【文档说明】《2023年高中数学学考复习名师精品课堂（人教A版2019，新教材地区）》02第二章 一元二次函数、方程和不等式（解析版）.docx，共(17)页，1.089 MB，由envi的店铺上传

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第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质2.2基本不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式2.4一元二次函数、方程和不等式实战2.1等式性质与不等式性质知识回顾1、不等式的概念在客观世界中，量与量之

间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.自然语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符号语言2、实数,ab大小的比较1、如果ab−是正数，

那么ab；如果ab−等于0，那么ab=；如果ab−是负数，那么ab，反过来也对.2、作差法比大小：①0abab−；②0abab−==；③0abab−3、不等式的性质性质性质内容特别提醒对

称性abba（等价于）传递性,abbcac（推出）可加性abacbc++（等价于可乘性0abacbcc注意c的符号（涉及分类讨论的思想）0abacbcc同向可加性

abacbdcd++同向同正可乘性00abacbdcd可乘方性0(,2)nnababnNna，b同为正数可开方性0(,2)nnababnNn高频考点1．（2022·贵州

·高二学业考试）已知ab，则下列不等关系中一定成立的是（）A．0ab−B．2abbC．22abD．11ab【答案】A【详解】解：因为ab，所以0ab−，故A正确；对于B：当0b=时20abb==，故B错误；对于C：当2a

=，0b=，显然满足ab，但是22ab，故C错误；对于D：当2a=，1b=，显然满足ab，但是11ab，故D错误；故选：A2．（2022·北京·高三学业考试）已知a，b是实数，且ab，则（）A．ab−−B．22abC．11abD．||||ab【答案】A【详解】由于a

b，所以ab−−，A选项正确.221,1,,ababab==−==，BD选项错误.112,1,abab==，C选项错误.故选：A3．（2022·湖南娄底·高二学业考试）已知a，bR，且a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+3<b+3B．a−5>b−5C．2a>2bD．33ab

【答案】A【详解】因为a，bR，且a＜b，所以由不等式的性质可得33ab++，55−−ab，22ab，33ab，所以A正确，BCD错误，故选：A4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）若,abcd，则

下列关系一定成立的是（）A．acbdB．acbcC．acbd++D．acbd−−【答案】C【详解】对A，当0,0abcdacbd，故A错误；对B，当0c时，acbc，故B错误；对C，同向不等

式的可加性，故C正确；对D，若2,1,0,31,4abcdacbd====−−=−=，不等式显然不成立，故D错误；故选：C.5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知23a，21b−−，则2ab−

的范围是（）A．()6,7B．()5,8C．()2,5D．()6,8【答案】B【详解】23,21−−ab，故426a，12b−，得528−ab故选：B6．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）（1）已知1122ab−,求−

ab的取值范围；（2）已知实数,ab满足41,145,abab−−−−−求93ab−的取值范围.【答案】（1）()1,0−（2）6,9−【详解】（1）由题意,1122b−,则1122b−−,因为1122a−,所以11ab−−,

又ab,即0ab−,则10ab−−.故−ab的取值范围是()1,0−.（2）设()()()()9344abmabnabmnamnb−=−+−=+−+,则493mnmn+=+=,解得1,2mn==.所以41,22(4)10abab−−−−−,则6939ab−−.故93ab

−的取值范围是6,9−.2.2基本不等式知识回顾1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果0a，0b，2abab+，当且仅当ab=时，等号成立．②其中ab叫做正数a，b的几何平均数；2ab+叫做正数a，b的算数平均数

．2、两个重要的不等式①222abab+（,abR）当且仅当ab=时，等号成立．②2()2abab+（,abR）当且仅当ab=时，等号成立．3、利用基本不等式求最值①已知x，y是正数，如果积xy等于定值P，那么当且仅当xy=时，和xy+有最小值2P；②已知x，y是正数，如果

和xy+等于定值S，那么当且仅当xy=时，积xy有最大值24S；高频考点1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）已知0,0,4abab=，则ab+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【详解】0,0,4abab=，24abab+=，当且仅当2a

b==时等号成立，故选：B2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设x，y为正数，则14()xyxy++的最小值为（）A．6B．9C．12D．15【答案】B【详解】1444()145x

xxyxyyxyxyy++=+++=++，因为x，y为正数，所以4424xyxyyxyx+=（当且仅当4xyyx=时取等号，即当2yx=时取等号），因此144()5549xxyxyyxy++=+++=，故选：B3．（2022·湖北·高

