【文档说明】《【同步题型讲义】2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）》第29讲 三角恒等变换5种常见题型（解析版）.docx，共(35)页，1.495 MB，由envi的店铺上传

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第29讲三角恒等变换5种常见题型【知识点梳理】知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sincoscossin=；②cos()coscossinsin=；③tantantan()1tantan=；知识点二．二

倍角公式①sin22sincos=；②2222cos2cossin2cos112sin=−=−=−；③22tantan21tan=−；知识点三：降次（幂）公式2211cos21cos2sincossin2;sin;cos;222

−+===知识点四：半角公式1cos1cossin;cos;2222−+==sin1costan.21cossina−==+知识点五．辅助角公式)sin(cossin22++=+baba（其中abbaabab=+=+=tancossin2222，，

）．【方法技巧与总结】1．两角和与差正切公式变形)tantan1)(tan(tantan=；1)tan(tantan)tan(tantan1tantan−−−=++−=．2．降幂公式与

升幂公式2sin21cossin22cos1cos22cos1sin22=+=−=；；；2222)cos(sin2sin1)cos(sin2sin1sin22cos1cos22cos1

−=−+=+=−=+；；；．3．其他常用变式sincos1cos1sin2tantan1tan1cossinsincos2costan1tan2coss

incossin22sin222222222−=+=+−=+−=+=+=；；．3.拆分角问题：①=22；=(+)-；②()=−−；③1[()()]2=++−；④1[()()]2=+−−；⑤()424+=

−−．注意特殊的角也看成已知角，如()44=−−．【题型目录】题型一：和差角公式的应用题型二：二倍角公式的应用题型三：凑角（换元法）题型四：给值求角问题题型五：求非特殊角三角函数值【典例例题】题型一：和差角公式的应用【例1】（河南省豫南

九校2022-2023学年高三上学期第一次学业质量联合检测）在平面直角坐标系中，角的终边过点()3,1P−，角的终边与角的终边关于直线yx=对称，则()cos−=（）A．45−B．35-C．35D．45【答案】B【分析】得到点P关于yx=的对称点，

即可求得sin,cos，再结合余弦的和差角公式即可得到结果.【详解】由题意得角的终边过点()1,3−，所以10310310sin,cos,sin101010==−=−，10cos10=，故()3coscoscos

sinsin5−=+=−.故选:B.【例2】（2022·全国·高一课时练习）若sincos1sincos2+=−，则πtan4+的值为（）A．2−B．2C．12−D．12【答案】C【分析】利用弦化切和两角和的正切展开式化

简计算可得答案.【详解】因为sincos1sincos2+=−．所以tan1tan112−+=，解得tan3=−，于是πtan4+=()πtantan3114π1321tantan4+−+==−−−−．故选：C.【例3】（2022·浙江·余姚市实验高

中高一开学考试）已知函数()12sin,R36fxxx=−．设()106,0,,3,3222135ff+=+=，则()cos+的值为（）A．5665B．1665C．6365D．3365【答案】B【分析】由()1063,322135

ff+=+=，得5sin13=，3cos5=，再利用同角三角函数的关系求出cos,sin，然后利用两角和的余弦公式可求得()cos+的值.【详解】因为()12sin,R

36fxxx=−，()1063,322135ff+=+=，所以1102sin332613+−=，()162sin32365+−=，所以5sin1

3=，3sin25+=，所以3cos5=，因为,0,2，所以22512cos1sin116913=−=−=，294sin1cos1255=−=−=，所以()c

oscoscossinsin+=−123541613513565=−=，故选：B【例4】（2022·云南·罗平县第一中学高二期末）已知()()3sincoscossin5−−−=，且为第四象限角，则tan

=（）A．34−B．45−C．43−D．35-【答案】A【分析】利用两角差的正弦公式求得3sin5=−，根据同角的三角函数关系求得cos，即可求得答案.【详解】由()()3sincoscossin5−−−=可得3sin[()]5−−=，即33sin(),

sin55−==−，因为为第四象限角，故23cos1(4)55=−=，所以sin3tancos4==−，故选：A【例5】（2022·湖北·高三开学考试）sin109cos296cos71sin64+=（）A．12B．22C．32D．1【答案】B【

分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确选项.【详解】()()sin109cos296cos71sin64sin18071cos36064cos71sin64+=−−+()2sin71cos64cos71sin64sin7164sin1352=+

=+==.故选：B【例6】（2022·全国·高一课时练习）已知34cossin,sincos55+=+=，则sin()+=_______________．【答案】12−【分析】将所给条件两边同时平方再相加即可得解.

