【文档说明】《【一隅三反】2023年高考数学一轮复习（提升版）（新高考地区专用）》9.4 抛物线（精练）（提升版）（解析版）.docx，共(17)页，1.559 MB，由envi的店铺上传

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9.4抛物线（精练）（提升版）1．（2022·广西贵港）已知点F是拋物线()2:20Cxpyp=的焦点，()0,1Px是C上的一点，4PF=，则p=（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】由抛物线的定义可知，142pPF=+=，所以6p=．故选：C.2

．（2022·全国·课时练习）已知抛物线22yx=的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若()3,2A，则PAPF+的最小值为______，此时点P的坐标为______．【答案】72()2,2【解析】易知点A在抛物线内部，设抛物线的准线为l，则l的方程为12x=−，过点P

作PQl⊥于点Q，则PAPFPAPQ+=+，当PAl⊥，即A，P，Q三点共线时，PAPF+最小，最小值为17322+=，此时点P的纵坐标为2，代入22yx=，得2x=，所以此时点P的坐标为()2,2．故答案为：72；()2,2．3．（2022·江苏·南京市金陵中学河

西分校高三阶段练习）P是抛物线28yx=上的动点，P到y轴的距离为1d，到圆22:(3)(3)4Cxy++−=上动点Q的距离为2d，则12dd+的最小值为________．【答案】344−题组一抛物线的定义及应用【解析】圆22:(3)(3)4Cxy++−=的圆

心为(3,3)C−，半径2r=，抛物线28yx=的焦点(2,0)F，因为P是抛物线28yx=上的动点，P到y轴的距离为1d，到圆22:(3)(3)4Cxy++−=上动点Q的距离为2d，所以要使12dd+最小，即

P到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小，连接FC，则12dd+的最小值为FC减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即22(32)(30)22344−−+−−−=−，所以12dd+的最小值为344−，故答案为：344−4．（2022·河南平顶山）已知抛物线24xy=−，()00,Axy为该

抛物线上一点，B为圆()()22:331Cxy++−=上的一个动点，则0ABy−的最小值为___________.【答案】3【解析】由题意得：(3,3)C−,抛物线24xy=−焦点为(0,1)F−，准线为1y=，则000||1||2(1)||||2ACA

CACAFAByyy−−=−+−=+−−||2FC−,当A,F,C三点共线时取等号，而22||(30)(31)5FC=−−++=，故0ABy−的最小值为523−=，故答案为：35．（2022·全国·课时练习）已知点P为抛物线216yx=上的一个动点，设点P到抛物线的准线的距离为d，点()0

,3Q，则PQd+的最小值为______．【答案】5【解析】抛物线216yx=的焦点()4,0F，准线方程为4x=−．过点P作抛物线准线的垂线，垂足为点M，由抛物线的定义可得dPMPF==，则()()2204305PQdPQPFQF+=+=

−+−=，当且仅当P为线段FQ与抛物线的交点时，等号成立，因此，PQd+的最小值为5.故答案为：5.6．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线24yx=上任意一点，F为抛物线的焦点，()4,2M为平面内一定点，则PFPM+的最小值为_______

___．【答案】5【解析】由题意，抛物线的准线为1x=−，焦点坐标为(1,0)F，过点P向准线作垂线，垂足为A，则||||PMPMAPPF=++，当,,PMA共线时，和最小；过点P向准线作垂线，垂足为B，则||||||5PAPMPPMFMB+=+=，所以最小值

为5.故答案为：5.1．（2022·安徽·高三开学考试）过抛物线2:2(0)Eypxp=的焦点F的直线l与E交于,AB两点，若3AFFB=uuuruur，则l的倾斜角=（）A．2B．4或34C．6或56D．3或23【答案】D【解

析】因为焦点,02pF，设:2pABxmy=+，令1122(,)(,)AxyBxy，由222ypxpxmy==+，消x可得2220,ypmyp−−=22222Δ(2)4440,pmppmp=−+=+122122yypmyyp+==−，3AFFB

