【文档说明】《2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）》专题36 直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）.docx，共(43)页，3.392 MB，由envi的店铺上传

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专题36直线与圆、圆与圆的位置关系【考点预测】一．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交二．直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)ab到直线0AxByC++=的距离，则22||AaBb

CdAB++=+：dr直线与圆相交，交于两点,PQ，22||2PQrd=−；dr=直线与圆相切；dr直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()AxByCxaybr++=−+−=，消元得到一元二次方程2

0pxqxt++=，20pxqxt++=判别式为，则：0直线与圆相交；0=直线与圆相切；0直线与圆相离．三．两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两

圆12,OO的半径分别是,Rr，（不妨设Rr），且两圆的圆心距为d，则：dRr+两圆相交；dRr=+两圆外切；RrdRr−+两圆相离dRr=−两圆内切；0dRr−两圆内含（0d=时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为Rr，，

Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征dRr+dRr=+RrdRr−+dRr=−dRr−代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210【

方法技巧与总结】关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆222xyr+=上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为200xxyyr+=．（2）过圆222()()xaybr−+−=上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为200()()()()xaxaybybr−−+−−=（3）过圆220xyDxEyF

++++=上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为0000022xxyyxxyyDEF++++++=（4）求过圆222xyr+=外一点00(,)Pxy的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方

程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为00()yykxx−=−，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k的方程，求出k值．若求出的k值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k值只有

一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．【题型归纳目录】题型一：直线与圆的相交关系（含弦长、面积问题）题型二：直线与圆的相切关系、切点弦问题题型三：直线与圆的相离关系题型四：圆与圆的位置关系题型五：两圆的公共弦问题【典例例题】题型一：直线与圆

的相交关系（含弦长、面积问题）例1．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知直线30xya+−=与圆C：()()22211221xyaa++−=−+相交于点A，B，若ABC是正三角形，则实数=a（）A．－2B．2C．12−D．12【答案】D【解析】

设圆C的半径为r，由22112212022aaa−+=−+可得，2221raa=−+因为ABC是正三角形，所以点(1,1)C−到直线AB的距离为32r即2113322122aaa−+−=−+，两边平方得()223322124aaa=−

+，12a=故选：D例2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线(0)ykxk=与圆()()22:214Cxy−+−=相交于A，B两点23AB=，则k＝（）A．15B．43C．12D．512【答案】B【解析】圆()()22:21

4Cxy−+−=的圆心()2,1C，2r=所以圆心()2,1C到直线(0)ykxk=的距离为d，则2211kdk−=+，而224312ABdr=−=−=，所以22111kdk−==+，解得：43

k=.故选：B.例3．（多选题）（2022·山东青岛·二模）已知22:60Cxyx+−=，则下述正确的是（）A．圆C的半径3r=B．点()1,22在圆C的内部C．直线:330lxy++=与圆C相切D．圆()22:14Cxy++

=与圆C相交【答案】ACD【解析】由2260xyx+−=，得22(3)9xy−+=，则圆心(3,0)C，半径13r=，所以A正确，对于B，因为点()1,22到圆心的距离为22(31)(022)233−+−=，所以点()1,22在圆C的外部，所以B错误，对于C，因为圆心(3,0)C到直线:

330lxy++=的距离为()12233313dr+===+，所以直线:330lxy++=与圆C相切，所以C正确，对于D，圆()22:14Cxy++=的圆心为(1,0)C−，半径22r=，因为2(31)4CC=+=，12124rrrr−+，所以圆()22:14Cxy+

+=与圆C相交，所以D正确，故选：ACD例4．（多选题）（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知圆C：()()22532xy−+−=，直线l：1yax=+，则下列说法正确的是（）A．当0a=时，直线l

与圆C相离B．若直线l是圆C的一条对称轴，则25a=C．已知点N为圆C上的动点，若直线l上存在点P，使得45NPC=，则a的最大值为67D．已知()5,32M+，(),Ast，N为圆C上不同于M的一点，若90MAN=，则t的最大值为52124+【

答案】ABD【解析】当0a=时，直线l：1y=，圆心()5,3C，半径2，圆心C到直线l的距离22d=，所以直线l与圆心C相离，故A正确；若直线l是圆C的一条对称轴，则直线过圆C的圆心，即351a=+，解得

25a=，故B正确；当PN与圆C相切时，NPC取得最大值，只需此时45NPC，即2PC时，故圆心C到直线l的距离251321ada+−=+，解得20021a，故C错误；设MN的中点为()00,Qxy，QMC=，则0002costyQAyQMy+=+=+，0

3sinyCQ=+=232sin+，故2211252125232sin2cos2cos244t++++=−−+，当且仅当60=且点A在点Q正上方时，等号成立，故D正确．故选：ABD．例5．（多选题）（2022·江苏·高二单元测试）设有

一组圆()()()22:4RkCxkykk−+−=，下列命题正确的是（）A．不论k如何变化，圆心kC始终在一条直线上B．存在圆kC经过点（3，0）C．存在定直线始终与圆kC相切D．若圆kC上总存在两点到原点的距离为1，则

322232,,2222k−−【答案】ACD【解析】根据题意，圆22:()()4(R)kCxkykk−+−=，其圆心为(,)kk，半径为2，依次分析选项：对于A，圆心为(,)kk，其圆心在直线yx=上，A正确；对于B，圆22:()()4kCxkyk−+−=，将

(3,0)代入圆的方程可得22(3)(0)4kk−+−=，化简得22650kk−+=，364040=−=−，方程无解，所以不存在圆kC经过点()3,0，B错误；对于C，存在直线22yxx=，即220xy−+=或220xy−−=，圆心(,)k

k到直线220xy−+=或220xy−−=的距离2222d==，这两条直线始终与圆kC相切，C正确，对于D，若圆kC上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆221xy+=与圆kC有两个交点，圆心距为222kkk+=，则有12||3k，解可得：32222k−−或23222k

，D正确．故选：ACD．例6．（多选题）（2022·河北沧州·二模）已知直线:20laxby+−=，圆22:()()2Cxayb−+−=，则下列结论正确的有（）A．若1ab−=，则直线l恒过定点()2,2−B．若

ab=，则圆C可能过点()0,3C．若222ab+=，则圆C关于直线l对称D．若221ab+=，则直线l与圆C相交所得的弦长为2【答案】ACD【解析】当1ab−=时，点()2,2−恒在l上，故选项A正确；当ab

=时，将点()0,3代入22()()2xaya−+−=，得22670aa−+=，该方程无解，故选项B错误；当222ab+=时，直线l恒过圆C的圆心，故选项C正确；当221ab+=时，l与C相交所得的弦长为22222222+−−=+ab

ab2，故选项D正确.故选：ACD例7．（多选题）（2022·河北·高三阶段练习）已知圆22:(1)(1)4Mxy+++=，直线:20+−=lxy，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线,PAPB，切点为A，B，则下列说法正确的是（

）A．四边形MAPB面积的最小值为4B．当直线AB的方程为0xy+=时，APB最小C．已知圆上有且仅有两点到直线l的距离相等且为d，则(222,222)d−+D．若动直线1ll⊥，且1l交圆M于C、D两点，且弦长(22,23)CD，则直线1l纵截距的取值范围为(2,2)(2,2)−−【

答案】ACD【解析】四边形MAPB面积的最小值即为PMl⊥时，而min112222PM−−−==，222PAPMR=−=，所以min1242SPAR==，A正确；当直线AB的方程为0xy+=时，此时PM最小，APB最大，且为90，B错误；圆上点到直线l的距离取值范围为[222,

