【文档说明】《2023年高中数学学考复习名师精品课堂（人教A版2019，新教材地区）》03第三章 函数的概念与性质（解析版）.docx，共(34)页，1.944 MB，由envi的店铺上传

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第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.2函数的基本性质3.3幂函数3.4函数的应用（一）3.5函数的概念与性质实战3.1函数的概念及其表示知识回顾1、函数的概念设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都

有唯一确定的数()fx和它对应，那么称:fAB→为从集合A到集合B的一个函数，记作()yfx=，xA.其中：x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域与x的值相对应的()fx值叫做函数值，函数值的集合{()|}fxxA

叫做函数的值域．2、同一（相等）函数函数的三要素：定义域、值域和对应关系．同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3、函数的表示函数的三种表示法解析法（最常用）图象法（解题助手）列表法就是把变量x，y之间的关系用一个关系式

()yfx=来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.高频考点1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）如图，可

以表示函数()fx的图象的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】根据函数的定义，对于一个x，只能有唯一的y与之对应，只有D满足要求故选：D2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数1()43

fxxx=+++的定义域是（）A．)4,−+B．)()4,33,−−−+UC．()4,−+D．()3,−+【答案】B【详解】因为1()43fxxx=+++，所以要使式子有意义，则4030xx++，解得43xx−−，即)()4,33,

x−−−+U.所以函数1()43fxxx=+++的定义域是)()4,33,−−−+U.故A，C，D错误.故选：B.3．（2022·浙江·高二学业考试）下列函数中表示同一函数的是（）A．4yx=与4()yx=B．2()1fxx=+与2(

)1gtt=+C．1yx=与1||yx=D．2(3)yx=−与3yx=−【答案】B【详解】选项A：函数4yx=的定义域为R，函数4()yx=的定义域为[0,)+，故不是同一函数，选项B：函数()fx与()gt的关系式相同，定义域相同，故

是同一函数，选项C：因为1,0yxx=，则0y，函数1,0||yxx=，则0y，故不是同一函数，选项D：因为2(3)|3|0yxx=−=−，而3yx=−R，故不是同一函数，故选：B．4．（2022·湖北·高二学业考试）

已知函数()1fx−的定义域为2,1−，则函数()21fx+的定义域为（）A．12,2−−B．3,0−C．3,02−D．2,1−【答案】A【详解】解：因为函数()1fx−的定义域为2,1−

，即21x−，所以310x−−，令3210x−+，解得122x−−，所以函数()21fx+的定义域为12,2−−；故选：A5．（2022·四川·高三学业考试）函数1()11fxx=−+的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】函数1()11

fxx=−+的图象，是将函数1yx=−先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到；又由于函数1yx=−图象关于原点中心对称，所以1()11fxx=−+图象关于()1,1−中心对称，所以C正确.故选：C.6．（多选）（2022·浙江·诸暨市教育研

究中心高二学业考试）矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，下列正确的（）A．202lxx=+（0x）B．10yx=（0x）C．2220ld=+（0d）D．22100dxx

=+（0x）【答案】ABD【详解】对于A，因为矩形的面积为10，矩形的长为x，宽为y，所以10xy=，得10yx=，所以矩形的周长为202lxx=+（0x），所以A正确，对于B，由选项A，可知10yx=（0x），所以B正确，对于C，因为矩形的面

积为10，对角线为d，长为x，宽为y，所以222220xydxy+==，当且仅当10xy==时等号成立，所以222220xyxyd++=+，22()20xyd+=+，因为0xy+，所以220xyd+=+，所以

矩形的周长为2220ld=+（25d），所以C错误，对于D，由选项C可知222xyd+=，10xy=，所以222100dxx=+，因为0d，所以22100dxx=+（0x），所以D正确，故选：ABD7．（2022·甘肃·天水市

第一中学高二学业考试）已知函数()2,232,2xxfxxx−=−+，则()()9ff=___________.【答案】4【详解】()9921f=−=，()()()911324fff==−+=.故答案为：4.8．（

2022·北京·高三学业考试）对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（℃），少数国家使用华氏温标（℉），两种温标间有如下对应关系：摄氏温标（℃）…01020304050…华氏温标（℉）…32506886104122…根据表格中数值间呈现的规律，给

出下列三个推断：①25℃对应77℉；②20−℃对应4−℉；③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值．其中所有正确推断的序号是_____________．【答案】①②③【详解】设摄氏温标为x℃，对应的华氏温标为y℉

,根据表格数据可知.,.,.,503268328632181818100200300−−−===−−−∴.32180yx−=−，即1.832yx=+，∴25℃x=时，77℉y=，20℃x=−时，4℉y=−，故①②正确；由

