【文档说明】《2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳(新高考专用)》2023届高三押题卷二(测试范围:高考全部内容)(解析版).docx,共(22)页,2.929 MB,由envi的店铺上传
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2023届高三押题卷二(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.测试范围:高中数学全部内容5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.集合,AB满足0,2,4,6,8,10,2,8,2,6,8ABABA===,则集合B中的元素个数为()A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】因
为2,8,2,6,8ABA==,所以6,2,8BBB,又0,2,4,6,8,10,2,6,8ABA==,所以0,4,10B,所以0,2,4,8,10B=,即集合B中的元素个数为5.故选:D.2.设复数z满足1+2i1+iz
=,则z=()A.2B.5C.102D.52【答案】C【解析】∵()()11i1i13+2i+2i+2ii1+i1+i1i222z−−====+−,∴223211022z=+=.故选:C.3.已知等差数列na的公差不为0,11a=且248,
,aaa成等比数列,则错误的是()A.19232aaaa+=+B.4534aaaaC.1112nSnn++=+D.nnSa【答案】C【解析】设等差数列na的公差为d(0d).因为11a=且248,,aaa成等比数列,所以()()()21311
7ddd+=++.解得:1d=,所以()()11111naandnn=+−=+−=.对于A:192319223aaaa++==++.故A正确;对于B:因为543445103412aaaa−=−=,所以4534aaaa.故B正确;对于C:()()()1122112122
nnnSnnnn+++++==++.故C错误;对于D:因为()()1122nnSnnnnna+−=−−=,所以当1n时,()102nnnSna−=−,即nnSa.故D正确.故选:C4.已知某品牌手机电池充满时的电量为4000(单
位:毫安时),且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A:电量呈线性衰减,每小时耗电400(单位:毫安时);模式B:电量呈指数衰减,即从当前时刻算起,t小时后的电量为当前电量的12t倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式,并在x小时后,切换为B模式,若使且在待机10小时后有
超过2.5%的电量,则x的可能取值为()A.4.6B.5.8C.7.6D.9.9【答案】C【解析】由题意:模式A在待机t小时后电池内电量为:4004000yt=−+;设当前电量为Q,模式B在待机t小时后电池内电量为:12tyQ=;则该电子产品处于满
电量待机状态时开启A模式,并在x小时后,切换为B模式,其在待机10小时后的电量为:()10140040002xx−−+,由()101400400040002.5%1002xx−−+=,即()104102xx−−,令10tx=−,则42tt,由图可分析,当144t时,
42tt,即0.2510469.75xx−,因为67.69.75故选:C.5.现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位,其中3家商户开特色小吃店,2家商户开文创产品店,一家商户开新奇玩具店,夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻,且文创产品店不相邻,则不
同的排法总数为()A.48B.72C.144D.96【答案】B【解析】先把3家小吃店捆绑全排共有33A6=种排法,再把小吃店与玩具店全排共有22A2=种排法,然后把2家文创店插空全排共有23A6=种排法,所以共有6×2×6=72种故选:B.6
.如图,在半径为4的扇形AOB中,=120AOB,点P是AB上的一点,则·APBP的最小值为()A.8−B.3−C.2−D.4−【答案】A【解析】设203BOP=,如图,以OB所在的直线为x轴,以OB的垂线为y轴,建立平面直角坐标系.则由已知可得,()0,0O,()4,
