【文档说明】《2023年高中数学学考复习名师精品课堂（人教A版2019，新教材地区）》04第四章 指数函数与对数函数（原卷版）.docx，共(14)页，751.030 KB，由envi的店铺上传

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第四章指数函数与对数函数4.1指数与指数函数；4.2对数与对数函数4.3函数的应用（二）4.4指数函数与对数函数实战4.1指数与指数函数知识回顾1、根式的概念及性质（1）概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．（2

）性质：①()nnaa=(nN且1n)；②当n为奇数时，nnaa=；当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa==−2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是mnmnaa=(0a，,mnN，且

1n)；②正数的负分数指数幂的意义是1mnnmaa−=(0a，,mnN，且1n)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①(0,,)rsrsaaaars+=R；②()(0,,)rsrsa

aars=R；③()(0,0,)rrrabababr=R.4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数()xfxa=(0a，且1a)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R．（2）指数函数()xfxa=的图

象和性质底数1a01a图象性质定义域为R，值域为(0,)+图象过定点(0,1)当0x时，恒有()1fx；当0x时，恒有0()1fx当0x时，恒有0()1fx；当0x时，恒有()1fx在定义域

R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数()xfxa=(0a，且1a)的图象和性质与a的取值有关，应分1a与01a来研究高频考点1．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）下列运算不正确的是（）A．44(3)3−=−B

．()22xxee=C．33()abab−=−D．abab=2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知ab，则下列不等式正确的是（）A．11abB．11ab−−C．22abD．22ab3．（2022·广西·高二学业考试）函数12xy=的图象与y轴的交点坐

标是（）A．()0,0B．()0,1C．()0,2D．()1,14．（2022·天津河东·高二学业考试）已知三个数20.620.6,log0.6,2abc===，则（）A．cabB．acbC．bcaD．bac5．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知函数()

()21,13,1xxfxfxx+=−,则()9f=（）A．2B．9C．65D．5136．（2022·福建·高二学业考试）若存在()0,x+，使不等式31exaxa−+−成立，则实数a

的取值范围为（）A．1{|0}3aaB．2{|}3aaC．2{|}e1aa+D．1{|}3aa7．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x时，()21xfxx=+−，则不等式()12fx−的解集为（）A

．()0,2B．(),2−C．()2,+D．()(),02,−+8．（2022·四川·高三学业考试）已知函数()fx为R上的偶函数，当0x时，()22xfx=−，则不等式()0xfx的解集为（）A．(1,0)(1,)

−+B．,1(),)1(−−+C．(1,0)(0,1)−D．(,1)(0,1)−−9．（2022·浙江·高三学业考试）函数||()xefxxx=−的图象大致为（）A．B．C．D．10．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知函数()()0,1xxfxa

aaa−=−，则下列结论正确的是（）A．函数()fx的图象关于原点对称B．函数()fx在R上不具有单调性C．函数()fx的图象关于y轴对称D．当a＞1时，函数()fx的最大值是011．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学

业考试）138=___________.12．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）若函数1(0,1)xyaaa=+的图像恒过定点，则该定点坐标为________．13．（2022·全国·高一学业考试）计算：()()230239.

631.58−−=−−+________.14．（2022·天津红桥·高二学业考试）函数()12e,0,0xxfxxx−=，当()1fx=时，则x的值为______.15．（2022·贵州·高二学业考试）已知函数1,0()2,0

.xxxfxx−=…(1)求()()21ff−+的值；(2)若()4fx=，求x的值．16．（2022·湖北·高二学业考试）已知函数()12exfxxx+=+．(1)用定义法证明：函数()fx在区间()0,+上单调递增

；(2)判断函数()fx在(),0−上的零点个数（不需要证明）．4.2对数与对数函数知识回顾1、对数的概念（1）对数：一般地，如果xaN=(0,1)aa且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaxN=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以1

0为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.（3）对数式与指数式的互化：logxaaNxN==.2、对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数log(0,1)aNaa且具有以下性质：①负数和零没有对数，即0N；②1的对数等于0，即

log10a=；③底数的对数等于1，即log1aa=；④对数恒等式log(0)aNaNN=.（2）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN且，那么：①log()loglogaaaMN=M+N；②l

ogloglogaaaM=MNN−；③loglog()naaM=nMnR.（3）对数的换底公式对数的换底公式：loglog(0,1;0,1;0)logcacbbaaccba=且且.换底公式将底数不同的

对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①loglog01,0()且mnaanbbaabm=；②(1

log01;01log)且且abbaabba=；3、对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如logxay=(0a，且1a)的函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,)+．（2）对数函数的图象与性质1a01a图象性质定义域：(0,)+值域：R过点(1,0)，即当

1x=时，0y=在(0,)+上是单调增函数在(0,)+上是单调减函数高频考点1．（2022·贵州·高二学业考试）lg2lg5+=（）A．4B．3C．2D．12．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试