.1832yxx=+=，可得40x=−，即摄氏温标40−℃对应的华氏温标为40−℉，故③正确.故答案为：①②③.9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()yfx=是一次函数，且()()23159fxfxx++=−+，求()fx的表达式．【答案】()5fxx

=−+．【详解】由题意，设一次函数的解析式为()fxkxb=+，因为()()23159fxfxx++=−+，可得2(31)59kxbkxbx++++=−+，整理得5259kxkbx++=−+，即5529kkb=−+=，解得1,5kb=−=，所以函数的表达式为()5fxx=−+.10．（2

022·北京·高三学业考试）已知函数()2,0,,0,xxfxxx=则(1)f−=________；方程()1fx=的解为________．【答案】－21【详解】(1)f−=2×(－1)＝－2；x＜0时，

f(x)＜0，故f(x)＝1＞0时，x≥0，则1x=，解得x＝1.故答案为：－2；1.3.2函数的基本性质知识回顾1、函数的单调性（1）单调性的定义一般地，设函数()fx的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1x，2x；①当12xx时，都有()()12fxfx，

那么就说函数()fx在区间D上是增函数②当12xx时，都有()()12fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是减函数（2）单调性简图：（3）单调区间（注意先求定义域）若函数()yfx=在区间D上是增函数或减函数，

则称函数()yfx=在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做函数()fx的单调区间．2、函数的最值（1）设函数()yfx=的定义域为I，如果存在实数M满足①对于任意的xI，都有()fxM；②存在0xI，使得()0fxM=则M为最大值（2）设函数

()yfx=的定义域为I，如果存在实数m满足①对于任意的xI，都有()fxm；②存在0xI，使得()0fxm=则m为最小值3、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx−=，那么函数

()fx是偶函数图象关于y轴对称奇函数如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx−=−，那么函数()fx是奇函数图象关于原点对称4、函数对称性（1）轴对称：若函数()fx关于直线xa=对称，则①()()faxfax+=−；②()(2)f

xfax=−；③()(2)fxfax−=+（2）点对称：若函数()fx关于直线(,0)a对称，则①()()faxfax+=−−②()(2)fxfax=−−③()(2)fxfax−=−+（2）点对称：若函数()fx关于直线(,)ab对称，则①()()2faxfax

b+=−−+②()(2)2fxfaxb=−−+③()(2)2fxfaxb−=−++高频考点1．（2022·贵州·高二学业考试）已知函数()fx为偶函数，且()24f=，则()2f−=（）A．1B．3C．4D．7【答案】C【详解】由偶函数的性质得()2f−=()

24f=.故选：C.2．（2022·贵州·高二学业考试）函数()21fxx=−的单调递增区间是（）A．(),3−−B．)0,+C．()3,3−D．()3,−+【答案】B【详解】由()21fxx=−知，函数为开口向上，对称轴为0x=的二次函数，则单调递

增区间是)0,+.故选：B.3．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+内单调递增的有（）A．yx=−B．35yx=C．21yx=−D．3yx=【答案】

C【详解】当,()0x+时，函数yxx=−=−，其在区间(0,)+内单调递减，故A不正确；函数()35yfxx==的定义域为R，且()()()5353fxxxfx−=−=−=−，所以35yx=是奇函数，故B不正确；函数()21yf

xx==−的定义域为R，且()()()2211fxxxfx−=−−=−=，所以21yx=−是偶函数，由二次函数的性质可知函数21yx=−在区间(0,)+内单调递增，故C正确；函数()3yxfx==的定义域为R，且()()()33xxfxfx−=−=−=−，所以3y

x=是奇函数，故D不正确；故选：C.4．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知函数32()fxxaxxb=+++的图像关于点()1,0对称，则b=（）A．3−B．1−C．1D．3【答案】C【详解】()fx图象关于点()1,

0对称，()()20fxfx+−=，又()()()()()()32322222641310fxxaxxbxaxax−=−+−+−+=−++−++4a+b+，()()()()222641210420fxfxaxaxab+−=+−++++=，260412010420aaab+=+

=++=，解得：3a=−，1b=.故选：C.5．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2fxxaxb=−+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（-∞，1]C．[-1，+∞）D

．（-∞，-1]【答案】A【详解】2()2fxxaxb=−+对称轴为xa=，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以)1,a+.故选：A6．（2022·福建·高二学业考试）若函数()fx为奇函数，且在()0,+内是增函数，又()20f=，则()()0fxfxx−−的解集为（）A

