【文档说明】《2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第一册）》2.2 基本不等式（精讲）（解析版）.docx，共(13)页，838.222 KB，由envi的店铺上传

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2.2基本不等式（精讲）考点一直接型【例1-1】（2022·新疆喀什）已知0x，则下列说法正确的是（）A．12xx+−有最大值0B．12xx+−有最小值为0C．12xx+−有最大值为－4D．12xx

+−有最小值为－4【答案】B【解析】由题意，0x，由均值不等式1122xxxx+=，当且仅当1xx=，即1x=时等号成立故120xx+−，有最小值0故选：B【例1-2】（2022·河南南阳）已知0a，0b且2510ab+=，则ab

的最大值为（）A．2B．5C．32D．52【答案】D【解析】因为2510225abab+=，所以52ab，当且仅当5,12ab==时，等号成立.所以ab的最大值为52.故选：D【一隅三反】1．（2022·河南驻马店·高一期末）已知a>0，则当19aa+取得最小值时，a的值为（）A．19B

．16C．13D．3【答案】C【解析】∵a>0，∴19296aa+=，当且仅当19aa=，即13a=时，等号成立，故选：C2．（2022·江苏连云港·高一期末）函数22812yxx=−−的最大值是（）A．7B．7−C．9D．9−【答案】B【解析】由题意可得函数的定义域为0xx

，则20x，所以22222288812121227yxxxxxx=−−=−+−=−，当且仅当2282xx=，即2x=时，取等号，所以函数22812yxx=−−的最大值是7−，故选：B3．（2022·北京大兴·高一期末）当02x时，(2)xx−的最大值为（）A．0B

．1C．2D．4【答案】B【解析】02x，20x−，又(2)2xx+−=2(2)(2)14xxxx+−−=，当且仅当2xx=−，即1x=时等号成立，所以(2)xx−的最大值为1故选：B考点二常数代换

型【例2-1】（2022·浙江）已知x，y＞0，当x+y＝2时，求41xy+的最小值（）A．52B．72C．92D．112【答案】C【解析】由题，()41141141495522222yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=

，当且仅当4yxxy=，即2xy=，即42,33xy==时取等号故选：C【例2-2】（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）若13a，则114aa+−的最小值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】因为13a，所以40a−，

∴()111114444aaaaaa+=++−−−141422214444aaaaaaaa−−=+++=−−，当且仅当44aaaa−=−时，即2a=时取等号，所以114aa+−的最小值为1.故选：D.

【例2-3】（2022·广西·桂林中学高一期中）若0xy，234xyxy+=，则2xy+的最小值为__________.【答案】23+【解析】由234xyxy+=得243xyx=−，则有22043xxyx=−，有34x，同

理可得12y，由234xyxy+=两边除以xy得：324xy+=，于是得：323431112(2)(8(82444)())234yxyxxyxyxyxyyx+++=++=++=，当且仅当34yxxy=时取“=”，由34324yxxyxy=+=解得：33

13,42xy++==，所以当3313,42xy++==时，2xy+取得最小值23+.故答案为：23+【一隅三反】1．（2022·江西）已知0a，0b，且12ab+=，则4ba+的最小值是（）A．

92B．2C．9D．4【答案】A【解析】由题意可得411414522babababaab+=++=++．因为0a，0b，所以44abab+，则492ba+，当且仅当

43a=，32b=时，等号成立．故选：A2．（2022·江苏镇江）已知正数x，y满足439xy−=，则8xy+的最小值为（）A．8B．12C．22D．422+【答案】B【解析】由已知，x，y均为正数，42393xyy−==，故42xy−

=，即24xy−=，所以888424224812xyyyyy+=+++=+=，当且仅当82,2yyy==时等号成立.故选：B.3．（2022·全国·高一期末）设,xyR，22xy+=，则39xy+的最小值为（）A．12B．27C．6D．3【答案】C【解析】30x，2930yy=

，2222393323323236xyxyxyxy++=+===（当且仅当233xy=，即21xy==时取等号），39xy+的最小值为6.故选：C.4．（2022·河北廊坊·高一期末）（多选）已知0ab，且2abab+=，则2ab+的取值可以是（）A．8B．9C．11D．12

【答案】CD【解析】因为2abab+=，所以211ab+=，则()2122225baabababab+=++=++.因为0ab，所以220,0baab，所以222224babaabab+=…（当且仅当3ab==时，等号成立

），则225459baab+++=….因为ab，所以2259baab++，即29ab+.故选：CD考点三配凑型【例3-1】（2022·广东·梅州市）已知1x，则41xx+−的最小值是()A．5B．4C．8D．6【答案】A【解析】∵1x，∴10x−，∴()()4441121151

11xxxxxx+=−++−+=−−−，当且仅当411xx−=−，即3x=时等号成立，∴41xx+−的最小值是5．故选：A．【例3-2】（2022·福建）函数2455()()22xxfxxx−+=