二学业考试）已知正实数x、y满足22xy+=，则12xy+的取值可能为（）A．72B．113C．165D．214【答案】D【详解】解：因为正实数x、y满足22xy+=，所以()121122252122++=+++=yxxyxyyyxx，22952212+=

yxxy，当且仅当22yxxy=，即23xy==时，等号成立，故选：D4．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知,0xy且2xyxy+=，则xy+的最小值为（）A．3+22B．42C．22D

．6【答案】A【详解】解：因为2xyxy+=，且0,0xy，所以121yx+=，则()1223223xyxyxyyxyx+=++=+++，当且仅当12y=+，22x=+时等号成立.故选

：A5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知正实数,ab，且22ab+=，则11121aab++++的最小值是（）A．2B．32C．54D．43【答案】C【详解】因为正实数,ab，22ab+=，故(1)(21)4ab+++=，所以1111

21[(1)(21)](1)14141babaaa+=+++=++++，故11121111211115(1)2121412144121444ababaababab++++++=++=+++=++++++，当且仅当15,36ab==时取得等

号，故选：C6．（多选）（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知实数0a，0b，1111ab+=+，则4ab+的值可能是（）A．7B．8C．9D．10【答案】BCD【详解】因为0a，0b，1111ab+=+，所以()()11414

14114114111baababababab++=++−=+++−=+++−++414281baab++=+，当且仅当4111111baabab+=++=+，即232ab==时取等号，所以48ab+，可能为8,9,10.故选：BCD7．（

多选）（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知正实数,xy满足4xyxy=+，则（）A．4xB．24yyx−的最小值为1−C．xy+的最小值为9D．22xy+的最小值为812【答案】A

C【详解】解：因为4xyxy=+，则(4)xyx−=，即1441xyxx==−−，又,xy为正实数，则4011x−，所以4x，1y，故A项正确；因为4xyxy=+，所以2224(1)2(1)1yx

yyyyyyyxx−−=−=−=−−，又1y，所以2(1)11y−−−，故B项错误；因为4xyxy=+，且,xy为正实数，即0xy，则4141xyxyyx+==+，所以44()525914xyxyxyxyxxxyyy+=+=+++=+，当且仅当4xyyx

=，即6,3xy==时等号成立，故C项正确；因为9xy+，所以2()81xy+，则222181()22xyxy++=，当且仅当xy=时，等号成立，但由4xyxy=+可得，当xy=时，5xy==，且228155502+=，故D项错误.故选：AC.8．（202

2·天津河东·高二学业考试）若正数a，b满足20ab=，则2+ab的最小值为___________.【答案】410【详解】解：因为0a、0b且20ab=，所以222410abab+=，当且仅当2ab=，即210a=

、10b=时取等号；故答案为：4109．（2022·天津南开·高二学业考试）若1x，则11xx+−的最大值是______．【答案】1−【详解】1x，则10x−()111111121111xxxxxx

+=−−++−−−−+=−−.当且仅当111xx−=−，即0x=时，等号成立.即11xx+−的最大值是1−.故答案为：1−.10．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）函数1()(0)fxxxx=+的值域为__________．【答案】)2,+【详解】因

为0x，可得1122xxxx+=，当且仅当1xx=时，即1x=时，等号成立，所以函数1()(0)fxxxx=+的值域为)2,+.故答案为：)2,+.2.3二次函数与一元二次方程、不等式知识回顾1、二次函数（1）形式：形如2()(

0)fxaxbxca=++的函数叫做二次函数.（2）特点：①函数2()(0)fxaxbxca=++的图象与x轴交点的横坐标是方程20(0)axbxca++=的实根.②当0a且0(0)时，恒有()0fx(()0fx)；当0a且0(0)时，恒

有()0fx(()0fx).2、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.3.12()()0xxxx−−或12()()0xxxx−−型不等式的解集不等式解集12xx12xx=12xx()()0

xaxb−−12{|}xxxxx或1{|}xxx21{|}xxxxx或()()0xaxb−−12{|}xxxx21{|}xxxx4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式24bac=−

00=0二次函数2()(0)fxaxbxca=++的图象一元二次方程20(0)axbxca++=的根有两相异实数根1x，2x(12xx)有两相等实数根122bxxa==−没有实数根一元二次不等式20(0)axbxca++

的解集12{|}xxxxx或{|}2bxxa−R一元二次不等式20(0)axbxca++的解集12{|}xxxx高频考点1．（2022·贵州·高二学业考试）不等式240x−的解集是（）A．(,5)−−B．)5,2−−C．

22−,D．()2,+【答案】C【详解】由240x−得()()220xx+−，解得22x−，即解集为22−,.故选：C.2．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）(2)0xx−的解集为（）A．02xxB．0xx或2xC．