=uuuruur，所以123yy=−，所以12,3,ypmypm=−=所以222123yypmp=−=−，解得：213m=所以l的斜率为13m=，则l的倾斜角=3或23题组二直线与抛物线的位置关系故选：D.2．（2022·浙江·高三开学考试）已知O为坐标原点，直线l与抛物线2:

2Cxpy=交于AB､两点，以AB为直径的圆经过O，则直线l恒过（）A．0,2pB．()0,pC．30,2pD．()0,2p【答案】D【解析】如图所示：设直线l方程为：ykxb=+，1122(,),(,)AxyBxy，联立方程22ykxbxpy=+

=得2220xpkxpb−−=，有22480pkpb=+.122xxpk+=，122xxpb=−，21212()222yykxxbpkb+=++=+，故AB中点，即圆心C的坐标为21212(,)(,)22xxyypkpkb++=+直径()221

21214ABkxxxx=++−222148kpkpb=++.因为以AB为直径的圆经过O，故有2OCAB=，即()2222()pkpkb++222148kpkpb=++，化简得：2bp=，故直线方程为：2ykxp=+，当0x=时，2yp=，即直线l经过定点(0,2)p.故选：D3．（20

22·全国·课时练习）已知直线l过点()2,1−，且与抛物线24yx=只有一个公共点，则直线l的方程可以是______．（写出一个符合题意的直线方程即可）【答案】1y=（答案不唯一）【解析】由题意知直线l的斜率存在，设其方程为()12ykx−=+，当0k=时，1y=，易知直线1y=过点()

2,1−，且与抛物线24yx=只有一个公共点，符合题意．当0k时，联立()2124ykxyx−=+=，可得()244210kyyk−++=，()21621kk=−+−．当0=时，2210kk+−=，解得1k=−或12k=

，此时直线l的方程为()12yx−=−+或()1122yx−=+，即10xy++=或240xy−+=，易知直线10xy++=和直线240xy−+=都过点()2,1−，且与抛物线24yx=都只有一个公共点，符合题意．故直线l的方程可以

是1y=或10xy++=或240xy−+=．故答案为：1y=（答案不唯一）4．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线()220ypxp=的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程______．【答案】2yx=（答案不唯一，满足01p

即可）【解析】设直线的方程为2pxmy=+，且直线与抛物线交于()11,Axy，()22,Bxy，联立222pxmyypx=+=，可得2220ypmyp−−=，所以122yypm+=，所以()()212122212ABxxpmyyppmp=++=++=+，取

等号时0m=，所以抛物线()220ypxp=过焦点的弦长最短为2p，又因为被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，所以22p，所以01p，取12p=，此时抛物线方程为2yx=．故答案为：2yx=（答案不唯一，满足01p即可）5．（2022·山东）已知抛物

线C的方程为24yx=，直线l过定点()2,1P−，若抛物线C与直线l只有一个公共点，求直线l的方程．【答案】1y=或10xy++=或240xy−+=【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k．当0k=时，直

线l的方程为1y=，此时直线l与抛物线的对称轴平行，显然只有一个公共点；当0k时，设直线l的方程为()12ykx−=+，由()2412yxykx=−=+，得24480kyyk−++=，因为抛物线C与直线l只有一个公共点

，所以()164480kk=−+=，解得1k=−或12，所以直线l的方程为()12yx−=−+或()1122yx−=+，即10xy++=或240xy−+=．综上，直线l的方程为1y=或10xy++=或

240xy−+=．1．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））已知抛物线2:2(0)Cypxp=，过C的焦点F且斜率为1的直线交C于,AB两点，若||||32FAFB=，则p=__________.【答案】4【解析】由题意，抛物线2:2

(0)Cypxp=，可得,02pF，则直线AB的方程为2pyx=−，联立方程组22:2pyxCypx=−=，整理得22304pxpx−+=，设()()1122,,,AxyBxy，则212123,4pxxpxx+==，因为12||,||22ppFAxFBx=+=+且||||3

