【文档说明】《2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第一册）》1.1 集合的概念及特征（精练）（解析版）.docx，共(13)页，615.285 KB，由envi的店铺上传

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1.1集合的概念及特征（精练）1集合的判断1．（2022·湖南）下列对象不能组成集合的是（）A．不超过20的质数B．π的近似值C．方程21x=的实数根D．函数2,Ryxx=的最小值【答案】B【解析】不超过20的质数构成集合{2,3,5,7,11,13

,17,19}；方程21x=的实数根构成集合{1,1}−；函数2,Ryxx=的最小值构成集合{0}.而π的近似值标准不明确，不能组成集合.故选：B2．（2022·河北·武安市第一中学）（多选）下列各组

对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2020年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【答案】ACD【解析】根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“

难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选：ACD.3．（2022·全国·专题练习）（多选）下列每组对象，能构成集合的是（）A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生【答案】BD【解析】对

于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，故选：BD4．（2022·青海

）下列描述正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合2yyx=与()2,xyyx=集合是同一个集合；（3）3611,,,,0.5242−这些数组成的集合有5个元素；（4）偶数集可以表示为2,xxkkZ=.A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】对于（1），很

小的实数可以构成集合；不满足集合的确定性，故不正确；对于（2），集合2yyx=中的元素为实数；集合()2,xyyx=中的元素为点的坐标，集合的属性不同，故不是同一个集合，故不正确；对于（3），3611,,,,0.52

42−这些数组成的集合中，由于3624=，10.52−=，由集合元素的互异性，集合中的元素不是5个，故不正确；对于（4），偶数集可以表示为2,xxkkZ=，正确，符合集合的含义；故选：B5．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，

指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．(1)北京各区县的名称；(2)尾数是5的自然数；(3)我们班身高大于1.7m的同学．【答案】(1)能；有限集；(2)能；无限集；(3)能；有限集.【解析】

(1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集；(2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集；(3)因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，

故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.2集合与元素的关系1．（2022·浙江丽水）下列元素与集合的关系中，正确的是（）A．2−NB．*0NC．2QD．12R【答案】B【解析】因为2−是整数，不是自

然数，所以A不正确；因为0不是正整数，所以B正确；因为2是无理数，不是有理数，所以C不正确：因为12是实数．所以D不正确．故选：B．2．（2022·广东·信宜市第二中学）下列关系中正确的是（）A．2ÏRB．*0NC．13QD．2Z【答案】C【解析】对于A，

2不是实数，∴A选项错误；对于B，*N是正整数集，易知*0N，∴B选项错误；对于C，13是有理数，∴C选项正确；对于D，2=是无理数，Z是整数集，∴D选项错误.故选：C.3．（2022·广东·惠来县第一中学）已知集合20Mxxx=+=∣，则（）A．0MB．MC．1M−D．1M

−【答案】D【解析】因为集合2001Mxxx=+==−∣，，所以1M−，故选：D.4．（2022·天津河北·高一期末）下列关系中正确的个数是（）①12Q②2R③*0N④πZA．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】12是有理数，2是实数，0不是正整

数，是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选：A．5．（2022·全国·高一课时练习）设集合()1,2M=，则下列关系式成立的是（）A．1MB．2MC．()1,2MD．()2,1M【答案】C【解析】()1,2M=中只有一个元素

()1,2，故选：C.6（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学）（多选）下列表示正确的是（）A．27NB．0NC．3Z−D．Q【答案】BD【解析】N表示自然数集，故A不正确、B正确；Z表示整数集，故C不正确；Q表示有理数集，故D正确.故

选：BD7．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知集合()20Axxx=−=，那么正确的是()A．0AB．2AC．1A−D．0A【答案】A【解析】由()200xxx−==或2故A对，B、C、D错故选：A8．

（2022·上海）非空集合A具有下列性质：①若x、yAÎ，则xAy；②若x、yAÎ，则xyA+，下列判断一定成立的是（）（1）1A−；（2）20202021A；（3）若x、yAÎ，则xyA；（4）若x、yAÎ，则xyA−.A．（1）（

