【文档说明】《2022年新高考数学应用类型问题专题突破（新高考地区专用）》专题06 等式与不等式（解析版）.docx，共(17)页，887.828 KB，由管理员店铺上传

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专题06等式与不等式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+2（解答题）时间：90分钟一、单选题1．定

义区间[m，n]，(m，n)，(m，n]，[m，n)的长度均为n-m(n>m)，若满足()()()012xxaxx−−−的x构成的区间的长度之和为2，则实数a的不可能取值是（）A．-1B．1C．2D．3【答案】C【分析】将选项中的值代入，求出不等式的解集

，计算区间长度验证即可．【详解】解：当1a=−时，()()()1012xxxx+−−，解集为()()1,01,2−，区间长度之和为112+=，选项A可以；当1a=时，()()()1012xxxx−−−，解集为()()0,11,2U，区间长度之和为112+=

，选项B可以；当2a=时，()()()2012xxxx−−−，解集为()0,1，区间长度为1，选项C不可以；当3a=时，()()()3012xxxx−−−，解集为()()0,12,3，区间长度之和为112+=，选项D可以；故选：C．【点睛】本题考查分式不等式的

求解，考查对新定义的理解，考查学生计算能力和理解能力，是基础题．2．（2020·浙江衢州·高二期中）小明同学计划两次购买同种笔芯（两次笔芯的单价不同），有两种方案：第一种方法是每次购买笔芯数量一定；第二种方法是每次购买笔芯所花钱数一定.则哪种购买方式

比较经济（）A．第一种B．第二种C．两种一样D．无法判断【答案】B【分析】设此种商品的价格分别为()1212,tttt，第一种方案每次购买这种物品数量为0x；第二种方案每次购买这种物品的钱数为0y．则第一种方案的平均价格为122txtxx+；第二种方案的平均价格为122yyytt+，

利用基本不等式的性质即可得到答案.【详解】设两次购买的单价分别为()1212,tttt，方案一平均单价为122txtxx+=122tt+，方案二平均单价为122yyytt=+12211tt+，由均值不等式得12121212121

2122221122tttttttttttttt+==++()12tt.故第二种购物方式比较经济.故选：B.【点睛】本题考查了利用基本不等式的性质解决实际问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.3．若规定abadbccd=−，则不等式0213xx的解集是（）A．

(1,1)−B．(3,3)−C．(1,3)D．(3,1)(1,3)−−【答案】D【分析】由题意化简0213xx，直接求解即可.【详解】因为abadbccd=−，所以2133xxx=−，所以2032x−，即213x，解得

13x或31x−−，故选：D4．（2020·北京八中高二期末）动点(),Pxy的轨迹为以点()1,1为中心的正方形，且与两坐标轴分别交于点()1,0，()0,1，如图所示，则1xyxy−−+的最大值为（）A．0B．14C．1D．2【答案】B【

分析】根据题中条件，先得到点(),Pxy的轨迹方程，再由基本不等式，以及二次函数的性质，即可得出1xyxy−−+的最大值.【详解】因为动点(),Pxy的轨迹为以点()1,1为中心的正方形，且与两坐标轴分别交于点()1,0，()0,1，所

以当11xy时，3xy+=，所以291122244xyxyxy+−−+−=−=，当且仅当32xy==时，等号成立；当11xy时，10yx=−，即01y，则()()111xyxyyxx−−+=−−−22

11024yyy=−=−−，当且仅当1y=或0y=时，等号成立；当11xy时，1yx=+，即11xy=−，且01x，所以()()111xyxyxyy−−+=−−−2211024

xxx=−=−−，当且仅当1x=或0x=时，等号成立；当11xy时，1xy+=，所以21124xyxyxy+−−+=，当且仅当12xy==时，等号成立；综上，1xyxy−−+的最大值为14.故选：B.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于常考题型.

5．（2020·吴江汾湖高级中学高二月考）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金项链，售货员先将一条黄金项链放在天平左盘中，质量为1m的砝码放在天平右盘中使天平平衡；再将这条黄金项链放在天平右盘中，质量为2m的

砝码放在天平左盘中使天平平衡；那么这条项链的真实质量M（）A．大于122mm+B．小于122mm+C．等于122mm+D．无法确定【答案】B【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设ab），再利用杠杆

原理，列出等式，即1Mamb=，2maMb=，求出1m和2m的值，再利用基本不等式比较122mm+与M的大小，即可得结论.【详解】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设ab），再利用杠杆原理，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与

力臂的乘积）大小必须相等，即1Mamb=，2maMb=，解得：1Mamb=，2Mbma=下面比较122mm+与M的大小：0ab12++222222MaMbMabMabMbababmma==+=，由于ab¹，