−有（）A．最大值52B．最小值52C．最大值2D．最小值2【答案】D【解析】（方法1）52x…，20x−，则2245(2)11(2)222(2)xxxxxxx−+−+==−+−−−…，当且仅当122xx−=−，即3x=时，等号成立.（方法2）令2xt

−=，52x…，12t…，2xt=+.将其代入，原函数可化为22(2)4(2)511122tttytttttt+−+++===+=…，当且仅当1tt=，即1t=时等号成立，此时3x=.故选：D【例3-3

】（2022·湖北·高一阶段练习）已知ab，且8ab=，则222abab+−−的最小值是（）A．6B．8C．14D．16【答案】A【解析】因为8ab=，所以()222216ababababababab−++==−+−−−.因

为ab，所以0ab−，所以16162()8abababab−+−=−−，即28abab+−，当且仅当4ab−=时，等号成立，故222abab+−−的最小值是6.故选：A【例3-4】（2022·河南）设m，n为正数，且2mn+=，则4111mn+++的最小值为（）A．134

B．94C．74D．95【答案】B【解析】∵2mn+=，∴()()114mn+++=，即11144mn+++=，∴4111mn+++41141114mnmn++=++++()1151414nmmn++=++++()11521414nm

mn+++++94=，当且仅当()11141nmmn++=++，且2mn+=时，即53m=，13n=时等号成立.故选：B.【一隅三反】1．（2022·安徽省）已知x>3，则对于43yxx=+−，下列说法正确的是（）A．y有最大值7B．y有最小值7C．y有最小值4D．y有最大值4

【答案】B【解析】因为3x，所以30x−，所以()()444332337333yxxxxxx=+=−++−+=−−−，当且仅当433xx−=−，即5x=时取等号，所以y有最小值7；故选：B2．（2022·吉林松原）若2x，则

2242xxyx−+=−的最小值为（）A．4B．5C．6D．8【答案】C【解析】因为2x，所以20x−，所以()22444222226222xxyxxxxx−+==−++−+=−−−，当且仅当42

2xx−=−，即4x=时等号成立，故42yxx=+−，的最小值为6．故选：C．3．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知正实数,xy满足24xy+=，则121xy++的最小值是（）A．9B．73C．116D．95【答案】D【解析】因为125xy++=，所以()()()

2121121211112145115552121yxxxyxyxyxyxyy+++=+++=+++=++++++()2211492115155xxyy++=+=+，当且仅当()212124xyxyxy+=++=时，取

等号，121xy++的最小值是95.故选：D考点四消元型【例4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）若正实数x，y满足()4xyxy+=，则2xy+的最小值为（）A．3B．22C．23D．332【答案】C【解析】因为正实数x，y满足(

)4xyxy+=，所以4()xxyy+=.所以222231688(2)4()36412xyyxxyyyyyy+=++=+=++=，当且仅当288()4yyyxyxy==+=，即312xy=−=时等号成立

，所以2xy+的最小值是23，故选：C．【一隅三反】1．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数x，y满足2210xxy+−=，则2234xy+的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根据题意可得221xyx=−，由0x，所以211222xxyxx−

==−，由1022xyx=−，可得21x，即01x，222222221134134()22224242xxxxxxxyx=+=+−−−=+，当且仅当2214xx=，22x=时取等号，所以2234xy+的最小值为2.故选：B.2．（2022·湖南师大附中）（多选）若0a，0b，12

ba+=，则11aab++的可能取值有（）A．65B．54C．43D．32【答案】CD【解析】原式111111111(3)1(2)13331bbbbbbbbba=+=+=+=+−+−+−−+13411333bbbb−=+++−…（当且仅当32b=，2a=时取等

号）.故选：CD.3．（2022·湖北·石首市第一中学）若0,0xy，且26xyxy+−=，则xy+的最小值为_________．【答案】3【解析】因为26xyxy+−=，所以412xy=++，4441(2)12(2)13222xyyyyyyy+=+

+=++−+−=+++，当且仅当3,0xy==时，等号成立．故答案为：3．考点五求参数【例5】（2022·四川·威远中学校）当1x时，不等式11xax+−恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(2−，B．)2+，C．)3+

，D．(3−，【答案】D【解析】当1x时，不等式11xax+−恒成立，11axx+−对1x均成立．由于111121311xxxx+=−+++=−−，当且仅当2x=时取等号，故11xx+−的最小值等于3，3a，则实数a的取值范围是(3−，．故

选：D．【一隅三反】1．（2022·山西·怀仁市）已知0,0xy，且211xy+=，若228xymm+−有解，则实数m的取值范围为（）A．（-∞，−1）∪（9，+∞）B．（−9，1）C．[−9，1]D．（−1，9）【答案】A【解析】因为0,0xy

，且211xy+=，所以2122222(2)5529xyxyxyxyxyyxyx+=++=+++=，当且仅当22xyyx=，即3xy==时取等号，此时2xy+的最小值为9，因为228xymm+−有解，所以289mm−，即289

