【文档说明】《2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第一册）》第4章 指数函数与对数函数 章末重难点归纳总结（解析版）.docx，共(16)页，926.941 KB，由envi的店铺上传

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第4章指数函数与对数函数章末重难点归纳总结重点一指数对数的运算【例1】（2022·江苏）化简与求值：(1)1023(31)(3)8−+−+(2)23log3312514log8lglg25lglne162−+−+−−.(1)213102270.00210(51

)8−−−−+−−+.(2)2lg25lg2lg50(lg2)++【答案】(1)π;(2)112.(3)15519218−；(4)2【解析】（1）原式1331π3(2)=+−+π=.（2）原式232log32252log8lg+lg25

lg8lne16=−−−−161393lg(25)582=−+−36lg102=+−112=.（3）213102270.00210(51)8−−−−+−−+()23131251500101234−

−−+=−+−+45551051922=+−−+15519218=−；（4）2lg25lg2lg50(lg2)++()22lg5lg21lg5(lg2)=+++()2lg5lg2lg2lg2lg5=+++()2lg2lg5=+2

=【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）计算：(1)7lg142lglg7lg183−+−；(2)()2lg53lg22lg5lg2lg5+++；(3)()()223666661log2log33log2log18log23++−．(4)7log2

37log27lg25lg47log1++++；(5)lg8lg125lg2lg5lg10lg0.1+−−．【答案】(1)0(2)3(3)1(4)7(5)4−【解析】（1）方法一：（直接运算）原式227147lg14lglg7lg18lglg1037183=−+−==

=．方法二：（拆项后运算）原式()()()2lg272lg7lg3lg7lg32=−−+−lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20=+−++−−=．（2）原式()()lg5lg5lg22lg2lg5lg2=++++()lg5lg102lg10lg22lg

5lg23=++=++=．（3）原式()()3226666318log2log33log2log2=++()()2236666log2log33log2log9=++()()226666log2log32log2log3=++()626log2log31=+=．（4）原式()3lg2542

527=++=+=；（5）原式()21128125lglg1025411lg10lg102−===−−．2．（2022·湖北）计算下列各式的值：(1)已知13xx−+=，求：221122xxxx−−+−．(2)()7201163log0.253

432927211.58223lg25lg4()log3?log4637−++−++++【答案】(1)7(2)115【解析】（1）因为()22212927xxxx−−+=+−=−=，而21112221xxx

x−−−=−+=，所以11221xx−−=，所以2211227xxxx−−+=−．（2）原71111313333log223442332222223lg1007log3log224272212333−=++−+++=++−+++

115=．3．（2022·全国·高一课时练习（理））（1）计算：()()()2422303330.123331228−−++−=−________；（2）化简：1211213326

5ababab−−−=________．【答案】22−1a【解析】（1）()()()2422303330.123331228−−+−+−421331322431332192=+−+−

4913212294=+−+−=−．（2）原式111111111533221032623615661ababababaab−−−−−+−−====．故答案为:22−，1a重点二指数函数【例2】（2022·广东·深圳市）已知函数()

()240,12xxaafxaaaa−+=+是定义在R上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数()fx的值域；(3)当()1,2x时，()220xmfx+−恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)2a=(2)()1,1−(3)10,3+【解析】（1）因为()

fx是定义在R上的奇函数，所以()002420022aaafaaa−+−===++，解得2a=，当2a=时，()2121xxfx−=+，此时()()21122112xxxxfxfx−−−−−===−++，所以2a=时，()2121xxfx−=+是奇函数.所以2a=；（2）由（1

）可得()2121221212121xxxxxfx−+−===−+++，因为20x，可得211x+，所以10121x+，所以22021x−−+，所以211121x−−+，所以函数()fx的值域为()1,1−；（3）由()220xmfx+−可得()

22xmfx−，即122221xxxm−+−，可得()()212122xxxm+−−对于()1,2x恒成立，令()211,3xt−=，则()()2121ttttmt−=−++，函数21ytt=−+在区间()1,3单调递增，所以221013133tt−

+−+=，所以103m，所以实数m的取值范围为10,3+．【一隅三反】1．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4()12xfxaa=−+（0a且1a）为定义在R上的奇函数.(1)利用单调性的

定义证明函数()fx在R上单调递增；(2)求不等式()22(4)0fxxfx++−的解集.(3)若函数()()1gxkfx=−有零点，求实数k的取值范围.【答案】(1)证明过程见解析；(2)()(),41

,−−+U(3)()(),11,k−−+【解析】（1）由题意得：()40102fa=−=+，解得：2a=，142()112221xxfx+=−=−++，任取12,xxR，且12xx，则()()()