0B,23AOB=,根据三角函数的定义知()2,23A−,()4cos,4sinP.则()4cos2,4sin23AP=+−uuur,()4cos4,4sinBP=−uur,所以,()()4cos2,4sin234cos,s·44inAPBP
+=−−()8cos3sin816sin86=−++=−++,因为,203,所以5666+.则,当62+=,即3=时,该式子有最小值为-8.故选:A.7.用平
面截圆柱面,当圆柱的轴与所成角为锐角时,圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示,将两个大小相同的球嵌入圆柱内,使它们分别位于的上方和下方,并且与圆柱面和均相切.给出下列三个
结论:①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点;②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等;③当圆柱的轴与所成的角由小变大时,所得椭圆的离心率也由小变大.其中,所有正确结论的序号是()A.①B.②③C.①②D.①③【答案】C
【解析】如图:在椭圆上任意一点P作平行于12OO的直线,与球1O交于F点,与球2O交于E点,则PE,2PF是过点P作球2O的两条公切线,2PEPF=,同理1PFPF=,1212PFPFPEPFOO+=+=,是定值,所以12,F
F是椭圆的焦点;①正确;由以上的推导可知:121122,OOOOaOOa===,1OFc=,11OF⊥平面,11111,OFOFOOF⊥是直角三角形,2221111OFOFOO+=,即22211OFca+=,11OFb=,②正确;11FOO就是平面与轴线12OO的
夹角,在11RtOOF中,椭圆的离心率11cosOFceaOO===,由余弦函数的性质可知当锐角变大时,e变小,③错误;故选:C.8.已知函数()sincosfxxx=+,其中0.给出以下命题:①若()fx在π0,4上有且仅有1个
极值点,则15;②若()fx在π,π2上没有零点,则304或3724;③若()fx在区间π3π,24上单调递增,则103或532.其中所有真命题的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】D【解
析】()πsincos2sin4fxxxx=+=+,对于①,因为()fx在π0,4上有且仅有1个极值点,则()fx在π0,4上只有一个最值,因为π04x,所以ππππ4444x++,令π4tx
=+,则πππ444t+,则2sinyt=在πππ,444+上只有一个最值,所以πππ3π2442+,得15,故①正确;对于②,因为ππ2x,所以πππππ2444x
+++,令π4tx=+,则ππππ244t++,因为()fx在π,π2上没有零点,则2sinyt=在πππ,π244++上没有零点,所以()πππ24ππ1π4kk+++,故13224kk
−+,因为0,所以304k+,即34k−,又由13224kk−+,得54k,故3544k−,又Zk,所以0k=或1k=,当0k=时,1324−,所以304;当1k=时,3724;综上:304或3724,
故②正确;对于③,因为π3π24x,所以πππ444π3π24x+++,令π4tx=+,则4π3πππ424t++,因为()fx在区间π3π,24上单调递增,则2sinyt=在ππ,π3424π4++上单调递增,
因为2sinyx=在ππ2π,2π,Z22kkk−++上单调递增,所以πππ2π2423πππ2π442kk+−+++,故3814233kk−+,因为0,所以81033k+,即18k−,又由3814233kk−+,得118k
,故11188k−,又Zk,所以0k=或1k=,当0k=时,3123−,所以103;当1k=时,532;综上:103或532,故③正确.故选:D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分
,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.下列结论中,正确的有()A.若随机变量()22,N,()50.81P=,则()10.19P−=B.将一组样本中的每个数据都加