222]−+，除去最远以及最近距离外均有两点到直线的距离相等，即为(222,222)−+，C正确；设M到直线1l的距离为d，因为||(22,23)CD，且2221||4CDrd=−，所以2221||4drCD=−，则(1

,2)d，设1|1(1)|:0,122mlxym−−−+−+=，即2||2m，所以(2,2)(2,2)m−−，D正确，故选：ACD．例8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知圆C的方程

为()2214xy++=，则（）A．若过点()0,1的直线被圆C截得的弦长为23，则该直线方程为1y=B．圆C上的点到直线34120xy−−=的最大距离为5C．在圆C上存在点D，使得D到点()1,1−的距离为4D．圆C上的任一点M到两个定点()0,0

O、()3,0A的距离之比为12【答案】BD【解析】圆C的圆心为()1,0C−，半径为2r=.对于A选项，若过点()0,1的直线的斜率不存在，则该直线的方程为0x=，由勾股定理可知，圆心C到直线0x=的距离为()22231−=，而圆心C到直线0x=的距离为1，合乎题意.若

所求直线的斜率存在，设直线的方程为1ykx=+，则圆心C到直线1ykx=+的距离为2111kdk−==+，解得0k=，此时直线的方程为1y=.综上所述，满足条件的直线的方程为0x=或1y=，A错；对于

B选项，圆心C到直线34120xy−−=的距离为()22312334−−=+−，因此，圆C上的点到直线34120xy−−=的最大距离为325+=，B对；对于C选项，记点()1,1N−，()221114−++，即点N在圆C内，且()221111NC=−++=，如下图所示：当

D、C、N三点不共线时，根据三角形三边关系可得DCCNDNDCCN−+，即13DN，当D、C、N三点共线且当点N在线段DC上时，1DNDCCN=−=，当D、C、N三点共线且当点C在线段DN上时，3DNDCCN=+=.综上所述，13DN，C错；对于D

选项，设点(),Mxy，则2=MAMO，即()222232xyxy−+=+，整理可得()2211xy++=，即点M的轨迹为圆C，D对.故选：BD.例9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）（多选）已知圆()()22:1225

Cxy−+−=，直线()():211740lmxmym+++−−=.则以下几个命题正确的有（）A．直线l恒过定点()3,1B．圆C被y轴截得的弦长为46C．直线l与圆C恒相交D．直线l被圆C截得最长弦长时，直线l的方程为250x

y−−=【答案】ABC【解析】直线l方程整理得(27)40mxyxy+−++−=，由27040xyxy+−=+−=，解得31xy==，∴直线l过定点(3,1)P，A正确；在圆方程中令0x=，得21(2)25y+−

=，226y=，∴y轴上的弦长为46，B正确；22(31)(12)525−+−=，∴(3,1)P在圆内，直线与圆一定相交，C正确；直线l被圆C截得弦最长时，直线过圆心(1,2)，则(21)2(1)7

40mmm+++−−=，13m=−，直线方程为1250333xy+−=，即250xy+−=．D错．故选：ABC．例10．（多选题）（2022·辽宁·一模）已知圆的圆心在直线2x=−上，且与1:320lxy+−=相切于点()1,3Q−，过点()1,0D−

作圆的两条互相垂直的弦AE、BF．则下列结论正确的是()A．圆的方程为：()2224xy++=B．弦AE的长度的最大值为23C．四边形ABEF面积的最大值为43D．该线段AE、BF的中点分别为M、N，直线MN恒过定点3

,02−【答案】AD【解析】设圆心为C()2,b−，圆的半径为r，由题可知2222232(21)(3)01(3)bbb−+−=−++−=+，22(21)(3)2r=−++−=，∴圆的方程为：22

(2)4xy++=，故A正确；当AE过圆心C时，AE长度最长为圆的直径4，故B错误；如图，线段AE、BF的中点分别为M、N，设CNd=，01.d则222||1CMNDCDCNd==−=−，224BFd=−，22

22424123AECMdd=−=−+=+，()()()2222212432122ABEFSBFAEdddd==−+=−++，∴212d=时，四边形ABEF面积有最大值211212722−++=，故C错误；∵四边形MDNC为矩形，则MN与CD互相平分，即MN过CD

中点(3,02−)，故D正确.故选：AD.例11．（2022·全国·高二专题练习）若圆22:220Cxyxy+−−=上至少有三个不同点到直线:lykx=的距离为22，则k的取值范围__．【答案】[23,23]−+【解析】由圆22:220Cxyxy+−−=的标准方程2

2:(1)(1)2Cxy−+−=，可得圆心坐标为(1,1)C，半径为2r=，圆上至少有三个不同的点到直线:lykx=的距离为22，则圆心到直线的距离应不大于等于22，即21221kk−+，整理得2410kk−+，解得2323k−+，即实数k的取值范围是[23,23]−+.故答案

为：[23,23]−+.例12．（2022·山东烟台·三模）已知动点P到点()1,0A的距离是到点()1,3B的距离的2倍，记P点的轨迹为C，直线1ykx=+交C于M，N两点，()1,4Q，若QMN的面积为2，则实数k的值为___________.【答案】7−或1【解析】设(

,)Pxy，则有()()()22221213xyxy-+=-+-整理得()()22144xy−+−=，即P点的轨迹C为以()1,4为圆心以2为半径的圆点()1,4Q到直线1ykx=+的距离2214311kkkk+−−=++直线1ykx=+交C于M，N两点，则223241kMNk−=−

+则QMN的面积222331242211kkSkk−−=−=++解之得7k=−或1k=故答案为：7−或1例13．（2022·河南·高三阶段练习（文））直线21yx=+与圆C：22450xyx+−−=相交于M，N两点，则MN=______．【答案】4【解析】圆C：()22

29xy−+=，其圆心坐标为()2,0，半径为3．圆心()2,0到直线2x－y＋1＝0的距离()22221521d+==+−，则2222954MNrd=−=−=．故答案为:4.例14．（2022·天津·高考真题）若直线()00xymm−+=与圆()()22113xy−+−=相交所得的弦

长为m，则m=_____．【答案】2【解析】圆()()22113xy−+−=的圆心坐标为()1,1，半径为3，圆心到直线()00xymm−+=的距离为1122mm−+=，由勾股定理可得22322mm+=，因为0m，解得2m=.故答案为：2.例15．（2022·全国·模拟

预测）在平面直角坐标系xOy中，过点(0,3)A−的直线l与圆22:(2)9Cxy+−=相交于M，N两点，若65AONACMSS=△△，则直线l的斜率为__________.【答案】3147【解析】由题意得(0,2)C，直线MN的斜率存在，设()11,Mxy，()22

,Nxy，直线MN的方程为3ykx=−，与22(2)9xy+−=联立，得()22110160kxkx+−+=，()22210064136640kkk=−+=−，得2169k，122101kxxk+=+

，122161xxk=+.因为65AONACMSS=△△，所以2116135252xx=，则212xx=，于是212xx=，（由点A及C在y轴上可判断出1x，2x同号）所以1221210311621kxkxk=+=+，两式消去1x，得218

7k=，满足0，所以3147k=.故答案为：3147例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知曲线y=243xx−+−与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_____．【答案】13[,

)24【解析】由曲线243yxx=−+−可得22(2)1(0)xyy−+=为以(2,0)为圆心，半径为1的上半圆直线kx−y+k−1=0(1)(1)0kxy+−+=过点(1,1)D−−，如图过(1,1)D−−和(1,0)A两点的直线斜率011112k+==