．()()2,00,2−B．()(),20,2−−C．()(),22,−−+D．()()2,02,−+【答案】A【详解】解：因为函数()fx为奇函数，且在()0,+内是增函数，()20f=，所以2x或20x−时，()0fx；2x−或02x

时，()0fx；()()0fxfxx−−，即()0fxx，可知20x−或02x.故选：A.7．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）以下函数图象中不为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】奇函数的图象关于原点

对称，所以A选项的图象是奇函数的图象，BCD选项的不是奇函数的图象.故选：BCD8．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知19a，函数9()fxxx=+，存在1[1,]xa，使得对任意的2,9xa，都有()()1280fxfx，则a的取值范围是_________

__．【答案】479a+【详解】根据对勾函数的性质，函数()9fxxx=+在(0,3上单调递减，在)3,+上单调递增.且()()1910ff==.又()9fxxx=+在1,9上恒为正，且存在1[1,]xa，使得对任意的2,9xa，都有()()128

0fxfx，故()()12maxmin80fxfx，因为()()1max110fxf==，故只需()2min8fx即可.（1）当13a<?时，()()2min368fxf==不成立；（2）当39a时，()()2min9fxfaaa==+，故98aa+，即2890aa−+，()2

47a−，解得479a+.综上有479a+.故答案为：479a+.9．（2022·贵州·高二学业考试）已知定义在R上的函数f（x）同时满足以下两个条件：①对任意xR，把有()()2fxf

xx=−−；②对任意120xx„，都有()()()12120xxfxfx−−．则不等式()21(1)fxxfx+++的解集为___．【答案】()2,0,3−−+【详解】由()()2fxfxx=

−−，可得：()()fxxfxx+=−−，令()()gxfxx=+，则()()gxgx−=，即函数()gx为偶函数，因为对任意120xx„，都有()()()12120xxfxfx−−，所以函数()fx在

)0,+上单调递增，即函数()gx在)0,+上单调递增，由()21(1)fxxfx+++，得()2121(1)1fxxfxx++++++，即()()211gxgx++，因为函数()gx为偶函数，所以()()211gxgx++则

211xx++，()()22211xx++，2320xx+，解得23x−或0x，故答案为：()2,0,3−−+.10．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设函数2()2,(),01xafxxxagxax−=−=−.(1)当a=8时，求f(x)在

区间[3，5]上的值域；(2)若12[3,5],[3,5](1,2),itxixx=且，使f(xi)=g(t)，求实数a的取值范围.【答案】(1)0,10(2)97913a（1）当8a=时，()2228,428,

4xxxfxxxx−+=−，所以函数()fx在3,4上递减，在4,5上递增，又()36f=，()40f=，()510f=，所以函数在3,5上的值域是0,10，（2）()22222,48222,482a

aaxxfxxxaaaaxx−−+=−=−−，因为0a，所以()fx在,4a−上递增，在,42aa上递减，在,2a+上递增，所以符合题意的a必须满足352a或354a，即610a或1220a，（ⅰ）

当610a时，函数()fx在3,2a上递减，在,52a上递增，()21111xaagxxxx−−==++−−在3,5上递增，由题意得3,5t，关于x的方程()()fxgt=在3,5至少有两

个不同的解，等价于()()()()3,5,min3,52aggfff，即()()()()()325355agfgfgf()()90225364255104aaaaa−

−−−−，解得：9971317519aaa所以97913a（ⅱ）当1220a时，()9302ag−=，而当3,5x时，()0fx，所以方程()()3fxg=无解

，综上，实数a的取值范围是97913a，另解：()1121agttt−=−++−，()22222,4822,482aaaxxfxaaaxx−−+=−−，因为0a，所以()fx在,4

a−上递增，在,42aa上递减，在,2a+上递增，（ⅰ）当01a时，()gt在)11,a+−+上递增，因为)3,511,a+−+，所以()gt在3,5上递增，()()()3,5g

tgg，当()fx在3,5上递增，所以不存在12,xx，使得()()()12fxfxgt==，（ⅱ）当1a时，()gt在3,5上递增，()()()3,5gtgg，①若16a，()fx在3,5上递增，

所以不存在12,xx，使得()()()12fxfxgt==，②若610a，()fx在3,2a上递减，在,52a上递增，由题意3,5t，关于x的方程()()fxgt=在3,5至少有两个不同的解所以()()()(

)()325355agfgfgf()()90225364255104aaaaa−−−−−，解得：9971317519aaa所以97

913a；③若10a，()9302ag−=而当3,5x时，()0fx，所以不存在12,xx，使得()()()12fxfxgt==，综上，实数a的取值范围是97913a11．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知函数()23,fxxaaa=−+R.(