()()1212122121211111122222222222()112121212121212121xxxxxxxxxxxxfxfx+++++−−−−=−−+=−==++++++++因为12,xxR，且12xx，所以

1211220xx++−，12210,210xx++，所以()()()1221111222()02121xxxxfxfx++−−=++，故()12()fxfx所以函数()fx在R上单调递增；（2）()22(4)0fxxfx++−，即()22(4)

fxxfx+−−，因为2()121xfx=−+为定义在R上的奇函数，所以()22(4)(4)fxxfxfx+−−=−，因为2()121xfx=−+为定义在R上单调递增，所以224xxx+−，解得：1x或4x−，所以解集

为：()(),41,−−+U；（3）()()211121xgxkfxk=−=−−+有零点，当0k=时，()()11gxkfx=−=−，没有零点，不合题意，舍去；当0k时，即21121xk−=+有根，其中当0x时，21x，21

2x+，20121x+，故()2()10,121xfx=−+，又因为2()121xfx=−+在R上为奇函数，所以当0x时，()2()11,021xfx=−−+，且()00f=，所以2()121xfx=−+在

R上的值域为()1,1−，故()()11,00,1k−，解得：()(),11,k−−+，所以实数k的取值范围为()(),11,k−−+.2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()xfxba=?（,ab为常数，0a，且1a）的图象经过点()1,6A，()3

,24B．(1)试确定函数()fx的解析式；(2)若关于x的不等式110xxmab+−在区间(,1−上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)()32xfx=(2)5,6−【解析】（1）因

为函数()xfxba=?的图象经过点()1,6A和()3,24B，可得3624abba==，结合0a，且1a，解得2,3ab==，所以函数()fx的解析式为()32xfx=．（2）要使1123xxm骣骣琪琪+?琪琪桫桫在区间(,

1−上恒成立，只需保证函数1123xxy=+在区间(,1−上的最小值不小于m即可，因为函数1123xxy=+在区间(,1−上单调递减，所以当1x=时，1123x

xy=+取得最小值，最小值为56，所以只需56m£即可，即实数m的取值范围为5,6−．3．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知定义域为R的函数2()2xxbfxa−=+是奇函数.(1)求

a、b的值；(2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数;(3)若对于任意tR，不等式22(2)(2)0fttftk−+−恒成立，求k的范围【答案】(1)1a=，1b=；(2)证明见解析；(3)13k−【解析】（1）由已知1(0)01bfa−=

=+，1b=，12()21xxfx−=+，121(1)22faa−==−++，1112(1)1122faa−−==++，所以110221aa−+=++，解得1a=，12()21xxfx−=+，此时()fx定义域是R，1221()()211

2xxxxfxfx−−−−−===−++，()fx为奇函数．所以1a=，1b=；（2）由（1）12()21xxfx−=+2121x=−++，设任意两个实数12,xx，12xx，则1202121xx++，12222121xx++，所以1222112121xx−+−+++，即12()

()fxfx，所以()fx是减函数；（3）不等式22(2)(2)0fttftk−+−化为22(2)(2)fttftk−−−，()fx是奇函数，则有22(2)(2)fttftk−−+，()fx是减函数，所以22

22tttk−−+，所以2211323()33kttt−=−−恒成立，易知2113()33t−−的最小值是13−，所以13k−．重点三对数函数【例3】（2022·甘肃定西·高一阶段练习）已知函数()()32log2axfxaRx−=−的图象关于原点

对称．(1)求a的值；(2)当3,5x时，()()3log2fxxk+恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)1a=−(2)()1,+【解析】(1)函数()32log2axfxx−=−的图象关于原点对称，则函数()32log2axfxx−=−为奇函数，有

()()fxfx−=−，即3322loglog22axaxxx+−=−−−−，即322log022axaxxx+−=−−−，即222414axx-=-解得1a=，当1a=时，不满足题意，∴1a=−．(2)由

()()3log2fxxk+，得()332loglog22xxkx++−，即222xkxx+−−，令()24122xgxxxxx+=−=+−−−，易知()gx在3,5x上单调递减，则()gx的最大值为()32g=．又∵当

3,5x时，()()3log2fxxk+恒成立，即222xkxx+−−在3,5x恒成立，且20xk+，∴22k，1k，即实数k的取值范围为()1,+．【一隅三反】1．（2022·全国·高一课时练习）已知函

数()()212log23fxxax=−+．(1)若函数()fx的定义域为()(),13,−+，求实数a的值；(2)若函数()fx的定义域为R，值域为(,1−−，求实数a的值；(3)若函数()fx在(,1−上单调递增，求实数a的取值范围．【答案】(1)2a=(2)实数a的值为1或