3）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（3）（4）【答案】C【解析】由①可知0A.对于（1），若1A−，对任意的xA，0x，则1xxA−=−，所以，()0xxA=+−，这与0A矛盾，（1）正确；对于（2），若0x且xA，则1xAx=，211A=+

，321A=+，依此类推可得知，nN，nA，2020A，2021A，20202021A，（2）正确；对于（3），若x、yAÎ，则0x且0y，由（2）可知，1A，则1Ay，所以，1xxyAy=，（3）正确；对于（4），由（2）得，1,2A，取2,1xy==，则1xy

A−=，所以（4）错误.故选：C.9．（2022·湖南·高一课时练习）使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言：(1)“255是正整数”；(2)“2不是有理数”；(3)“3.1416是正有理数”；(4)“1−是整数”；(5)“x是

负实数”.【答案】(1)*255N(2)2Q(3)3.1416Q+(4)1Z−(5)xR−【解析】(1)由“255是正整数”，可表示为*255N.(2)由2不是有理数”，可表示为2Q.(3)由3.1416是正有理数，可表示为3.1416Q+

.(4)由1−是整数”，可表示为1Z−.(5)由x是负实数，可表示为xR−；10．（2022·全国·高一）设数集A由实数构成，且满足：若xA（1x且0x），则11Ax−.（1）若2A，试证明A中还有另外两个元素；（2）集合A是否为双元素集合，并

说明理由；（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A.【答案】（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）112,2,1,,3,223A=−

−.【解析】（1）证明：若x∈A，则11Ax−．又∵2∈A，∴1112A=−−．∵-1∈A，∴()11112A=−−．∴A中另外两个元素为1−，12；（2）xA，11Ax−，1xAx−，且11xx−，111xxx−−，1xxx

−，故集合A中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则11Ax−．∴x∈A，11Ax−，1xAx−，11xx−，111xxx−−，1xxx−，∴集合A中至少有3个元素，所有元素的积为：111xxxx−=

−1，∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1，∴211()12xxx−==，∵12A，∴1112=−2∈A，∴1112A=−−，∴()11112=−−∈A，设m＝a，同理得11m−∈A，1

mm−∈A，∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，∴111141212132mmmmm−+−+++==−−、3、23，∴112213223A=−−，，，，，．3集合的表示方法1（2022·内蒙

古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））方程22xx=的所有实数根组成的集合为（）A．()0,2B．()0,2C．0,2D．22xx=【答案】C【解析】解：由22xx=，解得2x=或0x=

，所以方程22xx=的所有实数根组成的集合为2|20,2xRxx==；故选：C2．（2022·北京西城·高一期末）方程组2202xyxy+=+=的解集是（）A．()()1,1,1,1−−B．()()1,1,1,1−

C．()()1,1,1,1−−−D．【答案】A【解析】由2202xyxy+=+=可得：11xy==−或11xy=−=.所以方程组2202xyxy+=+=的解集是()()1,1,1,1−−.故选：A3．（2022·全国·高一课时练习）方程组3,1xy

xy+=−=−的解集可表示为___________（填序号）．①3,(,)1xyxyxy+=−=−；②1(,)2xxyy==；③{1,2}；④(,)1,2xyxy==．【答案】

①②④【解析】由3,112xyxxyy+==−=−=，所以满足条件的有①②④故答案为：①②④4．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知集合0,1,2A=，则集合3,BbbaaA===______．（用列举法表示）【答案】{0,3,6}【解析】因0,1,2

A=，而3,BbbaaA==，所以{0,3,6}B=.故答案为：{0,3,6}5．（2022·广西玉林·高一期末）集合*83AxNNx=−，用列举法可以表示为A=_________．【答案】{1,2}【解析】因为8

3Nx−，所以31,2,4,8−=x，可得2,1,1,5=−−x，因为xN，所以1,2x=，集合{1,2}A=．故答案为：{1,2}6．（2022·湖南·高一课时练习）用列举法表示下列集合：(1){x|x是14的正约数}；(2){(x,y)|x∈{1,2