+；设过(1,1)D−−的直线1(1)ykx+=+与半圆22(2)1(0)xyy−+=相切，结合图像可知，显然斜率存在，故圆心到直线的距离等于半径，即2|21|11kkk+−=+解得34k=或0k=（舍去，与下半

圆相切）结合图像，故要使曲线y=243xx−+−与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是13[,)24故答案为：13[,)24例17．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：2830mxym−−−=和圆C：22612200xyxy+

−++=.（1）求圆C的圆心、半径（2）求证：无论m为何值，直线l总与圆C有交点；（3）m为何值时，直线l被圆C截得的弦最短？求出此时的弦长.【解析】（1）因为6,12,20DEF=−==所以6322D−−=−=，12622E−=−=−，所

以(3,6)C−，所以半径221143614480522RDEF=+−=+−=.（2）由2830mxym−−−=得(28)(3)0xmy−−+=，由28030xy−=+=得4,3xy==−，所以直线l经过定点M(4,3)−，因为22(

43)(36)105−+−+=，所以定点M(4,3)−在圆C内，所以无论m为何值，直线l总与圆C有交点.（3）设圆心C到直线l的距离为d，直线l被圆C截得的弦为AB，则||AB222Rd=−，则当d最大值时，弦长

||AB最小，因为||dCM22(43)(36)10=−+−+=，当且仅当CMl⊥时，d取最大值10，||AB取最小值22510215−=，此时111236343CMmk=−=−=−−+−，所以16m=−.所以16m=−时，直

线l被圆C截得的弦最短，弦长为215.例18．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点()33002MN，，，，直线():21(4lmxm+−-1）()100ymm+−=，动点P满足2PMPN=，则动点P的轨迹Γ的方程为______，若Γ的对称中心

为Cl，与Γ交于AB，两点，则的方程为ABC面积的最大值为______．【答案】22(1)1xy−+=12【解析】设(),Pxy，由题意得22223(3)22xyxy−+=−+，化简得Γ的方程为22(1)1xy−+=，()1,0C；直线l的方程可化为()()

12410xymxy+−+−+=，由102410xyxy+−=−+=解得11,22xy==，所以直线l过定点11,22D，又2DC=2211111222−+=，所以点11,2

2D在圆C的内部；作直线CEl⊥，垂足为E，设0,2DCE=，易求22DC=，所以2coscos2CEDC==，所以222cos21cos2122AB=−=−，所以()22211221121co

scoscos1222222ABCS=−=−−+，所以当2cos1=，即0=时，()max12ABCS=△；故答案为：22(1)1xy−+=，12.【方法技巧与总结】（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2l、弦心距d和半径r之间形成的数量关系222()

2ldr+=．（2）弦长问题①利用垂径定理：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系222()2lrd=+，这也是求弦长最常用的方法．②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．③利用弦

长公式：设直线:lykxb=+，与圆的两交点1122()()xyxy，，，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：22221212121||(1)[()4](1)lkxxkxxxxkA=+−=++−=+．题型二：直线与圆

的相切关系、切点弦问题例19．（2022·湖北·模拟预测）已知圆O：223xy+=，l为过()1,2M的圆的切线，A为l上任一点，过A作圆N：()2224xy++=的切线，则切线长的最小值是__________.【答案】393【解析】由题，直线OM的斜率为2，故直线l的

斜率为22−，故l的方程为()2212yx−=−−，即230xy+−=.又N到l的距离222035312d−+−==+，故切线长的最小值是2513394333−==故答案为：393例20．（2022·天津市第四十

七中学模拟预测）过点()2,2P与圆()2215xy−+=相切的直线是_________．【答案】260xy+−=【解析】由题意，因为()222125−+=，所以点()2,2P在圆()2215xy−+=上，

所以过点()2,2P与圆()2215xy−+=相切的直线的斜率1120221k=−=−−−，所以切线方程为()1222yx−=−−，即260xy+−=，故答案为：260xy+−=.例21．（2022·全

国·高三专题练习）已知圆O：则224xy+=，过点()2,4Q作圆的切线，则切线的方程为___________.【答案】2x=或34100xy−+=.【解析】由题意：当切线斜率不存在时，方程为：2x=，满足与圆

相切，当斜率存在时，设切线方程为：4(2)ykx−=−，则：2|42|21kk−=+，解得34k=，此时切线方程为：3542yx=+，即34100xy−+=，故答案为：2x=或34100xy−+=例22．（2022·广东·高三开

学考试）过点(2,2)P作圆224xy+=的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为_______．【答案】2+−xy0=【解析】方法1：由题知，圆224xy+=的圆心为()0,0，半径为2r=，所以过点(2,2)P作圆224xy+=的两条切线，切点分别为()0,2A、(

)2,0B，所以1ABk=−，所以直线AB的方程为2yx=−+，即20xy+−=；方法2：设()11,Axy，()22,Bxy，则由2211111142.12xyyyxx+=−=−−，可得112xy+=，同理可得222xy+=，所以直线AB的方程为2+−xy0=.故答案为：20

xy+−=例23．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知圆22:4210Cxyxy+−−+=，点P是直线4y=上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的最小值为______．【答案】453【解析】

圆22:4210Cxyxy+−−+=，即()()22214xy−+−=，由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则PAPB=，CAPA⊥，CBPB⊥，所以2ACPAPBCSSCAPA==四边形△，因为2CACBr===，所以2APBCSPA=四边形，又PCAB⊥，所以12

APBCSABCP=四边形，所以14PAABCP=，即24441PAABCPCP==−，所以AB最短时，CP最短，点C到直线4y=的距离即为CP的最小值，所以min3CP=，所以AB的最小值为4454193−=故答案为：453例24．（2022·全

国·高三专题练习）已知直线:10lxy−+=，若P为l上的动点，过点P作22:(5)9Cxy−+=的切线PAPB、，切点为A、B，当||||PCAB最小时，直线AB的方程为__________.【答案】20xy−−=【解析】22:(5)9Cxy−+=的圆心(5,0)C，半径3r=，四边

形PAMB面积21||||2||||3||392PACSPCABSPAACPAPC=====−，要使||||PCAB最小，则需||PC最小，当PC与直线l垂直时，||PC最小，此时直线PC的方程为5yx=−+，联立

15yxyx=+=−+，解得(2,3)P，则以PC为直径的圆的方程为22739()()222xy−+−=，则两圆方程相减可得直线AB的方程为20xy−−=．故答案为：20xy−−=．例25．（2022

·全国·高三专题练习）已知点Q是直线l：40xy−−=上的动点，过点Q作圆O：224xy+=的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.【答案】(1，－1)【解析】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆

O：224xy+=的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有0440xyx+=−=，解得11xy==−，

则直线AB恒过定点(1，－1).故答案为：(1，－1).例26．（多选题）（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）已知点M在直线():43lykx−=−上，点N在圆22:9Oxy+=上，则下列说法正确的是（）A．点N

到l的最大距离为8B．若l被圆O所截得的弦长最大，则43k=C．若l为圆O的切线，则k的取值范围为70,24D．若点M也在圆O上，则O到l的距离的最大值为3【答案】ABD【解析】对于A选项，由题意可知，直线l过定点()3,