2FAFB=，所以123222ppxx++=，即()212123242ppxxxx+++=，所以22332424pppp++=，可得216p=，因为0p，所以4p=.故答案为：4.2．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）若直线l经过抛

物线24xy=的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.题组三弦长【答案】8【解析】抛物线24xy=的焦点为(0,1)F，直线l与抛物线交于两点，则其斜率存在，设l的方程为1ykx=+，1

122(,),(,)AxyBxy，则由241xyykx==+得2440xkx−−=，124xxk+=，124xx=−，又1212()2yykxx+=++，所以1212()122yykxx++=+，即2321k=+，1k=，所以22121212111()

42164(4)8ABkxxxxxx=+−=++−=−−=．故答案为：8．3．（2022·海南）过抛物线:W28xy=的焦点F作直线l与抛物线交于A，B两点，则当点A，B到直线240xy−−=的距离之和最小时，线段AB的长度为______【答案】172【解析】由抛物线:W28xy=可得(

)0,2F，设直线l的方程为2ykx=+，由282xyykx==+，可得28160xkx−−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则128xxk+=，所以()21212484yykxxk+=++=+，则线段AB的中点坐标(

)24,42Mkk+，M到直线240xy−−=的距离为()224242484855kkkkd−+−−+==，则点A，B到直线240xy−−=的距离之和()228222848255kkkkd−+−+==，所以当1

4k=时，2d取最小值，此时22111178484442AByypkp=++=++=++=，故答案为：172.4（2022·长宁区）已知直线20xy+−=与抛物线28yx=交于A，B两点，则AB=______．【答案】16【解析】联立2208xyyx+−==，得：(

)228xx−=，即21240xx−+=，设()11,Axy，()22,Bxy，则1212xx+=，124xx=，所以122ABxx=−()2121224xxxx=+−214416=−16=.故答案为：16.1．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）（多选）已知直线()():10lykxk=−

与抛物线2:4Cyx=交于AB，两点，点O为坐标原点，若线段AB的中点是(),1Mm，则（）A．2k=B．3m=C．5AB=D．OAOB⊥【答案】AC【解析】设()()1122,,,AxyBxy，由2(1

),4ykxyx=−=得2440yyk−−=，所以121242,4yyyyk+===−，所以2k=，又点(,1)Mm在直线l上，所以32m=，所以A正确，B错误；对于C，因为直线l经过抛物线24yx=的焦点，所以12||25ABxx=++=，所以C正确；

对于D，因为124yy=−，所以221212144yyxx==，所以12123OAOBxxyy=+=−uuruuur，所以D错误，故选:AC．2．（2022·浙江·高三开学考试）（多选）已知抛物线2:2(0)Cypxp=

的焦点为F，直线l与C交于点()11,Axy与点()22,Bxy，点F关于原点O的对称是点M，则下列结论正确的是（）A．若212yyp=−，则FlB．若2ABp=，则FlC．若M在以AB为直径的圆上，则Fl题组四综合运用D．若直线MA与MB与拋物线C都相切，则F

l【答案】ACD【解析】设AB方程为xmyt=+，由22xmytypx=+=得2220ypmypt−−=，22480pmpt=+，122yypm+=，122yypt=−，A．由212yyp=−得得2pt=，所以直线AB过点(,0)2pF，A正确；B．222222

12121211()4148ABmyymyyyympmpt=+−=++−=++，由2ABp=，当1m=时，4pt=−，Fl，B错误；C．(,0)2pM−，11(,)2pMAxy=+，22(,)2pMBxy=+，222212121212()()()()022224ppp

ppMAMBxxyymytmytyypmptt=+++=+++++=+−+=，即22202ppmt+−=，所以2pt=，0m=，Fl，C正确；D．设MA（或MB）方程为2pxmy=+，由上面推理过程得2248()02ppmp=+

−=，1m=，代入222()02pypmyp−−−=得，yp=，不妨设1yp=，2yp=−，则122pxx==，所以直线AB过点F，D正确．故选：ACD．3．（2022·全国·单元测试）（多选）已知C：()220ypxp

