【文档说明】《2022年新高考数学应用类型问题专题突破（新高考地区专用）》专题03 三角函数与解三角形（解析版）.docx，共(18)页，1.365 MB，由管理员店铺上传

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专题03三角函数与解三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+2（解答题）时间：90分钟一、单选题1．

（2020·吉林市教育学院高三期中（理））下图是中国古代数学家赵爽设计的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大锐角为，则sin2等于（）A．2425B．2425−C．725D．725−【答案】A【分析】根

据大、小正方形的面积分别为25和1，得到大、小正方形的边长分别为5和1，再根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义，得到以5sin5cos1−=，再两边平方求解.【详解】因为大、小正方形的面

积分别为25和1，所以大、小正方形的边长分别为5和1所以5sin5cos1−=1sincos5−=两边平方得11sin225−=所以24sin225=故选：A2．（2020·黑龙江大庆实验中学月考（理））大数学家欧拉发现了一个公式：ecossinixxix=+，i是虚数单

位，e为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，2022ππcossin44i+=（）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A．1B．1−C．iD．i−【答案】D【分析】先根据公式将原式变

为20224ie，再根据注释将原式变为10111011cossin22i+，结合三角函数的诱导公式即可计算出结果.【详解】因为20222022101142ππ10111011cossincossin4422iiieei

+===+，所以20223333cos504sin504cossin2ππcossin42224iiii=+++=+=−+

，故选：D.3．（2020·湖南怀化·月考）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于5km，灯塔A在观察站C的北偏东020，灯塔B在观察站C的南偏东040，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．52kmB．53kmC．5kmD．10km【答案】B【分析】根据题

意画出ABC的相对位置，再利用正余弦定理计算．【详解】如图所示，5,120ACBCACB===,2222cos120=75ABACABACAB=+−，53ABkm=，选B.【点睛】本题考查解三角形画出相对位置是关键，属于基础

题．4．（2020·海南高三一模）希波克拉底发现了平面几何里应用广泛的月牙定理，即以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙型面积之和等于该直角三角形的面积.如

图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若23ACB=，1ACBC==，则该月牙形的面积为（）A．3424+B．3424−C．1424+D．3348−

【答案】A【分析】由题意，内侧圆弧为ABC外接圆的一部分，由已知利用扇形面积公式、三角形面积公式，可得弓形ACB的面积，由于外侧圆弧以AB为直径，可求半圆AB的面积，即可得答案.【详解】如图，取AB的中点D，连接CD.因为1ACBC==，所以CDAB⊥.因为23ACB

=，所以3ACD=，所以33sin1322ADAC===，所以3AB=.由正弦定理，得33222sin3sin32AABRCB====，所以ABC的外接圆半径1R=.设ABC外接圆的圆心为O，连接OD

，OA，OB，则⊥ODAB.由题意，内侧圆弧为ABC外接圆的一部分，且其对应的圆心角为23AOB=，则弓形ACB的面积为2211113133232234AOBAOBSSABROD−=−=−=−△扇形.外侧圆弧

是以AB为直径的圆的一部分，所以半圆AB的面积为2133228=，则月牙形的面积为333834424−−=+.故选：A.5．（2020·全国高三专题练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有

表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4米，肩宽约为8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）A．1.012米B．1.768米C．2.043米D．2.945米【答

案】B【分析】由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．【详解】解：由题得：弓所在的弧长为：54488l=++=；所以其所对的圆心角58524==；两手之间的距离2

sin21.251.7684dR==．故选：B．【点睛】本题主要考查圆心角，弧长以及半径之间的基本关系，本题的关键在于读懂题目，能提取出有效信息．6．（2020·北京北大附中高三其他模拟）黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为

是最美的三角形，它是顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC中，512BCAC−=，根据这些信息，可得sin234=（）A．1254−B．1

54+−C．358+−D．458+−【答案】B【分析】由题意可得51sin184−=，利用诱导公式和二倍角公式可得2sin234(12sin18)=−−，进而可得结果.【详解】由黄金三角形可知：51sin184−=2sin234sin(2

7036)cos36(12sin18)=−=−=−−25151[12()]44−+=−−=−故选：B【点睛】本题考查了三角函数诱导公式和二倍角公式，考查了运算求解能力和转化的数学思维，属于中档题目.7．（2020·河南月考（理））魏晋南北期时期，祖冲之利用割圆术以

正24576边形，求出圆周率π约为355113，和真正的值相比，误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.已知π的近似值还可以表示成4sin52，则22π16π2sin71−−的值为（）A．16−B．8−C．8D．16【答案】B【分析】利用π的近似值是4sin52代入化简，即得结果.