4P，圆O的圆心为原点O，半径为3，设圆心O到直线l的距离为d.当OPl⊥时，22345dOP==+=，当OP与直线l不垂直时，5dOP=.综上所述，5dOP=，所以，点N到l的最大距离为538+=，A对；对于B选项，若l被圆O所截得的弦

长最大，则直线l过圆心O，可得34k−=−，所以43k=，B对；对于C选项，若l为圆O的切线，则24331kk−=+，解得724k=，C错；对于D选项，若M也在圆O上，则直线l与圆O相切或相交，当直线l与圆O相切时，O到l的距离取最大值3，

D对.故选：ABD.例27．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））设P为直线34110xy−+=上的动点，过点P作圆C：222210xyxy+−−+=的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为（）．A．2B．3C．6D．2【答

案】B【解析】圆的方程为：222210xyxy+−−+=，圆心(1,1)C、半径1r=.根据对称性可知，四边形PACB的面积为22122||||||2APCSPArPAPCr===−，要使四边形面积最小，则最需PC最小，即PC最小时为圆心到直线34110xy−+=，22|3411|10253

4d−+===+所以四边形PACB的面积的最小值为()22min||413PACBSPCr=−=−=.故选：B.例28．（2022·全国·高三专题练习）已知()3,4M是半径为1的动圆C上一点，P为圆22:1Oxy+=上一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A

，B，则当AB取最大值时，△PAB的外接圆的方程为（）A．223460xyxy+−−−=B．223460xyxy+−−+=C．22340xyxy+−−=D．22430xyxy+−−=【答案】A【解析】由1MC=，则动圆心C的轨迹方程为()()22341xy−+−=.P为圆22

:1Oxy+=上的动点，又5OM=，∴37PC，∵2PCABACPA=，1AC=，222PCPAAC=+，∴22121PAABPCPC==−，∴当PC最小时，AB最小，当PC最大时，AB最大.当27PCOM=+=时，AB取最大值，△PAB的外接圆以线段PC为直径，而PC中

点，即OM中点为3,22，∴外接圆方程为()22349224xy−+−=，即223460xyxy+−−−=.故选：A例29．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知直线:50lxy−+=，过直线上任意一点M作圆

()22:34Cxy−+=的两条切线，切点分别为A，B，则有（）A．四边形MACB面积的最小值为47B．AMB最大度数为60°C．直线AB过定点15,22D．AB的最小值为14【答案】AD【解析】对于A选项，由题意可知

=22MACMACBSSMAACMA==△四边形，当CMl⊥时，MC有最小值，即min305422MC−+==，此时()2min42427MA=−=，所以四边形MACB面积的最小值为47，故选项A正确；对于B选项，当CMl⊥时

，AMB最大，此时23coscos212sin4AMBAMCAMC==−=，此时60AMB，故选项B错误；对于C选项，设点()11,Axy，()22,Bxy，()00,Mxy，则0050xy−+=，易知在点A、B处的切线方程分别为

()()11334xxyy−−+=，()()22334xxyy−−+=，将点()00,Mxy分别代入两切线方程得()()0101334xxyy−−+=，()()0202334xxyy−−+=，所以直线AB方程为()()00334xxyy−−+=，整理

得0003350xxyyxx+−−+=，代入005yx=+，得()()035350xxyyx+−+−+=，解方程组30,5350,xyyx+−=−+=得5,21,2xy==所以直线AB过定点51,22，故选项C错误；对于D

选项，设直线AB所过定点为P，则51,22P，当CPAB⊥时，弦长AB最小，此时22251130222CP=−+−=，则AB的最小值为124142−=，故选项D正确，故选：AD.【方法技巧与总结】（1）圆的切线方程的求法①点00(

)Mxy，在圆上，法一：利用切线的斜率lk与圆心和该点连线的斜率OMk的乘积等于1−，即1OMlkk=−．法二：圆心O到直线l的距离等于半径r．②点00()Mxy，在圆外，则设切线方程：00()yykxx−=−，变成一般式：000kxyykx−+−

=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k．注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．（2）常见圆的切线方程过圆222xyr+=上一点00()Pxy，的切线

方程是200xxyyr+=；过圆222()()xaybr−+−=上一点00()Pxy，的切线方程是200()()()()xaxaybybr−−+−−=．过圆222xyr+=外一点00()Pxy，作圆的两条切线，则两切点所在直

线方程为200xxyyr+=过曲线上00()Pxy，，做曲线的切线，只需把2x替换为0xx，2y替换为0yy，x替换为02xx+，y替换为02yy+即可，因此可得到上面的结论．题型三：直线与圆的相离关系例30．（2022•荔湾区校级模拟）由直线1yx=+上的点向圆22(3)

(2)1xy−++=引切线，则切线长的最小值为()A．17B．32C．19D．25【解析】要使切线长最小，需直线1yx=+上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(3,2)−到直线1yx=+的距离d，|321|322d++==，故切线长的最小值为2218117dr−=−=，故

选：A．例31．已知点P为圆22:(1)(1)2Cxy−+−=上的动点，则P点到直线:40lxy−+=的距离的最小值为2．【解析】圆心(1,1)C到直线:40lxy−+=的距离等于4222=，故圆22:(1)(1

)2Cxy−+−=上的动点P到直线:40lxy−+=的距离的最小值为2222−=．故答案为2．例32．（2022•洛阳二模）已知点(,)pxy是直线40(0)kxyk++=上一动点，PA、PB是圆22:20Cxyy+−=的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB

的最小面积是2，则k的值为2．【解析】圆22:20Cxyy+−=的圆心(0,1)，半径是1r=，由圆的性质知：2PBCPACBSS=四边形，四边形PACB的最小面积是2，PBCS的最小值11(2Srdd==是切线长）2d=最小值圆心到直线的距离就是PC的最小值，22251251k+=

=+0k，2k=故答案为：2例33．（2022春•个旧市校级期末）已知圆22:1Oxy+=和定点(2,1)A，由圆O外一点(,)Pab向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足||||PQPA=．（1）求实数a、b间满足的等量关系；（2）求

线段PQ长的最小值．【解析】（1）连OP，Q为切点，PQOQ⊥，由勾股定理有222||||||PQOPOQ=−又由已知||||PQPA=，故：22222()1(2)(1)abab+−=−+−化简得实数a、b间满足的等量关

系为：230ab+−=．（2）由（1）知，点P在直线:230lxy+−=上．||||minminPQPA=，即求点A到直线l的距离．22|2215|25||521minPQ+−==+例34．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知点P在圆224Oxy+=：上，点()30A，，()04B，，

则（）A．点P到直线AB的距离最大值为225B．满足APBP⊥的点P有3个C．过点B作圆O的两切线，切点分别为M､N，则直线MN的方程为1y=D．2PAPB+的最小值是210【答案】ACD【解析】对A，14312034ABxylxy+=+−=：，则圆心

到直线的距离221212543d−==+，所以点P到该直线距离的最大值为1222255+=．A正确；对B，设点()Pxy，，则224xy+=，且()()34APxyBPxy=−=−，，，，由题意()()()222232534340224APBPxyxyxy

xyxy=−−=+−−=−+−=，，，两圆的圆心距为()223500222−+−=，半径和与半径差分别为5951222222+=−=，，于是951222，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个．B错误；对C，设()()1122，，，MxyNxy，则直

线MB，NB分别为112244xxyyxxyy+=+=，，因为点B在两条直线上，所以1122044044xyxy+=+=，，于是MN，都满足直线方程044xy+=，即直线MN的方程为1y=．C