【详解】解：因为3cossin5+=，4sincos5+=，所以29(cossin)25+=，216(sincos)25+=，即229cos2cossinsin25++=，221

6sin2sincoscos25++=，两式相加得2522sincos2cossin125++==，所以1in()s2+=−．故答案为：12−【例7】（2022·全国·高一单元测试）化简：tan19

tan26tan19tan26++=_____．【答案】1【分析】结合两角和的正切公式求得正确答案.【详解】由于()tan19tan26tan45tan192611tan19tan26+=+==−

，所以tan19tan261tan19tan26+=−，所以tan19tan26tan19tan26++=1tan19tan26tan19tan261−+=.故答案为：1【题型专练】

1．（2022·云南昆明·高三开学考试）已知，都是锐角，1sin3=，6cos3=，则()cos+=（）A．33B．539C．63D．69【答案】A【分析】利用同角三角函数基本关系以及两角和的余弦公式求解.【详解】因为，都是锐角，1sin3=，

6cos3=，所以22122cos1sin1()33=−=−=，2263sin1cos1()33=−=−=，所以()coscoscossinsin+=−22613333333=−=.

故B，C，D错误.故选：A.2.（2022·全国·高一课时练习）已知34cossin,sincos55+=+=，则sin()+=_______________．【答案】12−【分析】将所给条件两边同时平方再相加即可得解.【详解】解：因为3cossin5+=，4

sincos5+=，所以29(cossin)25+=，216(sincos)25+=，即229cos2cossinsin25++=，2216sin2sincoscos25++=，两式相加

得2522sincos2cossin125++==，所以1in()s2+=−．故答案为：12−3．（2022·全国·高一课时练习）已知3cos()2cos()0,tan,tan++−=均有意义，则tantan的值为

___________．【答案】5【分析】根据两角和与差的余弦公式，以及三角函数的基本关系式，准确化简，即可求解.【详解】因为3cos()2cos()0++−=，可得3(coscossinsin)2(coscoss

insin)0−++=，整理得5coscossinsin0−=，即5coscossinsin=，又由sinsintantan5coscos==.故答案为：5.4

．（2022·河南·高二开学考试）sin62cos32sin32cos118+=（）A．32B．12C．32−D．12−【答案】B【分析】根据诱导公式、差角的正弦公式求解.【详解】sin62cos32sin32cos118sin62co

s32sin32cos(18062)+=+−sin62cos32sin32cos62=−()1sin6232sin302=−==．故A，C，D错误.故选：B.5．（2022·全国·高一课时练习）已知tan,tan是关于x的一元二次方程2620

xx++=的两个实数根，则sin()cos()+=−（）A．1−B．1C．2−D．2【答案】C【分析】由韦达定理得tantan,tantan+，利用两角和与差的正弦公式展开求值式并弦化切，然后代入计算．【详解】∵tan,tan是关

于x的一元二次方程2620xx++=的两个实数根，∴tantan6,tantan2+=−=．则sin()sincoscossintantan62cos()coscossinsin1tantan12+++−====−−++

+．故选：C．6．（内蒙古包头市2022-2023学年高三上学期开学调研考试数学（文）试题）已知tan24−=，且是第二象限角，则sin=______．【答案】31010【分析】首先利用两角差的正切公式求tan，再利用同角三角函数基本关系式求sin.【详解】t

an1tan241tan−−==+，解得：tan3=−，22sin3cossincos1=−+=，且是第二象限角，所以310sin1010cos10==−.故答案为：310107．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期

中）求值：cos58°sin77°＋sin122°sin13°=_______．【答案】22【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式即可求解.【详解】解：()()cos58sin77sin122sin13cos58sin77sin18058sin90

77+=+−−()()2cos58sin77sin58cos77sin5877sin135sin18045sin452=+=+==−==，故答案为：22.8．（2022·全国·高一课时练习）3tan50tan20ta

n50tan203−−=____________．【答案】33【分析】由正切的差角公式，可得()tan50tan20tan50201tan50tan20−−=+，经过等量代换与运算可得答案.【详解】3tan50tan20tan50tan203−−()()3t

an50201tan50tan20tan50tan203=−+−()3tan301tan50tan20tan50tan203=+−3333tan50tan20tan50tan203333=+−=．故答案为：33.题型二：二倍角公式运用【例

1】（2022·浙江·高三开学考试）若π6+=，且2cossin2sin1cos2+=+，则cos=（）A．34−B．34C．14−D．14【答案】A【分析】由二倍角公式将的等式右侧化简，再利用分式运算及两角和差的余弦公

式化简，根据π6+=，即可求得cos的值.【详解】解：由2cossin2sin1cos2+=+，且2sin22sincos,1cos22cos=+=即22cos2sincossinsin2coscos

+==.所以()2coscossinsin+=整理得：2coscos()0++=又π6+=，所以π2coscos06+=，即3cos4=−.故选：A.【例2】（2022·云

