【文档说明】《【一隅三反】2023年高考数学一轮复习（提升版）（新高考地区专用）》9.4 抛物线（精讲）（提升版）（解析版） .docx，共(13)页，949.251 KB，由envi的店铺上传

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9.4抛物线（精讲）（提升版）思维导图考点一抛物线定义及应用【例1-1】（2022·广西梧州）已知抛物线2(0)ymxm=上的点()02x,到该抛物线焦点F的距离为114，则m=（）A．4B．3C．14D．13【答案】D【解析】由题意，抛物线2(0)

ymxm=的准线方程为14ym=−，根据抛物线的定义，可得点()02x,到焦点F的距离等于到准线14ym=−的距离，可得111244m+=，解得13m=故选：D.【例1-2】（江苏省百校联考2022

-2023学年高三上学期第一次考试数学试题）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线24xy=的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PAl⊥，交准线l于点A，若直线AF的倾斜角为30°，则点P的纵坐标为（）A．3B．2C．1D．12【答案】A

【解析】设准线与y轴交于M点，则2FM=，30FAM=，∴4AF=，连接PF，则PFPA=，又903060PAF=−=，所以PAF△是正三角形，∴4PA=，准线l的方程是1y=−，∴P点纵坐标为3.故选：A考点呈现例题剖析【一隅三反】1．

（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点P为抛物线24yx=−上的动点，设点P到2:1lx=的距离为1d，到直线40xy+−=的距离为2d，则12dd+的最小值是（）A．52B．522C．2D．2【答案】B【解析】直线2:1lx=为抛物线24yx=−的准线，点P到准线的

距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线40xy+−=的垂线，如下图所示，此时12dd+最小，为点F到直线40xy+−=的距离.()1,0F−，则121045222dd−−==++．故选：B．2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线2xmy=焦点的坐标为(0,1)F

，P为抛物线上的任意一点，(2,2)B，则||||PBPF+的最小值为（）A．3B．4C．5D．112【答案】A【解析】因为抛物线2xmy=焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m=．记抛物线的准线为l，作PNl⊥于N，作BAl^于A，则由

抛物线的定义得||||||||||3PBPFPBPNBA+=+=…，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.3．（2021·江西南昌·高三阶段练习）若抛物线22(0)ypxp=上的点(1,)Pa到焦点的距离比到直线4x=−的距离小1，则a=（）A．11

2B．26C．6D．23【答案】D【解析】由题可知抛物线的准线方程为3x=−，所以32p=，即6p=，所以212yx=，∴212a=，所以23a=.故选：D.考点二直线与抛物线的位置关系【例2-1】（2022·广东）已知抛物线

的方程为28yx=，若过点()2,0Q−的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．1,1−B．)(1,00,1−C．(),11,−−+D．()(),11,−−+【答案】A【解析】由题意知

，直线l的斜率存在，设直线l的方程为()2ykx=+，代入抛物线方程，消去y并整理，得()22224840kxkxk+−+=．当0k=时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为0），显然满足题意；当0k时，()()2222248446410kkkk=−−=−，解得10k−

或01k．综上，11k−，故选：A．【例2-2】（2022·肥城市）设抛物线22yx=的焦点为F，过F的直线l交抛物线于,AB两点，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若3||2PF=，则直线l的方程为___________.【答案】22210xy−=【解析

】因为抛物线方程为22yx=，所以焦点1,02F，准线1:2lx=−.设()()1122,,,AxyBxy，直线AB方程为12ykx=−，代入抛物线方程消去y，得()2222204kkxkx−++=，

所以21212221,4kxxxxk++==.又过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，设()00,Pxy，可得()01212yyy=+，因为112211,22ykxykx=−=−，所以()21212222kyykxxkkkkk++=+−=−=

，得到00211,2yxkk==，所以21,21Pkk.因为32PF=，所以2221132221kk−+=，解之得212k=，所以22k=，直线方程为2122yx=−，即22210xy−=.故答案为：22210xy−=.【一隅三反