=的焦点为F，斜率为3且经过点F的直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若4AF=，则（）A．2p=B．F为线段AD的中点C．2BDBF=D．2BF=【答案】AB【解析】易知,02pF，由题意可得直线l的方程为32pyx=−

．由2232ypxpyx==−，消去y并整理，得22122030xpxp−+=，解得32Axp=，16Bxp=．由242AppAxF=+==，得2p=，∴423BxBpF=+=．过点B作BN垂直准线于点N，易知60DB

N=，∴8cos60cos603BNBFBD===，∴2BDBF=．.∵84433DFBDBF=++==，∴F为线段AD的中点．故选：AB．4．（2022福建）（多选）过抛物线26xy=的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则（）A．以线段

AB为直径的圆与直线32y=−相切B．以线段BM为直径的圆与y轴相切C．当2AFFB=时，274AB=uuurD．AB的最小值为6【答案】ACD【解析】由抛物线方程知30,2F，准线方程为32y=−，由题意可知，直线AB的斜率存在，可设AB：32ykx

=+，设()11,Axy，()22,Bxy．对于选项A，易知123AByy=++，∵M为AB的中点，∴点M到准线32y=−的距离12123312222yyyydAB+++=+==，∴以线段AB为直径的圆与直线32y=−相切，A正确；对于B

，由2326ykxxy=+=，得2690xkx−−=，236360k=+，126xxk+=，129xx=−，∴()21212363yykxxk+=++=+，∴2633,2kMk+，设BM的中点为N，则

232Nkxx+=，212311332442yykBMAB+++===，∵2233322kxk++=不恒成立，∴以线段BM为直径的圆与y轴未必相切，B错误；对于C，若2AFFB=，则122xx=−，不妨设10x，20x，∵129xx=−，∴2322x=，132x=−，则()32,3

A−，323,24B，∴3273344AB=++=，C正确；对于D，∵212366AByyk=++=+，∴当0k=时，min6AB=，D正确．故选:ACD．5．（2022·湖北·高三开学考试）（多选）已知抛物线2

:8Cxy=−的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于,AB两点，分别过,AB两点作C的切线12,ll，且12,ll相交于点P，则（）A．||4PF=B．点P在直线2y=上C．PAB△为直角三角形D．PAB△面积的最小值为16【答案】BCD【解析】由题可知，抛物

线2:8Cxy=−的焦点(0,2)F−，显然直线l的斜率存在，设直线方程为2ykx=−，11(,)Axy，22(,)Bxy，00(,)Pxy联立282kxxyy=−=−，消去y并整理得28160xkx+−=，128xxk+=−，1216xx=−，由2:8Cxy=−得，2

18yx=−，1'4yx=−，故切线PA的方程为：211111()84yxxxx+=−−①故切线PB的方程为：222211()84yxxxx+=−−②联立①②得12004,22xxxky+==−=12(,2)2xxP+，(4

,2)Pk−对于A，(4,2)Pk−，(0,2)F−，||4PF=不正确，故A不正确；对于B，(4,2)Pk−，显然点P在直线2y=上，故B正确；对于C，11(4,2)PAxky=+−uur，22(4,2)PBxky=+

−uur，21118yx=−，22218yx=−，1212212121212(4)(4)(2)(2)=4()162()4PAPBxkxkyyxxkxxkyyyy=+++−−++++−++将221212164yyxx=，21212121(()2)8yyxxxx+=−+−，且128xxk+=−，

1216xx=−，代入上式化简得：0PAPB=，PAPB⊥，PAB△为直角三角形，故C正确；对于D，P到直线l的距离为：22244411kdkk--==++，22212121()48(1)ABkxxxxk=++-=+，322

116(1)2PABSdABk==+，当0k=时，min()16PABS=，故D正确.故选：BCD6．（2022·全国·）（多选）已知抛物线22ypx=()0p的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于()11,Axy，()22,Bxy两点，若(),2Mm是线段AB的中点，则（）A