南·罗平县第一中学高二期中）公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m=，若24mn+=，则212cos27mn−的值为（）A．1B．2C．-1

D．-2【答案】D【分析】由平方关系结合二倍角正弦和余弦公式得出答案.【详解】因为2sin18m=，24mn+=，所以()22242sin1844sin184cos18n=−=−=，所以24sin18cos182sin36212cos27cos54cos54

mn===−−−−故选：D.【例3】（2022·甘肃临夏·高二期末（文））若为第二象限角，2sincos3+=−，则sin2=（）A．518B．518−C．59D．59−【答案】D【分析】利用同角关系，对所给等式两边平方，逆用二倍角的正弦公式，可解得答

案.【详解】因为2sincos3+=−，两边平方得,229sin2sinco4scos++=，所以，412sincos9+=，所以，5sin29=−．故选：D.【例4】（2022·湖南·高三开学考试）已知为

三角形的内角，且2sin2sin=，则()sin1cos2sincos−=+___________.【答案】1615【分析】根据二倍角公式可由2sin2sin=得tan2=，再将()sin1cos2sincos−+化成齐次式即可解出．【详解】由2sin2sin

=，可得tan2=，故()222222sin1cos2tan4sin4tan162sinsincostan13sincos3tan115−====++++.故答案为：1615．【例5】（2022·贵州黔南·高三开学考试（理）

）若()0,π，2cos2tan32sin2=−，则cos=（）A．29−B．29C．79−D．79【答案】D【分析】利用商数关系式和二倍角公式化简题设中的三角函数式可得1sin23=，再根据二倍角的余弦公式可求cos的值.【详解】因为2cos2tan32s

in2=−，故2cossin2cos32sin2=−，故22sincos2cos22212sin32sin22=−−，因为()0,π，故π0,22，所以cos02，所

以2sin212sin32sin122=−−即1sin23=，故27cos12sin29=−=，故选：D.【例6】（2022·全国·高一单元测试）设13cos6sin622a=−，22tan131tan13b=+，1cos502c−=，则有

（）A．abcB．abcC．acbD．bca【答案】C【分析】利用辅助角公式化简a，利用倍角公式化简,bc，利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】()13cos6sin6sin306sin2422a=−==−，2222tan132

sin13cos13sin261tan13cos13sin13b===++，21cos50sin25sin252c−===.因为函数sinyx=在π0,2上是增函数，所以acb.故选：C.【题型专练】1.（20

22全国高一课时练习）（多选）下列三角式中，值为1的是（）A．4sin15cos15B．222cossin66−C．22tan22.51tan22.5−D．11cos226+【答案】ABC【解析】A选项,1

=2sin30=2=124sin15cos15，故正确.B选项，2212cossin2cos216632=−==，故正确.C选项，22tan22.5tan4511tan22.5==−，故正确.D选项，1111323cos12262222

++=+=，故错误故选：ABC2．（2022全国高一课时练习）若cos22a=，则sin11=_______，cos11=_______．【答案】12a−12a+【解析】22cos222cos11112sin11=−=−，所以1cos221cos1122a++==．1

cos221sin1122a−−==．故答案为：12a−；12a+．3．（2022·全国·高一课时练习）若π0,2，且21sincos24+=，则下列各式中正确的是（）A．tan23=−B．t

an23=C．3tan3=D．tan3=【答案】AD【分析】先利用倍角公式以及平方关系求出cos，再结合选项逐个验证即可.【详解】因为21sincos24+=，所以22221sincossincos4+−==，解得1cos2=．又

π0,2，所以1cos2=，从而tan3=，于是22tantan231tan==−−．故选：AD.4．（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知为锐角，且4cos5=，则π

sin26+=___________.【答案】243750+【分析】根据同角关系可由余弦求出正弦，然后由二倍角公式以及两角和的正弦即可求解.【详解】因为为锐角，且4cos5=，所以3sin5=，所以2432447sin22cos2215525525===−

=.所以πππ2437sin2sin2coscos2sin66650++=+=.故答案为：243750+5．（2022·全国·高一课时练习）若是第三象限角，且()()5sincossincos13+−+=−，则tan

2=___________.【答案】5−【分析】利用两角差的正弦公式化简已知条件，求得sin，利用同角三角函数的基本关系式求得cos，结合降幂公式求得tan2.【详解】()()()5sincoss

incossinsin13+−+=+−==−，由于是第三象限角，所以212cos1sin13=−−=−，所以2121cos1sinsin1cos13222tan5152sincossincossin

222213−+−======−−.故答案为：5−6.（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin5=−，且3ππ,2，则1tan21tan2−=+（）A．12B．

12−C．2D．−2【答案】D【解析】【分析】由2222sincos2tan222sin2sincos22sincostan1222===++，可解得tan2，即可求解【详解】3sin2sincos225==−，故2222sincos2tan3222