},y∈{1,2}}；(3){(x,y)|x＋y＝2,x－2y＝4}；(4){x|x＝(－1)n,n∈N}；(5){(x,y)|3x＋2y＝16,x∈N,y∈N}.【答案】(1){1,2,7,14}(2){(1,1),(1,2),(

2,1),(2,2)}(3)82(,)33−(4){－1,1}(5){(0,8),(2,5),(4,2)}【解析】(1){x|x是14的正约数}={1,2,7,14}.(2){(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}={(1,1),(1,2

),(2,1),(2,2)}.(3){(x,y)|x＋y＝2,x－2y＝4}=82(,)33−.(4){x|x＝(－1)n,n∈N}={－1,1}.(5){(x,y)|3x＋2y＝16,x∈N,y∈N}={(0,8),(2,5),(4,2)}.7．（2022·湖南·高一课时练习

）用自然语言描述下列集合：(1)1,3,5,7,9；(2)32xRx；(3)3,5,7,11,13,17,19.【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合；(2)大于23的实数构成的集合；(3)大

于2且小于20的所有质数构成的集合.【解析】(1)因为集合1,3,5,7,9A=表示：小于10的正奇数构成的集合；(2)集合32xRx表示：大于23的实数构成的集合；(3)集合3,5,7,11,13,17,19表示

：大于2且小于20的所有质数构成的集合.4集合中元素的个数1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合22{(,)|3,Z,Z}Axyxyxy=+，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【答案】A【解析】由223xy+，得33

x−，33y−，又Zx，Zy，所以{1,0,1}x−，{1,0,1}−y，易知x与y的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为339=.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合

2,,MmmababQ==+,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（）①12+;②1162+;③122+;④2323−++A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】①当212ab+=+时，可得1,ab==，这与,abQ矛盾，②()21162323

2+=+=+232ab+=+，可得3,1ab==，都是有理数，所以正确，③122212222−==−+，2212ab+=−，可得11,2ab==−，都是有理数，所以正确，④()22323426−++=+=而()2222222ababab+=++，,abQ

，()22ab+是无理数，2323−++不是集合M中的元素，只有②③是集合M的元素.故选：C3．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知集合2,3,4,5,6A=，(),,,BxyxAyAxyA=−，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．

8D．10【答案】B【解析】因为,,xAyAxyA挝-?，所以4x=时，2y=；5x=时，2y=或3；6x=时，2y=，3或4.所以()()()()()()4,2,5,2,5,3,6,2,6,3,6,4B=，所以B中所含元素的个数为6.故选：B.4．（20

22·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知集合(),,*,2MxyxyNxy=+，则M中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】因为,*xyN且2xy+，所以11xy==，即集合中只有一个元素(1,1)．故选：A．5．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合,

AB的一种运算：2{|,,}ABxxabaAbB==−，若1,0A=−，1,2B=，则AB中的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为2{|,,}ABxxabaAbB==−，1,0A=−，1,

2B=，所以{0,1,2}AB=−−，故集合AB中的元素个数为3，故选：C.6．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（文））已知集合1,2A=，2,4B=，,,yCzzxxAyB==，则C中元素的个数

为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由题意，当1x=时，1yzx==，当2x=，2y=时，4yzx==，当2x=，4y=时，16yzx==，即C中有三个元素，故选：C5元素互异性及其应用1．（2022·四川自贡·高一期末）若22,aaa−，

则a的值为（）A．0B．2C．0或2D．2−【答案】A【解析】若2a=，则22aa−=，不符合集合元素的互异性；若2aaa=−，则0a=或2a=（舍），此时22,2,0aa−=，符合题意；综上所述：0a=.故选：A.2．（2022·江西·高一期

末）已知集合21,,3Axx=+，若2A，则x=（）A．-1B．0C．2D．3【答案】C【解析】因为2A，所以2x=或232x+=，而232x+=无实数解，所以2x=.故选：C.3．（2022·江苏·高一）已知集合21,2,1Aaaa=−

