【文档说明】《2022年新高考数学应用类型问题专题突破（新高考地区专用）》专题02 函数与导数（解析版）.docx，共(17)页，996.444 KB，由管理员店铺上传

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专题02函数与导数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+2（解答题）时间：90分钟一、单选题1．20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是

使用测震仪衡量地震能力的等级，地震能力越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M.其计算公式为0lglgMAA=−，其中A是被测地震的最大振幅，0A是标准地震的振幅，5级地震已经给人

的震感已比较明显，8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的（）A．30倍B．lg30倍C．100倍D．1000倍【答案】D【分析】设8级地震的最大振幅为1A，5级地震的最大振幅为2A，由108lglgAA=−和205

lglgAA=−易得1A和2A的倍数关系.【详解】解：设8级地震的最大振幅为1A，5级地震的最大振幅为2A，则：()()11210202lglglglglglglg853AAAAAAAA=−=−−−=−=，所以123101000AA==.故选：D.【点睛】考查对

数的运算以及指数式和对数式的互相转化，基础题.2．新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：)(rtIte=描述

累计感染病例数()It随时间t（单位：天）的变化规律，其中指数增长率0.38r，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（ln102.30）（）A．4天B．6天C．8天D．10天【

答案】B【分析】设所需时间为1t，可得()10.380.3810tttee+=，解出即可.【详解】设所需时间为1t，则()10.380.3810tttee+=，则10.3810te=，10.38ln102.3t=，12.360.38t=.故选：B.3．著名数学家

华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，已知函数()yfx=，2,2x−的部分图像如图所示，则()fx的解析式可能为（）A

．3sin2()exxxfx+=B．()3()sin2xfxxxe=+C．3sin2()exxxfx+=D．()3()sin2exfxxx=+【答案】C【分析】首先观察图象，可知其关于原点对称，得到函数()f

x为奇函数，从而排除A，D；之后再利用图象的变化趋势，可以排除B，得出正确选项.【详解】由已知，图象关于原点对称，故函数()fx为奇函数，排除A，D；又因为随着自变量的增大，函数值趋近于0，排除B选项，故选：C.

【点睛】该题考查的是有关根据函数图象选择函数解析式的问题，涉及到的知识点有观察函数图象的对称性，得到与其对应的奇偶性，观察函数解析式，排除不正确的选项，结合随着自变量的增大，函数值的变化趋势排除不正确选项，求得结果，在选择过程中，注意全局看图，属于中档题目.4．某商场对顾客实

行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500

元的部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是A．413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为168200

，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为5000.9450423=，所以购买B商品享受了9折优惠，则B商品的原价为4234700.9=元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款(

638500)0.75000.9546.6−+=元，故选C5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量大于等于20mg且小于80mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以

上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.5mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时36%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（）（参考数据：lg20.301，lg30.477）A．3

B．4C．5D．6【答案】C【分析】设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则150(136%)20x−，解出x的范围即可求解．【详解】解：设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则150(136%)20x−，20.6415x，0.64lg2lg152lg2lg3120.6020.4771log4.5

115lg0.646lg2260.3012x−−−−−==−−，他至少经过5个小时才能驾驶汽车，故选：C．6．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为1m的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如

图所示）当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心1O的距离为（）A．1mB．3m2C．2mD．3m【答案】C【分析】设1OO为mx，则14x，根据题意，可得正六边形的面积为S的表达式，进而可得帐篷的体积为V的表达式，利用导数，即可求得V的单调性

和极值点，即可求得答案.【详解】设1OO为mx，则14x，设底面正六边形的面积为2mS，帐篷的体积为3mV.则由题设可得，正六棱锥底面边长为2223(1)82(m)xxx−−=+−，于是()2236824Sxx=+−()233822xx=+−，所以()()221333382(1

)82322Vxxxxx=+−−++−()()233382[(1)3]1612(14)22xxxxxx=+−−+=+−，则()231232Vx=−.令0V=，解得2x=或2x=−（舍去）.当12x

时，0V，V单调递增；当24x时，0V，V单调递减.所以当2x=（m）时，V最大.故选：C.7．研究汽车急刹车的停车距离对汽车刹车设计和路面交通管理非常重要，急刹车停车距离受诸多因素影响，其

中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶速度，设d表示停车距离，1d表示反应距离，2d表示制动距离，则12d=dd+，如图是根据美国公路局公布的实验数据制作的停车距离示意图.图中指针所指的内圈数值表示对应的车速v(km/h).根据该图数据，建立停