【详解】由已知π的近似值是4sin52代入22π16π2sin71−−得，222π16π4sin521616sin5216sin52cos528sin1042sin71cos14sin76sin76−−

=−=−=−−8sin768sin76=−=−.故选：B.8．（湖北省华大新高考联盟2020届高三下学期4月教学质量测评数学（文）试题）制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高.某大学为鼓励

更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲，乙，丙三个科研小组，用三种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为11sin32毫米，乙小组制作的晶圆厚度为11sin23毫米，丙小组制作的晶圆厚度为17cos28毫米，则在三个小组中制作工艺水平最高

与最低的分别是（）A．甲小组和丙小组B．丙小组和乙小组C．乙小组和丙小组D．丙小组和甲小组【答案】A【分析】设11sin32a=，11sin23b=，17cos28c=，则162sin2a=，163sin3b=，763cos8c=.由783，126，136，

根据余弦函数和正弦函数的单调性确定c最大，设sin()xfxx=，利用导数法确定a最小.【详解】设11sin32a=，11sin23b=，17cos28c=，所以162sin2a=，163sin3b=，763cos8c=.因为783，所以733cos3cos832=.又126

，136，所以12sin2sin126=，133sin3sin362=，所以c最大，否定B，D.设sin()xfxx=，0,2x，cossin()2xxxfxx−=，令()cossingxxxx=−，0,2x，()sin0gxxx=−，

所以()gx在0,2上为减函数，所以()(0)0gxg=，即()0fx，所以()fx在0,2上为减函数.所以1132ff，即11sinsin321132，所以113sin2sin3

2，所以ba.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性以及导数与函数的单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于难题.二、多选题9．（2020·江阴市山观高级中学高一月考）在平面直角坐标系xOy中，已知任意

角以x轴的正半轴为始边，若终边经过点()00,pxy且||(0)OPrr=，定义：00sincosyxr−=，称“sincos”为“正余弦函数”；对于正余弦函数sincosyx=，以下性质中正确的是（）A．函数关于2x=对称B．

函数关于(,0)2对称C．函数在30,4单调递增D．函数值域为2,2−【答案】CD【分析】正确理解“正余弦函数”的定义可知sincossincosyxxx==−，然后利用辅助角

公式化简，并逐一进行验证可得结果.【详解】由题可知：sincossincos2sin4yxxxx==−=−所以可知函数的值域为2,2−，故D正确当2x=时，2sin124y=−=，并没取到最值，故不关于2x=对称，故A错误当2x=时，10y

=，故不关于(,0)2对称，故B错误当30,4x时，则,442x−−，所以函数在30,4单调递增，故C正确故选：CD10．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三其他模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保

，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为()sinAtKd

++=（0A，0，22−）．则以下说法正确的有（）A．2K=B．20=C．6=D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为40s3【答案】ABD【分析】由已知可得AK、、、的值，得到函数解析式，取6d=求得t的值，从而得解．【详解】解：∵筒车按

逆时针方向每分钟转1.5圈，60401.5T==，则24020==，故B正确；振幅A为筒车的半径，即4224422AK++−===，，故A正确；由题意，t=0时，d=0，042sin=+，即12sin=−，22−，∴6=−，故C错误；4sin220

6dt=−+，由d=6，得64sin2sin1206206tt=−+−=，，22062tkkZ−=+，，得40403tkkZ=+，．∴当k=0时，t取最小值为()403s，故D正确．

故选：ABD．11．（2021·全国高三专题练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos−为角的正矢，记作sinver，定义1sin−为角的余矢，记作covsiner，则下

