【文档说明】《九年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）》专题19 弧长与扇形面积（知识点串讲）（解析版）.doc，共(34)页，1.150 MB，由管理员店铺上传

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1专题19弧长与扇形面积【重点突破】设的半径为，圆心角所对弧长为，弧长公式：（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）扇形面积公式：母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。圆锥体表面积公式：（为母线）备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积【考查题型】考查题

型一求弧长典例1．(2019东台市期末)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为()A．πB．πC．πD．π【答案】C【解析】试题解析：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OBP=∠OAP=90°，在四边形APBO中，∠P=60°，2∴∠AOB=120

°，∵OA=2，∴的长l=.故选C.变式1-1．(2019射阳县期末)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．B．C．D．【答案】C【提示】根据弧长公式计算即可．【详解】解：该扇形的弧长＝.故选C．【名师点拨】本题考查了弧长的计算：弧长公式：（弧长

为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．变式1-2．(2019太仓市期末)已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆．若∠ABC＝25°，则劣弧的长为()A．B．C．D．【答案】C【解析】详解：如图：连接AO，CO，∵∠ABC=2

5°，3∴∠AOC=50°，∴劣弧的长=，故选C．名师点拨：此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答．变式1-3．(2019无锡市期末)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则的展直长度为（）A．3πB．6πC．9πD．12π【答案】B【解析】提示：直接利

用弧长公式计算得出答案．详解：的展直长度为：=6π（m）．故选B．名师点拨：此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．变式1-4．(2019南通市期末)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这

个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．2，πC．，D．2，【答案】D【解析】试题提示：连接OB，4∵OB=4，∴BM=2，∴OM=2，，故选D．考查题型二已知弧长和圆心角求半径典例2．(2019南京市期末)圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（）A．6B．9C．18D

．36【答案】C【解析】试题提示：直接根据弧长的公式列式求解：设该扇形的半径是r，∵n=120°，l=12π，∴．故选C．变式2-1．(2019宿豫区期末)如图（1），在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图（2）所示的一个圆锥模型，则圆的半径r与扇形的半径R之间的关

系为（）A．R=2rB．R=rC．R=3rD．R=4r【答案】D【提示】5根据扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长,扇形半径等于圆锥的母线长,即可解题.【详解】解：∵扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长,∴,化简得R=4r故选D.【名师点拨】本题考查了扇形和圆锥的相关

计算,弧长公式,圆的周长,中等难度,熟悉公式是解题关键.变式2-2．(2019宿迁市期末)如图，如果从半径为6cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径为()A．2

cmB．4cmC．6cmD．8cm【答案】B【提示】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即可.【详解】解：∵从半径为6cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，∴剩下的扇形的角度=360°×=240°，∴留下的扇形的弧长=，∴圆锥的底

面半径cm；故选：B.6【名师点拨】此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．变式2-3．(2

020泰兴市期末)如图所示，在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，使之恰好围成一个圆锥，已知圆半径为r，扇形半径为R，则R、r之间的关系为()A．R＝2rB．R＝rC．R＝3rD．R＝4r【答案】D【提示】根据扇形的弧长等于圆的周长可得所求的关系．【详解】∵扇形的弧长=，圆的周长为2πr，∴

=2πr，R=4r，故选D．【名师点拨】考查圆锥的计算；掌握圆锥的底面周长和侧面展开图的弧长相等是解决本题的关键．变式2-4．(2019南宁市期末)如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇

形ABC，使点A，B，C都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．3cmB．2cmC．6cmD．12cm7【答案】A【提示】圆的半径为12，求出AB的长度，用弧长公式可求得的长度，圆锥的底面圆的半径＝圆锥的弧长÷2π．

【详解】AB＝cm，∴∴圆锥的底面圆的半径＝÷（2π）＝3cm．故选A．【名师点拨】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的

记忆是解题的关键．考查题型三已知弧长和半径求圆心角典例3．(2019连云港市期末)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（）A．30°B．45°C．60°C．90°【答案】C【提示】根据弧长公式，即可求解【详解】设圆心角是n度，根据题意得，解得：n=60．故

