN−的体积为_________________.7．（2022·天津红桥·高二学业考试）若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表

面积为______.8．（2022·湖北·高二学业考试）在三棱锥PABC−中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，2PA=，3PB=，3PC=，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．9．（2022·浙江·慈溪市三山高

级中学高二学业考试）宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北堍，建于清同治十一年（公元1872年）.光绪二十五（1899年）增建钟楼，整座建筑由教堂、钟楼、偏屋组成，造型具有典型罗马哥特式风格.其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体组成的几何体，且正四棱锥的侧棱长为10m，其底面边长与正方

体的棱长均为6m，则顶端部分的体积为__________.10．（2022·贵州·高二学业考试）已知长方体的三条棱长分别为1，2，6，则该长方体外接球的表面积为___．（结果用含的式子表示）11．（2022·浙江·诸暨市教育研究

中心高二学业考试）半正多面体亦称为“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，如图所示．这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个

面为正方形的“阿基米德多面体”花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为202cm，则此石凳的体积是________3cm．12．（2022·重庆·高一学业考试）已知一圆锥的侧面展开图是半径为23的半圆，则该圆锥的体积是_______．13．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）一个球被

平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为21(3)3VRHH=−，其中R为球的半径，H为球缺的高.北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”(如图1)深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现

了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能.它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体(如图2).已知该圆台的底面半径分别4和2，高为4，球缺所在球的半径为5，则该组合体的体积为_____.附：圆台体积公

式1()3VSSSSh=++下下上上，其中,SS下上分别表示圆台上下底面面积，h为圆台高.14．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P—ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P

—ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______．7.4空间点、直线、平面的位置关系知识回顾1、与平面有关的三个基本事实（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面数学语言：A,B,C三点不共线有且只有一个平面,使A

,B,B.（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内数学语言：Al,Bl,且A,Bl（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线数学语言：P,且Pl=,且Pl

2、基本事实1的三个推论推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.3、空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与

平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言图形语言abA=aA=l=独有关系图形语言图形语言a与b是异面直线a高频考点1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）,ab是空间中两条不同的直线，“,ab是异面直线”是“,ab没有公共点

”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，直线BC与平面11AAC的位置关系为（）A．直线在平面内B．直线与平面相交但不垂直C．直线与平面相交且垂

直D．直线与平面平行3．（2022·广西·高二学业考试）如图，正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别是1111,BCDC的中点，则下列结论正解的是（）A．EFBD⊥B．EFBD∥C．EF与BD相交D．EF与11BD相交4．（2022·北京·高三学业考试）设m，n

是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）A．若,mn∥∥，则mn∥B．若,mn⊥⊥，则mn∥C．若,mm∥∥，则∥D．若,mm∥，则∥5．（2022·浙江·高二学业考试）已知，，是三个不同的平面，m=

，n=.则下列命题成立的是（）A．若//mn，则//B．若//，则//mnC．若mn⊥，则⊥D．若⊥，则mn⊥6．（2022·天津南开·高二学业考试）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为线段11AC的中

点，则异面直线DE与1BC所成角的大小为（）A．3B．4C．6D．127．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（）①⊥，⊥，则//

；②⊥，n=，mn⊥，则m⊥；③m⊥，n⊥，mn⊥，则⊥；④⊥，⊥，m=，则m⊥．A．①③B．②③C．②④D．③④8．（2022·贵州·高二学业考试）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，直线1AB与1DC的位置关系是（

）A．相交B．平行C．异面不垂直D．异面垂直9．（2022·湖南娄底·高二学业考试）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，若11AA=，12ABAC==，112BC=，则异面直线1AC与11BC所成的角的余弦值为（）A．12B．36C．66D

．32810．（2022·浙江·高三学业考试）在长方体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线AB与1AC所成角的大小为π3，则该长方体的表面积与体积的比值是（）A．424+B．423+C．422+D．42+11．（2022·全国·高一课时练习）下图中的两个

相交平面，其中画法正确的是______．12．（2022·福建·福州金山中学高一期末）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为___________.13．（2022·全国·高一课时

练习）已知P，Q，R，S是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）14．（2022·全国·高一专题练习）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，H分别为棱C1D1，C1C，DD1的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直

线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④∠DAH＝∠CBN.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).7.5空间直线、平面的平行知识回顾1、直线与平面平行（1）直线与平面平行的定义直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行.（2）直线与平面平