上同一个非零常数后,均值与方差都变化C.已知经验回归方程为2.8ybx=+,且4x=,30y=,则6.8b=D.在线性回归分析中相关指数2R用来刻画拟合的效果,若2R值越小,则模型的拟合效果越好【答案】AC【解析】对于A,因为随机变量()22,N,()
50.81P=,所以()()11510.810.19PP−=−=−=,故A正确;对于B,将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后,均值发生变化而方差不变,故B错误;对于C,因为经验回归
方程为2.8ybx=+,且4x=,30y=,则3042.8b=+,即6.8b=,故C正确;对于D,在线性回归分析中相关指数2R用来刻画拟合的效果,若2R值越大,则模型的拟合效果越好,故D错误.故选:AC.10.已知圆()()222:3421Mxkykk−+
−−=+,则()A.若圆M与y轴相切,则24k=B.若直线yx=平分圆M的周长,则2k=C.圆M的圆心到原点的距离的最小值为65D.圆M与圆()22234xkyk−+=可能外切【答案】ACD【解析】对于圆()()222:3421
Mxkykk−+−−=+,圆心为()3,42kk+,半径21rk=+,对A,圆M与y轴相切,则231kk=+,化简可得24k=,故A正确;对B,若直线yx=平分圆M的周长,说明圆心过直线,将()3,42kk+
代入yx=可得423kk+=,2k=−,故B错误;对C,结合点到点距离公式可得圆M的圆心到原点的距离()()22234225164dkkkk=++=++,当825k=−时d取到最小值65,故C正确;对
D,圆()22234xkyk−+=的圆心为()3,0k,半径为2k,若圆M与圆()22234xkyk−+=外切,则24221kkk+=++,令()24221fkkkk=+−−+,函数()fk显然连续,()()01,120ff
=−=−,根据零点存在定理,必然存在()01,0x−,使得()00fx=,故圆M与圆()22234xkyk−+=可能外切,故D正确.故选:ACD11.已知正三棱锥SABC−的底面边长为6,体积为63,A,B,C三点均在以S为球心的球S的球面上,P是该球面上任意一点,下
列结论正确的有()A.三棱锥−PABC体积的最大值为183B.三棱锥−PABC体积的最大值为273C.若PA⊥平面ABC,则三棱锥−PABC的表面积为2493343++D.若PA⊥平面ABC,则异面直线AB与PC所成角的余弦值为3
1326【答案】ACD【解析】因为正三棱锥SABC−的底面边长为6,所以三棱锥SABC−的底面面积为366934=,底面外接圆的半径623π2sin3r==,又三棱锥SABC−的体积为63,则三棱锥SABC−的高3
63293h==,所以球S的半径224Rhr=+=,则三棱锥−PABC体积的最大值为193(42)183.3+=A正确,B不正确.若PA⊥平面ABC,因为90PAD=,则PD为球的直径,ABC的外接圆半径为23r=,球的半径为4R=,故1
2OO=,则根据三角形相似,可知,4PA=,又因为RtRtPABPAC△△,可得PBPC=,根据勾股定理,可得221636213PBPAAB=+=+=,故213PBPC==,236934ABCS==△,16
412.2PABPACSS===取BC的中点D,连接PD,则2243PDPBBD=−=,16433432PBCS==,故三棱锥−PABC的表面积为2493343++,C正确.分别取PA,PB,AC的中点M,N,Q,连接MN,MQ,NQ,由前面计算可知,
213PCPB==,1132ACMQ==,132MNAB==,取H为AB中点,得//NHPA,由上可知,PA⊥面ABC,故NH⊥面ABC,在RtNHQ△中,2213NQNHQH=+=,因为//,//MNABMQPC,所以,NMQ(或其补角)
为异面直线AB与PC所成角的大小,且313cos226MNNMQMQ==,D正确.故选:ACD12.已知函数()e,0,lg,010,11,10,xxxfxxxxx=−+,若22()3()()2gxfxmfxm=−−有6个不同的零点分别为123456,,,,,xxxxxx,
且()()()123456345,xxxxxxfxfxfx==,则下列说法正确的是()A.当0x时,()10efx−B.34xx+的取值范围为1012,10C.当0m时,()()()()1234563fxfxfxxxfx+++的取值范围为1,0e−D.
