【文档说明】《2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）》第25讲 简单的三角恒等变换（解析版）.docx，共(15)页，739.256 KB，由envi的店铺上传

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第25讲简单的三角恒等变换➢考点1三角函数式的化简[名师点睛]1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式

时，一般需要升次．[典例]（2022·湖南·临澧县第一中学高三阶段练习）已知5tan54+=−，则1sin2cos2−＝（）A．15−B．5−C．15D．5【答案】A【解析】因为2221sin2(sincos)cossin1

tancos2cossincossin1tanaa−−−−===−++，又因为5tantan44+=+=1tan51tan+=−−，所以1sin21cos25−=−

，故选:A[举一反三]1．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高三阶段练习）化简可得7sinsin1212++（）A．1cos226−+B．1sin226−−C．1cos

226−D．1sin226+【答案】D【解析】7sin()sin()sin()sin[()]sin()cos()1212122121212++=+++=++11sin2()sin(2)2122

6=+=+．故选：D2．（2022·山东泰安·高三期末）已知tan2=，则()cos1sin22sincos−−的值为___________.【答案】115【解析】2222(sincos)1-sin2(sincos)sincos−=

−=+=()()2222tan1211tan1215−−==++，故()1cos1sin21sin2152sincos2tan1315−−===−−，故答案为：1153．（2020·全国·高三专题练习）（1）化

简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.（2）化简：(1sincos)cossin2222cos++−+(0<α<π)＝________.【答案】sin(α＋γ).cosα.【解析】（1）s

in(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).（2）原式＝222cos

2sincoscossin222224cos2+−＝22coscossin222cos2−＝coscos2cos2.因为0<<π，所以0<22，所以cos2>0，所以原式＝cos.故答案为：s

in(α＋γ)；cos4．（2022·全国·高三专题练习）化简：(1sincos)(sincos)2222cos++−+(0<θ<π)．【解】由θ(0,π)，得0<2<2，则cos2>0．又222cos4cos2cos22

+==，且(1＋sinθ＋cosθ)(sincos)22−＝2(2sincos2cos)(sincos)22222+−＝2cos222(sincos)22−＝－2cos2cosθ．∴原式＝2coscos2cos2cos

2−=−．5．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）()()tantan1tantan−+−−（2）()()()2sincos2sin1tan34cossin22−+−−+−+−−+

【解】（1）tan()tantan(())tan1tan()tan−+=−+=−−；（2）原式2sincos2sinsincos1tan4=+−+−−2si

ncos2sinsinsincos41cos=+−+−−22sincos2sinsincoscossin4=+−+−−sincos2sin4=+−+2sin2s

in44=+−+0=➢考点2三角函数式的求值[名师点睛]三角函数变换常用技巧(1)给角求值问题要充分观察并利用所给角与特殊角的关系，给值求值要着眼于所求角与已知角的和、差或倍数关系，两者的关键都在于“变角”．(2)给值求角问题的解题

策略①求相关角的某一个三角函数值．②由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解．[典例]1．

（2022·全国·高三专题练习）()tan30tan70sin10+=___________.【答案】33【解析】()sin30sin70tan30tan70sin10()sin10cos30cos70+=+(sin30cos70cos30sin7

0)sin10cos30cos70+=sin100sin102sin10cos103333sin20sin202===.故答案为：33.2．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin64x

−=，则cos23x−=（）A．78−B．78C．154−D．154【答案】B【解析】因为sinsin66xx−=−−，所以1sin64x−=−，2217cos2c

os212sin1236648xxx−=−=−−=−−=.故选：B.3．（2022·湖北襄阳·高三期末）已知tan226−=，则cos3−=（）A．35B．35-C．45D．45−【答案】B【解析】

∵tan226−=,∴cos3−=22cos2cossin262626−=−−−2222cossin2626cossin2626−−−=−+−

221tan1426141tan26−−−==++−35=−.故选：B．4．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知11tan,tan,37==−且,(0,)，则2−=（）A．4B

．4−C．34−D．34−或4【答案】C【解析】因11tan,tan37==−，则22122tan33tan211tan41()3===−−，31()tan2tan47tan(2)1311tan2tan1()47−−−

−===++−，因,(0,)，tan0,tan0，则0,22，又tan20，有022，于是得20−−，因此，324−=−，所以324−=−.故选：C[举一反三]1．（

2022·全国·高三专题练习）化简2222tan7.51tan7.57sin7.5cos7.5+=−+（）A．33B．233C．3D．2【答案】B【解析】原式222222222tan7.51sin7.5cos7