1−(3))1,2【解析】（1）令()223uxxax=−+，则由题意可知1，3为方程2230xax−+=的两个根，所以函数()ux的图像的对称轴方程为213222ax−+===−，即2a=．（2）由题意，对于方程2230xax−+=，()224130a=−−，即33a−，由函数(

)fx的值域为(,1−−，可得当xa=时，()()212log231faaaa=−+=−，解得1a=或1−．故实数a的值为1或1−．（3）函数()fx在(,1−上单调递增，则()223uxxax=−+

在(,1−上单调递减．易知函数()ux的图像的对称轴为直线xa=，所以1a．易知()ux在1x=时取得最小值，当1x=时，有()11230ua=−+，得2a，所以实数a的取值范围是)1,2．2．（2022·全国·高一单元测试）已知

函数()()log1afxbx=+（0a且1a），()11f=，()32f=．(1)求函数()fx的解析式；(2)请从①()()yfxfx=−−，②()()yfxfx=−−，③()()yfxfx=+−这三个条件中选择一个作为函数()

gx的解析式，指出函数()gx的奇偶性，并证明．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)()()2log1fxx=+；(2)答案见解析.【解析】（1）依题意，()()log11log132aabb

+=+=，2113abab=+=+，而0a且1a，解得21ab==，所以函数()()2log1fxx=+.（2）选择①，()()()22log1log1gxxx=+−−，则有1010xx

+−，解得11x−，即()gx的定义域为()1,1−，又()()()()()()2222log1log1[log1log1]gxxxxxgx−=−−+=−+−−=−，所以函数()gx是定义在()1,1

−上的奇函数．选择②，()()()22log1log1gxxx=−−+，则有1010xx+−，解得11x−，即()gx的定义域为()1,1−，又()()()()()()2222log1log1[log1l

og1]gxxxxxgx−=+−−=−−−+=−，所以函数()gx是定义在()1,1−上的奇函数．选择③，()()()22log1log1gxxx=++−，则有1010xx+−，解得11x−，即()gx的定义域为()1,1−，又()()()22log1l

og1()gxxxgx−=−++=，所以函数()gx是定义在()1,1−上的偶函数．3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()141log1axfxx−=−的图象关于原点对称，其中a为常数．(1)求a的值；(2)当()1,x+时，()()14log1fxxm+−恒成立，求实数

m的取值范围；(3)若关于x的方程()()14logfxxk=+在2,3上有解，求实数k的取值范围．【答案】(1)1a=−(2))1,−+(3)1,1−【解析】（1）因为函数()141log1axfxx−

=−的图象关于原点对称，所以()()0fxfx+−=，即114411loglog011axaxxx−++=−−−，所以1411log011axaxxx−+=−−−恒成立，所以11111ax

axxx−+=−−−恒成立，即22211axx−=−恒成立，即()2210ax−=恒成立，所以210a−=，解得1a=，又1a=时，()141log1axfxx−=−无意义，故1a=−．（2）因为()1,x+时，()()14log1fxxm+−恒成立，所以()114

41loglog11xxmx++−−恒成立，所以()14log1xm+在()1,x+上恒成立，因为()14log1yx=+是减函数，所以当()1,x+时，()()14log1,1x+−−，所以1m−，所以实数m的取值范围是

)1,−+．（3）因为()114412loglog111xfxxx+==+−−在2,3上单调递增，()()14loggxxk=+在2,3上单调递减，因为关于x的方程()()14logfxxk

=+在2,3上有解，所以()()()()22,33,fgfg即()()11441144log3log2,log2log3,kk++解得11k−，所以实数k的取值范围是1,1−．重难点四零点定理【例4-1】（2022·课时练习）函数223,(0)yaxa

xa=++的一个零点为1，则其另一个零点为______．【答案】3−【解析】解法一：因为函数223,(0)yaxaxa=++的一个零点为1，将(1,0)代入得230aa++=，解得1a=−．所以223yxx=−−+．令2x2x30−

−+=，解得11x=，23x=−，所以函数的另一个零点为3−．解法二：由函数223,(0)yaxaxa=++的一个零点为1，可得方程2230,(0)axaxa++=的一个根为1，根据根与系数的关系可得1222axxa+=−=−，所以另一个根为3−．故函数的另一个零点为3−．故答案为：3−.