车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型①：.d=avb+模型②：2.d=avbv+模型③：.bd=avv+模型④：2.bd=avv+(其中,ab为待定参数)进行拟合，则拟合效果最好的函数模型是（）A．.d=avb+B．2.d=

avbv+C．.bd=avv+D．2.bd=avv+【答案】B【分析】分析图中数据，分别判断1d、2d与车速的关系，即可得解.【详解】分析图中数据可得，车速每增加10千米/小时，反应距离1d增加的数量大体不变，且0v=时，10d=，所

以可拟合为1dbv=；分析车速v和制动距离()122dddd=−可得22dv稳定在一个常量附近，且0v=时，20d=，所以可拟合为22dav=；所以拟合效果最好的函数模型是2.d=avbv+故选：B.8．给出

定义：如果函数()fx在,ab上存在1x、()212xaxxb，满足()()()1fbfafxba−=−，()()()2fbfafxba−=−，则称实数1x、2x为,ab上的“对望数”，函数()fx为在,ab上的“对望函数”.已知函

数()3213fxxxm=−+是0,m上的“对望函数”，则实数m的取值范围是（）A．3,32B．()2,3C．3,232D．()2,23【答案】A【分析】由题意分析得出方程22123xxmm−=−在区间()0,m

上有两个解，令()22123gxxxmm=−−+，()0,xm，利用二次函数零点分布可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围.【详解】()3213fxxxm=−+，由题：()()2013fmfmmm−=−，()22fxxx=−，根据题意函数()3213fxxxm=−+是

0,m上的“对望函数”，即22123xxmm−=−在区间()0,m上有两个解，令()22123gxxxmm=−−+，()0,xm，由题意可知，函数()ygx=在区间()0,m有两个不等的零点，()()2224440311003203mmmgmmgmmm=+−

=−+=−，解得332m.故选：A.【点睛】本题考查函数的新定义，同时也考查了利用二次函数的零点分布求参数，考查了导数的应用，考查计算能力，属于中等题.二、多选题9．如图，某河塘浮萍面积y(m2

)与时间t(月)的关系式为y＝kat，则下列说法正确的是（）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第4个月时，浮萍面积会超过25m2C．浮萍面积蔓延到100m2只需6个月D．若浮萍面积蔓延到10m2，20m2，40m2所需时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t3＝2t2【答案】BCD【分析】根

据图象求得,ka的值，由此对选项进行判断.【详解】根据图象可知，函数图象过点()()1,1,2,3，所以1213kaka==.解得13,3ak==，所以11333tty−==.对于A选项，有13ty−=可知，函数为指数增长，所

以A选项错误.当4t=时，4132725y−==，所以B选项正确.5t=时，51381y−==；6t=时，613243100y−==，所以C选项正确.依题意312111310,320,340ttt−−−===，所以1323331log1

0,1log20,1log40ttt−=−=−=，所以1323331log10,1log20,1log40ttt=+=+=+，2133333322log10log402log4002log2022log202ttt+=++=+=+=+=，所以D选项正确.故选：BCD【点睛】本小

题主要考查指数增长，考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算.10．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为()Wft=，用()()fbfaba−−−的大小评价在[,]ab这段时间内企业污水治理能力的强弱，

已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论，其中正确结论为（）A．在12,tt这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B．在2t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；C．在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；D．甲企业在112230,

,,,,ttttt这三段时间中，在10,t的污水治理能力最强．【答案】ABC【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果.【详解】()()fbfaba−−−表示区间端点连线斜率的负数，在12,tt这

段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；A正确；甲企业在112230,,,,,ttttt这三段时间中，甲企业在12,tt这段时间内，甲的斜率

最小，其相反数最大，即在12,tt的污水治理能力最强．D错误；在2t时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B正确；在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；

C正确；故选：ABC.【点睛】本题考查切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属常考题型.11．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在

着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某

种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，因此，下列对应法则f满足函数定义的有（）A．()sincos2fxx=B．()sinfxx=C．()1fxx−=D．()221fxxx+=+【答案】AD【分析】利用二

倍角的余弦公式可判断A选项的正误；取1sin2x=，结合函数的概念可判断B选项；利用()1f结合函数的概念可判断C选项；利用换元法结合函数的概念可判断D选项.【详解】对于A选项，()2sincos212sinfxxx==−，则()212fxx=−，满足函数的概念，故选项A正确；对于B选项，可代入特