）计算：122lg5lg4−−=（）A．10B．1C．2D．lg53．（2022·浙江·高三学业考试）下列等式成立的是（）A．()222log84log8log4−=−B．222log88loglog44=C．322log23log2=D．()222lo

g84log8log4+=+4．（2022·全国·高一学业考试）已知函数()12log,03,0xxxfxx=，则()()4ff的值为（）A．19−B．19C．9−D．95．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数()()ln11f

xxx=++−的定义域为（）A．(,1)−−B．(1,1−C．)1,+D．()),11,−−+6．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）函数曲线log1ayx=+恒过定点（）A．()0,1B

．()1,2C．()1,1D．()1,07．（2022·天津河东·高二学业考试）下列函数与()1fxx=+是同一个函数的是（）A．33()1gxx=+B．2()1xgxx=+C．2()1gxx=+D．ln()e1xgx=+8．（2022·天津红桥·高二学业考试）设1ln2a=

，2log3b=，1312c=，则（）A．cabB．bacC．cbaD．acb9．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）关于函数()21log22fxx=−的单调性的说法正确的是（）A．在R上是增函数B．在R上是

减函数C．在区间14+（，）上是增函数D．在区间14+（，）上是减函数10．（2022·浙江·高三学业考试）若22log(21)log(23)xxx−−+对任意()0,x+恒成立，则的取值

范围是（）A．1(,)9+B．1(0,)9C．1(,)5+D．1(0,)511．（多选）（2022·福建·上杭一中高二学业考试）下列函数是奇函数且在()0,+上单调递减的是（）A．3yx=−B．yx=C．12logyx=D．1yx=12．（2022·天津河东·高二学业考试）已知函数

()()()34,0log2,0fxxfxxx−=−+，则(2025)f=__________.13．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）计算：()()ln223elog3log4+=________.14．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业

考试）已知函数()fx是定义域为R的奇函数，当0x时，()exfx=，则1ln2f=_________．15．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）已知函数()fx是定义在22−,上的奇函数，当

0,2x时，()()12logfxxxa=−+．则()fa−=__________．16．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知定义在R上的函数()fx满足：()()11fxfx+=，当(0,1x时，(

)2xfx=，则()2log9f等于___________.17．（2022·湖南娄底·高二学业考试）已知f(x)＝ln11mxx−−是奇函数.(1)求m；(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明.18．（2022·全国·

高一学业考试）已知函数()logafxx=（0a且1a）的图象过点()9,2．(1)求a的值；(2)若()()()22gxfxfx=−++，求()gx的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间．19．（2022·全国·高一学

业考试）已知函数()22log1()3faxxx=++.（1）若函数()fx的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若存在)1,x+，使得()10fx−成立，求实数a的取值范围.20．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知函数()1

lg1xfxx+=−.(1)求函数()fx的定义域，并判断其奇偶性；(2)若关于x的方程()()4442220xxxxmff−−+++−−−=有解，求实数m的取值范围.4.3函数的应用（二）知识回顾1、函数的零点对于一般函数(),yfxxD=，我们把使()0fx=成立的实数x叫

做函数(),yfxxD=的零点．注意函数的零点不是点，是一个数.2、函数的零点与方程的根之间的联系函数()yfx=的零点就是方程()0fx=的实数根，也就是函数()yfx=的图象与x轴的交点的横坐标即方程()0fx=有实数根函数()yfx=的图象与x轴有交点函数()yfx=有零点．

3、零点存在性定理如果函数()yfx=在区间[,]ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx=在区间(,)ab内有零点，即存在(,)cab，使得()0fc=，这个c也就是方程()0fx=的根.注：上

述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.4、常见函数模型（1）指数函数模型()xfxkab=+（0a且1a，0k）（2）对数函数模型()logxafxkb=+（0a且1a，0k）5、指数、

对数、幂函数模型性质比较函数性质()1xyaa=()log1ayxa=()0nyxn=在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓介于指数函数与对数函数之

间,相对平稳图象的变化随x的增大，图象与y轴接近平行随x的增大，图象与x轴接近平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个0x，当0xx时，有lognxaxxa高频考点1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）在

下列区间中，函数()33xfxx=−−的一个零点所在的区间为（）．A．()0,1B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数()223xfxx=−−的零点所在的区间为（）A．()3,2−−

B．()2,1−−C．()1,0−D．()0,13．（2022·贵州·高二学业考试）记函数()()()112fxxaxb=−+−+−的两个零点为1x，2x，若2ab−，则下列关系正确的是（）A．122xxb+B．122xxb+C．122xxa+=D．122xxa+4．（2022·浙江·诸暨

市教育研究中心高二学业考试）某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：时间t50120150种植成本Q26005002600由表知，体现Q与t数据关系的最佳函数模型是（）

A．Qatb=+B．2Qatbtc=++C．tQab=D．logbQat=5．（2022·全国·高一学业考试）已知函数()2log,12,1,2,1xxfxxx=−若方程()0fxa−=至少有两个实数根，则实数a的取值范围为（）A．()0,1B．(0,1C．)0,2D．

0,26．（2022·湖南娄底·高二学业考试）已知函数()22,0,log,0xxfxxx=则下列说法正确的个数是（）①()fx是R上的增函数；②()fx的值域为R；③“2x”是“()12fx”的充要条件；④若关于x的方程()0fxxa+−=恰有一个实根，则