1)若函数()fx为偶函数，求a的值；(2)设函数()()()81,4gxfxxx=−，已知当2,8a时，()gx存在最大值，记为()Ma.（i）求()Ma的表达式；（ii）求()Ma的最大值.【答案】(1)0a=(2)

（i）()26,2748,78aaMaaa+=−；（ii）24(1)解：因为()23fxxaa=−+为偶函数，所以()()fxfx−=，即2323xaaxaa−−+=−+，即22xaxa−−=−，所以()

()2222xaxa−−=−，即80ax=，所以0a=；(2)解：（i）因为()()()81,4gxfxxx=−，所以()823gxxaax=−+−，因为2,8a，所以()424,12823422,42axaxxgxxaaxa

xaxx−++=−+−=−+，①当12ax时()424gxxax=−++，因为4yxx=+在(0,2上单调递减，在)2,+上单调递增，

所以当22a即2,4a时，()max1632agxgaa==−，当22a即(4,8a时，()()max248gxga==−，②当42ax时()422gxxax=−+，又4yxx=−

在()0,+上单调递增，所以()()max426gxga==+，因为()161632660aaaaa−−+=−−，所以当2,4a时()max26gxa=+，又()4826214aaa−−+=−，所以当27a时()max26g

xa=+，当78a时()max48gxa=−，综上可得：()26,2748,78aaMaaa+=−，（ii）因为函数()26Maa=+，2,7a与()48Maa=−，(7,8a均在定义域上单调递增，又()723M=，()824M=，所以(

)max24Ma=；12．（2022·天津南开·高二学业考试）已知函数22()2()fxxxa=+−．(1)若(1)fx+为偶函数，求a的值；(2)若()fx在[0,1]上有最小值9，求a的值．【答案】(1)3(2)3−或17

+(1)解：由题意，函数2222()2()32fxxxaxaxa=+−=−+，可得其对称轴方程为3ax=，因为函数(1)fx+为偶函数，所以二次函数()fx的对称轴为1x=，所以13a=，解得3a=.(2)解：由（1）知，函数22()32fxxaxa=−+，对称

轴方程为3ax=，①当03a，即0a时，函数()fx在[0,1]上为增函数，所以函数()fx的最小值为()()2min09fxfa===，解得3a=−；②当013a，即03a时，函数()fx在[0,]3a单调递减，在[,1

]3a单调递增，所以函数()fx的最小值为()2min2()933afxfa===，此时方程无解；③当13a，即3a时，函数()fx在[0,1]上为减函数，所以函数()fx的最小值为()()2min132

9fxfaa==−+=，解得17a=+或17a=−（舍去），综上所述，满足条件的a的值为3−或17+.13．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知函数()24fxxax=−.(1)若函数()fx在2,4x是增函数，求a的取值范围；

(2)若对于任意的)2,x+，()1fx−恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)1a(2)58a（1）因为函数()24fxxax=−，所以对称轴为2xa=，因为()fx在2,4x是增函数，所以2a≤2，解得1a（2）因为对于任

意的)2,x+，()1fx−恒成立，即241xax−−在)2,x+时恒成立，所以2410xax−+在)2,x+时恒成立，设()241gxxax=−+，则对称轴为2xa=，即()min0gx在

)2,x+时恒成立，当22a，即1a时，()()min24810gxga==−+，解得58a；当22a，即1a时，()()22min24810gxgaaa==−+，解得1122a−（舍去），故58a.3.3幂函数知识回顾1、幂函数定义一般地，形如()fx

x=的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数．2、五种常见幂函数函数yx=2yx=3yx=12yx=1yx−=图象性质定义域RRR{|0}xx{|0}xx值域R{|0}yyR{|0}yy{|0}yy奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函

数单调性在R上单调递增在(,0]−上单调递减；在(0,)+上单在R上单调递增在[0,)+上单调递增在(,0)−和(0,)+上单调递减调递增公共点(1,1)高频考点1．（2022·贵州·高二学业考试）函数1yx=的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【详

解】解：因为1yx=，即()1fxx−=，定义域为|0xx，且()()()11fxxxfx−−−=−=−=−，即()1fxx−=为奇函数，又由幂函数的性质可知()1fxx−=在()0,+上单调递减，所以()1fxx−=

在(),0−上单调递减，故符合题意的只有C；故选：C2．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知幂函数()()()224210,mmfxmx−+=−+在上单调递增，则m=（）A．0B．13−C

．103−或D．106−或【答案】A【详解】因为幂函数()()()224210,mmfxmx−+=−+在上单调递增，所以2(1)1m−=且2420mm−+，解得0m=，故选：A3．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学

