【文档说明】《2023年高中数学学考复习名师精品课堂（人教A版2019，新教材地区）》04第四章 指数函数与对数函数（解析版）.docx，共(30)页，1.632 MB，由envi的店铺上传

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第四章指数函数与对数函数4.1指数与指数函数；4.2对数与对数函数4.3函数的应用（二）4.4指数函数与对数函数实战4.1指数与指数函数知识回顾1、根式的概念及性质（1）概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．（2）性质：①()nnaa=(nN且1n)；②当n为奇数时，

nnaa=；当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa==−2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是mnmnaa=(0a，,mnN，且1n)；②正数的负分数指数幂的意义是1mnnm

aa−=(0a，,mnN，且1n)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①(0,,)rsrsaaaars+=R；②()(0,,)rsrsaaars=R；③()(0,0,)rrrabababr

=R.4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数()xfxa=(0a，且1a)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R．（2）指数函数()xfxa=的图象和性质底数1a01a

图象性质定义域为R，值域为(0,)+图象过定点(0,1)当0x时，恒有()1fx；当0x时，恒有0()1fx当0x时，恒有0()1fx；当0x时，恒有()1fx在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数()xfxa=(0a，且1a)的

图象和性质与a的取值有关，应分1a与01a来研究高频考点1．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）下列运算不正确的是（）A．44(3)3−=−B．()22xxee=C．33()abab−=−D．abab=【

答案】D【详解】对于A，44(3)33−=−=−，故A正确；对于B，22()xxee=，成立，故B正确；对于C，33()abab−=−，成立，故C正确；对于D，ab当0a且0b时，a和b无意义，故D错误，故选：D．2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知ab，则

下列不等式正确的是（）A．11abB．11ab−−C．22abD．22ab【答案】B【详解】取1,2ab=−=，则112−，A错误；()2212−，C错误；1222−，D错误；由ab可得ab−−，

则11ab−−，B正确.故选：B.3．（2022·广西·高二学业考试）函数12xy=的图象与y轴的交点坐标是（）A．()0,0B．()0,1C．()0,2D．()1,1【答案】B【详解】令0x=，则0112y

==，故函数12xy=的图象与y轴的交点坐标是()0,1.故选：B.4．（2022·天津河东·高二学业考试）已知三个数20.620.6,log0.6,2abc===，则（）A．cabB．acbC．bcaD．bac【答案】

D【详解】解：因为200.602200.60.6,log0.6log10,221=====abc，所以bac，故选：D5．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知函数()()21,13,1xxfxfxx+=−,则()9f

=（）A．2B．9C．65D．513【答案】A【详解】()09(93)(6)(3)(0)212fffff=−====+=,故选：A6．（2022·福建·高二学业考试）若存在()0,x+，使不等式31exaxa−+−成立，则实数a的取值范围为（）A．1{|

0}3aaB．2{|}3aaC．2{|}e1aa+D．1{|}3aa【答案】B【详解】作出函数()xfxe−=和函数()31gxaxa=+−的示意图，其中()gx的图象是过点(3,1)P−−的直线

，a是直线的斜率，()fx的图象与y轴交于点(0,1)Q，1(1)20(3)3PQk−−==−−，题意说明在y轴右侧，()gx的图象上存在点在()fx图象下方，由图象可知只要23a，即可满足题意．故选：B．7．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知函数()fx是定义在R

上的偶函数，当0x时，()21xfxx=+−，则不等式()12fx−的解集为（）A．()0,2B．(),2−C．()2,+D．()(),02,−+【答案】A【详解】当0x时，()21xfxx=+−，则()fx在)0,+上单调递增，又函数(

)fx是R上的偶函数，且(1)2f=，因此，()()()121111fxfxfx−−−，解得02x，所以不等式()12fx−的解集为()0,2.故选：A8．（2022·四川·高三学业考试）已知函数(

)fx为R上的偶函数，当0x时，()22xfx=−，则不等式()0xfx的解集为（）A．(1,0)(1,)−+B．,1(),)1(−−+C．(1,0)(0,1)−D．(,1)(0,1)−−【答案】D【详解】函数()fx为R上的偶函数，当0x时，()22xfx=−，可得()()

()10110fff=−==，，()fx在)0,+单调递增函数，在(),0−单调递减函数．所以不等式()0xfx等价为()()001xfxf=或()()001xfxf−=，解得

01x或1x−，即不等式()0xfx的解集为(,1)(0,1)−−.故选：D．9．（2022·浙江·高三学业考试）函数||()xefxxx=−的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：根据题意