当0m时,()()()()1234563fxfxfxxxfx+++的取值范围为20,3e【答案】AC【解析】当0x时,()exfxx=,此时()(1)exfxx=+,令()0fx,解得10−x,令()
0fx,解得1x−,可得()fx在(,1)−−上单调递减,在(1,0)−上单调递增,且1(1),(0)0eff−=−=,∴当0x时,1()0efx−,故A正确;作出如图所示图像:由22()3()()2gxfxmfxm=−−有6个不同的零点,等价于
223()()20fxmfxm−−=有6个不同的实数根,解得()fxm=或2()3mfx=−,∵341xx=,∴若343311012,10xxxx+=+,可得31110x,而当0m时,120e3m
−−,可得302em,而3112e10f=;当0m时,10em−,可得22033em−而2113e10f=,故3x的范围为1,110的子集,34xx+的取值范围不可能为1012,10
,故B选项错误;该方程有6个根,且()()()345fxfxfx==,知341xx=且()()()126fxfxfx==,当0m时,()()()1261,0efxfxfxm===−,()
()()3452(0,1)3mfxfxfx===−,联立解得1,0em−,()()()()()()12345615133332,0efxfxfxxxfxfxfxmmm+++=+=−=−,故C正确;当0m时,()()()12621,03emfx
fxfx===−−,()()()345(0,1)fxfxfxm===,联立解得30,2em,()()()()()()123456153333230,2efxfxfxxxfxfxfxmmm+++=+=−+=.故D错误.故选:AC.第Ⅱ卷
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。13.已知()()*N,Rkxaka+的展开式中只有第4项的二项式系数最大,且3x项的系数为160−,则ak=______.【答案】12−【解析】∵()kxa+的展开式中只有第4项的二项式系数最大,6k=∴二项展开式的通项6
16CrrrrTxa−+=,令6r3−=,得3r=∴3x项的系数为333620160Caa==−,∴2a=−则12ak=−.故答案为:12−.14.已知函数()4sin()πsin2fxxx=+++,0,π2,如图是()yf
x=的部分图象,则π()4f=______【答案】3−【解析】()()4sin()sin4sin()cos2siπn(22)2fxxxxxx=+++=++=+.由题图可知(0)3f=,即3sin22=,由于点(0,3)在单调递增的区间内,所以22Z
ππ,3kk=+,解得ππ,Z6kk=+,根据题意知π6=,由图象过点5π,012,则ππ5π263+=,解得2=,故π()2sin43fxx=+,则4ππ2sin
2sin333π4f==−=−.故答案为:3−.15.双曲线()222:10yCxaa−=的离心率为103,F是C的下焦点,若P为C上支上的动点,设点P到C的一条渐近线的距离为d,则dPF+的最小值为______
.【答案】7【解析】由已知可得,21103aa+=,解得()30aa=,则双曲线方程为2219yx−=,()0,10F−,双曲线的渐近线方程为3yx=,如图,由双曲线的定义得:06PFPF−=,则06dPFPFd+=++,0F到直线30xy−=的距离为()2
210131h−==+−,∴0667dPFPFdh+=+++=,即dPF+的最小值为7.故答案为:7.16.平面四边形ABCD中,3ABAD==,1BC=,22CD=,3BD=,沿BD将ABD△向上翻折,进而得到四面
体ABCD−,①四面体ABCD−体积的最大值为______;②若二面角ABDC−−的大小为120°,则2AC=______.【答案】66【解析】在平面四边形ABCD中,1BC=,22CD=,3BD=,则222BDCDBC=+,B
CD△为直角三角形翻折后,要四面体ABCD−的体积最大,底面BCD△的面积是确定的,只要点A到面BCD的距离最大即可,则当面ABD⊥面BCD时,四面体ABCD−的体积最大取BD中点F,连接AF,因为ABAD=,F为BD中点,则AFBD⊥,又面ABD⊥面BCD,面ABD面
BCDBD=,AF面ABD,则AF⊥面BCD,AF即为点A到面BCD的距离又22233322AFADDF=−=−=,11221222BCDSBCDC===336226113ABCDBCD
VAFS−===即四面体ABCD−体积的最大值为66.过点F作EFBD⊥,交CD于E,连接AE,因为EFBD⊥,AFBD⊥,则AFE为二面角ABDC−−的平面角,即120AFE=,EFBD⊥,
AFBD⊥,且EFAFF=,EF面AEF,AF面AEFBD⊥面AEF,则以FB为x轴,FE为y轴,在AEF△中作z轴EF⊥建立空间直角坐标系,如图:在AEF△中,过A作ANEF⊥交EF的延长线于N,BD