.5tan7.58sin7.51sin7.58sin7.5cos7.5cos7.5++==−+−+2112312sin15cos303===−．故选：B．2．（2022·广东汕头·二模）若sin160tan203+=，则实数的值为（）A．4B．43C．23D．43

3【答案】A【解析】由已知可得()()2sin60cos20cos60sin203tan203cos20sin201sin20cos20sin18020sin402−−−===−4sin404sin40==.故选：A

.3．（2022·广东茂名·模拟预测）已知31sin15cos15cossin46−=，则()cos2120+=()A．79B．79−C．1718D．1718−【答案】B【解析】31313sin15cos

15cossinsin30cossincossin42444−=−=−()11311cossincos6022226=−=+=，()1cos603+=，∴()()217cos21202cos6012199+=+−=−=−．故选

：B．4．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）已知3cos45−=−，则sin2=（）A．2425B．725C．725−D．2425−【答案】C【解析】解法1：由3cos45−=−，得23coscossinsin(cossin)4425+=

+=−，两边平方，得119(12sincos)(1sin2)2225+=+=，解得7sin225=−，解法2：由3cos45−=−，得29cos425−=，即1cos21sin2922225

+−+==，解得7sin225=−.解法3：由3cos45−=−，得23coscossinsin(cossin)4425+=+=−，即32cossin5+=−，则222222cos2cossins

in12tantan18cossin1tan25++++==++，解得tan7=−α或1tan7=−，于是2222sincos2tan7sin2sincos1tan25===−++.解法4：27sin2cos22cos12425=−=−−

=−.故选：C.5．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知(0)、,且110tan,cos210==−，则+=（）A．4B．34C．56D．54【答案】B【解析】因(),0,且1tan2=，10cos10=−可知为锐角，

为钝角，故sin0，2310sin1cos10=−=，sintan3cos==−，(0,),(,)223,22+，1(3)tantan2tan()111tantan1(3)2

+−++===−−−−，所以34+=．故选：B6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，−=（）A．2B．3C．4D．6【答案】C【解析】解：由图可得，1tan2=，tan3=，13tantan2tan(

)111tantan132−−−===++，因为02，02，所以22−−4−=．故选：C．7．（多选）（2022·全国·高三专题练习）设31sin()sin62+++=，则sin()3−=（）A．32B．12C．12−D．32−

【答案】AC【解析】依题意31sin()sin62+++=，31sin()sin32332+−++−+=，1331cos()sincos()323232+−+

−+−=，13231sincos()23232++−+−=，()sin32cos()3133−++−=+，()31sin3cos()332+−−−=+，代入22sincos

133−+−=，()2231sin31sin323−+=+−−+，化简得()()()2843sin232sin323033+−−+−−+=，两边除以

32+，()24sin223sin3033−+−−−=，2sin12sin3033−+−−=，解得1sin32−=−或3sin32−=.故选：AC8．（多选）（2

022·河北张家口·高三期末）已知23sincos3coscos2+=+，0,2，则=（）A．3B．6C．12D．18【答案】BD【解析】211cos23sincos3cossin2

3cos222++=+=+，故13sin2cos2cos2cos226+=−=，所以226k−=+或()226kk−=−+Z，故26k=+或()2183kk=+Z.又0,2，所以6=或18，故选：B

D.9．（2022·全国·高三专题练习）化简21sin352cos10cos80−=______．【答案】1−【解析】221sin352sin351cos70sin2021cos10cos802cos10sin10sin20sin20−−−−====−．故答案为：1−

．10．（2022·广东佛山·二模）已知sinπ2α43−=，则sin2=___________.【答案】59【解析】2sinsin443−=−−=所以2sin43−=−所以2225s

in2cos2cos212sin1224439=−=−=−−=−−=故答案为：5911．（2022·全国·模拟预测）已知263，43sinsin4sincostan31531531

5−+−+=，则=______．【答案】815【解析】由题知3tan153sincos334sin15−−+−=，则3coss

in15153sincos334sincos1515−−+−=，即2sin3152sin2362sin15−−+=，即222sincos15152sin26s

in15−=，即2211sincossinsin61521530−==−=，则112630k−=+或112630k−+=+，kZ．因为263，所以062−，所以11630

−=，解得815=．故答案为：81512．（2022·河北石家庄·一模）已知角π0,2，πsinsinπ12tanπ12coscos12−=+，则=______.【答案】4【解析】πsinsinπ12tanπ12coscos12−=+，π

πsinsinsin1212ππcoscoscos1212−=+，ππππsincoscoscossinsin12121212+=−，ππππππsincossincoscossincossin121212121212+=−，ππππππsincosc

ossincossinsincos121212121212+=−，ππsinsin612=−，π0,2，5π,121212−−ππ612=−，则ππ1264=+=.故答案为：