，||()xefxxx=−，其定义域为{|0}xx，有||||()()()xxeefxxxfxxx−=−+=−−=−，即函数()fx为奇函数，排除A，又由()110fe=−，()10101010ef=−，所以()()1010102101100(1)99010110eef

feee−=−−−=−−−−，有()()0110ff，函数()fx在(0,)+不会是减函数，排除CD，故选：B．10．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知函数()()0,1xxfxaaaa−=−，则下列结论正确的是（）A．函数()fx的图象

关于原点对称B．函数()fx在R上不具有单调性C．函数()fx的图象关于y轴对称D．当a＞1时，函数()fx的最大值是0【答案】AC【详解】∵()()R,xxxfxaafx−−=−=−，∴()fx为奇函数，()fx的图象关于原点对称，A正确；当a＞1时，()fx在R

上为增函数，当0＜a＜1时，()fx在R上为减函数，B错误;()fx是偶函数，其图象关于y轴对称，C正确；当a＞1时，(),00,0,0xxxxxxaaxfxaaxaax−−−−=−==−,故()fx在(,0−上为减函数

，在)0,+上为增函数，∴当0x=时，()fx取得最小值0，D错误．故选：AC．11．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）138=___________.【答案】2【详解】解：()113

33822==.故答案为：2.12．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）若函数1(0,1)xyaaa=+的图像恒过定点，则该定点坐标为________．【答案】()0,2【详解】解：因为函数函数(0,1)xyaaa=的图像恒过定点(

)0,1，函数(0,1)xyaaa=图像向上平移一个单位即可得到1(0,1)xyaaa=+的图像，所以函数1(0,1)xyaaa=+的图像恒过定点()0,2.故答案为：()0,213．（2022·全国·高一学

业考试）计算：()()230239.631.58−−=−−+________.【答案】1【详解】原式22232223327333331111822222−−−−−−=−+=−+=−+=

.故答案为：1.14．（2022·天津红桥·高二学业考试）函数()12e,0,0xxfxxx−=，当()1fx=时，则x的值为______.【答案】【详解】当0x时，()1e

1xfx−==，得1x=；当0x时，()21fxx==，得1x=−，综上，x=，故答案为：.15．（2022·贵州·高二学业考试）已知函数1,0()2,0.xxxfxx−=…(1)求()()21ff−+的值；(2)若()4fx=，求x的值．【答案】(1)5(2)3−

或2(1)()()21325ff−+=+=.(2)当0x时，14x−=，解得：3x=−，满足题意.当0x时，24x=，解得：2x=，满足题意.所以3x=−或2x=.16．（2022·湖北·高二学业考试）已知函数()12exfxxx+=+．(1)用定义法证明

：函数()fx在区间()0,+上单调递增；(2)判断函数()fx在(),0−上的零点个数（不需要证明）．【答案】(1)证明见解析(2)1个(1)证明：设()12,0,xx+，且12xx，则()()12121

1211222eexxfxfxxxxx++−−=+−()()()2121221121eexxxxxxxxx−+−+−+=因为120xx，所以120xx−，120xx+，所以12e1xx−，21eex+

，所以1211exxxx−，所以1212120exxxxxx−−−，所以()212112ee0xxxxx−+−，()()12120xxxx−+，所以()()()2121212121e0exxxxxxxxx−+−+−+，即()()120fxfx−，所以函数()fx在区间(

)0,+上单调递增；(2)解：因为()()121eexxfxxxxx++=+=+，(),0x−，令()1exxxg+=+，(),0x−，因为1exy+=与yx=在(),0−上单调递增，所以()1exx

xg+=+在(),0−上单调递增，又()0eg=，()111e10g−−=−=，所以当1x−时()0gx，当10x−时()0gx，所以当1x−时()0fx，当10x−时()0fx，()10f−=，所以()fx在(),0−上有且仅有1个零点；4.

2对数与对数函数知识回顾1、对数的概念（1）对数：一般地，如果xaN=(0,1)aa且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaxN=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lg

N；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.（3）对数式与指数式的互化：logxaaNxN==.2、对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数log(0,1)aNaa且具有以下性质：①负数和零没有对数，即0N；②1的对数等于0

，即log10a=；③底数的对数等于1，即log1aa=；④对数恒等式log(0)aNaNN=.（2）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN且，那么：①log()loglogaaaMN=M+N；②logloglogaaaM=MN

N−；③loglog()naaM=nMnR.（3）对数的换底公式对数的换底公式：loglog(0,1;0,1;0)logcacbbaaccba=且且.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换

底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①loglog01,0()且mnaanbbaabm=；②(1log01;01log)且且abbaabba=；3、对数函数及其性质

（1）对数函数的定义形如logxay=(0a，且1a)的函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,)+．（2）对数函数的图象与性质1a01a图象性质定义域：(0,)+值域：R过点(1,0)，即当1x=时，0y=在