0mm−−，解得1m−或9m，故选：A2．（2021·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足2241xyxy+−=，且不等式20xyc++恒成立，则c的取值范围是（）A．()23+，B．263+，C．()32+，D．()22−，【

答案】B【解析】2241xyxy+−=，225(2)151(2)8xyxyxy+=+++，当且仅当2xy=时“=”成立，()2823xy+2626233xy−+又不等式20xyc++恒成立，2603c−，263cc的取值范围是263

+，．故选：B．3．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）已知0,0ab，若不等式3103mabab−−+恒成立，则m的最大值为（）A．13B．14C．15D．16【答案】D【解析】因为0,0ab，所以30ab+，所以()313m

abab++恒成立，只需()min313mabab++因为0,0ab，所以()3133333=9110216ababababbaba++++++=，当且仅当33=abba时，即ab=时取等号.所以16m.即m

的最大值为16.故选：D考点六综合运用【例6-1】（2022·浙江丽水）（多选）已知,ab是正实数，若22ab+=，则（）A．ab的最大值是12B．112+ab的最小值是2C．22ab+的最小值是54D．124abab+++的最小值是32【答案】AB【解析】正实数a，b满足22ab+=，由

基本不等式得，2222abab=+…，当且仅当2ab=且22ab+=，即12a=，1b=时取等号，解得，12ab„，A正确；()11111121()(2)2222222222baabababab+=++=++

+=…，当且仅当21ab==时取等号此时112+ab取得最小值2，B正确；∵220ba=−，∴01a()2222222584abaaaa+=+−=−+，当45a=时，2584aa−+的最

小值为2444584555−+=，C错误；()()()121141221641342255446422642262abababababababababab+++=++++=+++=++

++++当且仅当22164422abababab++=++时取等号，此时0a=，不符合题意，故等号取不到，即124abab+++的最小值大于32，故D错误.故选：AB【例6-2】（2021广东）如

图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．【答案】16【解析】如图所示，连接OC，设OB＝x(0<x<

4)，则BC＝OC2－OB2＝16－x2，AB＝2OB＝2x，所以由基本不等式可得，矩形ABCD的面积为S＝AB·BC＝2x·16－x2＝216－x2x2≤(16－x2)＋x2＝16，当且仅当16－x2＝x2，即x＝22时等号成立，所以矩形ABCD面积的最大值为16.【一隅三反】1．

（2022·海南）（多选）已知x，y是正实数，则下列选项正确的是（）A．若2xy+=，则11xy+有最小值2B．若3xy+=，则(1)xy+有最大值5C．若41xy+=，则2xy+有最大值2D．214xyxy++有最小值9

4【答案】AC【解析】对于A，0x，0y，2xy+=，()111111222yxxyxyxyxy+=++=++12222yxxy+=，当且仅当2xyyxxy+=

=，即1xy==时取等号，则11xy+有最小值2，故A正确；对于B，0x，0y，3xy+=，()()2114142xyxyxy++++=+=，当且仅当31xyxy+==+，即2,1xy==时取等号，则()1xy+有最大值

4，故B错误；对于C，0x，0y，41xy+=，()2244122xyxyxyxy+=++=+()()2212142xyxy++=++=，022xy+当且仅当412xyxy+==，即11,82xy

==时取等号，则则2xy+有最大值2，故C正确；对于D，当2,1xy==时，21119124224xyxy++=++=，故D错误；故选：AC2（2022·福建泉州·高一期末）（多选）若正实数a，b满足1ab+=，则（）A．14abB．2

212ab+C．2ab+D．114113ab+++【答案】BD【解析】依题意，正实数,ab满足1ab+=，所以2124abab+=，当且仅当12ab==时等号成立，所以A选项错误.2222211,2242ababab++=+，当

且仅当12ab==时等号成立，所以B选项正确.212,,222222abababab+++=+，当且仅当12ab==时等号成立，所以C选项错误.()111111111311ababab+=++++++++11111142223113113babaaba

b++++=+++=++++，当且仅当111,11,112baababab++=+=+==++时等号成立，所以D选项正确.故选：BD3.（2022年广西）某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置

一块1800平方米的矩形地块(如图所示)，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值分

别为多少？【答案】（1）y=1832－6x－163y(6<x<300,6<y<300)（2）x=40y=45【解析】(1)由题意得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝a(x－4)＋b(x－6)＝a(x－4)＋2a(x－6)＝(3x－16)

a＝(3x－16)×y－63＝xy－6x－163y＋32＝1832－6x－163y，其中6<x<300,6<y<300.(2)由(1)可知，6<x<300,6<y<300，xy＝1800,6x＋163y≥26x·16

3y＝26×16×600＝480，当且仅当6x＝163y时等号成立，∴S＝1832－6x－163y≤1832－480＝1352，此时9x＝8y，xy＝1800，解得x＝40，y＝45，即x为40，y为45.