行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述：abaab（3）直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a，a，b=ab2

、平面与平面平行（1）平面与平面平行的定义两个平面没有公共点（2）平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号表述：////,//,

=baPbaba（3）平面与平面平行的性质定理性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言////aabb==性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与

另一平面符号语言：,aa高频考点1．（2022·浙江·高三学业考试）a、b、l是直线，是平面，则下列说法正确的是（）A．l平行于内的无数条直线，则//lB．a不在面，则//aC．若//ab，b，则//aD．若//ab，b，则a平行

于内的无数条直线2．（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（理））已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a//c，b//c⇒a//b；②a//β，b//β⇒a//b；③a//c，c//α⇒a//α；④a//β

，a//α⇒α//β；⑤a⊄α，b⊂α，a//b⇒a//α.其中正确的命题是（）A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤3．（2022·全国·高一课时练习）在三棱锥ABCD−中，点E，F分别在,ABCB上．若::2:5AEEBCFFB==，则直线AC与平面DEF的位置关系为（）A．平行B．相交C．AC平

面DEFD．不能确定4．（2022·全国·高一课时练习）若直线//a平面，AÏ，且直线a与点A位于的两侧，B，Ca，AB，AC分别交平面于点E，F，若4BC=，5CF=，3AF=，则EF的长为（）A．3B．32C．34D．235．（2022·广西南宁·高一期末）在空间中，直线m∥

面，直线n平面，则（）A．m与n平行B．m与n平行或相交C．m与n异面或相交D．m与n平行或异面6．（2022·湖南·高二阶段练习）已知三条不同的直线l，m，n，且lm，则“mn∥”是“ln∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不

必要条件7．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）设有直线mn､和平面､，下列命题中正确的命题是（）A．若,m∥，则mB．若,,,mnmn∥∥，则∥C．若,mn∥∥，则mn∥D．若,mnm

∥，则n∥8．（2022·吉林省实验中学高一期中）设a，b，c为不同的直线，，，为不同的平面，则下列结论中正确的有（）①若ab∥，bc∥，则ac∥；②若a∥，b∥，则ab∥；③若a∥，a，b=，则ab∥；④若ab∥，a∥，则b∥．A．①

③B．②④C．②③D．②9．（2022·山东·广饶一中高二阶段练习）如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，//SC平面EBD.10．（2022·全国·高一课时练习）在长方体11

11ABCDABCD−所有的棱所在的直线中，与平面11CDDC平行的直线有______．11．（2022·全国·高一课时练习）如图，三条直线1AA、1BB、1CC不共面，但交于一点O，若1AOAO=，1BOBO=，1COCO=，那么平面ABC和平面111ABC的位置

关系是______．12．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，,MN分别是棱111,CDCC的中点.给出以下四个结论：①直线AM与直线1CC相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线1DD异面；④直线BN与直线1

MB异面.其中正确结论的序号为____(注：把你认为正确的结论序号都填上).13．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，,EF分别为侧棱11,BBCC的中点，试判断1CE与平面ABF的位

置关系，并说明理由.14．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，E，F分别是PB，AC的中点．(1)证明：//EF平面PCD

；(2)求三棱锥EABF−的体积．15．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，2AB=，点P为1DD的中点.（1）证明：直线1//BD平面PAC；（2）求异面直线1BD与AP所成角的正弦值.16．（2022·湖南

娄底·高二学业考试）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.（1）若弧BC的中点为D，求证：//AC平面POD；（2）如果PAB△的面积是9，求此圆锥的表面积.7.6空间直线、平面的垂直知识回顾1、直线与平面垂直（1）直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线l垂直于平面，记为l⊥．直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.符号语言：对于任意a，都有la⊥l⊥.（2）直线和平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面

垂直.简记：线线垂直线面垂直符号语言：la⊥，lb⊥，a，b，abP=l⊥（3）直线和平面垂直的性质定理定义转化性质：如果一条直线l与平面垂直，那么直线l垂直于平面内所有直线.符合语言：l⊥

，blb⊥.性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.符合语言：a⊥，b⊥ab2、平面与平面垂直2.1、平面与平面垂直的定义（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.（2）符号语言:⊥（3）图形语

言2.2、平面与平面垂直的判定（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)（2）符号（图形）语言:a⊥，a⊥2.3、平面与平面垂直的性质定理（1）定理：两个平面垂直