正确；对D，即求122PAPB+的最小值，设存在定点()0Ct，，使得点P在圆O上任意移动时均有12PCPB=，设()Pxy，，则有()()2222142xytxy+−=+−，化简得()2223381164xyty

t++−=−，∵224xy+=，则有()2211tyt−=−，即()()1210tyt−−−=，∴1t=，则()01C，，所以()222210PAPBPAPCAC+=+=，所以D正确．故选：ACD．【方法技巧与总结】关于直线

与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．题型四：圆与圆的位置关系例35．（2022·全国·高三专题练习）已知圆()()()2221

11:220Cxyrr−+−=，圆()()()222222:110,Cxyrr+++=圆1C与圆2C相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12rr为_________.【答案】7225【解析】根据题意

作出如下图形：AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.当公切线AB与直线12CC平行时，公切线AB斜率不为7，即12rr不妨设12rr过1C作AB的平行线交2AC于点E，则：221ECrr=−，1ABEC=且1//ABEC()

()221212212132CCrr=+++==+,直线12CC的斜率为：21121k+==+，所以直线AB与直线12CC的夹角正切为：173tan174−==+.在直角三角形12ECC中，2134ECEC=，所以12143ECrr=−，又2221212ECECCC+=,整理得：()()2

2221211243rrrrrr−+−=+，解得：124rr=，又1232rr=+，解得：1325r=，21225r=，所以12rr=32122725525=.例36．（2022·全国·高考真题）写出与圆221xy+=和22(3)(4)16xy−+−=都相切

的一条直线的方程________________．【答案】3544yx=−+或7252424yx=−或1x=−【解析】圆221xy+=的圆心为()0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy−+−=的圆心1O为(3,4)，半径为4

，两圆圆心距为22345+=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为143OOk=，所以34lk=−，设方程为3(0)4yxtt=−+O到l的距离||19116td==+，解得54t=，所以l的方程为3544yx=−+，当切线为m时，设直线方程为0k

xyp++=，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk=+++=+，解得7242524kp=−=，7252424yx=−当切线为n时，易知切线方程为1x=−，故答案为：3544yx=−+或7252424yx=−或1x=−.例37．（2022·黑龙江

·双鸭山一中高三开学考试（文））若圆221:4Cxy+=与圆222:680Cxyxym+−−+=外切，则实数m的值是（）A．24−B．16−C．24D．16【答案】D【解析】圆221:4Cxy+=的圆心为()0,0，半径为2；圆222:680Cxyxym+−−+=的圆心为()

3,4，半径为25m−两个圆的圆心距为22345+=.由于两个圆外切，所以2255m+−=，解得16m=.故选：D例38．（2022·广西桂林·模拟预测（文））圆221:140Cxyx+−=与圆222:(3)(4)15Cxy−+−=

的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．相离【答案】A【解析】由221:140Cxyx+−=与圆222:(3)(4)15Cxy−+−=，可得圆心12(7,0),(3,4)CC，半径127,15RR==，则2212(73)(04)42CC=−+−=，且2121715,

715RRRR−=−+=+，所以211221RRCCRR−+，所以两圆相交.故选：A.例39．（2022·陕西·西安中学一模（理））在平面直角坐标系xOy中，圆1C：222660xyxy++−+=与圆2C：224240xyxy+−++=，则两圆的公切线的

条数是（）A．4条B．3条C．2条D．1条【答案】A【解析】圆1C：22(1)(3)4xy++−=的圆心1(1,3)C−，半径12r=，圆2C：22(2)(1)1xy−++=的圆心2(2,1)C−，半径21r=，2212||(12)[3(1)]5CC=−−+−−=，显然1212||CCrr+

，即圆1C与圆2C外离，所以两圆的公切线的条数是4.故选：A例40．（2022·全国·高三专题练习）圆()2224xy+−=与圆222210xmxym+++−=至少有三条公切线，则m的取值范围是（）A．(,5

−−B．)5,+C．5,5−D．(),55,−−+【答案】D【解析】将222210xmxym+++−=化为标准方程得()221xmy++=，即圆心为(),0,m−半径为1，圆()2

224xy+−=的圆心为()0,2，半径为2，因为圆()2224xy+−=与圆222210xmxym+++−=至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或相离，所以2421m++，即25m，解得(),55,m

−−+.故选：D例41．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知圆1O：222xy+=，圆2O：2220xymxmy+−−−=（mR且0m），则圆1O与圆2O的公切线有（）A．4条B．1条C．2条D．3条【答案】C【解析】解法

一：圆1O的圆心为()0,0，半径为2，圆2O的圆心为22mm，，半径为222m+，所以，圆心之间的距离2122mOO=，因为222222mm+−2222m++，故两圆相交，有两条公切线；解法二：两圆有()1,1−，()1,1−两个公共点，故两圆相交，有两条公切.故选:C．例42

．（2022·山东聊城·二模）已知点P在圆O：224xy+=上，点()30A−,，()0,4B，满足APBP⊥的点P的个数为（）A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】设点(,)Pxy，则224xy+=

，且(3,)(,4)APxyBPxy=+=−，，由APBP⊥，得22(3)(4)340APBPxxyyxyxy=++−=++−=，即22325()(2)24xy++−=，故点P的轨迹为一个圆心为3(,2)2−、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为5

9222+=，半径差为51222−=，有159222，所以两圆相交，满足这样的点P有2个.故选：B.例43．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）若圆221xy+=上总存在两个点到点(,1)a的距离为2，则实数a的取值范围是（）A．(22,

0)(0,22)−B．(22,22)−C．(1,0)(0,1)−D．(1,1)−【答案】A【解析】到点(,1)a的距离为2的点在圆22()(1)4xay−+−=上，所以问题等价于圆22()(1)4xay−+−=上总存在两个点也在圆221xy+=上，即两圆相交，故222112

1a−++，解得220a−或022a，所以实数a的取值范围为(22,0)(0,22)−，故选：A．例44．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知圆229:4Oxy+=，圆22:()(1)1Mxay−+−=，若圆M上存在点P，过点P作

圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得π3APB=，则实数a的取值范围是（）A．[15,15]−B．[3,3]−C．[3,15]D．[15,3][3,15]−−【答案】D【解析】由题可知圆O的半径为32，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线

，切点分别为A，B，使得60APB=，则30APO=，在RtPAO△中，3PO=，所以点P在圆229xy+=上，由于点P也在圆M上，故两圆有公共点.又圆M的半径等于1，圆心坐标(),1Ma，3131O

M−+∴，∴2214a+，∴a[15,3][3,15]−−.故选：D.例45．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠

0，则21a＋21b的最小值为（）A．3B．8C．4D．9【答案】D【解析】因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C

2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝224ab+，由题设可知222242114abab+=−+=，2222222222221144)()5942(5ababababbaba+=++++=当且仅当

a2＝2b2时等号成立．故选：D.例46．（2022·河南·模拟预测（文））下列方程中，圆221:20Cxxy−+=与圆222:449Cxy+=的公切线方程是（）A．330xy++=B．330xy+−=C

．330xy++=D．330xy=--【答案】B【解析】根据题意可知()221:11Cxy−+=，22223:2Cxy+=，如图，设公切线l与圆1C，圆2C分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点P，由几何关系可知11CA=，32OB=，11OPOCCP=+，11CPOPCAOB

=，所以3OP=，()3,0P，1sin2OPB=，6OPB=，l的斜率为33−，则l的方程为()333yx=−−，即330xy+−=，根据对称可得出另一条公切线方程为330xy−−=.故选：B．【方法技巧与总结】已知两圆半径分别为12,rr，