⊥面AEF,且BD面BDC,则面BDC⊥面AEF,又ANEF⊥,面BDC面AEFEF=,AN面AEFAN⊥面BCD120AFE=,则60AFN=333313sin60,cos60,224224ANAFNFAF======则33
0,,44A−,在BCD△中,C到BD距离为223BCDCBD=,C到y轴距离为223227236−=,即722,,063C,则2222722336++=3634
43AC=++故答案为:66;633+.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17.(10分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,S是ABC的面积,()222sinSBCac+=
−.(1)证明:A=2C;(2)若a=2,且ABC为锐角三角形,求b+2c的取值范围.【解析】(1)证明:由()222sinSBCac+=−,即222sinSAac=−,∴22sinsinbcAAac=−
,sin0A,∴22acbc−=,∵2222cosabcbcA=+−,∴2222cosacbbcA−=−,∴22cosbbcAbc−=,∴2cosbcAc−=,∴sin2sincossinBCAC−=,∴()sin2sincossinACCAC+−=
,∴sincoscossinsinACACC−=,∴()sinsinACC−=,∴A,B,C∈(0,π),∴ACC−=即A=2C.(2)∵sinsinacAC=,且a=2,∴1coscC=∵A=2C,∴B=π-3C,∵ABC为锐角三角形,所以02203202CCC
−,∴,64C,∴23cos,22C,由a=2,22acbc−=,所以4bcc=−,则42bccc+=+,且123,2cos3cC=
,设4ycc=+,c23,23,设122323cc,则12120,40cccc−−,∴121212121212()(4)440ccccyycccccc−−−=+−−=,12yy,所以4ycc=+,c23,2
3为减函数,∴8232,33bc+.18.(12分)如图,在四棱柱1111ABCDABCD−中,底面ABCD和侧面11BCCB都是矩形,11DDDC=,33ABBC==.(1)求证:1ADDC⊥;(2)若平面11BCCB与平面
1BDD所成的角为60,求三棱锥1CBDD−的体积.【解析】(1)证明:因为底面ABCD和侧面11BCCB都是矩形,所以AD⊥CD,AD⊥1DD,又CD∩1DD=D,CD,1DD⊂平面11CDDC,所以AD⊥平面11CDDC,又1DC⊂平面11CDDC,所以1ADDC⊥.(2)取E为CD的中点,
连接DE,因为AD⊥平面11CDDC,又DE⊂平面11CDDC,所以ADDE⊥,又因为11DDDC=,所以1DEDC⊥,又AD∩DC=D,AD,DC⊂平面ABCD,所以1DE⊥平面ABCD,取AB的中点F,E为CD的中点,底面ABCD是矩
形,所以EFCD⊥,以E为原点,以EF,EC,1ED所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Exyz−,如图所示:设1EDa=()0a,则()0,0,0E,31,,02B,()10,0,Da,30,,02C,()10,3,Ca,30,,02D−,设平面1
BDD的法向量()111,,xnyz=,()1,3,0DB=,130,,2DDa=.由11100nDBnDD==可得:1111303+02xyyaz+==,令12ya=可得16xa=−,
13z=−,所以()16,2,3naa=−−,设平面11BCCB的法向量()2222,,nxyz=,()1,0,0CB=,130,,2CCa=.由22100nCBnCC==可得,2220
302xyaz=+=,令23z=可得22ya=−,所以()20,2,3na=−由于平面11BCCB与平面1BDD所成的锐二面角的平面角为3,所以2121222122+91cos,240949nnannnnaa===++,可得:423236810
aa+−=,则()()2249890aa+−=,解得324a=.因为AD⊥平面11CDDC,//ADBC,所以BC⊥平面11CDDC,又因为11//CCDD,所以1CC平面1BDD,1DD平面1BDD,所以
1//CC平面1BDD,所以1111113CBDDCBDDBCDDCDDVVVSBC−−−===11111323231323248CDDEBC===.19.(12分)多年来,清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究,2
022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片,相比已有光谱检测技术,实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越,为制定下一年的研发投入计划,该研发团队为需要了解年研发资金投入量x(单位:亿元)对年销售额y(单位:亿元)的影响,结合近12年的年研发资金投