5sincostan1222==−++，可解得1tan23=−或tan32=−，又3ππ,2，故tan32=−，故1tan221tan2−=−+，故选：D7.（2022新高考2卷）若sin(α＋β)＋cos(α＋

β)＝22cos(α＋π4)sinβ，则A．()1tan=−B．()1tan=+C．()1tan−=−D．()1tan−=+【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：()si

ncoscossincoscossinsin2cossinsin++−=−,即：sincoscossincoscossinsin0−++=，即：()()sincos0−+−=,所以()tan1−=−,故选：C题型三：凑角（换元法）【例1】

（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知π0,4，π4sin45+=，则sin的值为（）A．210−B．210C．7210D．7210−【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系求出πcos4+的值，再利用两角差的正弦公式可求得s

in的值.【详解】因为π0,4，则πππ442+，所以，2ππ3cos1sin445+=−+=，所以，ππππππ2sinsinsincoscossin444444

10=+−=+−+=.故选：B.【例2】（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）若02，02−，1cos43+=，3cos423−=，则cos

2+=（）A．33B．33−C．539D．69−【答案】C【分析】根据题意求得sin4+和sin42−的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.【详解】由题意，可得442

+，4422−，因为1cos43+=，3cos423−=，可得22sin43+=，6sin423−=，则coscoscoscossinsin

2442442442+=+−−=+−++−132265333339=+=.故选：

C.【例3】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知3sin54+=，则sin210−=（）A．58B．58−C．38−D．38【答案】B【分析】由条件根据余弦的二倍角公式可求出cos25+的值，再根据诱

导公式可求出答案.【详解】因为3sin54+=，所以235cos212sin1255168+=−+=−=，所以5sin2sin2cos2105258

−=+−=−+=−.故选：B．【例4】（2022·贵州黔东南·一模（文））若()1tan3+=，()1tan6a−=，则tan2=___________.【答案】917【分析】由2=++−，应用和

角正切公式即可求值.【详解】()11936tan2tan1117136+=++−==−.故答案为：917.【例5】（2023全国）已知324，12cos()13−=，3sin()

5+=−，求cos2与cos2的值．【答案】33cos265=−，63cos265=−.【解析】因为324，所以04−，32+，所以22125sin()1cos()11313

−=−−=−=，2cos()1sin()+=−−+234155=−−−=−，所以()()cos2cos=++−cos()cos()sin()sin()=+−−+−4123551

3513=−−−3365=−，()()cos2cos=+−−cos()cos()sin()sin()=+−++−412356351351365=−+−=−

．【例6】（2022·全国·模拟预测）已知1sin35+=，则cos23−=（）A．2325B．2325−C．255D．255−【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式

即得.【详解】因为1sincoscos3665+=−=−=，所以22123cos2cos22cos121366525−=−=−−=−=−.故选：B．【题型专练】

1．（2022·全国·高一课时练习）已知23−=，且1coscos3+=，则cos()+的值为（）A．79B．79−C．19D．19−【答案】B【分析】由,2222+−+−=

+=−，结合已知及和差角余弦公式可得12coscos223+−=，进而可得1cos23+=，最后由倍角余弦公式求值.【详解】因为1coscos3+=，所以12coscos223+−=，因为23−=，所以1cos22−=，

于是1cos23+=，所以27cos()2cos129++=−=−．故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）已知tan62π=−，()tan3+=−，则πtan6+=（）A．1B．-1C．57−D．57【答案】A【分析】由()ππ

tantan66+=+−−，利用两角差的正切公式展开，即可计算出答案.【详解】因为tan62π=−，()tan3+=−，所以πtan6+()πtan6=+−−()()π

tantan6π1tantan6+−−=++−()321132−−==+−.故选：A.3．（2022·全国·高一课时练习）已知π0π2，3sin5=，()4cos5+=−，则sin的值为（）A．2425或0B．0C．3365

D．2425【答案】D【分析】根据两角差的正弦公式，结合同角三角函数的关系与()sinsin=+−求解即可.【详解】∵π0π2，∴π3π22+，∵3sin5=，()4cos5+=−，∴4cos5=，()3sin5

+=.则()()()24sinsinsincoscossin25=+−=+−+=或0.∵ππ2，∴24sin25=.故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）已知4sin5=−，3ππ2，ππ2，()16c

os65−=，则sin=________.【答案】513【分析】根据同角三角函数的关系可得cos与()sin−，再结合()coscos=−−以及同角三角函数的关系可得sin.【详解】∵4sin5=−，且3ππ2，∴23cos1sin5=−−=−.∵ππ2