(0,)+上是单调增函数在(0,)+上是单调减函数高频考点1．（2022·贵州·高二学业考试）lg2lg5+=（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【详解】解：()lg2lg5lg25lg101+===.故选：D2．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）计算：122l

g5lg4−−=（）A．10B．1C．2D．lg5【答案】B【详解】1222lg5lg4lg(5)lg4lg5lg2lg101−−=+=+==.故选：B3．（2022·浙江·高三学业考试）下列等式成立的是

（）A．()222log84log8log4−=−B．222log88loglog44=C．322log23log2=D．()222log84log8log4+=+【答案】C【详解】对于A：2228log8log4log14

−==，故A不正确；对于B：32222222log8log83loglog214log4log222====，故B不正确；对于C：∵loglognaaMnM=,∴322log23log2=，故C正确，对于D：()()5222222log84log12l

og8log4log84log52+=+===，故D不正确，故选：C.4．（2022·全国·高一学业考试）已知函数()12log,03,0xxxfxx=，则()()4ff的值为（）A．19−B．19C．9−D．9【答案】B【详解】因为函数()12log,03,0x

xxfxx=，所以()2112214log4log22f−===−，所以()()()214239fff−=−==，故选：B5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数()()l

n11fxxx=++−的定义域为（）A．(,1)−−B．(1,1−C．)1,+D．()),11,−−+【答案】C【详解】由题意知，1010xx+−，解得1x，则函数的定义域为)1,+.故选：C.6．

（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）函数曲线log1ayx=+恒过定点（）A．()0,1B．()1,2C．()1,1D．()1,0【答案】C【详解】因为对数函数logayx=恒过点(1,0)，所以函数曲线log1ayx=+恒过点(1,1).故选：C7

．（2022·天津河东·高二学业考试）下列函数与()1fxx=+是同一个函数的是（）A．33()1gxx=+B．2()1xgxx=+C．2()1gxx=+D．ln()e1xgx=+【答案】A【详解】(

)1fxx=+的定义域为R，A.33()11=+=+gxxx，且定义域为R，故正确；B.()2()110=+=+xgxxxx，故错误；C.2()11=+=+gxxx，故错误；D.()ln()e110=+=+xgxxx，故错误；故选：A8．（2022·天津红桥·高二学业考试）设1ln2a=，

2log3b=，1312c=，则（）A．cabB．bacC．cbaD．acb【答案】D【详解】解：因为1lnln102a==，22log321logb==，103111022c==，所以acb.故

选：D.9．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）关于函数()21log22fxx=−的单调性的说法正确的是（）A．在R上是增函数B．在R上是减函数C．在区间14+（，）上是增函数D．在区间14

+（，）上是减函数【答案】C【详解】由函数()fx的解析式知定义域为14+（，），设1202txt=−（），显然1202txt=−（）在14+（，）上是增函数，2logyt=在0（，）+上是增函数，由复合函数的单调性可知()fx在14+

（，）上是增函数，故选：C10．（2022·浙江·高三学业考试）若22log(21)log(23)xxx−−+对任意()0,x+恒成立，则的取值范围是（）A．1(,)9+B．1(0,)9C．

1(,)5+D．1(0,)5【答案】A【详解】由22log(21)log(23)xxx−−+，可得222log(21)log2log(23)xxx−−+，所以2221loglog(23)2xxx

−+，因为函数2logyx=在()0,+上单调递增，所以2121(23)22(23)xxxxxx−−++在()0,+上恒成立，令2(1)xtt=，则1(3)ttt−+在()1,+上恒成立，令114(3)(1)51tttytt−+−+−=+=，则11

92144(1)5(1)151tttyt−++−−+−==，当且仅当3t=，即2log3x=时，取等号，所以19.故选：A11．（多选）（2022·福建·上杭一中高二学业考试）下列函数是奇函数且在()0,+上单调递减的是（）A．3yx=−B．yx=C．12logyx=D．1yx

=【答案】AD【详解】3yx=−,yx=,1yx=是奇函数，12logyx=非奇非偶函数，3yx=−在()0,+单调递减，yx=在R单调递增，1yx=在()0,+上单调递减，12logyx=在()0,+单调递减，故既是奇函数，又在()0,+单调递减的函数有

3yx=−和1yx=，故选：AD12．（2022·天津河东·高二学业考试）已知函数()()()34,0log2,0fxxfxxx−=−+，则(2025)f=__________.【答案】3【详解】解：3(2025)(50743)(3)log323fff=−=−=+=，故答案为：3

.13．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）计算：()()ln223elog3log4+=________.【答案】4【详解】()()ln2232lg3lg4elog3log422log4224lg2lg3+=+=+=+=

，故答案为：414．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知函数()fx是定义域为R的奇函数，当0x时，()exfx=，则1ln2f=_________．【答案】2−【详解】由题设，1(ln)(ln2)(ln2)2fff=−=−，又ln20，所以ln21(ln