选C【名师点拨】本题考查了弧长的有关计算．变式3-1．(2018东台市期末)如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不8变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）°B．（）°C．（）°D

．（）°【答案】D【提示】设∠ABC的度数为n，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．【详解】解：设∠ABC的度数大小由60变为n，则AC=，由AC=AB，解得n=故选D．【名师点拨】本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握

弧长的计算公式l=是解题的关键．变式3-2．(2019雨花台区期末)如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为()A．90°B．120°C．135°D．150°【答案】B【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，∴圆锥的底面周长为6π，∵圆锥的高是6，9∴圆锥

的母线长为设扇形的圆心角为n∘，∴=6π，解得n=120.答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°.故选B.名师点拨：本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式

可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．变式3-3．(2017泰州市期末)如图，用一个半径为6cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，绳索端点G向下移动了3πcm，则滑轮上的点F旋转了（）A．60°B．90°C．120°D．45°【答

案】B【提示】由弧长的计算公式可得答案.【详解】解：由圆弧长计算公式,将l=3π代入,可得n=90，故选B.【名师点拨】本题主要考查圆弧长计算公式，牢记并运用公式是解题的关键.考查题型四利用弧长公式求某点经过路径长典例4．(2020襄城区期末)钟面上的分针的长为1，从9

点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）10A．B．C．D．【答案】A【提示】∵从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，∴分针在钟面上扫过的面积是：.故选A.考点：钟面角，扇形面积的计算．变式4-

1．(2019昆山市期末)时钟的分针长5cm，经过15分钟，它的针尖转过的弧长是（）A．πcmB．πcmC．πcmD．πcm【答案】C【解析】∵分针经过60分钟，转过360°，∴经过15分钟转过360°×=90°，则分针的针尖转过的弧长是

l=.故选C.变式4-2．(2019无锡市期末)如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（）A．B．C．2πD．11【答案】B【提示】根据三角形的内角和得到∠B

＝70°，根据旋转的性质得到BC＝B′C，根据等腰三角形的性质得到∠BB′C＝∠B＝70°，求得∠ACA′＝40°，根据弧长的公式即可得到结论．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，∴∠B＝70°，∵将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得

到△A′B′C，∴BC＝B′C，∴∠BB′C＝∠B＝70°，∴∠BCB′＝40°，∴∠ACA′＝40°，∴点A经过的路径长＝＝，故选：B．【名师点拨】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长公式．变式4-

3．(2019；南通市期末)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4π，BC＝3π，半径是2的⊙O从与AC相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AC相切于点D的位置，则⊙O自转了（）A．2周B．3周C．4周D．5周【答案】C【提示】先根据勾股定理

确定三角形的周长，然后再求出圆的周长，用三角形的周长除以圆的周长得到滚动的周数;圆在三角形的三个顶点上旋转了三角形的三个外加，即为360°，再滚动的周数加上1即可.12【详解】解：Rt△ABC中，AC＝4π，BC＝3π，∴AB

＝5π，圆在三边运动自转周数：4354++＝3，圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周；可见，⊙O自转了3+1＝4周．故选：C．【名师点拨】本题考查了圆的旋转与三角形的关系，充分利用勾股定理及圆

的周长公式是解答本题的关键.考查题型五扇形面积计算典例5．(2018苏州市期末)如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．

【答案】B【提示】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．【详解】连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，13∴∠1=

∠2=60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD的高为，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，，∴△ABG≌△DBH（ASA

），∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD==．故选B．变式5-1．(2019昆山市期末)如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C

三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（）A．（2-π）cm2B．（π-）cm2C．（4-2π）cm2D．（2π-2）cm2【答案】C【提示】连接AD，由等边三角形的性质可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60°，根据S阴

影=S△ABC-3S扇形AEF即可得出结论．14【详解】连接AD，∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD==，∴S阴影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2

π)cm2，故选C．【名师点拨】本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．变式5-2．(2019泰兴市期末)如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，