，∴ππ2−−−，∴0π−.又()16cos65−=，∴()()221663sin1cos16565−=−−=−=，∴()coscos=−−()()co

scossinsin=−+−3164631256556513=−+−=−，又∵ππ2，∴25sin1cos13=−=.故答案为：5135．（2022·全国·高一课时练习）已知27cos27−=−，1sin22−=，

2，02，求：(1)cos2+的值；(2)()tan+的值.【答案】(1)2114−，(2)5311【分析】（1）先由已知条件判断,22−−的范围，再利用同角三角函数的关系求出s

in,cos22−−，则由coscos222+=−−−利用两角差的余弦公式可求得cos2+，（2）由同角三角函数的关系求出sin2+，从而可求得tan2+的值，

再利用正切的二倍角公式可求得()tan+的值.（1）因为2，02，所以42−，422−−，所以221sin1cos227−=−−=，23cos1sin222−=−−=，所以co

scos222+=−−−coscossin.sin2222=−−+−−27321121727214=−+

=−.（2）因为3424+，21cos214+=−，所以257sin1cos2214++=−=，所以sin532tan23cos2++==−+，所以225322tan3532tan()11531tan1

23+−+===+−−−.6.（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin64x−=，则cos23x−=（）A．78−B．78C．154−D．154【答案

】B【分析】根据题意得sin6x−的值，再根据2cos212sin36xx−=−−求解即可.【详解】因为sinsin66xx−=−−，所以1si

n64x−=−，2217cos2cos212sin1236648xxx−=−=−−=−−=.故选：B.7.（2022·湖北·模拟预测）已知,22−

，且1cos42−=，则cos2=（）A．32−B．32C．12D．32【答案】D【解析】【分析】由已知的取值范围，求出4−的取值范围，再结合1cos42−=即可

解得的值，cos2即可求解【详解】因为22−，所以3444−−又1cos42−=，所以43−=−，所以12=−所以3cos2coscos662=−==故选：D8．（2022·江苏·高三专题练习）

已知4，32，4sin25=，2cos()10+=−，则（）A．10cos10=−B．5sincos5−=C．34−=D．2coscos5=−【答案】BC【解析】先根据4sin25=，判断角的范围，再根据cos2求cos

；根据平方关系，判断sincos−的值；利用公式cos()cos[()2]−=+−求值，并根据角的范围判断角−的值；利用公式()cos+和()cos−，联合求coscos.【详解】①因为4，所以222

，又4sin205=，故有22，42，解出22315cos22cos1coscos555=−=−==，故A错误；②()21sincos1sin25−=−=，由①知：42，所以sincos，

所以5sincos5−=，故B正确；③由①知：42，而32，所以524+，又2cos()010+=−，所以5342+，解得72sin()10+=−，所以

237242cos()cos[()2]1051052−=+−=−−+−=−又因为5342+，22−−−，所以4−，有34−=，故C正确；④由22cos()coscossinsin1010+=−−

=−，由③知，2cos()coscossinsin2−=+=−，两式联立得：32coscos10=−，故D错误．故选：BC【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数

值4sin25=，确定22，且2cos()010+=−，进一步确定5342+，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.题型四：给值求角【例1】（2022·江苏·金沙中学高一期末）已知()0π，，，1tan()2−=，1t

an7=−，则2−=（）A．5π4B．π4C．π4−D．3π4−【答案】D【分析】结合式子中角的特点以及范围，分别求tantan[()]=−+，tan(2)tan[()]−=−+，再根据正切值缩小,的范围，从而得到2−的范围，即

可得到角2−的大小.【详解】因为()()()11tantan127tantan1111tantan3127−−+=−+===−−+，11tan()tan23tan(2)tan[()]1111tan()tan123

+−+−=−+===−−−，而(0π)，，，1tan17=−−，所以π04，3ππ4，3ππ4−−−，ππ24−−−，所以3π24−=−．故选：D．【例2】（2022·全国·模拟预

测）已知263，43sinsin4sincostan315315315−+−+=，则=______．【答案】815【解析】【分析】由诱导公式、辅助角公式、倍角公式

得出11sinsin630−=，再由正弦函数的性质结合263得出.【详解】由题知3tan153sincos334sin15−−+−=，则3cossin15153sincos334sinc

os1515−−+−=，即2sin3152sin2362sin15−−+=，即222sincos15152sin26sin15−=，即2

211sincossinsin61521530−==−=，则112630k−=+或112630k−+=+，kZ．因为263，所以062−，所以11630−=，解得815=．故答案为：815【例3】（2022·

全国·高一课时）在ABC中，tantantan33ABC++=，2tantantanBAC=，则角B=（）A．30°B．45C．60D．75【答案】C【分析】由180ABC++=可知()tantanACB+=−，即tantan1tanttananACBAC+=−−，再

将题干等式代入化简，即可得出答案.【详解】因为180ABC++=，所以()tantanACB+=−，因为tantantan33ABC++=，所以tantan33tanACB+=−.又2tantantanBAC=，