两圆的圆心距为d，则：（1）两圆外离12rrd+；（2）两圆外切12rrd+=；（3）两圆相交1212||rrdrr−+；（4）两圆内切12||rrd−=；（5）两圆内含12||rrd−；题型五：两圆的公共弦问题例47．（2022·全国·高三

专题练习）设点P为直线220xy+−=上的点，过点P作圆C：222220xyxy+++−=的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（）A．210xy−−=B．210xy+−=C．210xy−+=D．210

xy++=【答案】B【解析】由于PA，PB是圆C：()()22114xy+++=的两条切线，A，B是切点，所以2PACBPACSS=△2222224PAACPAPCACPC===−=−，当PC最小时，四边形PACB的面积取得最小，此时PC：()1112yx+=+，即210xy−−=，联

立210,220,xyxy−−=+−=得1,0,xy==所以()1,0P，PC的中点为10,2−，2215PC=+=，以PC为直径的圆的方程为221524xy++=，即2210xyy++−=，与圆C：222220xy

xy+++−=两圆方程相减可得直线AB的方程210xy+−=．故选：B．例48．（2022·河南·二模（文））已知圆221:20Cxykxy+−+=与圆222:20Cxyky++−=的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（）A．()1,1−B．(

)1,1−−C．()1,1−D．()1,1【答案】A【解析】由2220xykxy+−+=，2220xyky++−=两式相减得公共弦所在直线方程为：(2)20kxky+−−=，分别取0,2kk==，得220220yx−−=−=，解得11yx=−=，即(1,

1)P−故选：A例49．（2022·浙江省普陀中学高三阶段练习）圆221:(1)(1)28Oxy−+−=与222:(4)18Oxy+−=的公共弦长为（）A．23B．26C．32D．62【答案】D【解析】已知圆221:

(1)(1)28Oxy−+−=，圆222:(4)18Oxy+−=，两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：AB：3120xy−+=，而圆心1O到直线AB的距离为2213121013d−+==+，圆1O的半径为27，所以221(27)(1

0)322AB=−=，所以62AB=.故选：D.例50．（2022·全国·高三专题练习）圆221:230Cxyx+−−=与圆222:4210Cxyxy++−+=公共弦所在直线的方程为（）A．310xy++=B．310xy−+=C．320xy++=D．

320xy−+=【答案】D【解析】将两圆的方程相减得到两个圆公共弦所在直线方程为320xy−+=故选：D.例51．（2022·全国·高三专题练习）已知圆2221:Cxyr+=与圆2222:()()4(0)Cxaybrr−+−=交于不同的()

11,Axy，()22,Bxy两点，下列结论正确的有（）A．12xxa+=B．122yyb+=C．221122axbyab+=+D．()()12120axxbyy−+−=【答案】D【解析】两圆方程相减可得直线AB

的方程为222223abaxbyr+−−=，即222223axbyabr+=+−，故C不正确；连立222223byxaaxbyabr+=+−=可得AB中点1212,22xxyy++

，易知A、B错误.∴2221122222223223axbyabraxbyabr+=+−+=+−，两式相减可得()()12120axxbyy−+−=，故D正确.故选：D例52．（2022·全国

·高三专题练习）已知圆221:230Oxyx+−−=与圆222:4230Oxyxy+−++=相交于点A，B，则四边形12AOBO的面积是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根据条件易知1(1,0)O，2(2,1)O−，所以12||2OO=，圆221:230

Oxyx+−−=的半径为2，圆221:230Oxyx+−−=与圆222:4230Oxyxy+−++=相交于点A，B，AB的方程为：2260xy−−=.即30xy−−=，圆1O到AB的距离为：|103|22−−=于是||22AB=，因为12OOAB⊥，所以四边形12AOBO的面积为：1

211||||222222ABOO==.故选：B.【方法技巧与总结】两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．【过关测试】一、单选题1．不论k为何值，直线140kxyk+−+=都与圆相交，则该圆的方程可以是（）A．()()222125xy−++=B．()()221225xy+++=C

．()()223425xy−++=D．()()221325xy+++=【答案】B【解析】140kxyk+−+=，()41ykx=−++，∴直线恒过点P（—4，1），对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为：()()224211405−−++=＞，即P点不在该

圆内；对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为()()224112185−+++=＜，故点P在该圆内；对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为()()224314745−−++=＞，故点P不在该圆

内；对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为()()2241135−+++=，点P该在圆上，可能相切也可能相交；故选：B.2．已知圆O：2210xy+=，已知直线l：()2,axbyabab+=−

R与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，MN=（）A．352B．552C．25D．35【答案】C【解析】直线l：()2,axbyabab+=−R，即()()210axby−++=，所以直线过定点()2,1A−，()22||215

OA=+−=，圆O半径10r=，点A在圆O内，所以当直线与OA垂直的时候，||MN最短，此时22||2||25MNrOA=−=．故选：C．3．过点()2,3的直线l与圆C：22430xyx+++=交于A，B两点，当弦AB取最大值时，直线l的方

程为（）A．3460xy−+=B．3460xy−−=C．4380xy−+=D．4380xy+−=【答案】A【解析】圆C：22430xyx+++=化为22(2)1xy++=所以圆心坐标(2,0)−要使过点()2,3的直线l被圆C所截得的弦AB取最大值时，则直线过圆心由

直线方程的两点式得：023022yx−+=−+，即3460xy−+=故选：A4．若直线():340Rlxyaa++=与圆22:9Oxy+=交于不同的两点A、B，且52OAOBAB+=uuruuuru

uur，则=a（）A．55B．35C．25D．5【答案】A【解析】设圆心O到直线l的距离为d，∵OAOB=，则以,OAOB为邻边的平行四边为菱形，即2OAOBd+=uuruuur由52OAOBAB+=uuruuuruuur，

即522dAB=uuur，则455ABd=uuur又由垂径定理可知22192dAB+=uuur，即22495dd+=解得5d=则2200534ad++==+，解得55a=．故选：A．5．若点(1,0),(0,3)AB到直线l的距离分别为1和4，

则这样的直线l共有（）条A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】到点()1,0A距离为1的直线，可看作以A为圆心1为半径的圆的切线，同理到点()0,3B距离为4的直线，可看作以B为圆心4为半径的圆的切线，故所求直线为两圆的公切线，又()22||1

310AB=−+=，所以41||14AB−+，故两圆相交，公切线有2条，故选：C．6．已知圆()22:200Cxyaya++=截直线30xy−=所得的弦长为23，则圆C与圆()()22:111Cxy−++=的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【答案】C【解析】圆C的圆心为()0

,a−，半径为a，其圆心到直线30xy−=的距离为231aa=+，所截得的弦长为2223232aaa−==，解得2a=．所以()22:24Cxy++=，C的圆心为()0,2−，半径为2；又C的圆心为()

1,1−，半径为1，()()201212CC=−+−+=，故可得2121CC−+，则两圆的位置关系是相交．故选：C．7．设(2,0),(2,0)AB−，O为坐标原点，点P满足22||||16PAPB+，若直线6

0kxy−+=上存在点Q使得π4PQO=，则实数k的取值范围为（）A．1414,22−B．1414,,22−−+C．55,,22−−+D．55,22−【答案】B【解析】设()Pxy，

，22||16PAPB+，()()22222216xyxy+++−+„，即224xy+„．点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．若直线60kxy−+=上存在点Q使得π4PQO=，则PQ为圆224xy+=的切线时P