，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)符号（图形）语言：⊥，=l，laa⊥,a⊥.高频考点1．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E、F、G、H分别为1AA、AB、

1BB、11BC的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知,mn是空间中两条不同的直线，,是空间中两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若,mn∥∥，则mn∥B．若,

m∥，则mC．若,m⊥⊥，则mD．若,m⊥，则m⊥3．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，P在线段1BC（

含端点）上运动，则下列判断正确的是（）A．1AP与1BD不垂直B．三棱锥1DAPC−的体积始终为83C．1AP面1ACDD．1AP与1DC所成角的范围是π0,34．（2022·湖南娄底·高二学业考试）正方体1111ABCDA

BCD−中与1AD垂直的平面是（）A．平面11DDCCB．平面1ADBC．平面1111DCBAD．平面11ADB【答案】D【详解】正方体1111ABCDABCD−中，5．（2022·浙江·高三学业考试）如图，正方体1111ABCDABCD−中，N是棱1DD的中点，则直线CN

与平面11DBBD所成角的正弦值等于（）A．12B．105C．155D．21556．（2022·江西·景德镇一中高一期末）若一条直线a与平面垂直，下列平面中的两条直线与a垂直，可以保证直线与平面垂直的是

（）①四边形的两边②正六边形的两边③圆的两条直径④三角形的两边A．①②B．①③C．②③D．③④7．（2022·山东临沂·高一期末）已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若m，mn⊥

，则n⊥B．若m，⊥，则mC．若m，n⊥，则m⊥nD．若m，m⊥，则∥8．（2022·福建·福州三中高一期末）如图，1111ABCDABCD−为正方体，下列错误的是（）A．//BD平

面11CBDB．11ACAD⊥C．平面1ADC⊥平面11CBDD．异面直线1AD与1AC所成的角为60°9（多选）（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）(多选题)如图，在棱长为1的正方体1111

ABCDABCD−中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（）A．A1C⊥平面B．存在点P，使得AC1∥平面C．存在点P，使得点A1到平面的距离为53D．用过点P，M，D1的平面去截正方

体，得到的截面一定是梯形10．（多选）（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）如图，已知正方体1111ABCDABCD−中，MN､分别是11,BCCD的中点，则下列判断正确的是（）A．1MNCC⊥B．MN⊥平面11ACCAC．//MN平面ABCDD．11

//MNAB11．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）正四棱锥PABCD−中，8条棱长均相等，且4AB=，则此正四棱锥的体积为_______．12．（2022·广西·高二学业考试）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，90ACB=，则这个三棱锥的四个面

中，是直角三角形的个数有_____个.13．（2022·四川·高三学业考试）如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点.(1)若1,2PAABBC===，求四棱锥PABCD−的体积；(2)求证：EF

⊥平面PAD.14．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）直三棱柱111ABCABC−中，2ABC=，1ABBC==.(1)求证：AB⊥平面11BBCC.(2)若1AC与平面ABC所成角为4，求三棱锥1AABC−

的体积.15．（2022·天津河东·高二学业考试）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点.(1)求证：AC⊥平面1DDB；(2)求证：1//BD平面AEC.16．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）在直三棱柱111ABCABC−中，ABAC

=，D为BC中点.(1)求证：AD⊥平面11BCCB；(2)若12,3ABBCAA===，求四棱锥11ABCCB−的体积.17．（2022·福建·高二学业考试）如图，在三棱锥PABC−中，平面PAC⊥平面,ABCACBC⊥(1)求证：PA⊥BC；(2)若2,30PAP

CBCBAC====，求三棱锥PABC−的体积.18．（2022·广西·高二学业考试）如图，AB是底面O的直径，C为O上异于A、B的点，PC垂直于O所在平面，D、E分别为PA、PC的中点.(1)求证：DE∥平面ABC.(2)求证：

平面BDE⊥平面PBC.19．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.(1)求证：//BC平面PAD；(2)求证：AC⊥平面PB

D.20．（2022·重庆·高一学业考试）如图，在ABC中，22ACBCAB==，ABED是边为1的正方形，平面ABED⊥平面ABC，G、F分别是EC、BD的中点.(1)求证：//GF平面ABC：(2)求点A到平面BCD的距离.21．（202

2·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）如图在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且22PAPDAD==，设E，F分别为PC，BD的中点.(1)求证：//EF平面PAD；(2)求AC与平面PDC所成角的大小.22．（2022·贵