4.13．（2022·全国·高三专题练习）已知,都是锐角，且45sin,cos()513=+=.（1）求sin2,cos2的值；（2）求sin的值.【解】（1）由是锐角，且4sin5=，则23cos1sin5=−=

.所以3424sin22sincos25525===，2167cos212sin122525=−=−=−.（2）由50,cos(),13++=则21co12si)n()3s1(=++=−，故sinsin[()]sin

()coscos()sin=+−=+−+123541613513565=−=.14．（2022·全国·高三专题练习）已知()()()2coscos324cossin2+−−=−

++−．（1）求tan的值；（2）若0，且()1tan3−=，求．【解】（1）()()()()2coscos32sincos2sincos2tan124cossin2cossinsincostan1

+−−−−−−−====−++−−−++，解得1tan2=−；（2）由两角差的正切公式得()()()11tantan23tantan1111tantan123−−−−=−−===−

+−+−.0，因此，34=.➢考点3三角恒等变换与三角函数的综合应用[名师点睛]解决三角恒等变换与三角函数综合问题的一般步骤第一步：将f(x)化为asinx＋bcosx的形式；第二步：构造f(x)＝a2＋b2·aa2

＋b2·sinx＋ba2＋b2·cosx；第三步：和角公式逆用，得f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；第四步：利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题

规范．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若1cos2coscosCAB−=，那么ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】B【解析】在ABC中，()CA

B=−+，则coscos()coscossinsinCABABAB=−+=−+，而1cos2coscosCAB−=，则有coscossinsin1ABAB+=，即cos()1AB−=，因0,0AB，即AB−−，因此，0AB−=，即AB=，所以ABC是等腰三角形.故选

：B2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA＋tanB＋tanC＝3tanBtanC．(1)求A的大小；(2)若a＝3，请在如下的三个条件：①si

nB-sinC＝22；②b＋2c＝33；③△ABC的面积为334中选择一个作为已知，求△ABC的周长．【解】(1)在ABC中，∵ABC＋＋＝∴()()tantantantantan1tantanBCABCBCB

C−−−−＋＝＋＝＋＝，整理得，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，由题知，tantantan3tantan++=ABCBC，∴tanA＝3，∵A∈(0，π)，∴3A=；(2)若

选①，则由22sinsinsinsinsin222===−=−=abcbcBCABC，解得2,−=bc而222123,()32+−=−+=bcbcbcbc，解得bc＝1，∴222()266,+=++=+=bcbcbcbc∴△ABC的周长为63.+若选②，233+=bc，b2＋c2－2bc1

2＝3，则22(332)(332)3−+−−=cccc，∴(7c－83)(c－3)＝0，∴c＝837或c＝3．当c＝837时，b＝537，此时△ABC周长为3＋537＋837＝2037，当c＝3时，3b=

，此时△ABC周长为33；若选③，12bcsin3＝334，解得bc＝3，b2＋c2－2bc12＝3，解得(b＋c)2－3bc＝3，b＋c＝23，∴△ABC周长为33．[举一反三]1．（2022·全国·高

三专题练习）在△ABC中，若()sin1cos2sincoscossinBCACAC+=+，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由题意，()sin1cossincossin()BCACAC+=++

，又ACB+=−，∴()sin1cossincossinBCACB+=+，即sincossincosBCAC=，0,,ABC，∴当cos0C=时，2C=；当cos0C时，sinsinBA=，又0AB+，则AB=；∴△ABC为

等腰三角形或直角三角形.故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（）A．若tantantan0ABC++，则ABC是锐角三角形B．若coscosaAbB=，则ABC是等腰直角三角形C．若

coscosbCcBb+=，则ABC是直角三角形D．若coscoscosabcABC==，则ABC是等边三角形【答案】AD【解析】对于A，()(1)tanAtanBtanABtanAtanB+=+−，()(1

)tanAtanBtanCtanABtanAtanBtanC++=+−+()10tanCtanAtanBtanCtanAtanBtanC=−−+=，又由A，B，C是ABC的内角，故内角都是锐角，故A正确对于B，若coscosaAbB=，则sinAcosAsinBcosB=，则22

sinAcosAsinBcosB=，则22sinAsinB=，则AB=或90AB+=，ABC是等腰三角形或直角三角形,故B错误对于C,coscosbCcBb+=，sinB=cossin()sinsinBcos

CsinCBBCA+=+=，即AB=，则ABC是等腰三角形，故C不正确对于D，若coscoscosabcABC==，则sinsinsincoscoscosABCABC==，则tanAtanBtanC==，AB

C==，即ABC是等边三角形，故D正确故选：AD