QO最大，如图，22sin2OPPQOOQOQ==…，即22OQ„．圆心到直线60kxy−+=的距离26221dk=+„，142k−„或142k…．故选：B．8．点M为直线4yx＝－＋上一点，过点M作圆O：224xy+=的切线MP，MQ，切点分别为P，Q，当

四边形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为（）A．x＋y－2＝0B．20xy+−=C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0【答案】A【解析】因为直线MP，MQ与圆O：224xy+=相切，切点为,PQ，所

以,OPMPOQMQ⊥⊥，MQMP=，所以四边形MPOQ的面积11222OMPOMQSSSOQQMOPMPMP=+=+=，又2224MPOMOPOM=−=−，所以224SOM=−，所以当OM取最小值时，四边形MPOQ的面积最小，又当且仅当OM与直线4yx＝－＋垂直时，OM

取最小值，所以当OM与直线4yx＝－＋垂直时，四边形MPOQ的面积最小，此时直线OM的方程为yx=，联立4yxyx==−+可得22xy==，所以点M的坐标为(2,2)，因为,OPMPOQMQ⊥⊥，所以,,,OPMQ四点共圆，圆的直

径为OM,该圆的圆心为(1,1)，半径为2，所以该圆的方程为：22(1)(1)2xy−+−=，又,PQ在圆224xy+=上，所以PQ为两圆的公共弦，所以PQ的方程为：20xy+−=故选：A.二、多选题9．已知圆22:40Cxyx+−=和直线:120

lkxyk−+−=，则（）A．直线l与圆C的位置关系无法判定B．当1k=时，圆C上的点到直线l的最远距离为222+C．当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，0k=D．如果直线l与圆C相交于,MN两点，则弦MN的中点的轨迹是一个圆【答案】BCD【解析】由题知，圆

22:40Cxyx+−=的圆心为()2,0C，半径为2r=，直线()():12210lkxykkxy−+−=−+−=，故直线l过定点()2,1P，对于A选项，由于点()2,1P在圆22:40Cxyx+−=内，故直线l与圆相交，A错误；对于B选项，当1k=

时，直线:10lxy−−=，圆心()2,0C到直线的距离为1222d==，故圆C上的点到直线l的最远距离为222+，B正确；对于C选项，当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心到直线的距离为2111dk==+，解得0k=，C正确；对于D选项，由于直线l过定

点()2,1P，设弦MN的中点为(),Qxy，则CQPQ⊥，即点Q的轨迹为以CP为直径的圆，故D正确.故选：BCD10．已知圆C：224xy+=，直线l过点()2,4P−，若将圆C向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到圆C，则下

列说法正确的有（）A．若直线l与圆C相切，则直线l的方程为3x＋4y－10＝0B．若直线l与圆C交于A，B两点，且ABC的面积为2，则直线l的方程为x＋y－2＝0或7x＋y＋10＝0C．若过点()2,0的直线l与圆C交于M，N两点，则当CMN面积最大时，直线l的斜率为1或－1

D．若Q是x轴上的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点，则直线RS恒过一个定点【答案】BCD【解析】对于A，圆C的方程为()()22344xy−+−=，圆心()342，，=r，当直线l垂直于x轴时，其方程为x＝－2，符合题意．当直线l不垂直于x轴时

，设直线l的方程为()42ykx−=+，即kx－y＋2k＋4＝0，则22421kk+=+，解得34k=−，所以直线l的方程为()3424yx−=−+，即3x＋4y－10＝0．综上，直线l的方程为x＝－2或3x＋4y－10＝0，所以A不正确．对于B，由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l

的方程为()142ykx−=+，即11240kxyk−++=．设圆心C到直线l的距离为d，则212422dd−=，即42440dd−+=，解得2d=，则1212421kdk+==+，解得11k=−或17k=−．所以直线l的方

程为x＋y－2＝0或7x＋y＋10＝0，所以B正确．对于C，可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为()22ykx=−，即2220kxyk−−=，所以圆心()0,0C到直线l的距离22221kdk−=+．因为()222144

2CMNSMNddddd==−=−△22422dd−+=（当且仅当224dd−=，即22d=时取等号）．由22d=，得()2222221kk−=+，解得21k=或21k=−，所以C正确．对于D，由题意知圆C的方程为(

)()22344xy−+−=，圆心()3,4C．设(),0Qt，则以CQ为直径的圆的圆心为3,22tD+，半径为()2316122tCQ−+=，则圆D的方程为()22322txy+−+−=()23164t−+，整理得()2234

30xytxyt+−+−+=，圆C与圆D的公共弦所在直线即为直线RS，将()()()22223430,344xytxytxy+−+−+=−+−=两式相减，可得直线RS的方程为()343210txyt−++−=，即()334210xtxy−++−=．令30,342

10,xxy−=+−=解得3,3,xy==即直线RS恒过定点()3,3，所以D正确．故选：BCD．11．已知点(),Pxy是圆()22:14Cxy−+=上的任意一点，直线()():131330lmxmym++−+−=，则下列结论正确的是（）A．直线l与圆C

的位置关系只有相交和相切两种B．圆C的圆心到直线l距离的最大值为2C．点P到直线43160++=xy距离的最小值为2D．点P可能在圆221xy+=上【答案】ACD【解析】对于A选项，因为直线l的方程可化为()3330xymxy−+++−=．令333x

yxy−=−+=解得03xy==，所以直线l过定点()0,3Q，直线l是过点Q的所有直线中除去直线330xy+−=外的所有直线，圆心()1,0C到直线330xy+−=的距离为131213−=+，即直线330xy+−=与圆C相交，又点()0,3Q

在圆()22:14Cxy−+=上，所以直线l与C至少有一个公共点，所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种，A正确；对于B选项，当直线l为圆C的切线时，点C到直线l的距离最大，且最大值为2QC=，B错误；

对于C选项，因为圆心C到直线43160++=xy的距离41645d+==，所以圆C上的点P到直线43160++=xy距离的最小值为422−=，C正确；对于D选项，圆221xy+=的圆心为原点O，半径为1，因为121OC==−，所以，圆C与圆O内切，故点P可能在

圆221xy+=上，D正确.故选：ACD.12．若实数x，y满足42xyxy−=−，则下列说法正确的是（）A．x的最小值是4B．x的最大值是20C．若关于y的方程有一解，则x的取值范围为)4,1620D

．若关于y的方程有两解，则x的取值范围为)16,20【答案】BD【解析】当0x=时，解得0y=，符合题意；当0x时，令ty=，则0t，又0xy−，则tx，即0,tx，则原方程可化为

222xtxt−+=−．设()22xftt=−+，()2gtxt=−，0,tx，则()ft的图象是斜率为2−的直线的一部分，()gt的图象是以原点为圆心，半径为x的四分之一圆，则问题等价于()ft的图象和

()gt的图象有公共点，观察图形可知，当直线与圆相切时，由25xx=，解得20x=；当直线过点()0,x时，2xx=，解得4x=；当直线过点(),0x时，22xx=，解得16x=．因此，要使直线与圆有公

共点，则有4,20x，综上，4,200x，故x的最大值为20，最小值为0．显然当0x=或20x=或)4,16x时，y有一解；当)16,20x时，y有两解．故选：BD．三、填空题

13．已知直线20xya−+=与圆O：222xy+=相交于A，B两点（O为坐标原点），且AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为___________.【答案】5【解析】如图：因为ABO是等于直角三角形，所以圆心（0,0）到直线20xya−+=的距