列命题中正确的是（）A．函数covsinsinyerxverx=−在,4上是减函数B．若covsin12sin1erxverx−=−，则7covsin2sin25erxverx−=−C．函数()sin2020covsin202036fxverxer

x=−++，则()fx的最大值22+D．sincovsin2verer−=【答案】BD【分析】由正矢和余矢的定义讲四个选项中的已知条件化简，再利用余弦函数的单调

性可判断选项A，利用同角三角函数基本关系化弦为切可判断选项B，利用诱导公式以及正弦函数的性质可判断选项C、D，进而可得正确选项.【详解】由正矢和余矢的定义可得：对于选项A：()()covsinsin1sin1cosyerxve

rxxx=−=−−−cossin2cos4xxx=−=+所以在区间3,44单调递减，故选项A错误；对于选项B：因为covsin11sin1tan2sin11cos1erxxxverxx−−−===−−−，则2222cos

sin2sincoscovsin2sin2cos2sin2cossinxxxxerxverxxxxx−−−=−=+22221tan2tan122271tan125xxx−−−−==−++，所以B正确；对于选项C：()sin2020covsin202036fxverxerx=−

++2cos2020sin202036xx=−−−+2cos2020sin202022sin20206266xxx=−+−−+=−+所以则()fx的最大值4，故选项C不正确，对于选

项D：sin1cos1sincovsin22verer−=−−=−=，故选项D正确；故选：BD【点睛】关键点点睛：本题的关键点是读懂三角函数正矢和余矢的定义，能将已知条件化简，能熟练运用诱导公式，cos2020sin202036x

x−=+，以及同角三角函数基本关系齐次式化弦为切，属于中档题.12．（2020·广东深圳·高二月考）emoji（中文名：绘文字，别称：“小黄脸”）最早源于日本，是指在无线通信中所使用

的视觉情感符号，可用来代表多种表情．如今emoji表情已经风靡全球，大有“无emoji，不聊天”的趋势．题图1的“微笑脸”是交流沟通中最常使用的表情符号之一．我们可以用一些适当的函数图象或者是方程的曲线来绘制其近似图象，如题图2．其中，可用曲线221xy

+=勾勒脸庞，用曲线2111116622=−++yx，2111116622=−−+yx近似两只眼睛．下列四个函数中，可用其图象来近似描绘嘴巴形状的有（）A．2111344=−−yxxB．2128111644+−+=−−

xxyxC．411cos2344=−−yxxD．211cos2344=−+−yxx【答案】AD【分析】通过对ABCD四个选项奇偶性的判断

以及函数在定义域端点的函数值与对称轴上的函数值的大小关系进行排除，即可得答案.【详解】解：A：令()2111344fxxx=−−，则()fx是以10,3−为顶点，以y轴为对称轴的函数，开口向上，且1110443ff−=−，正确；B：令()21

28111644xxfxx+−+=−−，则()2128111644xxfxx−−+−=−−，明显()()fxfx−，不是偶函数，错误；C：1144x−，288x−，令()411cos2

344fxxx=−−，则()()44coscos2323fxxxfx−=−−=−=，则()fx为偶函数，又()410cos0033f=−=−，()114

cos04483fff−==−，不符合题意，错误；D：1144x−，288x−，令()11cos23442fxxx=−+−，则()()coscos2

32322fxxxfx−=−−+=−+=，则()fx为偶函数，又()10cos00332f=−+=−，()1120cos+04483fff−==−，正确.故选：AD.【点睛】本题考查函数性质的应

用，关键是根据图像发现函数的性质及特点，再根据性质及特点进行排除，是中档题.三、填空题13．（2020·湖北武汉·高二期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A为OB的

中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是________________.【答案】34【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出.【详解】设扇形的圆心角为，大扇形的半径长为R，小扇形的半径长为r，则22SR=大扇形，

22Sr=小扇形，2Rr=.根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为222222223322442RrRrrPRrR−−====.故选：34.【点睛】本题考查了扇形的面积计算公式、几何概率计算公式考查

了推理能力与计算能力，属于基础题.14．（2021·安徽高一期中）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处外都能见到5G基站的身影．如图，某同学正西方向山顶上的一座5G基站AB，已知基站高50mAB=，

该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离）．该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站顶端A的仰角为45，该同学向南走1502米后到达F处，此时测得基站顶端A的仰角为30，则山高BE=___________米．【答案】101.5【分析】设ADh=，则CDh=，3FDh=，1502CF=，在RtCD

F中由勾股定理求出h得值，即可山高.【详解】由题意可得：50mAB=，45ACD=，1502CF=，30AFD=o，且ADFD⊥，ADCD⊥，CDCF⊥，设ADh=，则CDh=，3FDh=，所以在RtCDF中，222CDCFFD+=，所以得(