入量x,和年销售额y,的数据(1i=,2,L,12),该团队建立了两个函数模型:①2yx=+②exty+=,其中,,,t均为常数,e为自然对数的底数,经对历史数据的初步处理,得到散点图如图,令()2ln1212iiiiuxvyi=
==,,,,,计算得如下数据:xy()1221iixx=−()1221iiyy=−()()121iiixxvv=−−206677020014uv()1221iiuu=−()1221iivv=−()()121iii
uuyy=−−4604.2031250000.30821500(1)设iu和iy的相关系数为1,irx∣和iv的相关系数为2r,请从相关系数的角度,选择一个拟合程度更好的模型;(2)(i)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01);(ii)若下一
年销售额y需达到80亿元,预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?附:①相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−,回归直线ˆyabx=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:()
()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−,ˆˆaybx=−;②参考数据:4.3820308774,808.9443,e80=.【解析】(1)由题意进行数据分析:()()()()1211121222112150021500430.8625000503125000200ii
iiiiiuuyyruuyy===−−=====−−()()()()1212121222111414100.91770.2117700.308iiiiiiixxvvrxxvv===−−====−−则12rr,因此从相关系数的角
度,模型21exy+=的拟合程度更好(2)(i)先建立v关于x的线性回归方程.由xtye+=,得lnytx=+,即vtx=+.由于()()()1211221140.018770iiiiixxvvxx==−−==−4.200.01
8203.84tvx=−=−=所以v关于x的线性回归方程为ˆ0.023.84vx=+,所以ˆln0.023.84yx=+,则0.023.84ˆexy+=.(ii)下一年销售额y需达到80亿元,即80y=,代入0.023.84ˆexy+=得,0.023.8480ex+=
,又4.382e80所以0.023.844.382x+=,解得27.1x=,所以预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元20.(12分)记nS为数列na的前n项和,已知11a=,223a=,且数列()423nnnSna++是等差数列
.(1)证明:nan是等比数列,并求na的通项公式;(2)设13,,nnnnanbnna−=为奇数为偶数,求数列nb的前2n项和2nT.【解析】(1)∵11a=,223a=,∴11S=,253S=,设()423nnncnS
na=++,则19c=,218c=,又∵数列nc为等差数列,∴9ncn=,∴()4239nnnSnan++=,∴()2349nnnaSn++=,当2n时,()1121491nnnaSn−−++=−,∴()()12321401nnnnanaann−+++−=−,∴()()1632101nnna
nann−++−=−,又∵210n+,∴1301nnaann−−=−,即:1131nnaann−=−,又∵1101a=,∴nan是以1为首项,13为公比的等比数列,∴113nnan−=,即13nnna−=;(2)∵13,,nnnnanbnna−
=为奇数为偶数,且13nnna−=,∴1,3,nnnnbn−=为奇数为偶数,∴()()132121321333nnTn−=+++−++++()()()221223193311213321
988nnnnnnn+−−+−−=+=+=+−,∴2122338nnTn+−=+.21.(12分)已知双曲线22122:1(0,0)xyCabab−=的右焦点为()3,0F,渐近线与抛物线22:2(0)Cypxp=交于点21,2.(1)求1
2,CC的方程;(2)设A是1C与2C在第一象限的公共点,作直线l与1C的两支分别交于点,MN,便得AMAN⊥.(i)求证:直线MN过定点;(ii)过A作ADMN⊥于D.是否存在定点P,使得DP为定值?如果
有,请求出点P的坐标;如果没有,请说明理由.【解析】(1)因为()3,0F,渐近线经过点21,2,所以222322cbacab===+,解得:321cab===,所以221:12xCy−=抛物线22:2Cy