0xxD．R【答案】B【详解】解：因为(2)0xx−=时，解得0x=或2x=，所以(2)0xx−的解集为0x或2x.故选：B.3．（2022·广西·高二学业考试）不等式260xx+−的解集为（）A．RB．{|32}xx−C．{3}xx−D．{|2}xx【答案】B【详解

】由260xx+−，得(3)(2)0xx+−，得32x−，所以不等式260xx+−的解集为{|32}xx−.故选：B4．（2022·浙江·高三学业考试）不等式102xx−+的解集为（）A．{|1}xxB．{|2}xx−C．{|

21}xx−D．{|1xx或2}x−【答案】C【详解】由题意，102xx−+等价于()()120xx−+，解得21x−，所以不等式102xx−+的解集为{|21}xx−.故选：C.5．（2022·宁夏·青铜峡市宁

朔中学高二学业考试）不等式2230xx−++的解集为__________________..【答案】13−，【详解】不等式2230xx−++…可化为2230xx−−„，即(3)(1)0xx−+„，解得13x−剟，不等式

的解集为13−，.故答案为：13−，.6．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知不等式()22600kxxkk−+，若不等式的解集为{|3xx−或2}x−，求k的值.【答案】25k=−【详解】

∵不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}∴k<0且123,2xx=−=−是方程2260kxxk−+=的两根.由韦达定理得12122•6xxkxx+==所以，25k=−即25k=−7．（2022·天津红桥·高二学业考试）已知函数()22fxaxx

=−−，其中aR，0a.(1)若()10f−=，求实数a的值；(2)若1a=−时，求不等式()3fx的解集；(3)求不等式()0fx的解集.【答案】(1)2a=(2)13xx−(3)当0a时，解集为2,0a−；当0a时，解集为()2,0,a−−+

(1)因为()10f−=，20a−+=所以2a=；(2)若1a=−时，()3fx，即2230xx−−，解得13x-<<，不等式()3fx的解集为13xx−；(3)因为()0fx，所以220axx−−，即()20xax+当0a时，20xa−解集为2,0a

−；当0a时，2xa−或0x，解集为()2,0,a−−+.2.4一元二次函数、方程和不等式实战一、单选题1．若ab，则下列正确的是（）A．acbc−−B．22abC．acbcD．11ab【答案】

A【详解】A.由ab，两边同时减去c，有acbc−−，正确；B.1a=，2b=−时，22ab不成立，错误；C.当0c时，由ab则acbc，错误；D.1a=，2b=−时，11ab不成立，错误.故选：A2．下列结论正确的是（）A．若acbc，则abB

．若ab，0c，则acbcC．若22ab，则abD．若ab，则ab【答案】B【详解】对于A：当0c时，若acbc，则ab，故选项A错误；对于B：若ab，0c，则acbc，故选项B正确；对于C：当2a=，3b=−时，满足22ab，但是a

b，故选出C错误；对于D：若ab，则0ab，选项D错误.故选：B.3．不等式102xx−的解集是（）A．0xxB．102xxC．12xxD．102xxx

或【答案】B【详解】1()002xxx−==或12x=，1()2yxx=−的图象是开口向上的抛物线，所以不等式102xx−的解集是1{|0}2xx．故选：B．4．已知0xRx且，则14xx+的最小值

是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】根据题意，0xRx且，则114244xxxx+=，当且仅当14xx=，即12x=时等号成立，即14xx+的最小值是4；故选：D.5．已知0x，那么函数221yxx=+有（

）A．最大值2B．最小值2C．最小值4D．最大值4【答案】B【详解】200,xx22221122yxxxx=+=…，等号成立当且仅当1x=，函数的最小值2，故选：B.6．不等式2320xx++的解集为（）A．|0xxB．|2xxC．4|xx−D．|21

xx−−【答案】D【详解】()()232120xxxx++=++，解得21x−−，所以不等式的解集为|21xx−−.故选：D7．已知正数x，y满足1431xy+=+，则xy+的最小值为（）A．53B．2C．73D．6【答案】B【详解

】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331xyxyxyxyxy+=++−=++−=+++−+114114(5)1(52)123131yxyxxyxy++=++−+−=++当且仅当1xy==时取等.所以xy+的最

小值为2.故选：B8．若不等式()()222240axax−+−−对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A．()2,2−B．22−,C．()2,+D．(2,2−【答案】D【详解】当20a−=时，即2a=，此时

40−恒成立，满足条件；当20a−时，因为()()222240axax−+−−对任意实数x都成立，所以()()220421620aaa−=−+−，解得()2,2a−，综上可知，(2,2a−，故选：D.二、多选题9．若a，b，c∈R，且a>b，则下列