)e22f=−=−.故答案为：2−.15．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）已知函数()fx是定义在22−,上的奇函数，当0,2x时，()()12logfxxxa=−+．则()fa−=_______

___．【答案】2−【详解】因为函数()fx是定义在22−,上的奇函数，所以1122(0)log(0)logfafa=−=−−=，即12log0a=，解得1a=.所以()12(1)(1)(1log2)(11)2faff−

=−=−=−−=−+=−.故答案为：2−16．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知定义在R上的函数()fx满足：()()11fxfx+=，当(0,1x时，()2xfx=，则()2log9f等于____

_______.【答案】89【详解】()()11fxfx+=，()()()121fxfxfx+==+，可得()fx是最小正周期为2的周期函数，8916,21，222log8log9log16

，即()2log93,4，因此()()2229log9log92log4fff=−=，222911log994log1log48fff==−，而29log8299log2

88f==，所以()222918log9log949log8fff===，故答案为：89.17．（2022·湖南娄底·高二学业考试）已知f(x)＝ln11mxx−−是奇函数.(1)求m；(

2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明.【答案】(1)－1；(2)在(1，＋∞)上单调递减，证明见解析.(1)()()1111lnln,lnln1111mxmxmxxfxfxxxxmx+−−−−−==−=−=−−+−−.()fx是奇函数

,()()fxfx−=−,即11lnln11mxxxmx−−−+=+−,得1,1mm−==−,1m=−；(2)()fx在()1,+上单调递减.证明:由(1)知()12lnln111xfxxx+==+−−.任取12,xx满足121xx,

2112121222221111111xxxxxxx−+−+=−=−−−−−,由121xx知,21120,10,10xxxx−−−,122211011xx+−+−−,即122211011xx++−−,又lny

x=为增函数,1222ln1ln111xx++−−,即()()12,fxfx()fx在()1,+上是减函数.18．（2022·全国·高一学业考试）已知函数()logafxx=（0a且1a）的图象过点()9,2．(1)求a的值；(2)若()()()22gx

fxfx=−++，求()gx的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间．【答案】(1)3a=(2)定义域为()2,2−，在()2,0−上单调递增，单调递增区间为()2,0−（1）解：（1）由条件知()9log92af==，即29a=，又0a且1a，

∴3a=．（2）（2）()()()()()3322log2log2gxfxfxxx=−++=−++．①由2020xx−+，得22x−，∴()gx的定义域为()2,2−．∵()()()()33log2log2gxxxgx−=++−=，∴()gx是偶函数；②()()()()233

3log2log2log4gxxxx=−++=−，∵函数3logyu=单调递增，函数24ux=−在()2,0−上单调递增，故()gx的单调递增区间为()2,0−．19．（2022·全国·高一学业考试）已知函数()22log1()3faxxx=++.（1）

若函数()fx的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若存在)1,x+，使得()10fx−成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）90,4；（2）()2,−+.【详解】（1）因为函数()

fx的值域为R所以2(0,)31ttaxx+=++.当0a=时，符合要求；当0a时，2231taxx=++的最大值是914a−，不符合要求；当0a时，由2340a=−可得94a，此时90,4a.综上所述，实数a的取值范围为90,4()2因为存在[1,

)x+，()10fx−成立，即()()22log311fxaxx=++在[1,)+上有解，所以存在)21,,312xaxx+++，即213axx−成立，所以2min13axx−令(10,1tx=，()23gttt

=−，(0,1t，其对称轴为直线32t=，开口向上，所以()23gttt=−在(0,1上单调递减，所以()()min12gtg==−，所以2min132xx−=−，所以2a−，故实数a的取值范围为()2,−+.

20．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知函数()1lg1xfxx+=−.(1)求函数()fx的定义域，并判断其奇偶性；(2)若关于x的方程()()4442220xxxxmff−−+++−−−=有解，求实数m的取值范围.【答案】(1)函数()fx的定义域为()(),11,−

−+，函数()fx为奇函数(2))2,+(1)()()10,11,1xxx+−−+−()()111lglglg111xxxfxfxxxx-+-+-===-=---+-()fx为奇函数

.(2)由（1）可知：()()4442220xxxxmff−−+++−−−=有解()()()444222222xxxxmxxmfff−−−++=−−−−=++有解又44424446xxxx−−+++=，2222222222xxmxxmm−−+++=+且

()12lglg111xfxxx+==+−−在()1,+上单调递减444222xxxxm−−++=++有解设)222,xxt−=++，则2442xxt−+=−222mtt=−+有解当)2,t+时，))224,24,mytt=−+