所以由()tantantan1tantanACACAC++=−得233tantan1tanBBB−−=−，所以()2tan1tan33tanBBB−−=−，所以3tan33B=，所以tan3B=.又0180B，所以60B=.故选：C.【例

4】（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知5310sin,sin45410−=−+=，且3,,0,444，求−的值为_____．【答案】4【分析】注意到344

−=−−++，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意−范围的确定.【详解】3,,0,444，则30,4−，注意到344−=−−+

+，于是33sin()sinsin4444−=−−++=−++，不妨记3,44xy=−=+，于是sin()sin()sincossincosxyxyyx−=+=+，而5,0,sin25xx−=−

，于是25cos5x=（负值舍去），又310,,sin410yy=，则310cos10y=−（正值舍去），于是计算可得：2sin()sin()sincossincos2xyxyyx

−=+=+=，而30,4−，于是4−=.故答案为：4.【例5】（2022湖南·株洲市南方中学高一阶段练习）已知,都是锐角，111cos,cos()714=+=−，则

=___________.【答案】π3【分析】要求，先求cos，结合已知可有coscos[()]=+−，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】Q、为锐角，0π+1cos7=，11cos()14+=−243sin1co

s7=−=，()253sin()1cos14+=−+=coscos[()]=+−cos()cossin()sin=+++1115343()147147=−+12=由于为锐角，π3=故答案为

：π3【题型专练】1.（2022·河北石家庄·一模）已知角π0,2，πsinsinπ12tanπ12coscos12−=+，则=______.【答案】4【解析】【分析】化简πsinsinπ12tanπ12coscos12−=+，即可得到π

πsinsin612=−，再根据的范围，即可求出结果.【详解】πsinsinπ12tanπ12coscos12−=+，ππsinsinsin1212ππcoscoscos1212−=+，ππππsincoscoscossinsin12121212+=

−，ππππππsincossincoscossincossin121212121212+=−，ππππππsincoscossincossinsincos121212121212+=−

，ππsinsin612=−，π0,2，5π,121212−−ππ612=−，则ππ1264=+=.故答案为：4.2.（2023全国高三）已知153cos,sin(),0,071422=+=，求角

的值．【答案】3=【解析】因为10,cos27=，所以43sin7=．又因为02，所以0+．因为53sin()sin14+=，所以11cos()14+=−，所以sinsin[()]=+−sin()coscos()sin

=+−+5311143147147=−−32=．又因为02，所以3=．3.（2022·上海市大同中学高三开学考试）若()0,，且cos2sin4=−，则的值为___________.【答案】π4或7π12【解析

】【分析】根据二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式可得2(cossin)(cossin)(cossin)2+−=−，分类讨论当cossin=0−、cossin0−时的情况，结合(0,)和辅助角公式计算即可.【详解】由题意知，c

os2sin()4=−则222cossin(cossin)2−=−，即2(cossin)(cossin)(cossin)2+−=−，当cossin=0−时，cos=sin，即tan1=，

由(0,)，得4=；当cossin0−时，2cossin2+=，所以22sin()42+=，即1sin()42+=，由(0,)，得5(,)444+，所以546+=，得7π12=.故答案为：4或7124.（2022·全国·高三专题

练习）若5sin25=，()10sin10−=，且ππ,42，3π,π2，则+的值是______．【答案】7π4##7π4【解析】【分析】由5sin25=以及ππ,42，求出cos2的值，再求出π5,

π24−，再由()10sin10−=可求出()cos−的值，利用两角和的余弦公式计算()cos+=()cos2−+的值，结合角+的范围即可求得答案.【详解

】因为ππ,42，所以π2,π2，因为5sin25=，所以22525cos2=1sin21=55−−=−−−，因为ππ,42，3π,π2，所以π5,π24−，因为()10sin10

−=，所以π,π2−，所以()()2210310cos1sin1=1010−=−−−=−−−，所以()()()()coscos2=coscos2sinsin2

+=−+−−−310251052==1051052−−−，因为ππ,42，3π,π2，所以5π,2π4+，所以7π=4+.故答案

为：7π4.5.（2022·吉林·延边州教育学院一模（理））若5sin25=，()10sin10−=，且π,π4，3π,π2，则+=（）A．7π4B．π4C．4π3D．5π3【答案】A【解析】【分析】由两角和与差的余弦公式，结合角的取值范围求

解【详解】因为π,π4，所以π2,2π2，因为5sin25=，所以π2,π2，即ππ,42，所以22525cos2=1sin21=55−−=−−−

.因为ππ,42，3π,π2，所以π5,π24−，因为()10sin10−=，所以()()2210310cos1sin1=1010−=−−−=−−−.所以()()()()coscos2=c

oscos2sinsin2+=−+−−−310251052==1051052−−−.因为ππ,42，3π,π2，所以5π,2π4+，所以7π4+=.故选：A6.（2022·上海交大附中高