．4p=B．抛物线的方程为216yx=C．直线l的方程为24yx=−D．=10AB【答案】ACD【解析】因为焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知4p=，故A正确故抛物线的方程为28yx=，焦点()2,0F，故B错误则211

8yx=，2228yx=．又(),2Mm是AB的中点，则124yy+=，所以22121288yyxx−=−，即12121282yyxxyy−==−+，所以直线l的方程为24yx=−．故C正确由()121

2284yyxx+=+−=126xx+=，得12410ABAFBFxx=+=++=．故D正确故选：ACD．7．（2022·湖南·高三开学考试）（多选）已知,AB是抛物线2:4Cyx=上两动点，F为抛物线C的焦点，则（）A．直线AB过焦点F时，AB最小值为4B．直线AB过

焦点F且倾斜角为60时（点A在第一象限），2AFBF=C．若AB中点M的横坐标为3，则AB最大值为8D．点A坐标()4,4，且直线,AFAB斜率之和为0,AF与抛物线的另一交点为D，则直线，BD方程为：4870x

y++=【答案】ACD【解析】对于A选项，直线AB过焦点F，当AB垂直于x轴时，AB取最小值4，故正确；对于B选项，由题意，作图如下：则60=，AGx⊥轴，BEx⊥轴，即cosGFAF=，cosEFBF=，ACGFp=+，BDpEF=−

，即AFGFp=+，BFpEF=−，cosAFAFp=+，cosBFpBF=−，,1cos1cosppAFBF==−+，44,1cos601cos603ppAFBF====−+，故错误；对于C选项，由于AB为两动点，所以28ABABAFBFxx+=++=„，当且仅当直线AB过焦点

F时等号成立，故正确；对于D选项，依题意，443ADAFADADyykxxyy−===−+，故1Dy=−，即1,14D−，由题意，403ABAFkk=−=−，同理可得49,74B−，故直线BD方程为4870xy++=，故正确.故选：ACD.8．（2022·湖南）（

多选）已知直线l：330xy−−=过抛物线C：22ypx=（0p）的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为M，N，则下列说法错误的是（）A．抛物线的方程为2

4yx=B．线段AB的长度为183C．90MFN=D．线段AB的中点到y轴的距离为83【答案】BD【解析】由题意不妨设点A在点B上方，直线l：330xy−−=与x轴交点()1,0，又l经过22ypx=的

焦点，故()1,0F，可得2p=，即抛物线方程为C：24yx=，A正确．由23304xyyx−−==，可得231030xx−+=，解得3x=或13，可得()3,23A，123,33B−，所以221

2316323333AB−++==，B错误．由以上分析可知，()1,23M−，231,3N−−，()1,0F，可得23233122NFMFkk==−−，

则MFNF⊥，即90MFN=，C正确．因为()3,23A，123,33B−，故线段AB的中点为523,33，则线段AB的中点到y轴的距离为53，D错误，故选：BD．9．（

2022·河北）（多选）已知抛物线C：24yx=的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点()11,Pxy，()22,Qxy，点P，Q在l上的射影为1P，1Q，则下列说法正确的是（）A．若126x

x+=，则8PQ=B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．若()0,1M，则12PMPP+D．1190PFQ=【答案】ABD【解析】对于A，由抛物线的定义，知122628PQxx=++=+=，故A正确．对于B，线段PQ的中点为1212,22xxyyT++

，抛物线的准线l的方程为1x=−，点T到直线l的距离为1212211222xxxxPQ++++==，所以，以PQ为直径的圆与准线l相切，B正确；对于C，由抛物线的定义，可知1PPPF=，所以1PMPP+的最小值为MF．又F的坐标为()1,0，所以2MF=，故C错

误．对于D，连接11,PFQF，则由1PPPF=，得11PFPPPF=，又1//PPx轴，所以11PPFPFO=，同理11QFQQFO=，所以11PPFPFO++11180QFQQFO+=，所以1190PFOQFO+=，所以1190PFQ=

，所以D正确.故选：ABD.