故等号不成立，所以122Mmm+故选：B【点睛】关键点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是要熟悉杠杆原理，通过杠杆原理列出等式，所以学生平时在学习时要各科融汇贯通，考查学生的分析转化能力与运算求解能力，属于基础题.6．（2020·全国高一课时练习）如图所

示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是（）A．(a+b)2≥4abB．当a=b时，A1，B1，C1，D1四点重合C．(a-b)2≤4abD．(a+

b)2>(a-b)2【答案】C【分析】由图象分析正方形ABCD以及正方形A1B1C1D1的面积，根据面积之间的关系逐一判断即可.【详解】对于A，由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a+b)2≥4ab，故A正确

；对于B，正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2，当a=b时，正方形A1B1C1D1的面积为0，A1，B1，C1，D1四点重合，故B正确；对于C，结合图象正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，因此C选项错误.对

于D，结合图形可知(a+b)2>(a-b)2，且当a=b时A1，B1，C1，D1四点重合，故D正确；故选：C7．（2020·湖南雅礼中学高三月考）2020年初，新冠病毒肺炎（COVID﹣19）疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传播开来．因该病毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极

大．湖北某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现

阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为()01pp，且相互独立，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”的概率为fp（），当0pp=时，()fp最大，此时0p=（）A．1515−B．155C．55D．515−【答案】A【分析】由题意可得，该

家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴性，第4人为阳性，或前4人检测为阴性，第5人为阳性.求出()fp，求()'fp，利用导数求当()fp最大时，p的值.【详解】由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴

性，第4人为阳性，或前4人检测为阴性，第5人为阳性.()()()3411fppppp=−+−，()()()()()()()23342'231141115102fpppppppppp=−−+−−−+−=−−+()2515515155ppp+−=−−−

.()251511,050ppp+−−Q，令()'0fp，得51505p−；()'0fp，得51515p−.()fp在5150,5−上单调递增，在515,15−单调递减，5155p−

=时，()fp最大，即051515155p−=−=.故选：A．【点睛】本题考查相互独立事件、互斥事件的概率计算公式，考查利用导数求最值，属于中档题.8．（2019·浙江高三月考）设,ab是实数，定义：22991()ababmaabmR=+−−+.若满足此不等式：1

(2((20182019))1，则m的取值范围是A．m1B．20323m−C．913329mD．32943231361m+【答案】C【分析】设4(5((20182019))x=eee，分别求3x，()23x，以及()()123x，当

满足不等式时，求实数m的取值范围.【详解】22991()ababmaabmR=+−−+设4(5((20182019))x=eee则3992791926xxmxm=+−−+=−e则2(926)4(926

)4189(926)151113mmmmm−=−+−−−+=−+e则1(51113)5111399(51113)11mmmm−+=−++−−−++e913329m.故选：C【点睛】本题考查新定义，重点考查观察，分析问题的能力，应用新定

义的能力，本题的关键是设4(5((20182019))x=eee，然后再依次往后代入，解不等式.二、多选题9．（2021·全国高一课时练习）已知b克糖水中有a克糖()0ba，若再添加m克糖()0m，则糖水变得更甜.对于0ba，0m，下列不等式正确的有：A．aambbm+

+B．aambbm−−C．aabmbbam++D．aabmbbam−−【答案】AC【分析】根据题意，可以得到一个不等式，根据这个不等式所反应的事实对四个选项逐一判断即可.【详解】由题意可知，可以得到不等式，若0ba

，0m，则有aambbm++，因此选项A是正确的；由该不等式反应的性质可得：aaamabmbbambam++++，因此选项C是正确的；对于选项B：假设aambbm−−成立，例如：当3,1,4bam===时，显然1143334−=−不成立，故选项B不是正确的

；对于选项D：假设aabmbbam−−成立，例如：当3,1,1bam===时，显然113113311−=−−不成立，故选项D不是正确的.故选：AC【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学建模能力，考查了数

学知识迁移能力，属于中档题.10．（2020·河北高三月考）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与22()()xayb−+−相关的代数问题，可以转化为点(,)Axy与点(,)Bab之间的距离

的几何问题．结合上述观点，可得方程2245452xxxx++−−+=的解为（）A．233B．36C．233−D．36−【答案】AC【分析】由22|4545|2xxxx++−−+=得|2222(2)(10)(2)(10)|2xx++−−−+−=．其几何意义为平面内一点(,1)x与两定点(2,

0),(2,0)−距离之差的绝对值为2．平面内与两定点(2,0),(2,0)−距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线，从而求出双曲线的方程为2213yx−=，然后与直线1y=联立方程组可求得答案【详解】由22|45

45|2xxxx++−−+=得|2222(2)(10)(2)(10)|2xx++−−−+−=．其几何意义为平面内一点(,1)x与两定点(2,0),(2,0)−距离之差的绝对值为2．平面内与两定点(2,0),(2,0)−距离之差的绝对值为2的点的