高二学业考试）函数23yx=的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】3232xxy==的定义域为R，且()2323xx−=，23yx=为偶函数，图象关于y轴对称，可排除D；2013，由幂函数性质知：23yx=在()0,+上单调递增，但

增长速度越来越慢，可排除AC.故选：B.4．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x−，则当x<0时，f(x)=A．e1x−−B．e1x−+C．e1x−−−D．

e1x−−+【答案】D【详解】()fx是奇函数，0x时，()1xfxe=−．当0x时，0x−，()()1xfxfxe−=−−=−+，得()e1xfx−=−+．故选D．5．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）当()0,x+

时，幂函数()22231mmymmx−−=−−为减函数，则m=_________．【答案】2【详解】函数为幂函数，则211mm−−=，解得1m=−或2m=，又因为函数在(0,)+上单调递减，可得2

230mm−−，可得2m=，故答案为：26．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．【答案】12yx=【详解】设幂

函数()ayfxx==，∵幂函数()yfx=的图象经过点()4,2，∴42a=，∴12a=，∴这个幂函数的解析式为12yx=．故答案为：12yx=．7．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（文））幂函数y＝223mmx−−（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为

________.【答案】1【详解】有图象可知：该幂函数在()0+，单调递减，所以2230mm−−，解得13m−，mZ,故m可取012，，，又因为该函数为偶函数，所以223mm−−为偶数，故1m=故答案为：18．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知幂函数()fx的图

象过点(3,27).(1)求出此函数()fx的解析式；(2)判断函数()fx的奇偶性,并给予证明.【答案】(1)3()fxx=；(2)奇函数，证明见解析.(1)设幂函数()fxx=，因为()fx的图象过点(3,27)，所以有3273==，因此3()fxx=；(2)函数()fx是

奇函数，理由如下：因为33()()()fxxxfx−=−=−=−，所以函数()fx是奇函数.9．（2022·全国·高一）已知幂函数()2242()22()mfxmmxm−=−−R为偶函数．（1）求()fx的解析式；（2）若函数()()2(1)1gxfxax=−−+在区间0,4上的

最大值为9，求实数a的值．【答案】（1）()fx的解析式为2()fxx=；（2）实数a的值为2.【详解】解：（1）由幂函数可知2221mm−−=，解得1m=−或32m=当1m=−时，2()fxx=，函数为偶函数，符合题意；当32m=时，7()fxx=，不符合题意；故

求()fx的解析式为2()fxx=（2）由（1）得：2()()2(1)12(1)1gxfxaxxax=−−+=−−+函数的对称轴为：1xa=−，开口朝上(0)1f=，(4)178(1)fa=−−由题意得在区间0,4上max()(4)178(1)9fxfa==−−=，解得2a=所以实数

a的值为2.10．（2022·全国·高一学业考试）已知幂函数()fxx=的图象经过点()3,3，则=______，若()()1fafa−+，则实数a的取值范围是______．【答案】12##0.511,2−−【详解】由题意可得，33=，所以1

2=，所以幂函数()fxx=．可知函数()fxx=在)0,+上单调递增，由()()1fafa−+，得0101aaaa−+−+，解得：112a−−．故答案为：12；11,2−

−.3.4函数的应用（一）知识回顾常见几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型()fxkxb=+(k，b为常数，0k)二次函数模型2()fxaxbxc=++(a，b，c为常数，0a)分段函数模型1122(),(),()(),nnfxxDfx

xDfxfxxD=幂函数模型()fxkxb=+(k，b，为常数，0k)高频考点1．（2022·湖南娄底·高二学业考试）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（）（默认y>x）A

．y＝10－x(0<x<5)B．y＝10－2x(0<x<10)C．y＝20－x(0<x<5)D．y＝20－2x(0<x<10)【答案】A【详解】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.所以函数解析式为()1005yxx=−.故选：A2．（2022·全国·高

一课时练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（）A．310元B．300元C．390元D．280元【答案】B【详解】依题意80013008000121y−−=−−，解得300y=.故选：B3．（2022

·全国·高一课时练习）下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我

出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.A．④①②B．③①②C．②①④D．③②①【答案】A【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；对于事件③，前面速

度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；故选：A.4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2,0()21,0xxfxxx=−„，若()1fx…，则x的取值范围是（）A．(−，1]−B．[1，)+C．(−，0][1，)+D．(−，1][1−，)+【答案】

D【详解】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得()1fx…成立，所以将原不等式转化为：0211xx−…或201xx„…，从而得1x…或1x−„．故选：D．5．（2022·河南·郑州十九中高三阶段练习（文））函数()34f

xxx=+−的零点所在的区间为A．()1,0-B．()0,1C．()1,2D．()2,3【答案】C【详解】3()4fxxx=+−，易知函数单调递增，(0)40f=−，(1)20f=−，(2)20f=,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选：C.6．（2022·全国·高一课时练习）夏季

山上气温从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶气温是14.1℃，山脚下气温是26℃，那么山顶相对山脚的高度是A．1500米B．1600米C．1700米D．1800米【答案】C【详解】由2614.110017000.7−=（

米）,知应选C.7．（多选）（2022·全国·高一课时练习）某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（）A．2.6元B．2.8元C．3元D．3.