【例4-2】（2022·山东）方程ln42xx=−的根所在的区间是（）A．()01，B．()12，C．()23，D．()34，【答案】B【解析】令()ln24fxxx=+−，显然()ln24fxxx=+

−单调递增，又因为()12420f=−=−，()2ln244ln20f=+−=，由零点存在性定理可知：()ln24fxxx=+−的零点所在区间为()12，，所以ln42xx=−的根所在区间为()12，.故选：B【例4-3】（2022·全国·高一课时练习）函

数()sin21fxxx=−在区间(0,3]上的零点个数为（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】函数()sin21fxxx=−在(0,3上零点的个数即方程sin210xx−=在(0,3x上解的个数，方程sin210xx−=化简可得sin2x=1x，所以方程方程s

in210xx−=的解的个数为函数sin2yx=与函数y=1x的图象交点的个数，其中(0,3]x，在同一坐标系中作出函数sin2yx=与函数y=1x的图象如图所示，由图可知在区间(0,3上，两函数图象有4个交点，故函数()sin21fxxx=−在区间(0,3]上的零点个数为4，故选：C

．【例4-4】（2021·全国·高一期末）已知函数2,()5,xxxafxxxa−=−（0a），若函数()()4gxfxx=−有三个零点，则a的取值范围是（）A．(0,1)[5,)+B．

6(0,)[5,)5+C．(1,5]D．6(,5]5【答案】A【解析】()()4gxfxx=−有三个零点()yfx=与4||yx=的图象有三个交点.因为0a，所以当0x时，24xxx−=−，得3x=−或0x=，所以()yfx=与4||yx=的图象

有两个交点，则当0x时，()yfx=与4||yx=的图象有1个交点.当0x时，令45xx=−，得1x=，所以01a符合题意；令24xxx=−，得5x=，所以5a…符合题意.综上，实数a的取值范围是())0,15,+.故选：A.【一隅三反】1．（2022·浙江·余姚市实验高中高

一开学考试）函数3()lnfxxx=−的零点所在的区间是（）A．()1,2B．()2,3C．()3,4D．()4,5【答案】B【解析】因为3ln,==−yxyx为()0,x+上的单调递增函数，所以3()lnfxxx=−为()0,x+上的单调递增函数，因为()31ln1301=−=−

f，()32ln202=−f，()33ln303=−f，由零点存在定理，(2,3)上必有唯一零点.故选：B．2．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数sinsin()13yxx=−+−在区间(0,2)上的零点所在的区间为（）A

．(0,)2B．(,)2C．3(,)2D．3(,2)2【答案】B【解析】sinsin()13yxx=−+−，13sincos122=−−xx，sin()13x=−−，令sin()13x−=，

得232xk−=+，Zk，526xk=+，Zk，()fx在(0,2)上的零点为5.6故选：B3．（2022·北京大兴·高一期末）若函数2,1()(),1xaxfxxxax−=−恰有2个零点，则a的取值范围是（）A．(

1)−，B．(02)，C．(0)+，D．[12)，【答案】D【解析】因为()(),1fxxxax=−时至多有一个零点，单调函数()2,1xfxax=−至多一个零点，而函数2,1()(),1xaxfx

xxax−=−恰有2个零点，所以需满足()(),1fxxxax=−有1个零点，()2,1xfxax=−有1个零点，所以2log11aa，解得12a，故选：D4．（2021·广西·上林县中学高一期

末）已知函数()||3fxxa=−−，若函数(())ffx无零点，则实数a的取值范围为（）A．(,6)−−B．(,6]−−C．(,0)−D．(,0]−【答案】A【解析】令()tfx=，则()|

|30ftta=−−=的解为：3ta=，由题意可知：()fxt=无解，又()||33fxxa=−−−，即min()tfx，又min()3fx=−，即3333aa+−−−，解得：6a−．故选：A.5．（2022·全国·高一课

时练习）函数()2ln3fxxx=+−的零点个数为________．【答案】1【解析】解法一：令()0fx=，可得方程2ln30xx+−=，即2ln3xx=−，故原函数的零点个数即为函数lnyx=与23yx=−图象的交点个数．在同一平面

直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数23yx=−与lnyx=的图象只有一个交点，故函数()2ln3fxxx=+−只有一个零点，故答案为：1解法二：∵()21ln11320f=+−=−，(

)22ln223ln210f=+−=+，∴()()120ff，又()2ln3fxxx=+−的图象在()1,2上是不间断的，∴()fx在()1,2上必有零点，又()2ln3fxxx=+−在()0,+上是单调递增的，∴函数()fx的零点

有且只有一个，故答案为：16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()22,2,1,2,xxfxxx=−若关于x的方程()fxk=有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．【答案】()

0,1【解析】作出函数()fx的图像和直线yk=，如图所示:由图可知，当()0,1k时，函数()fx的图像和直线yk=有三个交点，所以()0,1k．故答案为：()0,1或01k.