三开学考试）已知、都是锐角，且223sin2sin1+=，3sin22sin20−=，那么、之间的关系是（）A．4+=B．4−=C．24+=D．22+=【答案】D【解析

】【分析】推导出sin2coscos2sin=，可得出()cos20+=，求出2+的取值范围，即可得解.【详解】因为223sin2sin1+=，则223sin12sincos2=−=，所以，2sin23sin26sin

cos==，因为、都是锐角，由题意可得2cos23sin0=，所以，2sin23sincoscoscos23sinsin==，所以，()coscos2sinsin2cos20−=+=，因为、都是锐角，则02且02，则

02，所以，3022+，因此，22+=.故选：D.7．（2022全国高一课时练习）已知13sin,sin4242−=−+=，其中,4242

，求角+的值.【答案】56【解析】因为42，所以044−−.因为42，所以3244+.由已知可得3cos42−=，1cos42+=−，则cos()+cos44

=+−−coscos44=+−sinsin44++−1331322222=−+−=−.因为2+，所以56+=.8．（2022全国高一课时练习）已知12

12cos(),cos()1313−=−+=，且3,,,222−+，求角的值．【答案】2【解析】依题意1212cos(),cos()1313−=−+=，且3,,,222

−+，所以55sin(),sin()1313−=+=−.所以()()cos2cos=+−−()()()()coscossinsin=+−++−144251169169=−−=−.3,,,222

−−−+，两者相加得32,22−，所以2,2==.9.（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知11tan,tan,37==−且,(0,)，则2−=（）A．4B．4

−C．34−D．34−或4【答案】C【解析】【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出tan2()−的值，再判断2−的范围即可得解.【详解】因11tan,tan37==−，则22122tan33tan211tan

41()3===−−，31()tan2tan47tan(2)1311tan2tan1()47−−−−===++−，因,(0,)，tan0,tan0，则0,22，又tan20

，有022，于是得20−−，因此，324−=−，所以324−=−.故选：C10．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测多选）已知，，0,2，且2++=，则（）A．若sincos2+=，则tan1=B．若tan2=，则5sin(

)5+=C．tan，tan可能是方程2670xx−+=的两根D．tantantantantantan1++=【答案】ABD【解析】【分析】A.利用平方关系求解判断；B.利用诱导公式求解判断；C.利用角的范围判断；D.利用两角和的正切公式求解判断.【详解】A

.由sincos2+=，22sincos1+=，且0,2，所以22sin,cos22==，所以tan1=故正确；B.因为tan2=，且50,cos25=，，且2++=，所以5sin()sin()cos25+=−

==，故正确；C.若tan，tan可能是方程2670xx−+=的两根，则tantan6,tantan7+==，()tantantan11tantan++==−−，因为，0,2，所以

0+，所以34+=，又0,2，2++=，故错误；D.tantantantantantan++，()tantantantantan=++，

()tantantantantan2=+−−+，tantantantantantan1tantan+=++−，tantan1tantan1=+−=，故正确；故选：ABD11．（2022·重

庆巴蜀中学高三阶段练习多选）已知()54coscos255，+=−=−，其中,为锐角，则以下命题正确的是（）A．3sin25=B．()25cos5−=C．3coscos10=D．1tan

tan3=【答案】AB【解析】【分析】利用凑角的方式2()−=−+，将角看成整体，但要注意角的范围，根据同角三角函数的关系，两角和差的余弦公式及解方程即可求解.【详解】因为4cos25=−，π0,02π2，所以23s

in21cos25=−=，故A正确；因为()5cos5+=−，ππ0,0,0π22+，所以()()225sin1cos5+=−+=，所以cos()cos[2()]co

s2cos()sin2sin()−=−+=+++=−−+=453252555555，故B正确；cos()coscossinsin−=+=25

5①，cos()coscossinsin+=−=−55②，由+①②得，2cosco5s5=，解得coscos510=；故C不正确；由①-②得，32sinsin55=，解得3sinsin1

05=；3sinsin10tantan3cosc05os15===，故D不正确.故选：AB.12．（2022·浙江·高考真题）若3sinsin10,2−=+=，则sin=__________，co

s2=_________．【答案】3101045【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．【详解】2+=，∴sincos=，即3sincos10−=，即3101010sincos10

1010−=，令10sin10=，310cos10=，则()10sin10−=，∴22kkZ−=+，，即22k=++，∴310sinsin2cos210k=++==，则224cos22cos12sin15=−