2元【答案】BCD【详解】设商品A的单价为(2)xx元，则销量为2100.50.2x−−万件，此时商品A销售总收入为2(100.5)0.2xx−−万元，根据题意有2(100.5)22.40.2xx−−，解得2.83.2x，故BCD符合题意

.故选:BCD8．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装质量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是

（）A．买小包装实惠B．买大包装实惠C．卖3小包比卖1大包盈利多D．卖1大包比卖3小包盈利多【答案】BD【详解】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.

3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.故选：BD9．（2022·全国·高一课时练习）已测得(,)xy的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：21yx=+，乙：3

1yx=−.若又测得(,)xy的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．【答案】甲【详解】对于甲：3x=时，23110y=+=，对于乙：3x=时，8y=，因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲10．（2

022·全国·高一课时练习）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算．可以享受折扣优惠金额折扣优惠

率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__________元．【答案】1120【详解】设顾客选购物品的总金额为x元,获得的折扣优惠金额为y元,则当(0

,600]x时,0y=,当(600,1100]x时,(600)5%0.0530yxx=−=−,令30y=,得0.053030x−=,解得1200x=1100,所以应舍去;当(1100,)x+时,5000.05(1100)0.1250.11100.185yxxx=+−=+−=−,令

30y=,所以0.18530x−=,解得1150x=,符合题意,所以他实际所付金额为1150-30=1120元.故答案为:1120.11．（2022·全国·高一课时练习）吉祥物“冰墩墩”在北京2022

年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本()hx万元，当产量小于或等于50万盒时()180100hxx=+；当产量大于50万盒时()2603500hxxx=++，若每盒玩具手办售

价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该

企业在生产中所获利润最大？【答案】(1)220300,050,N1403700,50xxyxxxx−=−+−(2)70万盒（1）当产量小于或等于50万盒时，20020018010020300yxxx=−−−=−，当产量

大于50万盒时，222002006035001403700yxxxxx=−−−−=−+−，故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为220300,050,N1403700,50xxyxxxx−=

−+−（2）当050x时，2050300700y−=；当50x时，21403700yxx=−+−，当140702x==时，21403700yxx=−+−取到最大值，为1200．因为7001200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．12．（2022·全国

·高一课时练习）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()fx与投资额x成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益()gx与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年

收益()fx和()gx的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)()()108fxxx=，()()102gxxx=(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大为3

万元（1）依题意：可设()()10fxkxx=，()()20gxkxx=，∵()1118fk==，()2112gk==，∴()()108fxxx=，()()102gxxx=.（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为()20x−万元，年收益为y万元，依题意得：()()20

yfxgx=+−，即()12002082xyxx=+−，令20tx=−，则220xt=−，0,25t，则22082tty−=+，0,25t()21238t=−−+，所以当2t=，即16x=万元时，收益最大，max3y=万元.3.5函数的概念与性质实战一、

单选题1．已知幂函数()fxx=的图象经过点(2,4)，则=（）A．1−B．0C．1D．2【答案】D【详解】由题意，幂函数()fxx=的图象经过点(2,4)，则422,==，故选：D2．定义在区

间[2,2]−上的函数()fx的图象如图所示，则()fx的单调递减区间为（）A．[2,1]−−B．[1,1]−C．[2,0]−D．[1,2]−【答案】B【详解】由题图知：在[1,1]−上()fx的单调递减，在(2,1),(1,2)−−上()fx的单调递增，所以()fx的单调递减区间为[1,1]

−.故选：B3．函数()11xfxxx=+−−的定义域是（）A．[1,)+B．[1,)−+C．(,1)(1,)−+D．()1,+【答案】D【详解】由解析式有意义可得1010xx−−

，故1x，故函数的定义域为(1,)+故选：D.4．下列函数中，与函数1yx=−相同的是（）A．221yxx=−+B．211xyx−=+C．1yt=−D．()21yx=−−【答案】C【详解】解：对于A，()222111yxxxx=−+