)()22215023hh+=解得：150h=，所以山高等于150501.5101.5−+=米．故答案为：101.5.15．（2021·浙江高一期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：357sin3!5!7!xxxxx=−+−+，246cos12!4!6!xxxx=−+−，其中!1

23nn=．这些公式可以利用多项式来逼近原函数，在近似计算上又独特的优势．比如，利用前三项计算cos1，就得到1113cos1122424−+=，那么，利用前三项计算sin3可以得到它的近似值为______（

保留分数）．【答案】2140【分析】直接将3代入357sin3!5!7!xxxxx=−+−+中可得结果.【详解】由题意易得98121sin3324040−+=，故答案为：2140.16．（2020·陕西

安康·月考（理））如图，矩形OABC中，1,2ABOA==，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PMOA⊥，垂足为,MPNOC⊥，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为_______．【答案】【分析】连接

BP，设CBP=，其中02，则1sin,2cosPMPN=−=−，周长()62sincosC=−+，再利用三角函数恒等变换,能求出四边形OMNP的周长的最小值.【详解】连接BP，设CBP=，其中02，则1sin,2cosPMPN=−=−，

周长()62sincosC=−+，()2sincos12sincos12sin+=+=+，要让周长最小，即让()sincos+最大，即sin2最大，sin2在4=时取到最大值21sin=，当4=时，周长有最小值622−，故答案为622−.【点睛

】本题考查四边形周长的最小值的求法,具体涉及到圆的简单性质、三角函数等基本知识.解题时要认真审题，是解决本题的关键.四、解答题17．（2021·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）第十届中国花博会于2021

年5月21日在崇明举办，其标志建筑——世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米，屋面板只有250毫米，相当于一张2米长的桌子，其桌面板的厚度不到2毫米.图1为馆建成后的

世纪馆图：图2是建设中的世纪馆；图3是场馆的简化图.如（图3）是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，//////AAPPOOBB，其中280AA=米；圆心距160OO=米：半径75R=米：椭圆中心P与圆心O的距离40PO=米，C、C为直线PP与半圆的交点，6

0COB=.（1）设AAB=，计算sin的值；（2）计算COP的大小（精确到1°）.【答案】（1）35；（2）24.【分析】（1）由OO为等腰梯形ABBA中位线，根据对称性易知cos2AAOOOA−=，进而可求sin.（

2）结合（1）可得的大小，由正弦定理有sin(60)sinOCPOP−=，即可求P，在△CPO中即可求COP.【详解】（1）由OO为等腰梯形ABBA中位线，∴根据对称性有28016042cos755−==，∴3sin5=.（2）由//AAOO，由（1）知OO

BAAB==，则60PCOCOO==−.∴在△CPO中，由正弦定理()sinsin60OCOPP=−，即sin(60)75(sin60coscos60sin)sin40OCPOP−−==，则1239sin16P−=，∴结合（1）可

得：132.56P，36.87=∴24COP.18．（2021·上海徐汇区·高三二模）元宵节是中国的传统节日之一．要将一个上底为正方形ABCD的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A、C两点距离）的绳子

两头分别拴住A、C；B、D，再用一根绳子OP与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图．花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设∠PAC＝θ，所有绳子总长为y米．（打结处的绳长忽略不计）（1）将y

表示成θ的函数，并指出定义域；（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长．（精确到0.01米）【答案】（1）y＝()0.424sin1cos−+，520,arctan4；（2）1.17米，1.17米，0

.85米．【分析】（1）分别用表示||PA，||PM，进而可以表示绳长4||||4||||||yPAOPPAOMPM=+=+−；（2）先求出4sincos−的最小值及相应的值，进而可得结果.【详解】（1）设上底中心为M，则|AM|＝

0.42，|PM|＝0.42tanθ，|PA|＝0.42cos，故绳子总长4||||4||||||yPAOPPAOMPM=+=+−＝1.6210.42tancos+−＝()0.424sin1cos−+，因为||1520tan||40.42OMAM==，所以52

0,arctan4．（2）记A＝4sincos−，则sinθ+Acosθ＝4，即()21sin4A++=，由sin（θ+φ）≤1，得15A，等号成立时arctan152=−520,

arctan4，从而ymin＝0.430+1≈3.19（米），此时这三根绳子长分别约为1.17米，1.17米，0.85米．【点睛】关键点点睛：本题是三角函数应用题，主要考查应用实践能力.本题的关键点是：

能够将实际问题转化为数学问题.