不等式一定成立的是（）A．a+c>b+cB．ac2≥bc2C．20cab−D．(a+b)(a-b)>0【答案】AB【详解】对于A，因a，b，c∈R，a>b，则a+c>b+c，A正确；对于B，因c2≥0，a>b，则ac2≥bc2，B正确；对于C，当c=0时，20cab=−，C不正

确；对于D，当a=1，b=-1，满足a>b，但(a+b)(a-b)=0，D不正确．故选：AB10．已知正实数,xy满足4xyxy=+，则（）A．4xB．24yyx−的最小值为1−C．xy+的最小值为9D．22xy+的最

小值为812【答案】AC【详解】解：因为4xyxy=+，则(4)xyx−=，即1441xyxx==−−，又,xy为正实数，则4011x−，所以4x，1y，故A项正确；因为4xyxy=+，所以2224(1)2(1)1yxyyyyyy

yxx−−=−=−=−−，又1y，所以2(1)11y−−−，故B项错误；因为4xyxy=+，且,xy为正实数，即0xy，则4141xyxyyx+==+，所以44()525914xyxyxyxyxxxyyy+=+=+++=+，当且仅当4

xyyx=，即6,3xy==时等号成立，故C项正确；因为9xy+，所以2()81xy+，则222181()22xyxy++=，当且仅当xy=时，等号成立，但由4xyxy=+可得，当xy=时，5xy==，且2281

55502+=，故D项错误.故选：AC.三、填空题11．不等式260xx−−的解集是______.【答案】[2,3]−【详解】原不等式可化为(2)(3)0xx+−，23x−．故答案为：[2,3]−．12．已知0x，0y，26xy+=，则21xy+

的最小值为__________．【答案】43【详解】解：由26xy+=，得163xy+=，所以212163xyxyxy+=++1213363yxxy=+++22224233633

63yxyxxyxy=+++=，当且仅当236yxxy=，即33,2xy==时取等号，所以21xy+的最小值为43，故答案为：4313．已知函数()()2213fxxax=−−+，在区间1,4上不单调，则实数a的取值范围是___

________．【答案】39,22【详解】函数()()2213fxxax=−−+对称轴为212ax−=，因为函数在区间1,4上不单调，所以21142a−，解得3922a，所以实数a的取值范围是39,22

，故答案为：39,2214．已知△ABC三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D是线段BC上任意一点，AD⊥BC，且AD＝BC，则cbbc+的取值范围是_________.【答案】3222

，【详解】因为AD⊥BC，且ADBCa==，D是线段BC上任意一点，所以当点D与B重合时，c最小，b最大，bc取最大值2，当点D与C重合时，c最大，b最小，bc取最小值22，所以222bc，，由对

勾函数的性质可得3222cbbc+，.故答案为：3222，.四、解答题15．已知函数()21fxaxx=+−，其中,0aRa.（1）若()21f=−，求实数a的值；（2）若1a=时，求不等式()1fx的解集；（3）求不

等式()1fx−的解集.【答案】（1）12a=−；（2）|21xx−；（3）当0a时，解集为1,(0,)a−−+；当0a时，解集为10,a−.【详解】解：（1）因为()21f=−，所以4211a+−=−，解得12a=−.（2）若1a=时，()1fx，

即220xx+−，解得21x−，不等式()1fx的解集为|21xx−；（3）因为()1fx−，所以20axx+，所以当0a时，解集为1(,)(0,)a−−+当0a时，解集为1(0,)a−综

上，当0a时，解集为1,(0,)a−−+；当0a时，解集为10,a−.16．近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，

并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积x（单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗

的电费C（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积x（单位：米3）之间的函数关系为()50kCxx=+（0x，k为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为F（单位：万元）.（1）解释()0C的实际意义，并写出

F关于x的函数关系；（2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F最小，并求出最小值.（3）要使F不超过140万元，求x的取值范围.【答案】（1）()0C的实际意义是未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；192000.1250Fxx=++，0x；（2）该合作社

应修建容积为350立方米的沼气发电池时，可使F最小，且最小值为90万元；（3）3050100,3.【详解】（1）()0C的实际意义是修建这种沼气发电池的面积为0时的用电费用，即未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；由题意可得，()02450kC==，则1200k=；所以该合作社修

建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为120019200160.120.125050Fxxxx=+=+++，0x；（2）由（1）()19200192000.120.125065050Fxxxx=+=++−++()1920020.1

25069050xx+−=+，当且仅当()192000.125050xx=++，即350x=时，等号成立,即该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时，可使F最小，且最小值为90万元；（3）为使F不超过140万元，只需192000.1214050Fxx=++，整理得2

333503050000xx−+，则()()330501000xx−−，解得30501003x，即x的取值范围是3050100,3