++)2,m+.4.3函数的应用（二）知识回顾1、函数的零点对于一般函数(),yfxxD=，我们把使()0fx=成立的实数x叫做函数(),yfxxD=的零点．注意函数的零点不是点，是一

个数.2、函数的零点与方程的根之间的联系函数()yfx=的零点就是方程()0fx=的实数根，也就是函数()yfx=的图象与x轴的交点的横坐标即方程()0fx=有实数根函数()yfx=的图象与x轴有交点函数()yfx=有零点．3、零点存在性定理如果函数()yfx=

在区间[,]ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx=在区间(,)ab内有零点，即存在(,)cab，使得()0fc=，这个c也就是方程()0fx=的根.注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.4、常见函数模型（1）指数函数模型()xfx

kab=+（0a且1a，0k）（2）对数函数模型()logxafxkb=+（0a且1a，0k）5、指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质()1xyaa=()log1ayxa=()0nyxn=在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度先慢后

快，指数爆炸先快后慢，增长平缓介于指数函数与对数函数之间,相对平稳图象的变化随x的增大，图象与y轴接近平行随x的增大，图象与x轴接近平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个0x，当0xx时，有lognxaxxa高频考点1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）在下列

区间中，函数()33xfxx=−−的一个零点所在的区间为（）．A．()0,1B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【答案】B【详解】由题意，函数()33xfxx=−−，可得(0)2,(1)1,(2)4,(3)21,(4)74fffff=−=−===，所

以()()120ff，结合零点的存在定理，可得函数()fx的一个零点所在的区间为(1,2).故选：B.2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数()223xfxx=−−的零点所在的

区间为（）A．()3,2−−B．()2,1−−C．()1,0−D．()0,1【答案】C【详解】因为()223xfxx=−−是连续的减函数，359(3)0(2)084ff−=−=，，()311202f−=+−，(

)0120f=−，7(1)03f=−，有(1)(0)0ff−，所以()fx的零点所在的区间为()1,0−．故选：C3．（2022·贵州·高二学业考试）记函数()()()112fxxaxb=−+−+−的两个零点为1x，2x，若2ab−，则下列关系正确的是（）A

．122xxb+B．122xxb+C．122xxa+=D．122xxa+【答案】B【详解】由()()()112fxxaxb=−+−+−整理得()()221fxxabxabab=−+−+−−−，则()2210

xabxabab−+−+−−−=的两根为1x，2x，则122xxab+=+−，又2ab−，则122222xxabbbb+=+−++−=，则122xxb+.故选：B.4．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高

二学业考试）某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：时间t50120150种植成本Q26005002600由表知，体现Q与t数据关系的最佳

函数模型是（）A．Qatb=+B．2Qatbtc=++C．tQab=D．logbQat=【答案】B【详解】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；而A，C，D对应的函数，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，

所以，选取B，故选B．5．（2022·全国·高一学业考试）已知函数()2log,12,1,2,1xxfxxx=−若方程()0fxa−=至少有两个实数根，则实数a的取值范围为（）A．()0,1B．(0

,1C．)0,2D．0,2【答案】A【详解】方程()0fxa−=至少有两个实数根，等价于()yfx=的图像与直线ya=至少有两个不同的交点.根据图像可知，当01a时，函数()yfx=的图像与ya=有两个不同

的交点，当1a=时，函数()yfx=的图像与ya=有一个交点，当1a或0a时，函数()yfx=的图像与ya=没有交点，所以a的取值范围是()0,1.故选：A．6．（2022·湖南娄底·高二学业考试）已知函数()22,0,log,0xxfxxx

=则下列说法正确的个数是（）①()fx是R上的增函数；②()fx的值域为R；③“2x”是“()12fx”的充要条件；④若关于x的方程()0fxxa+−=恰有一个实根，则1aA．0个B．1个C．2个D．

3个【答案】C【详解】画出()fx的图象如下图所示，所以()fx在(,0−和()0,+上递增，①错误；()fx的值域为R，②正确；()1012f=，所以③错误；()()0fxxafxxa+−==−+，要使“

关于x的方程()0fxxa+−=恰有一个实根”，即()fx图象与yxa=−+的图象只有一个交点，则1a，所以④正确.所以正确的有2个.故选：C7．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知()21f

xxx=+−，不等式()()21fxmx+−恒成立，实数m取值范围是（）A．322,0−−B．322,322−−−+C．322,0−+D．(),322322,−−−−++【答案】A【详解】()21fxxx=+−，()()21fxmx+−，()2121xxm

x+−+−，即()211xxmx−+−，令()2211gxxxx=−++−，若()2,1gxxxx=−，2xxmx−，等价于1mx−，令()1,1hxxx=−，()0hx，0m，若()232,1gxxxx=−+，232xxmx