则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6π+18D．6π+36【答案】C【提示】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形

COE的面积，再减去S空白ADC即可求出阴影部分的面积．【详解】15如图，连接OD，BD，∵点C为OB的中点，∴OC=OB=OD，∵CD⊥OB，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△BDO为等边三角形，OD=OB=12，OC=CB=6，∴CD=6，∴S扇形BOD==24π，

∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形BOD﹣S△COD）==18+6π，故选C．【名师点拨】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．变式5-3．(2020射阳县期末)

如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2D．223−【答案】D【提示】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇

形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边16三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=C

D=1，AD=BD=，∴△ABC的面积为BC•AD==，S扇形BAC==，∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，故选D．【名师点拨】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．变式5-4．(

2019无锡市期末)已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【提示】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：设扇形的半径为r．由题意：=6π，∴r=9，17∴S扇形==27π，故选：B．

【名师点拨】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．考查题型六圆锥侧面积计算典例6．(2020东台市期末)如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）A．2B．C．

D．【答案】D【提示】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．【详解】∵∠A＝90°，AB＝A

D，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，BD＝AB，∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，而CB＝CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC＝BD＝AB，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，18∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．故选D

．【名师点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．变式6-1．(2017南通市期末)如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁

皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cmB．15cmC．10cmD．20cm【答案】D【提示】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长；设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为

一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，可求出r；接下来根据圆锥的母线长、底面圆的半径以及圆锥的高构成直角三角形，利用勾股定理可计算出圆锥的高.【详解】过O作OE⊥AB于E，如图所示.∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°

，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长=1203180=20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴由勾股定理可得圆锥的高为：cm.19故选D.【名师点拨】本题考查了勾股定理，扇形的弧长公式，圆锥的计算，圆锥

的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.变式6-2．(2018宿迁市期末)若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为（）A．15πcm2B．24πcm

2C．39πcm2D．48πcm2【答案】B【解析】试题提示:底面积是:9πcm2,底面周长是6πcm,则侧面积是:×6π×5=15πcm2．则这个圆锥的全面积为:9π+15π=24πcm2．故选B．变式6-3．(2019东台市期末)如图，如果从半径为9c

m的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为A．6cmB．cmC．8cmD．cm【答案】B【解析】试题提示：∵从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，∴留下的扇形的弧长==12π

，根据底面圆的周长等于扇形弧长，20∴圆锥的底面半径r==6cm，∴圆锥的高为=3cm故选B.变式6-4．(2020南通市期末)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是()A．2πB．10πC．20πD．4π【答案】A【提示】由三视图知，该几何体是一个圆锥，圆锥的底面

直径为4，高为3，根据勾股定理可得圆锥的底母线长，根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解.【详解】由三视图知，此几何体为圆锥,底面直径为4,高为3,则圆锥的底面半径为4÷2=2,由勾股定理可得圆锥的母线长为

：，故这个几何体的侧面积为π×2×=2π.故选A.【名师点拨】考查了由三视图判断几何体,圆锥侧面积的求法;关键是得到该几何体的形状，并熟练掌握圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长.变式6-5．(2019南京市期末)如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱

高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．(30+5)πm2B．40πm2C．(30+5)πm2D．55πm221【答案】A【提示】利用圆的面积得到底面圆的半径为5，再利用勾股定理计算出母线长，接着根据圆锥的侧面展开图为一扇形和

圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积，最后求它们的和即可．【详解】设底面圆的半径为R，则，解得R=5，圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积；圆柱的侧面积，所以需要毛毡的面积=(30+5)πm2．故选．【名师点拨】考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这

个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．22综合练习题1．（2018·山东中考模拟）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．(1)证明：DE为⊙O的切线；(2)若BC=4，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见

解析（2）【详解】（1）证明：连接OD，CD，∵BC为⊙O直径，∴∠BDC=90°，∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，23∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（2）∵∠A=∠B=30°，BC=4，∴CD=BC=2，C

