【文档说明】《2022年新高考数学应用类型问题专题突破（新高考地区专用）》专题04 平面向量（解析版）.docx，共(16)页，896.171 KB，由管理员店铺上传

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专题04平面向量学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+2（解答题）时间：90分钟一、单选题1．（2020·全国课时练习）一只鹰正以

与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速度为A．80m/s3B．403m/s3C．803m/s3D．40m/s3【答案】C【分析】画出示意图，根据

直角三角形进行分析.【详解】如图，1||40ACv==，且30CAB=，则2803||3ABv==.故选:C【点睛】本题考查向量中速度的分解，难度较易.利用三角形法则或者平行四边形法则计算的时，可根据是否是特殊的三角形

或者平行四边形去计算.2．（2021·全国高三其他模拟（理））在如图所示的图形中，圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A,B,C,D是其中四个圆的圆心，则ABCD+=（）A．19B．19C．27D．23【答案】C【分析】由图形知=CDBCuuuruuur，这样有ABCDABBCAC+=+=

，在ACD△中求得AC即可．【详解】由图可得=CDBCuuuruuur，所以ABCDABBCAC+=+=，ACD△中222212cos622622732ACADDCADCD=+−=+−=．故选：C

．3．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔

AIS基站宣告建成.已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则OAOBOM++的最小值为（）A．40B．207C．2010D．80【答案】A【分析】由题知，OAOBCO→→→+=，

从而有OAOBOMCM→→→→++=，则当风叶旋转到最低点时，CM→最小，从而计算出模长的最小值.【详解】由题知，0OAOBOC→→→→++=，即OAOBCO→→→+=，则OAOBOMCM→→→→++=，则当风叶旋转到最低点时，CM→最小

，且值为602040−=.故选：A4．（2020·吉林长春·高三月考（理））长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度1v的大小为114/vkmh=，水流的速度2v的大小为24/vkmh=.设1v和2v

的夹角为()0180，北岸的点'A在A的正北方向，游船正好到达'A处时，cos=（）A．357B．357−C．27D．27−【答案】D【分析】用向量表示速度,根据向量的平行四边形法则，由题意可得2vv⊥，即可求解.【详解】设船的实际速度为

v,1v和2v的夹角为，北岸的点A在A的正北方向,游船正好到达A处,则2vv⊥，∴21421)47(vcoscosv=−−=−=−=−.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量在物理中的应用问题，解题关键是根据向量的平行四边形法则及物理性质

求解，考查数形结合思想和转化思想，属于基础题.5．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在ABC中，向量AB与AC满足·0ABACBCABAC+=，且2·2BABCBABC=，则ABC为（

）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等腰直角三角形【答案】D【分析】先由题意，得到BAC的平分线垂直于BC，推出ABAC=，再由向量夹角公式，得到4BAC=，进而可得出结果.【详解】因为非零向量AB与AC满足·0ABACBCABAC+=

，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC=.又2cos2BABCBACBABC==，所以4BAC=，所以ABC为等腰直角三角形.故选：D.【点睛】本题主要考查三角形形状的判定，熟记平面向量的数量积运算即可，属于常考题型.6．（6.4平面向量

的应用--几何、物理-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第二册））一条河的宽度为d，一只船从A处出发到河的正对岸B处，船速为1v，水速为2v，则船行到B处时，行驶速度的大小为（）A．2212vv−B．2212

vv−C．2212vv−D．2212vv−【答案】D【分析】由平行四边形法则和直角三角形的知识，即可得到船行驶的速度大小，得到答案.【详解】如图所示，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，可得船行驶的速度大小为2212vv−.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量在物理中的应用，其中解答中理

解向量的在实际中的应用，熟练应用向量的加法法则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．（2020·全国高三专题练习）如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为

直径在点A的另一侧作半圆弧BC，点P在圆弧上运动，则AB•AP的取值范围为（）A．[2，33]B．[4，33]C．[2，4]D．[2，5]【答案】D【分析】根据向量数量积的定义，ABAP→→等于AB→乘以AP→在向量AB→上的投影

，因为AB→不变，故求ABAP→→的取值范围等价于求向量AP→在向量AB→上的投影的长度取值范围即可.【详解】解：由题可知，当点P在点C处时，ABAP→→最小，此时1cos222,32ABAPABAEABAC→→→→→→====过圆心O作OP//AB交圆弧于点P，连接

AP，此时ABAP→→最大，过O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延长线于F，则ABAP→→=|AB||AF|=|AB|(|AG|+|GF|)=32152+=，所以ABAP→→的取值范围为[2，5].故选：D.【点睛】方法点睛：利用数量积几何意义，将问题转化为投影长度的变化，