轨迹是双曲线．设该双曲线的方程为22221(0,0)xyabab−=，则222222accab===+解得1a=，3b=．所以该双曲线的方程是2213yx−=．联立方程组22113yyx=

−=解得233x=．故选：AC【点睛】此题考查方程的解的求法，利用数学转化的思想，把解方程问题转化为双曲线的点的坐标问题，属于中档题11．（2020·江苏省海头高级中学高二月考）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽

画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线()32222:16Cxyxy+=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）A．方程()()32222160xyxyxy+=，表示的曲线在第二和第四象

限；B．曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2；C．曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4；D．曲线C上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点）.【答案】AB【分析】本题首先可以根据0xy判断出A正确，然后根据基本不等式将()3222216xyxy+=

转化为224xy+，即可判断出B正确，再然后根据曲线C构成的面积小于以O为圆心、2为半径的圆O的面积判断出C错误，最后根据曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2以及曲线C的对称性即可判断出D错误.【详解】A项：因

为0xy，所以x、y异号，在第二和第四象限，故A正确；B项：因为222xyxy+，当且仅当xy=时等号成立，所以222xyxy+，()()22232222222161642xyxyxyxy++==+，即22

4xy+，222xy+?，故B正确；C项：以O为圆心、2为半径的圆O的面积为4，显然曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于圆O的面积，故C错误；D项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，因为曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2，所以可将()0,0、()2,0、()1,0、()1,1、()0

,1、()0,2代入曲线C的方程中，通过验证可知，仅有点()0,0在曲线C上，故结合曲线C的对称性可知，曲线C仅经过整点()0,0，故D错误，故选：AB.【点睛】本题是创新题，考查学生从题目中获取信息的能力，考查基本不等式的应用，考查数形结合思想，体现了综合性，是中档题

.12．（2021·南京市宁海中学高二期末）设0a，0b，称2ab+为a、b的算术平均数，ab为a、b的几何平均数，2abab+为a、b的调和平均数，称222ab+为a、b的加权平均数.如图，C为线

段AB上的点，且ACa=，CBb=，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD、AD、BD，过点C作OD的垂线，垂足为E.取弧AB的中点为F，连接FC，则在图中能体现出的不等式有（）A．2abab+B．2222aba

b++C．2+abababD．2222ababab++【答案】ABD【分析】由CDOD可判断A选项；由CFOF可判断B选项；利用CDDE可判断C选项；利用CFDE可判断D选项.【详解】对于A选项，CDAB

⊥，且AB为半圆O的直径，则90BCDBDA==，由90ABDBDCABDBAD+=+=，可得BDCBAD=，所以，RtBCDRtBDA△△，BCCDCDAC=，CDACBCab==

，122abODAB+==，由图可知，CDOD，即2abab+，当点C与点O重合时，即当ab=时，等号成立，A选项成立；对于B选项，连接OF，由于F为半圆弧的中点，则OFAB⊥，当点C与点O不重合时，ab¹，2abOF+=，2abOC−=，由勾股定理可得222

222222abababCFOCOF−++=+=+=，此时，CFOF，即2222abab++.当点C与点O重合，即当ab=时，CFOF=，即2222abab++=.综上所述，22

22abab++，当且仅当ab=时，等号成立，B选项成立；对于C选项，CEOD⊥，90OCDDEC==，又CDEODC=，则RtCDERtODC△△，所以，DECDCDOD=，所以，222CDababDEabODab===++，由图可知，CDDE，即2ababab

+，C选项不成立；对于D选项，CFODDE，可得22222abababab+++，可得2222ababab++，当且仅当点C与点O重合时，即当ab=时，等号成立，D选项成立.故选：ABD.【点睛】易错

点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的

条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题13．问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼

层的升高，环境不满意度降低.设住第n层楼时，环境不满意程度为8n.则此人应选第_______楼，会有一个最佳满意度.【答案】3【分析】设此人应选第n层楼，此时的不满意程度为y，可得出8ynn=+，利用基本不等式结合双勾

函数的单调性可求得结果.【详解】设此人应选第n层楼，此时的不满意程度为y，由题意知8ynn=+，88242nnnn+=，当且仅当8nn=，即22n=时取等号，但考虑到n+N，所以，当2n=时826

2y=+=，当3n=时817333y=+=，即此人应选3楼，不满意度最低.故答案为：3.【点睛】利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用

函数单调性求解．14．（2020·江苏扬州市·高二期中）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩

三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a，当[1,2020]a时，符合条件的a共有_________个.【答案】135【分析】由题设3253amn=+=+，m，*nN，得351mn=+，对m讨论求解即可．【详解】