】1．（2022·云南）过抛物线26yx=的焦点作一条直线与抛物线交于()11,Axy、()22,Bxy两点，若123xx+=，则这样的直线的条数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】若直线AB与x轴重合，则该直线与抛物线26yx=只有一个交点

，不合乎题意.所以直线AB不与x轴重合，易知抛物线26yx=的焦点为3,02F，设直线AB的方程为32xmy=+，联立2326xmyyx=+=可得2690ymy−−=，236360m=+，则126yym+=，所以，()212

123633xxmyym+=++=+=，解得0m=.故满足条件的直线有且只有一条．故选：B．2（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知圆的方程为221xy+=，抛物线的方程为283yx=，则两曲线的公共切线的其中一条方程为_____________．【答案】()323yx

=+【解析】设切线方程为：ykxm=+，分别联立方程得到283yxykxm==+和221xyykxm+==+，得2228(2)03kxkmxm+−+=和222(1)210kxkmxm+++−=，得1326

4039km=−+=和2222244(1)(1)kmkm=−+−=224440km−+=，解得23km=和221mk−=，解得33233km==或33233km=−=−，所以，两曲线的公共切线的其中一条方程可为

：()323yx=+故答案为：()323yx=+3．（2022·广东高三开学考试）过点(1,2)P−−的两条直线与抛物线C：24xy=分别相切于A，B两点，则三角形PAB的面积为（）A．272B．35C．27D．352【答案】A【解析】抛物线2:4Cxy=，即21

4yx=，故12yx=，设,AB两点的坐标为()()1122,,,AxyBxy，则有1112121yxx+=+，整理得1124xy+=，同理222xy+=4.故直线AB的方程为24xy+=，由224,4xyxy+==得2280xx+−=，故()2121212,8,1(2)48354xxx

xAB+=−=−=+−−−=，因为点()1,2P−−到直线AB的距离为221449512d−−−==+，故三角形PAB的面积为192735.225=故选：A.考点三弦长【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线2:6Cyx=的焦点，过F且倾斜角为60°的直

线交C于A，B两点，则AB=（）A．303B．8C．12D．73【答案】B【解析】依题意可知抛物线2:6Cyx=焦点为3,02，直线AB的方程为332yx=−，代入抛物线方程得242090xx−+=，

可得5ABxx+=，根据抛物线的定义可知直线AB的长为53822ABppxx+++=+=．故选：B．【例3-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，

则||||+=AFBF（）A．4B．5C．6D．8【答案】C【解析】设()()1122,,,AxyBxy，由A，B中点的横坐标为2，可得124xx+=，所以||||+=AFBF12116xx+++=．故选：C．【

一隅三反】1．（2022·河南·高三开学考试（文））已知倾斜角为60的直线l过抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F，且与C交于AB，两点（点A在第一象限），若3AF=，则BF=______．【答案】1【解析】如图，分别过点AB，作准线的垂线，垂足为MN，，过点B作AM的垂线，垂足为E，设

||BFx=，易得30ABE=，则1||(3)2AEx=+，由抛物线的性质可得||||AMAF=，||||BNBFME==，所以，1(3)32xx++=，解得1x=，故||1BF=．故答案为：12．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知F为抛物线2:2(0

)Cypxp=的焦点，过F且斜率为1的直线交C于,AB两点，若||||32FAFB=，则p=（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由题意知,0,2pFAB的方程为2pyx=−，代入C的方程，得22304pxpx−+=，设(

)()1122,,,AxyBxy，则212123,4pxxpxx+==；因为12,22ppFAxFBx=+=+，且32FAFB=，所以1222ppxx++=32，整理得()212123242ppxxxx+++=，

所以22332424pppp++=，结合0p，解得4p=.故选：D.3（2021·福建高三月考）过抛物线C：26yx=的焦点的直线l交C于A，B两点，若9AB=，则线段AB中点的横坐标为______．【答案】3

【解析】如图，抛物线26yx=的焦点为3,02F，准线为32x=−，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A，B，则有9ABAFBFAABB=+=+=．过AB的中点M作准线的垂线，垂足为M，则MM为直角梯形ABBA中位线，则()1922MMAABB