−+，即()2320xmx−++，①当()2380m=+−，即322322m−−−+时，不等式()2320xmx−++在1x上恒成立；②当()2380m=+−，即322m−+或322m−−时，要使不等式()2320xmx−++在1x上恒成立，则

有()()221312033812mmm−+++−+−，解得0322mm+，3220m−+，综上所述，实数m取值范围是322,0−−.故选：A.8．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知函数()()2lg,02,0axxxfxx−

−=，若函数()()()221gxfxfx=−−只有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．1aB．0aC．1aD．0a【答案】D【详解】由题意，()()2210fxfx−−=即()12fx=−或()1fx=.因为()()2lg,02,0axxxfx

x−−=，易得()12fx=−无解.故()1fx=只有两个零点.当()lg1,0xx−=时，()lg1x−=或()lg1x−=−，解得10x=−或110x=−有两个零点.故221,0axx−=无解.因为()2220,2axay−=，0x，故2

21a，解得0a故选：D9．（2022·福建·高二学业考试）(1)()3xlnxfxx−=−的零点的个数为________．【答案】1【详解】(1)()3xlnxfxx−=−的零点的个数即方程(1)03xlnxx−

=−的解的个数，即(1)0xlnx−=且30x−；解得，1x=；故(1)()3xlnxfxx−=−的零点的个数为1；故答案为：1．10．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准

备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币.又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间的每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层厚度h（单位：厘米）满足关系：()()01034m

Nhhh=+，经测算知道，如果不建隔热层，那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币.设()Fh为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使()Fh达到最小值时，隔热层厚度h=__________厘米.【答案】163【详解】解：由题意得，当0h=

时，()104mNh==，解得40m=，又40()930()930(010)34FhhNhhhh=+=++，所以120012001200()93(34)1223(34)12108343434Fhhhhhhh=+=++−

+−=+++，当且仅当12003(34)34hh+=+，即163h=时，等号成立.故答案为：163.11．（2022·全国·高一学业考试）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热､挤压､发泡等工艺制成的一种新型

的包装材料.2020年疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入(110)xx万元，珍珠棉的销售量可增加101xpx=+吨，每吨的销售价格为83p−万元，另外生产p吨珍珠棉还需要

投人其他成本2p万元.(1)写出该公司本季度增加的利润y万元与x之间的函数关系；(2)当x为多少万元时，公司在本季度增加的利润y最大？最大为多少万元？【答案】(1)y258(110)1xxxx=−−+(

2)当4x=万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元（1）832pypxp=−−−258(110)1xxxx=−−+;（2）()2525818111xyxxxx=−−=−++++.110,2111xx+，()()2

5251211011xxxx+++=++…，当且仅当2511xx=++，即4x=时等号成立，18108y−=„，当4x=万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元.12．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆

车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.()1写出4辆车运营的总利润y（万元）与运营年数()*xxN的函数关系式.()2这4辆车运营多少年，

可使年平均运营利润最大？【答案】()1()21622350yxx=−+−；()2运营5年可使年平均运营利润最大.【详解】解：()1依题意，每辆车x年总收入为100x万元，总支出为()()120016122001162xxx++++=++

，()()21410020011616223502yxxxxx=−−+=−+−.()2年平均利润为50251623216232yxxxxx=−−=−+.又*xN，2525210xxxx+=，当且仅当5x=时，等号成立，此时()16232

048yx−=.运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.13．（2022·福建·高二学业考试）已知函数()()eeee,22xxxxfxgx−−−+==．(1)从()(),gfxx中选择一个函数，判断其奇偶性，并证明你

的结论；(2)若函数()()()xxhfgxa=−有零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)若选()fx，则()fx为奇函数；若选()gx，则()gx为偶函数.(2)()1,1−(1)解：若选()fx，则()fx为奇函数，证明如下：因为()()ee2x

xfxfx−−−==−且定义域为R，所以()fx为奇函数；若选()gx，则()gx为偶函数，证明如下：因为()()ee2xxgxgx−+−==且定义域为R，所以()gx为偶函数；(2)解：因为函数()()()xxhfgxa=−有零点，所以方程eeee022xxxxa−−−

+−=，即222eee11ee112eexxxxxxxa−−−−===−+++有解，因为2e0x，所以2e11x+，2101e1x+，所以2111e21x−−+，所以11a−，即实数a的取值范围()1,1−.14．（2022·全国·高一学业考试）已知定义域为R的函

数()()()22hxnfxhx+=−−是奇函数，()hx为指数函数且()hx的图象过点()2,4.（1）求()fx的表达式；（2）若方程()()2310fxxfax++−−=恰有2个互异的实数根，求实数a的取值集合.【答案】（1）121()22xxfx+−+=+；