由题设3253amn=+=+，m，*nN，则351mn=+当5mk=，n不存在；当51mk=+，n不存在当52mk=+，31nk=+，满足题意当53mk=+，n不存在；当54mk=+，n不存在；故11582020ak=+剟，解720121515

k−剟，则0k=，1，2134，共135个故答案为：135【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对m分类讨论得到当52mk=+，31nk=+，满足题意.15．（2020·江苏高一月考）古希腊数学家希波克拉底曾研究过下面的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆

的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.若以AB，AC为直径的两个半圆的弧长总长度为2，则以斜边BC为直径的半圆面积的最小值为___________.【答案】【分析】先设2,2ABxACy

==，则222BCxy=+，再根据题意得2xy+=，故结合不等式22222xyxy++得以斜边BC为直径的半圆面积()222Sxy=+.【详解】解：设2,2ABxACy==，则22

2BCxy=+，故根据以AB，AC为直径的两个半圆的弧长总长度为2得()2xy+=，故2xy+=，以斜边BC为直径的半圆面积()222Sxy=+，由于222122xyxy++=，所以()22222Sxy=+=，当

且仅当1xy==时等号成立，故答案为：【点睛】本题考查利用重要不等式22222xyxy++求最值，考查运算能力，是中档题.16．（2020·江西省丰城中学高二期中（文））太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、

卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()22,11Axyxy=+−或()22224110xyxyx+++

，设点(,)xyA，则2zxy=+的取值范围是_______.【答案】[25−，25]+【分析】将2zxy=+化为122zyx=−+，则可利用线性规划的思想求解，只需直线122zyx=−+的纵截距取最大值和最小值，然后求解2zxy=+的

取值范围.【详解】当2zxy=+时，122zyx=−+，如图所示：故当直线122zyx=−+与圆()2211xy+−=相切，即过点A时，纵截距最大，此时z有最大值，由圆心()0,1到直线2xyz+−的距离为1得

：222112z−=+，解得：52z=+；当直线122zyx=−+与圆224xy+=相切，即过点B时，纵截距最小，此时z有最小值，由圆心()0,0到直线2xyz+−的距离为2得：22212z=+，解得：25z=−.故答案为：25,25

−+.【点睛】求解线性目标函数的最值时，一般步骤如下：（1）将目标函数zaxby=+化为()0azyxbbb=−+的形式，（2）画出直线()0azyxbbb=−+并平移，确定直线的纵截距取得最大、最小值时

的位置；（3）求解取得最优解的点的坐标，然后得出最值.四、解答题17．（2020·上海市金山中学高一期中）现有,,,ABCD四个长方体容器，,AB的底面积都是2a，高分别是,ab；,CD的底面积都是2b，高分别是,()abab，现规定一种游戏规则：每人每一次从容器中取两个，盛水多者为胜，问先

取者有没有必胜的方案？若有的话有哪几种？并证明你的结论；若没有的话，说明理由.【答案】先取,AD容器必胜.理由见解析.【分析】计算出容器,,,ABCD的容积,,,ABCDVVVV，然后作差：()()ABCDVVVV+−+，()()ACBDVVVV+−+，()()ADBCVVV

V+−+，观察哪个恒大于0即可得．【详解】先取,AD容器必胜.证明：依次记容器,,,ABCD的容积为,,,ABCDVVVV则3223,,,ABCDVaVabVabVb====作差即可2()()()()ABCDVVVVabab+−+=−+，22()()()()A

CBDVVVVabab+−+=−+，2()()()()ADBCVVVVabab+−+=+−，只有2()()()()ADBCVVVVabab+−+=+−必大于0，即ADCDVVVV++．所以，先取,AD容器必胜．18．（2021·浙江高一期中）如图，

在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为ABC），现修成草坪，图中MN把草坪分成面积相等的两部分，点M在AB上，点N在AC上．（1）若75AM=米，求AN长；（2）如果MN是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管MN最短，请确定点,MN的位置，并

求MN的最小值．【答案】（1）2003米；（2）当502AMAN==米时，MN的最小值为502米．【分析】（1）利用题中的条件三角形AMN的面积是三角形ABC面积的一半，即可解出；（2）设AMx=，则利用三角形AMN的面积是三角形ABC面积的一半，可将AN的长度用x表示出，再利用余弦定

理即可解出．【详解】解：（1）由75AM=，111100100sin6012503222AMNABCSS===，设ANa=，则175sin60125032AMNSa==，2003a=，即AN的长为2003．（

2）设MNy=，AMx=，在AMN中由余弦定理可得2222cos60yxANxAN=+−，又1sin60125032AMNSxAN==，5000ANx=，2225000()5000yxx=+−，225000()500

0250005000502yxx=+−−=…，当且仅当225000()xx=，即502x=时取等号；即当M，N分别在AB，AC上距离A点502米时MN距离最小，最小值为502．