=−=．故答案为：31010；45．题型五：求非特殊角三角函数值【例1】求值（1）sin10sin30sin50sin70；（2）sin6sin42sin66sin78【答案】（1）116；（2）116【解析】（1）原式1cos20cos40c

os802=sin20cos20cos40cos80sin16012sin2016sin2016===（2）原式sin6cos12cos24cos48=sin6cos6cos12cos24cos48cos

6sin96cos6116cos616cos616====【例2】（2022重庆八中高三阶段练习）3sin10tan104+=（）A．14B．34C．12D．32【答案】A【分析】先将sin10tan10co

s10=代入所求式子通分化简，再结合二倍角公式、两角差的正弦公式，即可得解．【详解】解：33sin104sin10cos103sin10sin10tan10sin1044cos104cos10++=+=2sin203sin102sin(3010)3sin104c

os104cos10+−+==132(cos10sin10)3sin10224cos10−+=cos1014cos104==．故选：A．【例3】求值cos10(13tan10)2sin501cos1

0+−−【答案】2−【详解】原式cos103sin102sin502sin5+−=2sin402sin502sin402cos402sin52sin522sin(4045)22sin522sin52sin5−−==−−===−【例4】（2022·湖北·襄阳四中

模拟预测）若角的终边经过点()sin70,cos70P，且tantan2tantan23m++=，则实数m的值为（）A．3−B．33−C．33D．3【答案】D【解析】【分析】先通过诱导公式变形确认的值

，再将tan603=变形化简．【详解】∵sin70cos20=，cos70sin20=，∴()cos20,sin20P，故tantan20=，tan2tan40=，又()tan20tan40tan60tan204031tan2

0tan40+=+==−，即tan20tan403tan20tan403++=，∴3m=．故选：D．【例5】（2023重庆一中高三阶段练习）求值：13tan101cos20−=−（）

A．1B．2C．3D．22【答案】D【解析】【分析】先化切为弦将tan10转化为sin10cos10，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值.【详解】原式2sin1013cos103sin10cos102sin10cos102sin1

0−−==()()2cos106022cos902022cos7022sin2022sin20sin20sin202sin202+−=====，故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的

运用，一方面需要利用sin10tan10cos10=以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个整体.【题型专练】1.求值23cos40cos10(1tan10tan60)1cos701cos70

++++−【答案】2.【详解】原式23cos40cos103sin102sin352cos35++=+23cos402sin402sin1002sin8022sin80sin80sin80+====

2.（2022·全国·高三专题练习）()tan30tan70sin10+=___________.【答案】33【解析】【分析】将原式化切为弦，通分，然后利用两角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解.【详解】()sin30sin70tan30tan70sin10()sin10co

s30cos70+=+(sin30cos70cos30sin70)sin10cos30cos70+=sin100sin102sin10cos103333sin20sin202===.故答案为：33.3.（2022·江苏南通·高三期

末）若311tan80sin+=，则α的一个可能角度值为__________.【答案】50,130,410,490等答案较多【解析】【分析】先把31tan80+化简成1sin50，解得sinsin50=后，解三角方程即

可解决.【详解】3sin803cos802sin(8060)2sin1401tan80sin80sin802sin40cos40+++===2sin401112sin40cos40cos40sin50sin====则sinsin50=，故36050,Zkk=+，或3

60130,Zkk=+故答案为：50,130,410,490等均符合题意.4.（2022上海高一课时练习）化简并求值.（1）()23tan1234cos122sin12−−；（2）()cos40sin5013tan10sin701cos40+++；（3）334sin208

sin202sin20sin480−+；（4）22131cos80cos10cos20−.【答案】（1）43−；（2）2；（3）233；（4）32.【解析】（1）原式3tan12

33sin123cos123sin123cos122cos24sin122cos24sin12cos12cos24sin24−−−===1343sin12cos122223sin126cos12sin48sin48−−==43sin4843sin

48−==−.（2）原式sin10cos40sin5013cos102sin70cos20++=()cos10cos40sin50cos103sin102sin70cos20cos10++=()cos

10cos402sin50cos60cos10sin60sin102sin70cos20cos10++=cos10cos402sin50cos50cos10cos40sin1002sin70cos20cos102sin70cos20cos10+

+==2cos10cos40sin80cos4012cos2022sin70cos20cos102sin70cos202cos20cos20++====.（3）原式()234sin2012sin2034si

n20cos402sin20sin4802sin20sin480−−−==()2sin20404sin20cos4034sin20cos402sin20sin4802sin20sin480+−

−==()2sin40201123=2sin20sin480sin480sin1203−===.（4）原式()()22cos103cos80cos103cos801cos80cos10cos20−+=()()224cos60cos1

0sin60sin10cos60cos10sin60sin101cos80cos10cos20−+=22224cos50cos7014sin40sin20cos80cos10cos20sin0cos10cos201

==2232sin20cos2032sin20cos20==.