px=经过点21,2所以221222p==,所以221:2Cyx=(2)(i)因为,MN在不同支,所以直线MN的斜率存在,设方程为ykxm=+.令()()1122,,MxyNxy,联立2212ykxm
xy=+−=得,()222124220kxkmxm−−−−=,则2121222422,1212kmmxxxxkk−−+==−−.联立12,CC可得2221212yxxy=−=,解得:()2,1A.因为0AMAN=,所以1212(2)(2)(1)(1)
0xxyy−−+−−=,代入直线方程及韦达结构整理可得:22128230kkmmm+++−=,整理化简得:(63)(21)0kmkm+++−=.因为()2,1A不在直线MN上,所以210,630kmkm+−++=
.直线MN的方程为()6363ykxkkx=−−=−−,过定点()6,3B−.(ⅱ)因为,AB为定点,且ADB为直角,所以D在以AB为直径的圆上,AB的中点()4,1P−即为圆心,半径DP为定值.故存在点()4,1P−,使得DP为定值.22.(12分)已知函数2()
(2e)exxfxxa=+−,其中e为自然对数的底数.(1)当0a=时,求函数()fx的单调区间;(2)当0a时,(i)若()1fx恒成立,求实数a的最小值;(ii)若()fx存在最大值,求实数a的取值范围
.【解析】(1)0a=,()(2)exfxx=+,'()e(3)xfxx=+,令'()0fx=,得3x=−,当3x−时,'()0fx,当3x−时,'()0fx,所以函数()fx的单调递增区间为(3,)−+,单调递减区间为(,3)−−.(2)(i
)由f(x)≤1,即(x-ae2x+2)ex1解得max3e2e1()exxxxa+−,令()gx=3e2e1exxxx+−,33'32e(2)eee(2)13e()(e)xxxxxxxxgx++−+−=
=()3e233exxx−−+,令()e(23)3xhxx=−−+,'()(25)exhxx=−−所以'5()0,2hxx−,()hx在5(,)2−−单调递增,'5()0,2hxx−,()hx在5(,)2−+单调递减.max5()()02hxh=−
且0x时,()0hx()hx在5(,)2−+上有唯一的零点,(0)0h=∵,当0x时,'()0,()0,()hxgxgx单调递增,当0x时,'()0,()0hxgx,()gx单调递减,max()(0)1gxg==,1a所以a的最
小值为1.(ii)2()(2e)exxfxxa=+−,所以2()e(3e3)xxfxxa−+=,设2()3e3xgxxa=−+,则2()16exgxa=−,()gx在1(,ln6)2a−−上递增,在1(ln6,)2a−+上递
减,max115()(ln6)ln6222gxgaa=−=−+.若25e6a,则max()0gx,()0fx,()fx在R上单调递减,()fx无最大值,不合题意舍去.若25e06a,则max()0gx,且15ln622a−−,1(3)0,(ln6)0,()2ggagx−−在
1(,ln6)2a−−上递增且连续,()gx在区间1(3,ln6)2a−−上存在唯一零点,设为1x,设()e1xhxx=−−,()e1,xhx=−()0,0hxx,()0,0hxx,min()
(0)0hxh==e1xx+,23exx++,2222()33ee3ee(e3e)xxxxxgxxaaa+=+−−=−,不妨取20eln13xa=+,则01ln62xa−,0()0,gx1(ln6)0,2ga−(
)gx在1(ln6,)2a−+上递减且连续,所以()gx在01(ln6,)2ax−上存在唯一零点,设为2x120513ln622xaxx−−−,2()33e,ixiigxxa=+−则233eiixxa+=,()fx在1(,)x−上递减,在12(,)xx上递增
,在2(,)x+上递减,在(,3x−−时,22e0,e0xxxa+−()0fx,()(3)0fxf−,()=fx极大()()22222222223232ee2ee33xxxxxxfxxax++
=+−=+−=.函数233exxy+=在5(,)2−+上单调递减,(其中22503exxy−−=),当32x−,即3e02a时,2()0fx,()fx存在最大值2()fx,符合题意.当25322x−−时,即当35ee26a,2(
)0fx.下证:存在实数1(,),xx−使得2()()0fxfx,设2()2e,(,3)xtxxx=−−,()2(2)e0xtxxx=+,所以2()2e,xtxx=在(,3)x−−上单调递增,所以()()232e318e1xtxxt−=−=,所
以当(,2),xa−−23a−−时,21()(2e)e(2)e2exxxxfxxaxaxx=+−+−,所以取21max(),2kfxa=−,则1(,2)ak−−,21()()fkfxk()fx不存在最大值.综上得,3e0,2a