1aA．0个B．1个C．2个D．3个7．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知()21fxxx=+−，不等式()()21fxmx+−恒成立，实数m取值范围是（）A．322,0−−

B．322,322−−−+C．322,0−+D．(),322322,−−−−++8．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知函数()()2lg,02,0axxxfxx−−=，若函数()()()221gxfxfx=−−只有两个零

点，则实数a的取值范围是（）A．1aB．0aC．1aD．0a9．（2022·福建·高二学业考试）(1)()3xlnxfxx−=−的零点的个数为________．10．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学

业考试）能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币.又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间的每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层厚度

h（单位：厘米）满足关系：()()01034mNhhh=+，经测算知道，如果不建隔热层，那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币.设()Fh为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使()Fh达到最小值时，隔热

层厚度h=__________厘米.11．（2022·全国·高一学业考试）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热､挤压､发泡等工艺制成的一种新型的包装材料.2020年疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发

现，若本季度在原材料上多投入(110)xx万元，珍珠棉的销售量可增加101xpx=+吨，每吨的销售价格为83p−万元，另外生产p吨珍珠棉还需要投人其他成本2p万元.(1)写出该公司本季度增加的利润y万元与x之间的函数关系；(2

)当x为多少万元时，公司在本季度增加的利润y最大？最大为多少万元？12．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加

16万元.()1写出4辆车运营的总利润y（万元）与运营年数()*xxN的函数关系式.()2这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？13．（2022·福建·高二学业考试）已知函数()()eeee,22xxxxfxgx−−−+==．(1)从()(),gfx

x中选择一个函数，判断其奇偶性，并证明你的结论；(2)若函数()()()xxhfgxa=−有零点，求实数a的取值范围．14．（2022·全国·高一学业考试）已知定义域为R的函数()()()22hxnfxhx+=−−是奇函数，()hx为指数函数且()hx的图象

过点()2,4.（1）求()fx的表达式；（2）若方程()()2310fxxfax++−−=恰有2个互异的实数根，求实数a的取值集合.4.4指数函数与对数函数实战1．1239-log9=（）A．-1B．0C．1D．32．下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（）A

．21yx=−+B．21yx=+C．yx=D．2xy=3．已知412a=，124b=，122c=，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．cbaC．acbD．bac4．函数()12020(1xfxaa+=+，且1

a)恒过定点（）A．()0,1B．()0,2021C．()1,2022−D．(1,0)−5．函数2log(1)yx=+的图象经过（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，0）D．（2，0）6．近年来贵州经济

发展进入快车道，GDP（国内生产总值）增速连续保持全国前列.若2021年贵州的GDP为a亿元，预计未来5年内GDP年均增长率为10％，则2024年贵州的GDP（单位：亿元）为（）A．aB．a(1+10%)C．a(1+10%

)2D．a(1+10%)37．在同一个坐标系下，函数2xy=与函数12logyx=的图象都正确的是（）A．B．C．D．8．已知lg2=a,lg3=b，则lg32等于A．a-bB．b-aC．baD．ab9．设()338xfxx=+−用二分法求方

程3380xx+−=在区间()1,2上近似解的过程中，计算得到(1)0,(1.25)0,(1.5)0fff，则方程的根落在区间（）A．()1,1.25B．()1.25,1.5C．()1.5,1.75D．()1.

75,210．已知11225xx−−=，则1xx+的值为（）A．7B．35C．35D．2711．函数2()log([1,4])fxxxx=+的值域是_______.12．函数2()log(3)fxx=−的定义域是__

______.13．已知函数()xfxa=（0a且1a），()12f=，则函数()fx的解析式是__________.14．已知函数()220log0xxfxxx=，，；设()2fa−=，则()fa=_______.15．设函数221,1()(4

),1xxaxxfxax−++=−，若()fx在R上单调递增，则a的取值范围是__________．16．已知函数4()12xfxaa=−+（0,1aa）且(0)0f=.（1）求a的值；（2）若函数()(21)()xgxfxk=++有零点，求实数k的取

值范围.17．已知函数()21fxxx=+与()1gxax=-.(1)若()fx与()gx有相同的零点，求a的值；(2)若()()0fxgx+对)1,x+恒成立，求a的最小值.18．已知函数()()()log1log1aafxxx=+−−，0a且1a.（1）求()fx的定

义域；（2）判断()fx的奇偶性并予以证明；（3）当1a时，求使()0fx的x的解集.19．已知函数2()1fxxbx=++，其中,bcR.（1）若()fx的图象关于直线1x=对称时，求b的值；（

2）当4b=时，解关于x的不等式()0fx；（3）当2b=时，令()()gxfx=，若0k，且1k，函数()xgk在1,1−上有最大值9，求k的值.20．土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高

速增长地区的一个严重问题，污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众健康．A，B两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注．某中学科技小组对由A，B两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米

（不考虑物理及化学变化），已知重金属A的密度大于311g/cm，小于312g/cm，重金属B的密度为38.65g/cm．试计算此混合物中重金属A的克数的范围．