从而求得取值范围.8．（2020·吉林长春·高三月考（文））如图，在面积为1的正方形1111DCBA内做四边形2222,ABCD使12212,AAAB=1221122122112,2,2,BBBCCCCDDDDA===以此类推，在

四边形2222ABCD内再做四边形3333ABCD……，记四边形iiiiABCD的面积为1,2,3,,)(iain=，则123naaaa++++=（）A．95194n−B．95149n−

C．31123n−D．3132n−【答案】B【分析】由平面向量的知识结合数列的通项可得159nna−=，再由等比数列前n项和公式即可得解.【详解】由题意可得

211235551,,999nnaaaa−====，所以2112351195551599919nnnaaaa−−++++=++++=

−95149n=−.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量及等比数列的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.二、多选题9．（2020·江苏南通·高三月考）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH

，其中1OA=，则以下结论正确的是（）．A．0HDBF=B．22OAOD=−C．2OBOHOE+=−D．22AHFH−=−【答案】ABC【分析】结合向量知识判断,即可得出答案.【详解】对A，因八卦图为正八边形，故中心角为

45°，90FOD=,∴0HDBF=，故A对；由上得31354AOD==，32cos42OAODOAOD==−，B对；对C，OB与OH的夹角为90°，又因OBOH=，根据平行四边形法则22OBOH

OAOE+==−，C对；对D，||AHFHAHHFAF−=+=，34AOF=，AOF中，由余弦定理可得22232cos224AFOAOFOAOF=+−=+，22AF=+，D错；故选:ABC【点睛】本题考查向量的基础知识，向量线性运算

的基本法则，余弦定理解三角形，属于中档题.10．（2021·全国高二课时练习）定义向量的外积：ab叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1）()aab⊥，()bab⊥，且a､b和ab构成右手系(三个向量的方向依次与拇指､食指､中指的指向一致)；（2）ab的模

sin,ababab=(ab，表示向量a､b的夹角).如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，有以下四个结论中，不正确的有（）A．1ABAC与1BD方向相反B．ABACBCAB=C．6||BC

AC与正方体表面积的数值相等D．1()ABABCB与正方体体积的数值相等【答案】ABD【分析】由向量的外积的性质逐个分析判断即可【详解】A选项，根据向量外积的第一个性质可知1ABAC与1BD的方

向相同，故A错，B选项，根据向量外积的第一个性质可知ABAC与BCAB的方向相反，不可能相等，故B错，C选项，根据向量外积的第二个性质可知正方形ABCD的面积为sin4BCACBCAC=，则6||BCAC与正方体表面积的数值相等，故C对

，D选项，1ABAB与CB的方向相反，则1()0ABABCB，故D错，故选：ABD.11．（2020·沙坪坝·重庆八中月考）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成2角的两条数轴，1e，2e分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，

则称平面坐标系xOy为反射坐标系中，若12OMxeye=+，则把有序数对(),xy叫做向量OM的反射坐标，记为(),OMxy=.在23=的反射坐标系中，()1,2a=，()2,1b=−r.则下列结论中，正确的是（）A．()1,3ab−=−B．5a=C．ab⊥rrD．a在b上

的投影为3714−【答案】AD【分析】123abee−=−+，则()1,3ab−=−，故A正确；3a=，故B错误；32ab=−，故C错误；由于a在b上的投影为3372147abb−==−，故D正确.【详解】()()121212223abeeeeee−=+−

−=−+，则()1,3ab−=−，故A正确；()2122254cos33aee=+=+=，故B错误；()()22121211223222322abeeeeeeee=+−=+−=−，故C错误；由于()22227bee=−=，故a在b上的投影为33

72147abb−==−，故D正确。故选：AD【点睛】本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．（2021·湖北高一期中）正六角星是我们生活中比较常

见的图形，很多吊饰品中就出现了正六角星图案(如图一).正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成(如图二).如图三所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（）A．向量,OAOB夹角的余弦值是12−B．若OCxOAyOB=+，则3xy+=C．若||2OA=

，则6OAOC=−D．若非零向量(,)axOAyOBxy=+R，则当||||ax取最小值时，2yx=【答案】AC【分析】直接利用向量的线性关系，平面向量基本定理，向量的数量积，模的运算公式求解各个选项，即可判断．【详解】由题意可知23AOB=，则1cos2AOB=

−，故A正确；由题意如图可知()(2)OCODOBBDOBOA=−=−+=−+，则3xy+=−，故B错误；因为||2OA=，所以||2OB=uuur，则1(2)242262OAOCOAOAOB=−−=−−−=−，故C正确；因为axOAyOB=+，所以()

2222||1||||||xxyyOAayyOAxxxx−+==−+，当12yx=时，||||ax取最小值，此时，2xy=，故D错误.故选:AC三、填空题13．（2020·全国课时练习）某物体做斜抛运动，初速度010m/sv=，与水平方向成