（2）{19aa或0}a=.【详解】（1）由题意，设()xhxa=，因为()hx过点()2,4，可得24a=，解得2a=，即()2=xhx，所以()1222xxnfx++=−−，又因为()fx为奇函数，可得(0)0f=，即()020022

nf+==−−，解得1n=−，经检验，符合()()fxfx=−−，所以121()22xxfx+−+=+.（2）由于()fx为奇函数，所以由2(3)(1)0fxxfax++−−=，可得2(3)(1)fxxfax+=−，又因为()fx在R上递减，即231xxax+=−，显然1x，所以231xxax+

=−，令1tx=−，则45att=++，又由当0t时，445259tttt+++=，当且仅当4tt=时，即2t=时等号成立；当0t时，4445[())]52()51()tttttt++=−−++−−+=−−，当且仅当4tt−=−时，即2t=−时等号成立，方程有2个互异实

数根，画出45ytt=++的图象，如图所示由图可得，实数a的取值集合为{19aa或0}a=.4.4指数函数与对数函数实战1．1239-log9=（）A．-1B．0C．1D．3【答案】C【详解】解：122339log93log3321=−=−=−.故选：C2．下列函

数中，在其定义域上为单调递减的函数是（）A．21yx=−+B．21yx=+C．yx=D．2xy=【答案】A【详解】21yx=−+在R上单调递减，A正确；21yx=+在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，故B错误；yx=在)0,+

上单调递增，故C错误；2xy=在R上单调递增，D错误故选：A3．已知412a=，124b=，122c=，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．cbaC．acbD．bac【答案】C【详解】由题设，42a−=，2b=，122c=，又

2xy=在定义域上递增，∴acb.故选：C.4．函数()12020(1xfxaa+=+，且1a)恒过定点（）A．()0,1B．()0,2021C．()1,2022−D．(1,0)−【答案】C【详解】当1x=−时，()112021

1202120221fa−+=+=+=−，所以函数恒过定点()1,2022−.故选：C5．函数2log(1)yx=+的图象经过（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，0）D．（2，0）【答案】C【详解】解方程()211,log1xyx+==+，得0

,0xy==.所以函数()2log1yx=+的图象过定点()0,0.故选：C.6．近年来贵州经济发展进入快车道，GDP（国内生产总值）增速连续保持全国前列.若2021年贵州的GDP为a亿元，预计未来5年内GDP年均增长率为10％，则2024年

贵州的GDP（单位：亿元）为（）A．aB．a(1+10%)C．a(1+10%)2D．a(1+10%)3【答案】D【详解】由2021年贵州的GDP为a亿元，增长率为10％，所以2024年贵州的GDP为a(1+10%)3故选：

D7．在同一个坐标系下，函数2xy=与函数12logyx=的图象都正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：指数函数2xy=是增函数，对数函数12logyx=是减函数，故选：A.8．已知lg2=a,lg3=b

，则lg32等于A．a-bB．b-aC．baD．ab【答案】B【详解】因为lg2,lg3ab==，所以3lglg3lg22ba=−=−，故选B.9．设()338xfxx=+−用二分法求方程3380xx+−=在区间()1,2上近似

解的过程中，计算得到(1)0,(1.25)0,(1.5)0fff，则方程的根落在区间（）A．()1,1.25B．()1.25,1.5C．()1.5,1.75D．()1.75,2【答案】B【详解】函数()

338xfxx=+−在R单调递增，又因为()()1.251.50ff，所以由零点存在性定理知，()fx在区间()1.25,1.5上有零点，即3380xx+−=在区间()1,2上的根落在区间()1.25,1.5上.故选：B.10．已知11225xx−−=，则

1xx+的值为（）A．7B．35C．35D．27【答案】A【详解】11225xx−−=，211225xx−−=，则125xx−+=，即17xx+=.故选：A.11．函数2()log([1,4])fxxxx=+的值域是_______.【答案】[1,6]【详解】因为函数2

logyx=和yx=在(0,)+上都是增函数，所以2()logfxxx=+在(0,)+上是增函数，所以max2()(4)log446fxf==+=，min2()log111fx=+=，函数值域为[1,6]．故答案为：[1,6]．12．函数2()log(3)fxx=−的定义

域是________.【答案】(3,)+【详解】解：要使函数有意义，则x﹣3＞0，即x＞3，故函数的定义域为（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．13．已知函数()xfxa=（0a且1a），()12f=，则函

数()fx的解析式是__________.【答案】()()2xfxxR=【详解】由已知可得()12fa==，因此，()2xfx=.故答案为：()()2xfxxR=.14．已知函数()220log0xxfx

xx=，，；设()2fa−=，则()fa=_______.【答案】2−【详解】()21224af−=−==,()211log244faf===−,故答案为：2−15．设函数221,1()(4),1xxaxxfxax−++