离为212=，应用点到直线的距离公式得：()221512aa==+−；故答案为：5.14．设221:1Oxy+=与222:(2)4Oxy+−=相交于,AB两点，则AB=________．【答案】152【解析】将221:1Oxy+=和222:(2)4Ox

y+−=两式相减：得过,AB两点的直线方程：14y=，则圆心1(0,0)O到14y=的距离为14，所以211521()42AB=−=，故答案为：15215．已知点(2,0)A−，(0,2)B，动点M满足0

AMMB=，则点M到直线2yx=−的距离可以是___________.（写出一个符合题意的整数值）【答案】1(答案不唯一)【解析】由题设知AMMB⊥，即M在以AB为直径的圆上，且圆心为(1,1)−，半径为2，所以M的轨迹为22(1)(1)4xy++−=，而(1,1)−

到2yx=−的距离为42222d==，即直线与圆相离，所以M到直线2yx=−的距离范围[2(21),2(21)]−+，由()()1,2,3,4221,221−+，故1满足.故答案为：1(答案不

唯一)16．已知P点为圆1O与圆2O公共点，圆2221:()()Oxaybb−+−=+1，圆2222:()()Oxcydd−+−=+1，若8,acacbd==，则点P与直线l：34250xy−−=上任意一点M之间的距离的最小值为___

______．【答案】2．【解析】设(,)Pmn，则222222()()12120manbbamamnbn−+−=+−++−−=，令1acbdt==，则222(22)0amtnamn−+++=，同理可得222(

22)0cmtncmn−+++=，因此,ac为方程两根，由韦达定理得222218,9,acmnmn=+−=+=，从而点P与直线l：34250xy−−=上任意一点M之间的距离的最小值为2532.5dr−=−=四、解答题17．试运用数形结合解下列问题：求函数1sin2cosxyx+=−

的值域.【解析】如图所示，设A的坐标为()2,1，B的坐标为(cos,sin)xx−，则直线AB的斜率为1sin1cosxx+−，∴函数1sin1cosxyx+=−的值域为直线AB的斜率的取值范围.如图，点B的轨迹为以O为圆心，半

径为1的圆，方程为221xy+=①，过点A作圆的切线AC和AD，设切线方程为ykxb=+②，将②代入①，得()221xkxb++=，整理得()2221210kxkbxb+++−=.∵直线和圆相切，∴222(2)4(1)(1)0kbkb=−+−=，即2210kb

−+=③，又A在切线上，∴12kb=+④，由③、④得：0k=，43k=.∴直线AB的斜率的取值范围是40,3，则函数1sin2cosxyx+=−的值域是40,3.18．已知圆C经过点(0,2),(2,0)AB，圆C的圆心在圆222xy+=的内部，且直线3450xy+−=被圆

C所截得的弦长为23.点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.(1)求圆C的方程；(2)若直线1yx=+与圆C交于A1，A2两点，求12BABA.【解析】(1)由题意，圆C的圆心在圆222xy+=，可得圆心C在线段A

B的中垂线yx=上，可设(,)Caa，圆C的半径为r，因为直线3450xy+−=被圆C所截得的弦长为23，且22(2)raa=+−，所以(,)Caa到直线3450xy+−=的距离227532415adraa+==−=−+，解得0a=或170a=，又圆C的圆心

在圆222xy+=的内部，所以0a=，此时2r=，所以圆C的方程为224xy+=.(2)将1yx=+代入224xy+=，整理得22230xx+−=，设1122(,),(,)AxyBxy，则121231,2xxxx+=−=−，所以1212121

21212(2)(2)2()4(1)(1)BABAxxyyxxxxxx=−−+=−+++++12122()53153xxxx=−++=−++=.19．已知圆C：()()22124xy−+−=．(1)求圆心

C的坐标及半径长；(2)求直线l：3yx=+被圆C所截得的弦AB的长．【解析】(1)因为圆C：()()22124xy−+−=，所以圆心()12C，，半径2r=；(2)圆心()12C，到直线l：3yx=+

的距离为()2212+3211d−==+−，所以直线l：3yx=+被圆C所截得的弦AB的长为()2222222−=，所以直线l：3yx=+被圆C所截得的弦AB的长为22.20．已知动圆E过定点()2,0P，且y轴被圆E所截得的弦长恒为4．(1)求圆心E的轨迹方程．(2)过点P的直线l与

E的轨迹交于A，B两点，()2,0M−，证明：点P到直线AM，BM的距离相等．【解析】(1)设(),Exy，圆E的半径()222rxy=−+，圆心E到y轴的距离dx=，由题意得224rd=+，化简得24yx=，经检验，符合题意．(

2)当直线斜率存在时，设():2lykx=−，与E的方程联立，消去y得，()22224440kxkxk−++=．设()11,Axy，()22,Bxy，则1221244,4xxkxx+=+=，()()()

()()()()()12122112121212222222222222AMBMkxkxkxxkxxyykkxxxxxx−−−++−++=+=+=++++++∵()()()()()1221122222240kxxkxxkxx−++−+=−=，∴0AMBMkk+=

，则直线PM平分AMB，当直线l与x轴垂直时，显然直线PM平分AMB．综上，点P到直线AM，BM的距离相等．21．已知在平面直角坐标系xOy中，点()0,3A，直线:24=−lyx．设圆C的半径为1，圆心在直线l上．(1)若圆心C也在直线1yx=−上，过点A作

圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使2=MAMO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【解析】(1)联立241yxyx=−=−，解得32xy==，即圆心()3,2C，所以，圆C的方程为()()22321xy−+−=.若切线的斜率不存在，则切线的方程为0x=，此时直

线0x=与圆C相离，不合乎题意；所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为3ykx=+，即30kxy−+=，由题意可得23111+=+kk，整理可得2430kk+=，解得0k=或34−.故所求切线方程为3y=或334yx=−+，即3y=或34120xy+−=.(2)设圆心C的坐标为(),24a

a−，则圆C的方程为()()22241xaya−+−−=，设点(),Mxy，由2=MAMO可得()222232xyxy+−=+，整理可得()2214xy++=，由题意可知，圆C与圆()2214xy++=有公共点，所以，()221233aa+−，即225128

05120aaaa−+−，解得1205a.所以，圆心C的横坐标a的取值范围是120,5.22．已知动圆M经过定点1(1,0)F−，且与圆222:(1)8Fxy−+=相内切．(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设点T在2x=上，过点T的两条直线分别交轨迹C

于A，B和P，Q两点，且TATBTPTQ=，求直线AB的斜率和直线PQ的斜率之和．【解析】(1)设动圆圆心(),Mxy，半径为r，由题意得：1222MFrMFr==−得1212222MFMFFF+==．所以圆心M的轨迹是以1F，2F为焦点的椭圆，且2,1acb===故轨迹

C方程为2212xy+=．(2)设(2,)Tt，11(,)Axy，22(,)Bxy，AB直线方程为1(2)ytkx−=−，33(,)Pxy，44(,)Qxy，PQ直线方程为2(2)ytkx−=−，()221122xyytkx+=−=−联立相消得2221111(21)4(2)2

(2)20kxktkxtk++−+−−=，()2111221211221842122221kktxxktkxxk−+=+−−=+()22221112121221212121tTATBkxkxkk+=+−+−=++同理()2222222121tTPTQkk+=++，又TAT

BTPTQ=，2222121222121102121kkkkkk++=−=++，又12kk，120kk+=．