=+=，即3922Mx+=，解得3Mx=.所以M的横坐标为3．故答案为：3．考点四综合运用【例4】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知抛物线22ypx=()0p的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于()11,Axy，()22,Bxy两点

，若(),2Mm是线段AB的中点，则（）A．4p=B．抛物线的方程为216yx=C．直线l的方程为24yx=−D．=10AB【答案】ACD【解析】因为焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知4p=，故A正确故抛物线的方程为28yx=，焦点()2,0F，故B错误则2118yx

=，2228yx=．又(),2Mm是AB的中点，则124yy+=，所以22121288yyxx−=−，即12121282yyxxyy−==−+，所以直线l的方程为24yx=−．故C正确由()1212284yyxx+=+−=126xx+=，得12410ABAFBFxx=+=++

=．故D正确故选：ACD．【一隅三反】1．（2022·广东江门）（多选）设抛物线C：()220ypxp=的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若90ABD=

，且ABF的面积为93，则（）A．3BF=B．ABF是等边三角形C．点F到准线的距离为3D．抛物线C的方程为212yx=【答案】BC【解析】根据题意，作出示意图,因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD

＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以ABF是等边三角形，故B正确；所以∠FBD＝30°.因为ABF的面积为34|BF|2＝93，所以|BF|＝6.故A错误；又点F到准线的距离为|BF|sin30°＝3＝p，故C正确；则该抛物线的方程为y2＝6

x.故D错误.故选：BC.2．（2022·辽宁朝阳）已知抛物线2:4Eyx=的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于,AB两点，,CD分别为,AB在l上的射影，则下列结论正确的是（）A．若直线AB的倾斜角为45，则8AB=B．若2AFFB=，则直线AB的斜率为23

C．若O为坐标原点，则,,BOC三点共线D．CFDF^【答案】ACD【解析】若直线AB的倾斜角为45，则:1AByx=−，令1122(,)(,)AxyBxy，由241yxyx==−消y可得212610,Δ364320,6xxxx−+==−=+=，所以1211628ABxx=

+++=+=，故A正确；设:ABxmy=+1，令1122(,)(,)AxyBxy，由241yxxmy==+，消x可得222440,Δ(4)1616160,ymymm−−==−+=+121244yymyy+==−

，2AFFB=，所以122yy=−，所以12222,2,4yym=−==−，所以22k=−或1y=2222,2,,4ym=−=所以22k=.即22k=，故B错误；设:1ABxmy=+，令()()1122,,,Axy

Bxy，214xmyyx=+=，消x可得()222440,Δ41616160,ymymm−−==−+=+121244yymyy+==−222224OByykyx===1124,1OCykyy

==−−，所以121212440OBOCyykkyyyy+−=+==，即,,BOC三点共线，故C正确；设:1ABxmy=+，令1122(,)(,)AxyBxy，由241yxxmy==+消x可得222440,Δ(4)1616160,ymymm−−==−+=+121244yymyy+

==−，()()122,,2,FCyFDy=−=−，所以()()12122,2,40FCFDyyyy=−−=+=，即CFDF^，故D正确.故选：ACD.3．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学）（多选）已知直线l过抛物线2:8Cyx=的焦点F，且

斜率为3，l与抛物线交于,PQ两点（P在第一象限），以,PFQF为直径的圆分别与y轴相切于,AB两点，则下列结论正确的是（）A．32||3PQ=B．833AB=C．若M为抛物线C上的动点，(2,1)N，则min(||||)4MFMN+=D．若0(,2

10)Mx为抛物线C上的点，则9MF=【答案】ABC【解析】设直线PQ的方程为：y3=（x﹣2），与28yx=联立整理可得：3x2﹣20x+12=0，解得：x23=或6，则P（6，43），Q（23，433

−）；所以|PQ|=623++4323=，选项A正确；因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，23），（43，233−），所以A（0，23），B（0，233−），所以|AB|=22383333+=，选项B正确；如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，所以|MF

|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；对于选项D，若0(,210)Mx为抛物线C上的点，则05x=，又4p=，所以072pMFx=+=，选项

D错误.故选：ABC.