E=CD=1，DE=CD•cos30°=，∴S阴=S四边形ODEC﹣S扇形ODC=（1+2）×﹣=﹣．【点睛】本题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识，解题时注意辅助线的作法．2．（2018·吉林中考真题

）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）【答案】(1)50°;(2).【详解】（1）∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；（

2）如图，连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴的长为．24【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等，熟练掌握切线的性质、圆周角定理以及弧长公式等知识是解题的关键.3．（2018·江苏中考模拟）如图，AB为⊙O

的直径，C为⊙O上弧BF的中点，CD⊥AF，垂足为D，AB、DC的延长线交于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OC,

根据C为⊙O上的中点，证明∠1=∠2，再根据OA=OC，得∠1=∠3，再得∠2=∠3，证明AD∥OC，最后得AD⊥CD，OC⊥CD，得到结论;（2）设⊙O的半径为r，则OC=OB=r，再根据直角三角形边长关系求出r,最后用图中阴影部

分的面积=S△COE﹣S扇形COB来计算.【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵C为⊙O上的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥OC，25∴AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：设

⊙O的半径为r，则OC=OB=r，在Rt△OCE中，r2+（3）2=（r+3）2，解得r=3，∴OC=3，OE=6，∴∠E=30°，∠COE=60°，∴图中阴影部分的面积=S△COE﹣S扇形COB=×3×3﹣=．【名师点睛】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握圆的性质和勾股定

理是解题的关键.4．（2019·阜阳市期末）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．（1）求证：OF∥BC；（2）求证：△AFO≌△CEB；（3）若EB=5cm，CD=cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．【答案】（1）

证明见解析（2）证明见解析；（3）；阴影部分的面积是：cm2．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得；（2）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：△AFO和△CEB的两个角相等，从

而证得两个26三角形全等；（3）根据勾股定理求得x的值，然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积-△COD的面积即可求解．【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC又∵OF⊥AC∴OF∥BC（2）证明：∵AB⊥CD∴∴∠CAB=∠BCD又∵∠AFO=∠CE

B=90°，OF=BE，∴△AFO≌△CEB（3）连接DO．设OE=x，∵AB⊥CD∴CE=CD=5cm．在△OCB中，OC=OB=x+5（cm），根据勾股定理可得：（x+5）2=（5）2+x2解得：x=5，即OE=5cm，∴tan∠

COE=，∴∠COE=60°∴∠COD=120°，∴扇形COD的面积是：cm2△COD的面积是：CD•OE=×10×5=25cm227∴阴影部分的面积是：（）cm2．【名师点睛】本题主要考查了垂径定理，

勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE的度数是解决本题的关键．5．（2018·菏泽市期末）如图，有一把折扇和一把团扇，已知折扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°，问：哪一种扇子的面积大，从而得到的风量也大？【答案】两种扇子的面积一样

大，因而得到的风量也一样大【分析】折扇的面积等于两个扇形的面积之差,利用扇形的面积公式即可得到折扇的面积；团扇的面积即为圆的面积,利用圆的面积公式即可得到团扇的面积；比较折扇和团扇的面积，面积大的即风量大.【详解】由题意，可知团扇的面积是πa2，折扇的面积=大扇形面积

－小扇形面积＝πa2－πa2＝πa2，所以两种扇子的面积一样大，因而得到的风量也一样大.【名师点睛】本题考查圆的面积和扇形面积的计算，关键是掌握并灵活运用面积公式.6．（2019·海口市期中）一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为120°的

扇形，求：（1）圆锥的底面半径；（2）圆锥的全面积.【答案】（1）圆锥的底面半径为83cm；（2）【分析】28（1）扇形的弧长公式=，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆的周长求出半径；（2）S圆锥=，（r1=扇形半径即圆锥母线长，r2=底面圆半径）将已知条

件代入即可.【详解】解：（1）设圆锥的底面半径为，扇形的弧长，∴解得，，即圆锥的底面半径为；（2）圆锥的全面积【名师点睛】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注

意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分.综合练习题1．（2018·山东中考模拟）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．(1)证明：DE为⊙O的切线；(2)若BC=4，求阴影