=−，若()fx在R上单调递增，则a的取值范围是__________．【答案】4[1,]3【详解】因函数221,1()(4),1xxaxxfxax−++=−在R上单调递增，则有221=−++yxax在(,1]−上递增，于是

得1a，(4)xya=−在(1,)+上也递增，于是得41a−，即3a，并且有(1)4fa−，即24aa−，解得43a，综上得：413a，所以a的取值范围是4[1,]3.故答案为：4[1,]316．已知函数4()12xfxaa=−+（0,

1aa）且(0)0f=.（1）求a的值；（2）若函数()(21)()xgxfxk=++有零点，求实数k的取值范围.【答案】(1)2；(2)k＜1.解析：（1）对于函数f（x）=1﹣（a＞0，a≠1），由f（0）=1﹣=0，求得a=2，故f（x）=1﹣=1﹣.（2）若函数g（

x）=（2x+1）•f（x）+k=2x+1﹣2+k=2x﹣1+k有零点，则函数y=2x的图象和直线y=1﹣k有交点，∴1﹣k＞0，求得k＜1.17．已知函数()21fxxx=+与()1gxax=-.(1)若(

)fx与()gx有相同的零点，求a的值；(2)若()()0fxgx+对)1,x+恒成立，求a的最小值.【答案】(1)1a=−(2)1−(1)令()210fxxx=+=，即310x+=，所以()10f−=，故()110ga−=−−=，解得1a=−；(2)令()()()211Fxfxgxxa

xx=+=++−，因为()0Fx对)1,x+恒成立，所以()110Fa=+，则1a−，当1a=−时，()222211(1)(1)1(1)xxxFxxxxxxx−−+=+−−=−+=，当)1,x+时，2(1)0x−10x+，所以()0Fx，所以实数a的最小值是

1−.18．已知函数()()()log1log1aafxxx=+−−，0a且1a.（1）求()fx的定义域；（2）判断()fx的奇偶性并予以证明；（3）当1a时，求使()0fx的x的解集.【答案】（1）()1,1−；（2）奇函数，证明见解析；（3）()0,1.【详解】（1）因为(

)()()log1log1aafxxx=+−−，所以1010xx+−，解得11x−，()fx的定义域为()1,1−.（2）()fx的定义域为()1,1−，()()()()()()log1

log1log1log1aaaafxxxxxfx−=−+−+=−+−−+=−，故()fx是奇函数.（3）因为当1a时，()log1ayx=+是增函数，()log1ayx=-是减函数，所以当1a时()fx在定义域()1,1−

内是增函数，()0fx即()()log1log10aaxx+−−，()()1log01axx+>-，111xx+−，201xx−，()210xx->，解得01x，故使()0fx的x的解集为()0,1.19．已知函数2()1f

xxbx=++，其中,bcR.（1）若()fx的图象关于直线1x=对称时，求b的值；（2）当4b=时，解关于x的不等式()0fx；（3）当2b=时，令()()gxfx=，若0k，且1k，函数()xgk在1,1−上有最大值9，求k的值.【答案】（1）2b=−；（2）()(

),2323,−−−−++；（3）2k=或12k=.【详解】（1）2()fxxbxc=++的对称轴为2bx=−，又()fx的图象关于直线1x=对称，∴12b−=，解得2b=−.（2）当4b=时，()0fx，即为2410xx++，解得23x

−−或23x−+，∴不等式的解集为()(),2323,−−−−++.（3）当2b=时，2()21gxxx=++，则()()221xxxgkkk=++，设xtk=，则()221gttt=++，①当1k时，1,tkk，∵()221gttt=++在1,tkk

上为增函数，∴2max()()219gtgkkk==++=，可得2k=或4k=−，又1k，即2k=.②当01k时，1,tkk，∵()221gttt=++在1,tkk上为增函数，∴m2ax112()19gtgkkk==

++=，解得12k=或14k=−，又01k，即12k=.综上，2k=或12k=.20．土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题，污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众

健康．A，B两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注．某中学科技小组对由A，B两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米（不考虑物理及化学变化），已知重金属A的密度大于311g/cm，小于312g/cm，重金属B的密度为38.65g/cm．

试计算此混合物中重金属A的克数的范围．【答案】大于3948367克，小于4363147克.【详解】设重金属A的密度为3g/cmx，此混合物中含重金属A为y克．由题意可知，重金属B为()1000y−克，且10001008.65yyx−

+=．解得()13511128.65xyxx=−．因为1358.6513518.658.65xyxx==+−−，所以当8.65x时，y随x的增大而减小，因为1112x，所以8.658

.658.65135113511351128.658.65118.65yx+=++−−−．解得39434836316747y．故此混合物中重金属A的克数的范围是大于3948367克

，小于4363147克．