殊值验证12f，则x可以为6或56，不满足函数的概念，故选项B错误；对于C选项，同样可以代入特殊值验证()1f，则x可以为2或0，不满足函数的概念，故选项C错误；对于D选项，可令22xxt+=，则()222111xxtx++=+=+，则()()111ft

xtt=+=+−，，满足函数的概念，故选项D正确.故选：AD.12．对于定义在1D上的函数()fx和定义在2D上的函数()gx，若直线ykxb=+(),kbR同时满足：①1xD，()fxkxb+，②2xD，()gxkxb+，则称直线ykxb=+为()fx与(

)gx的“隔离直线”.若()lnxfxx=，()1xgxe−=，则下列为()fx与()gx的隔离直线的是（）A．yx=B．12yx=−C．3exy=D．1122yx=−【答案】AB【分析】根据隔离直线的定义，函数()yfx=的图象总在隔离直线的下方，()ygx=的图象总在隔离直线的上方，并且可以

有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解.【详解】根据隔离直线的定义，函数()yfx=的图象总在隔离直线的下方，()ygx=的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，由函数()lnxfxx=，可得()21lnxfxx−=，所以函数()fx在()0,

e上单调递增，在(),e+上单调递减，因为()10f=，()11f=，此时函数()fx的点(1,0)处的切线方程为1yx=−，且函数()fx的图象在直线1yx=−的下方；又由函数()1xgxe−=，可得()1e0xgx−=，()gx单调递增，因为()()111gg==

，所以函数()gx在点(1,1)处的切线方程为11yx−=−，即yx=，此时函数()gx的图象在直线yx=的上方，根据上述特征可以画出()yfx=和()ygx=的大致图象，如图所示，直线1yx=−和yx=分别是两条曲线的切线，这两条切线

以及它们之间与直线yx=平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A，B都符合；设过原点的直线与函数()yfx=相切于点00(,)Pxy，根据导数的几何意义，可得切线的斜率为0201lnxkx−=，又由斜002000ln0yxkxx−==−，可得002100l

n1lnxxxx−=，解得0xe=，所以21ln12()ekee−==，可得切线方程为2xye=，又由直线3xye=与曲()yfx=相交，故C不符合；由直线1122yx=−过点()1,0，斜率为12，曲线()yfx=在点()1,0处的切线斜率为1

，明显不满足，排除D.故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()yfx=的图象总在隔离直线的下方，()ygx=的图象总

在隔离直线的上方.三、填空题13．最新版高中数学教材必修第一册92P的(探究题)告诉我们：任何一个正实数N可以表示成()10110,nNaanZ=，此时(lglg0l1)gNnaa=+，当0n时，N是1n+位数.据此，可判断数1022

的位数是______.(取lg20.3010=).【答案】309【分析】先根据题意取对数102lg2，化简计算成(lglg0l1)gNnaa=+形式，即得结果.【详解】因为1021024=，所以1021024lg2lg210241

210240.3010308.224g====，所以，数1022的位数是309.故答案为：309.14．奇函数()fx的定义域为()1,1−，()fx在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，如图所示，则不等式()fxx的解集为______.【答案】22,0,1

22−【分析】根据奇函数()fx的定义域为()1,1−，在第一象限的图象，作出整个定义域上的图象，然后利用数形结合法求解.【详解】因为奇函数()fx的定义域为()1,1−，且()fx在

第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，所以定义域内的函数图象，如图所示，当()fx=x时，解得22,22xx==−，由图象知：不等式()fxx的解集为22,0,122−故答案为：22

,0,122−15．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线CA、CB围成一个三角形养殖区ACB.为了便于管理，在线段AB之间有一观察站点M，M到直线BC，CA的距离分别为8百米、1百米，则

观察点M到点A、B距离之和的最小值为______________百米.【答案】55【分析】建系，将直线AB用方程表示出来，再用参数表示出线段AB的长度，最后利用导数来求函数最小值.【详解】以C为原点，CA,CB所在直线分别作为,xy轴，建立平面直角坐标系，则(8,1)M.设直线18:()

ABykx−=−，即18ykxk=+−，则18,0,(0,18)kABkk−−−，所以180180kkk−−−，所以0k，22218(18)()(0)kABkfkkk−=−+−=，则221()(18

)1(0)fkkkk=−+，则22311()2(18)(8)1(18)(2)fkkkkk=−−++−−()()()33322(18)812(18)21421kkkkkkkk−−−+

−−++==，当1,2x−−时，()0fx，则()fx单调递减，当1,02x−时，()0fx，则()fx单调递增，所以当12k=−时，AB最短，此时55AB=.故答案为：55【点睛】本题考查导数的实际应用，属于中档题.16．自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根