部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）证明：连接OD，CD，29∵BC为⊙O直径，∴∠BDC=90°，∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴

OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（2）∵∠A=∠B=30°，BC=4，∴CD=BC=2，CE=CD=1，DE=CD•cos30°=，∴S阴=S四边形ODEC﹣S扇形ODC=（1+2）×﹣=﹣．【点睛】本题考查了切线

的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识，解题时注意辅助线的作法．2．（2018·吉林中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）30【答案】(1)50

°;(2).【详解】（1）∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；（2）如图，连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴的长为．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等，熟练掌握切线的性质、圆周角定理以及弧长公式等知识是

解题的关键.3．（2018·江苏中考模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上弧BF的中点，CD⊥AF，垂足为D，AB、DC的延长线交于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见

解析（2）【分析】（1）连接OC,根据C为⊙O上的中点，证明∠1=∠2，再根据OA=OC，得∠1=∠3，再得∠2=∠3，证明AD∥OC，最后得AD⊥CD，OC⊥CD，得到结论;31（2）设⊙O的半径为r，则OC=

OB=r，再根据直角三角形边长关系求出r,最后用图中阴影部分的面积=S△COE﹣S扇形COB来计算.【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵C为⊙O上的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥OC，∴AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2

）解：设⊙O的半径为r，则OC=OB=r，在Rt△OCE中，r2+（3）2=（r+3）2，解得r=3，∴OC=3，OE=6，∴∠E=30°，∠COE=60°，∴图中阴影部分的面积=S△COE﹣S扇形COB=×3×3﹣=．【名师点睛】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关

键.4．（2019·阜阳市期末）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．32（1）求证：OF∥BC；（2）求证：△AFO≌△CEB；（3）若EB=5cm，CD=cm，设OE=x，求x值及阴影部

分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析；（3）；阴影部分的面积是：cm2．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得；（2）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：△AFO和△CEB的两个角相等，从而证得两个三角形全

等；（3）根据勾股定理求得x的值，然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积-△COD的面积即可求解．【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC又∵OF⊥AC∴OF∥BC（2）证明：∵AB⊥CD∴∴∠CAB=∠BCD

又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，∴△AFO≌△CEB（3）连接DO．设OE=x，33∵AB⊥CD∴CE=CD=5cm．在△OCB中，OC=OB=x+5（cm），根据勾股定理可得：（x+5）2=（5）2+x2解得：x=5，即OE=5cm，∴tan∠C

OE=，∴∠COE=60°∴∠COD=120°，∴扇形COD的面积是：cm2△COD的面积是：CD•OE=×10×5=25cm2∴阴影部分的面积是：（）cm2．【名师点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE的度数是解决本题的关键．5．（

2018·菏泽市期末）如图，有一把折扇和一把团扇，已知折扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°，问：哪一种扇子的面积大，从而得到的风量也大？【答案】两种扇子的面积一样大，因而得到的风量也一样大

【分析】折扇的面积等于两个扇形的面积之差,利用扇形的面积公式即可得到折扇的面积；团扇的面积即为圆的面积,利用圆的面积公式即可得到团扇的面积；比较折扇和团扇的面积，面积大的即风量大.34【详解】由题意，可知团扇的面积是πa2，折扇的面积=大扇形面积－

小扇形面积＝πa2－πa2＝πa2，所以两种扇子的面积一样大，因而得到的风量也一样大.【名师点睛】本题考查圆的面积和扇形面积的计算，关键是掌握并灵活运用面积公式.6．（2019·海口市期中）一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为120°的扇形，求：（1）圆锥的底面半径

；（2）圆锥的全面积.【答案】（1）圆锥的底面半径为83cm；（2）【分析】（1）扇形的弧长公式=，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆的周长求出半径；（2）S圆锥=，（r1=扇形半径即圆锥母线长，r2=底面圆半径）将已知条件代入即可.【详解】解：（1）设圆锥的底面半径为，扇形的弧长，∴解

得，，即圆锥的底面半径为；（2）圆锥的全面积【名师点睛】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分.