=−=−，与函数1yx=−的对应关系不相同，故不是相同函数；对于B，函数211xyx−=+的定义域为1xx−，函数1yx=−的定义域为R，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数；对于C，两函数的定义域都是R

，且对应关系相同，故两函数为相同函数；对于D，()211yxx=−−=−−，与函数1yx=−的对应关系不相同，故不是相同函数.故选：C.5．已知函数()()1,02,0xxxxfxx−=则(2)f=（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】因为函数()()1,02,0x

xxxfxx−=，所以(2)212f==.故选：B6．已知函数11,2()(2)1,2xaxfxaxx−+=−+是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．4,23B．4,23C．(1,2)D．3,22【答案】A【详

解】因为该函数为增函数，所以211420232(2)11aaaaa−−−++，故选：A7．若函数()fx是奇函数，且在(,0)−上是增函数，又()20f−=，则()0xfx解集是（）A．()()2,02,−+B．()(),20,2−−C．

()(),22,−−+D．()()2,00,2−【答案】C【详解】因为函数()fx是奇函数，所以有()0(2)2ff=−=−，因为奇函数()fx在(,0)−上是增函数，所以该函数在(0,)+上也是增函数，当0x时，由()0()0(2)2xfxfxfx=

，当0x时，由()0()0(2)2xfxfxfx=−−，所以不等式的解集为()(),22,−−+故选：C8．已知函数()246,06,0xxxfxxx−+=+＜，则不等式()()1fxf＞的解

集是（）A．()()3,13,−+B．()(),12,3−−C．()()1,13,−+D．()(),31,3−−【答案】A【详解】解：()11463f=−+=，当0x…时，2463xx−+，所以01x或3x；当0x时，63x+，所以30x−，所以不等式(

)(1)fxf的解集是(3−，)(13，)+，故选：A．9．已知函数4()fxxx=−，若()fxm对任意[1,4]x恒成立，则实数m的取值范围为（）A．(,3)−−B．(,3]−−C．(3,)+D．[3

,)+【答案】D【详解】因为yx=在[1,4]x单调递增，4yx=−在[1,4]x单调递增，所以4()fxxx=−在[1,4]x单调递增.所以max4()(4)434fxf==−=.因为()fxm对任意[1,4]x恒成

立，所以max()3mfx=.故选：D10．已知函数()22xfxax=+，Ra，则()fx的图象不可能．．．是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】()22xfxax=+定义域为R.因为()()()2222=xxfxaxaxfx−−=+−=+，所以()=yfx为偶函数.，其图像关

于y轴对称，对照四个选项的图像，只能选D.故选:D二、多选题11．函数()fx是定义在R上的奇函数，下列说法正确的有（）．A．()00f=；B．若()fx在()0,+上有最小值3−，则()fx在(),0−上有最大值3；C．若()fx在()1,+上为减函数，

则()fx在(),1−−上是增函数.D．()()11ff−=【答案】AB【详解】选项A：函数()fx是定义在R上的奇函数，则()()00ff−=−，则()00f=.判断正确；选项B：奇函数()fx的图像

关于原点中心对称，故若()fx在()0,+上有最小值3−，则()fx在(),0−上有最大值3.判断正确；选项C：奇函数()fxx=−在()1,+上为减函数，但在(),1−−上依旧是减函数.判断错误；选项D：函数()fx是定义在R上的奇函数，则(

)()11ff−=−.判断错误.故选：AB12．已知函数()22,13,1xxfxxx+=−+，关于函数()fx的结论正确的是（）A．()fx的最大值为3B．()02f=C．若()1fx=−，则2x=D．()2fx的解集为()(),01,−+【答案

】BD【详解】函数()22,13,1xxfxxx+=−+，在(),1−上单调递增，在()1,+?上单调递减，故函数在1x=时取最大值为()1132f=−+=，A选项错误；()0022f=+=，B选项正确；当1x时，()21fxx=+=−，解得3x=−，当1

x时，()231fxx=−+=−，解得2x=，C选项错误；当1x时，()22fxx=+，解得0x，当1x时，()232fxx=−+，解得1x，D选项正确；故选：BD.13．已知函数()fx是偶函数，在区间

[1,6]上单调，若(3)(5)ff−−，则有（）A．(1)(3)ffB．(2)(4)ff−C．(4)(3)ff−D．(1)(2)ff−【答案】AD【详解】函数()fx是偶函数，在区间[1,6]上单调，(3)(5)ff−−，()(),