州·高二学业考试）如图，直三棱柱111ABCABC−中，12,2,ABBCCCABBC===⊥，M为棱1CC上一点．(1)求三棱锥111CABC−的体积；(2)求证：11ABBM⊥．.23．（2022·天津红桥·高二学业考试）如图，正方体1111ABC

DABCD−中，M、N分别是11DC、11BC的中点.(1)求证：//MN平面ABCD；(2)求证：AC⊥平面11BBDD.24．（2022·湖北·高二学业考试）在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩

形，PAPB=，平面PAB⊥平面ABCD，点M为CD中点．(1)证明：ABPM⊥；(2)若2PAADAB==，四棱锥PABCD−的体积为153，求直线PC与平面ABCD所成角的余弦值．7.7立体几何初步

实战一、单选题1．如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积为（）A．15B．18C．30D．902．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线1BC与平面DAA1D1的位置关系是（）A

．直线1BC与平面11DAAD平行B．直线1BC与平面11DAAD垂直C．直线1BC与平面11DAAD相交但不垂直D．直线1BC在平面11DAAD3．已知在长方体1111ABCDABCD−中，在平面11ABBA上任取一点M，作MEAB⊥

于E，则（）A．ME⊥平面ABCDB．ME平面ABCDC．//ME平面ABCDD．以上都有可能4．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（）①//O

M平面PBC②//OM平面PCD③//OM平面PDA④//OM平面PBAA．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（）A

．1ADB．1AAC．1BDD．EO6．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE7．已知

平面,和直线l，则下列说法正确的是（）A．若//,//ll，则//B．若//,ll，则//C．若,ll⊥，则⊥D．若,ll⊥⊥，则⊥8．设,mn是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）

A．若m，//n，则//mnB．若,⊥⊥，则//C．若//,//,m⊥，则m⊥D．若,//nmn=，则//,//mm9．如图，正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别为棱1111,CDAD的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是（）A．45B．

35C．31010D．101010．已知四棱锥SABCD−，SA⊥平面ABCD，ABBC⊥，BCDDAB+=，2SA=，263BC=，二面角SBCA−−的大小为3.若四面体SACD−的四个顶点都在同

一球面上，则该球的体积为（）A．823B．43C．10D．323二、多选题11．已知l，m是平面外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若//l，//m，则//lmB．若l⊥，//m，则lm⊥C．若l⊥，lm⊥，则//mD．若lm⊥

，//m，则l⊥12．如图，四棱锥SABCD−的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有（）A．ACSB⊥B．//AB平面SCDC．SA与平面ABCD所成角是SABD．AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角三、填空题13．

如图，在正方体1111-ABCDABCD中，E是1BC的中点.给出下列三个结论：①111//BCADDA平面；②1BCDE⊥；③线段1BC的长度大于线段DE的长度.其中所有正确结论的序号是______.14．一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体

积是_____.15．如图，正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.16．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上一点，当点E满足条件：________时，PC∥平面EBD

．四、解答题17．如图，在三棱锥PABC−中，E，F分别是AB，AP的中点.(1)求证：//EF平面PBC；(2)若三棱锥PABC−的各棱长均为2，求它的表面积.18．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA⊥面ABCD，E，F分别是棱PB，PC

的中点.求证：（1）EF//平面PAD；（2）面PBD⊥面PAC.19．如图，三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥底面ABC，1ABACAA==，且ABAC⊥．(1)求直线1BA与平面ABC所成角的大小；(2)求证：AC⊥平面11ABBA．20．如图，旗杆AB高8m，它的顶端A挂着两条长1

0m的绳子，拉紧绳子，使绳子的末端分别与地面接触，记接触点为C，D（和旗杆脚B不在同一条直线上）.(1)如果C，D两点和旗杆脚B的距离都是6m，就证明旗杆和地面垂直，请写出证明过程；(2)如果E为绳子AC的中点，在旗杆AB上是否存在一点

F，使EF和地面平行？如果存在，请确定点F的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由.21．如图所示，斜三棱柱111ABCABC−中，点1D为11AC上的中点．（1）求证：1//BC平面11ABD；（2）设三棱锥111AABD−的体积为1V，三棱柱111ABCABC−的体积为2V，求

12VV．22．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，M是棱PD的中点.（1）求证：//PB平面AMC；（2）若PD⊥平面ABCD，2ADPD==，3BAD=，求点B到平面AMC的距离．