电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()xxfaeexb−=+（其中a，b是非零常数，无理数2.71

828e=…）（1）如果()fx为单调函数.写出满足条件的一-组值：a=______，b=______.（2）如果()fx的最小值为2，则+ab的最小值为______.【答案】11−2【分析】（1）取1a=，结合函数是单调函数，利用复合函数的单调性求解b的值即可；（2）根据()fx

的最小值为2，分类讨论确定0a，0b，结合基本不等式进行求解即可．【详解】（1）令1a=，则()xxfxebe−=+，xye=Q是增函数，xye−=是减函数，要使()xxfxebe−=+是单调函数，只需1b=−．综上，当1a=时，1b=−时，()

xxfxee−=−为增函数．（2）当0ab„时，()fx为单调函数，此时函数没有最小值，当0a，0b，()fx有最大值，无最小值，所以，若()fx有最小值为2，则必有0a，0b，此时()222xxxxfxaebeaebeab−−=+==…，即1ab=，即1a

b=，则22abab+=…，当1ab==时等号成立，即+ab的最小值为2．故答案为：1,1,2−【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否

为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.四、解答题17．用数学的眼光看世界就能发现很多数学

之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若()fx是()fx的导函数，()fx是()fx的导函数，则曲线()yfx=在点(,())xfx处的曲率()322()1()fxKfx=+．（1）若曲线()lnfx

xx=+与()gxx=在(1,1)处的曲率分别为12,KK，比较12,KK大小；（2）求正弦曲线()sin()hxxxR=曲率的最大值．【答案】（1）12KK；（2）1．【分析】（1）求出导函数及导函数的导数

，根据曲率定义直接计算，然后比较．（2）求()hx，再求()hx，然后曲率K，用换元法，函数的单调性求得最大值．【详解】（1）1()1fxx=+，21()fxx=−，所以()133322222(1)111[(1)](12)5fKf===++，1()2

gxx=，321()4gxx−=−，()2333222221(1)241[(1)]5112gKg===++，所以12KK；（2）()coshxx=，()sinhxx=−，所以322sin(1

cos)xKx=+，2222323sinsin(1cos)(2sin)xxKxx==+−，令22sintx=−，则[1,2]t，232tKt−=设32()tptt−=，则32643(2)26()ttttptt

t−−−−==，显然当[1,2]t时，()0pt，()pt递减，所以max()(1)1ptp==．2K最大值为1，所以K的最大值为1．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“曲率”，解题关键是理解曲率的定义，实质就是对导函数()fx再求导得()fx，然后根据所给公式求出(

)fx的曲率K．18．“弗格指数logaxbfxb+=−”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b是该地区的最低保障收入系数，a是该地区收入中位系数，x是该地区收入均值系数，经换算后，a、b、x都是大于1的

实数，当(1,2)f时，该地区收入均衡性最为稳定.（1）指出函数()logaxbgxfxb+==−的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入

系数为多少（精确到0.01）？（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）.【答案】（1）定义域为(),b+，()gx在(),b+上单调递减，实际意义见解析，1.04；（

2）22(,)11abbabbaa++−−.【分析】（1）由0xbxb+−及1x且1b可得函数()gx的定义域；由复合函数的单调性可得函数()gx的单调性；将0.89f=，3.15x=，2.17a=代入函数()gx，用计算器可求得b；（2）解不等式1log2axbxb+

−可得结果.【详解】（1）要使函数()gx有意义，则0xbxb+−，又1x且1b，解得xb，所以，函数()gx的定义域为(),b+；令()xbtxbxb+=−，则logaft=.因为21xbbtxbxb+==+−−，所以当(),xb+时，函数t单

调递减；又1a，所以logaft=在()0,+上单调递增，故logaxbfxb+=−在定义域(),b+上是减函数.其实际意义是：当该地区收入均值系数x大于该地区的最低保障收入系数b时，收入均值系数x越大，弗格指数f越小.将0

.89f=，3.15x=，2.17a=代入函数得2.173.150.89log3.15bb+=−，所以()0.890.890.892.1713.153.152.173.152.171bbb−+==−+，用计

算器可解得1.04b.（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，则(1,2)f，即1log2axbxb+−，又1a，所以2xbaaxb+−，即2211baaxb−−−，又xb，1a，所以211121xba

ba−−−，解得2211abbabbxaa++−−，即该地区收入均值系数x的取值范围是22,11abbabbaa++−−.【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是解不等式1log2axbxb+−.