(3)(3),(5)(5),fxfxffff−=−=−=(3)(5)ff，函数()fx在区间[1,6]上单调递增，区间[6,1]−−上单调递减，(1)(3)ff，(2)(2)(4)fff−=，(4)(4)(3)fff−=，(1)(1)(2)

fff−=.故选：AD14．若函数242yxx=−−的定义域为[0,]m，值域为[6,2]−−，则实数m的值可能为（）A．2B．3C．4D．5【答案】ABC【详解】函数242yxx=−−的图象如图所示：因为函数在[0,]m上的值域为[6,2]−−，结合图象可得24m，故选：ABC.三、

填空题15．函数8,0()(2),0xfxxxxx=−，则()2−=ff__________．【答案】1【详解】∵20−，∴(2)2(22)8f−=−−−=，即()()28fff−=，∵80，∴8(8)18f==，即()()281fff−==

．故答案为：1．16．()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()2fxxx=−+，当x＜0时，()fx=______.【答案】22xx+【详解】当0x时，0x−，所以2()2fxxx−=−−因为()fx

是定义在R上的奇函数，所以()2()2fxxxfx−=−−=−，所以2()2fxxx=+故答案为：22xx+四、解答题17．已知函数2()2,fxxmxx=−++R．(1)当3m=时，求(1)f值；(2)若()fx是偶函数，求()fx的最大值．【答案】(1)4(2)

2(1)解：当3m=时，2()32fxxx=−++，所以()2113124f=−++=；(2)因为()fx是偶函数，所以()()fxfx−=成立，即()()222222−−+−+=−−+=−++xmxxmxxmx成立，所以0m=，则2()2fxx=−+，所以()f

x的最大值为2．18．已知函数()9fxxx=−，1,6x（1）判断并用定义证明()fx的单调性；（2）求()fx的值域.【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）98,2−.【详解】（1）()fx为增函数，证明如下：12xx，12,1,6xx

，()()()()()1212121212122112129999xxxxxxfxfxxxxxxxxxxx−−+−=−+−=−+=因为12120xxxx−，120xx()()()()1212121290xxxxfxfxxx−+−=可得

：()()12fxfx所以()fx在1,6x上为增函数.（2）由第一问可知该函数在1,6x上为增函数，则当1x=，()fx有最小值，当6x=，()fx有最大值.因为()18=−f，9(6)2f=，所以函数()fx值域为98,2−.19

．设0,4a，已知函数24(),1xafxxx−=+R.（1）若()fx是奇函数，求a的值；（2）当0x时，证明：()22afxxa−+；（3）设12,xxR，若实数m满足()()212fxfxm=−，证明：1()(1)8fmaf−−.【答案】（1）

0a=；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】解：（1）由题意，对任意xR，都有()()fxfx−=−，即224()4()11xaxaxx−−−=−−++，亦即44xaxa−−=−+，因此0a=；（2）证明：因为0x，04a，()222421422121axaxa

xxaaxaxx−−−++−−−+=++()()()22212142121axxxxxx=−−++−++()221(4)(1)021axxx=−+−+.所以，()22a

fxxa−+.（3）设4txa=−，则222416()1216xatytxtata−==++++R，当0=t时，0y=；当0t时，216162yatat=+++；max28()016fxaa=

++，min28()016fxaa=−+，所以2288()1616fxaaaa−+++.由()()212fxfxm=−得2maxmin()()4mfxfx−=−，即22m−.①当0ma−时

，()0fma−，4(1)02af−=，所以1()(1)8fmaf−−；②当0ma−时，由（2）知，4()(1)()222aafmafmaa−−−−−+−1(1)(1)228aamaa=−−−，等号不能同时成立.综上可知

1()(1)8fmaf−−.20．已知函数22()222fxxaxa=−++.（1）若1a=，求函数()fx的单调区间；（2）求函数()fx在区间33,22−的最小值；（3）关于x的方程2()2fxa=有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）()fx在区间(,1]−上单

调递减，在区间()1,+?上单调递增；（2）答案见解析；（3）(,2][2,)−−+【详解】（1）当1a=时，2()(1)3fxx=−+，∴()fx关于直线1x=对称，∴()fx在区间(,1]−上单调

递减，在区间()1,+?上单调递增.（2）由题意，22()()2fxxaa=−++，对称轴为xa=，当32a−时，()fx在区间33,22−上单调递增，则2min317()2324fxfaa=−=++

；当3322a−时，()fx在区间3,2a−上单调递减，在3,2a上单调递增，则2min()2fxa=+；当32a时，()fx在区间33,22−上单调递减，则2

min317()2324fxfaa==−+.（3）方程2()2fxa=有解，即方程2220xax−+=有解，∴2480a=−，解得2a或2a−.∴a的取值范围是(,2][2,)−−+

．