−−，若1A−，则实数a的值为（）A．1B．1或0C．0D．1−或0【答案】C【解析】1A−若21a−=−，即1a=时，1,1,1A=−−，不符合集合元素的互异性，舍去；若211aa−−=−，即1a=（舍去）或0a=时，1,2,1A=−−，故0a=.故选：C.4．（2

022·广东）若21,3,aa，则a的可能取值有（）A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3【答案】C【解析】0a=，则1,3,0a，符合题设；1a=时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；3a=时，则1,3,9a，符合题设；∴0a=或3a=均

可以.故选：C5．（2021·黑龙江·勃利县高级中学）已知集合20,,32Ammm=−+，且2A，则实数m的值为（）A．3B．2C．0或3D．0或2或3【答案】A【解析】因为20,,32Ammm=−+，且2

A，所以2m=或2322mm−+=，解得2m=或0m=或3m=，当2m=时2320mm−+=，即集合A不满足集合元素的互异性，故2m，当0m=时集合A不满足集合元素的互异性，故0m，当3m=时0,3,2A=满足条件；故选：A6．（2021·湖北孝感·

高一期中）（多选）已知集合222{2,1,4},{0,2}AaaaBaa=+−=−−，5A，则a为（）A．2B．2−C．5D．1−【答案】BC【解析】依题意5A，当215a+=时，2a=或2a=−，若2a=−，则2

,5,12,0,4AB==，符合题意；若2a=，则220aa−−=，对于集合B，不满足集合元素的互异性，所以2a=不符合.当245aa−=时，1a=−或5a=，若1a=−，则212a+=，对于集合A，不满足集合元素的互异性，所以1a=−不符合.若5a=，则2

,26,5,0,18AB==，符合题意.综上所述，a的值为2−或5.故选：BC7．（2022·北京石景山·高一期末）已知集合2|1Axx=，且aA，则a的值可能为（）A．2−B．1−C．0D．1【答案】C集合

2|1|11Axxxx==−，四个选项中，只有0A，故选：C．8．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习）若以集合A的四个元素abcd,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A．矩形B．平行

四边形C．梯形D．菱形【答案】C【解析】由题意，集合A的四个元素abcd,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得abcd,,,四个元素互不相等，以四个元素abcd,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.9．（2021·安徽）已知

{1}Axxm=−Z∣„，若集合A中恰好有5个元素，则实数m的取值范围为（）A．45m„B．45m„C．34m„D．34m„【答案】D【解析】由题意可知1,0,1,2,3A=−，可得34m„.故选：D

19．（2022·上海·高三专题练习）已知实数集合1,2,3,x的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x=__________．【答案】-3【解析】因为实数集合1,2,3,x的最大元素等于该集合的所有元素之和，所以123xx+++=（无解）或者1233x

+++=，解得：3x=−．故答案为：-3．11（2022·全国·高一）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=________．【答案】4【解析】2{|10}AxRaxax=++=中只有一个元素，若0a=，方程等价为10=，等式不成立，不满足条件．

若0a，则方程满足0=，即240aa−=，解得4a=或0a=（舍去）．故答案为：412．（2021·上海·上外附中高一期中）集合()()2140,AxxxaxxR=−++=中所有元素之和为3，则实数=a________．【答案】2−【解析】由()()2140

xxax−++=得10x−=或240xax++=所以11x=或23xxa+=−题意得12313xxxa++=−=，得2a=−故答案为：2−．13．（2022·上海·高三专题练习）已知集合()()21|,}0{xxxxaxR−−+=中的所有元素之和为1，则实数a的取值范

围为__________．【答案】1,04+【解析】令10x−=，解得：1x=①若20xxa−+=无实根，即140a=−，解得：14a此时集合只有一个元素1，满足题意②若20xxa−+=有两个相等实根，即140a=−=，解得：14a=2104x

x−+=，解得：12x=集合为11,2，不满足元素之和为1③若20xxa−+=有两个不等实根，即140a=−，解得：14a设此时方程20xxa−+=的两根为12,xx，则121xx=+若11x，21x，此时集

合为121,,xx，不满足元素之和为1若11x=，则20x=，此时集合为1,0，满足元素之和为1120axx==综上所述：1,04a+故答案为1,04+.