60，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是_____m/s.【答案】5【解析】【分析】结合平面向量的平行四边形法则及三角形知识，可知该物体在水平方向上的速度为0cos60v.【详解】设该物体在

竖直方向上的速度为1v，水平方向上的速度为2v，如图所示，由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，()201cos60105m/s2vv===，所以该物体在水平方向上的速度是5m/s.故答案为：5【点睛】本题考查了平面向量的平行四边形法则的应用，属于

基础题.14．（2020·全国课时练习）如图，两根固定的光滑硬杆OA，OB成角，在杆上分别套一小环P，Q（小环重力不计），并用轻线相连.现用恒力F沿OB方向拉小环Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为____

______.【答案】sinF.【分析】由题，,PQ是两个轻环，重力不计，当用恒力F沿OB方向拉环Q，两环稳定时，P环受到两个力而平衡，Q环受到三个力而平衡，以P为研究对象，根据二力平衡条件确定出轻绳的方向，再以Q为研究对象，求出轻绳的拉力.【详解】以小环P为研

究对象，由于受力平衡，故轻线与杆OA垂直，即轻线与杆OB的夹角为2−.设小环Q受轻线的拉力为T，对其受力分析，可得在水平方向上有cos2TF−=，故sinFT=.故答案为：sinF.【点睛】本题主要考查的是共点力平衡的条件及其应用，通过力的分析了解向量的实际背景，考查

学生对受力的分析能力，是基础题.15．（2020·北京高一期末）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为1F，2F，且12FF=，1F与2F的夹角为.给出以下结论：①越大越费力，越小

越省力；②的范围为0,；③当2=时，1FG=；④当23=时，1FG=.其中正确结论的序号是______.【答案】①④.【分析】根据12GFF=+为定值，求出()22121cosGF=+，再对题目中的命题分

析、判断正误即可.【详解】解：对于①，由12GFF=+为定值，所以()2222121212cos21cosGFFFFF=++=+，解得()22121cosGF=+；由题意知()0,时，cosy=单调递减，所以21F单调递增，即越大越费力，越小越省力；①正确.对于②，由题意知

，的取值范围是()0,，所以②错误.对于③，当2=时，2212GF=，所以122FG=，③错误.对于④，当23=时，221FG=，所以1FG=，④正确.综上知，正确结论的序号是①④.故答案为：①④.【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于

中档题16．（2021·天津南开区·南开中学高一期末）在迎接夏天的日子里，我校学生自发组织了热烈的篮球比赛.如图，是篮球场地的部分示意图.在高为4的等腰梯形ABCD中，//,6,2.ABCDABCD==点F是以CD为直径的半圆的中点，点M是半径为6的半圆O上的一个四等分点，点P为半圆

O上任一点，且点P在点M左侧，已知2165AFAP=+.设点E为线段AB上任一点，则FEPE的最小值为___________.【答案】654−【分析】建立平面直角坐标系，设点的坐标，再转化成函数问题，求最值即可.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得：()

()()()(3,0),0,3,6cos,6sin,,,,0334AFPEtt−−，则()()()()3,3,6cos3,6sin,,3,6cos,6sinAFAPFEtPEt==+=−=−−，所以5cos918s1i

n1826AFAP=+++=，整理得：3cossin25+=+①，两边平方得：9sincos25=②，又,4，则sincos，联立①②，解得:5sin32cos3=

=,所以()4,25P，所以()4,25PEt=−−()224652654FEPEttt=−+=−+−，当2t=时，此时FEPE有最小值，()min654FEPE=−.故答案为：654−.四、解答题17．（2021·江苏苏州市·高一月考）我们知道，“有了运算，向量的力量无限

”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知AD，BE，CF是ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点.【答案】证明见解析.【分析】结合向

量的数量积即可证明.【详解】如图，设ADBEH=，则HABC⊥，HBAC⊥()0()0HABCHAHCHBHBACHBHCHA=−==−=①②①-②得：()0HCHAHB−=，即0HCBA=故HCBA⊥，即CHAB⊥，又CFAB⊥所以C，F

，H三点共线，所以AD，BE，CF相较于一点.18．（2021·全国高一课时练习）如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长20ABcm=，与墙夹角为，如果不计木板的重量

，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【答案】60=时，fr有最小值12N．【分析】设木板对球的支持力为N，得到10sinN=，绳子的拉力为fr，化简得6020cossintan2f=，利用三角函数的基本性质

和基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，设木板对球的支持力为N，则10sinN=，设绳子的拉力为fr，又由20cosAC=，6tan2AD=，由动力矩等于阻力矩得66020costansintan22f

N==，所以26033312cos1cos1cos(1cos)20cossintan()224f====+−−，当且仅当cos1coa=−即1cos2=，即60=时，fr有最小值12N．