【文档说明】四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，672.095 KB，由小赞的店铺上传

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成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024-2025学年新高一数学入学测试测试时间：120分钟满分：150分一，单项选择题.（每题5分，共40分）1.在平面直角坐标系中，两条直线（）时候垂直？A.斜率之积为-1时B.两条直线有1个公共点的时候C.两条直线分别与坐标轴垂直的时候D.以上答案均不正确【答

案】A【解析】【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可.【详解】对于A：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确对于B：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误对于C：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是

同一坐标轴，那么平行，错误对于D：错误故选：A2.关于数的分类，以下说法正确的是（）A.无理数相加不可能是有理数B.π是无限不循环小数C.0不属于自然数集D.若抛物线2yaxbxc=++的系数,ab均不是整数，那它的对称轴xt=，t

也不是整数【答案】B【解析】【分析】由220−+=，可判断A；π是无限不循环小数可判断B；0属于自然数集可判断C；由11,42ab=−=，求得对称轴判断D.【详解】对于A：由220−+=，故两个无理数的和可能是有理数，故A错误；对于B：π是无限不循环小数，故B正确；对于C：0属

于自然数集，故C错误；对于D：抛物线2yaxbxc=++的对称轴为2bxa=−，当11,42ab=−=时，对称轴为1x=，故D错误.故选：B.3.下面说法正确的是（）A.两个不同的点确定一条直线，三个不同的点确定一条曲线B.如果只知道抛物线的一个点，那么在某些情况也是可

以确定它的解析式的C.函数2yaxbxc=++的对称轴只有一条D.反比例函数上的三个不同的点可能在某些情况是共线的【答案】B【解析】【分析】举例说明三个不同的点不能确定一条曲线，判断A，举例说明在特殊条件下，已知抛物线上的一个点，可以求其

解析式，判断B，取0,1ab==，函数yxc=+没有对称轴，判断C；设反比例函数上存在三个点共线，联立反比例函数的解析式与直线方程，化简推出矛盾，判断D.【详解】因为点()()()2,2,1,4,2,2−−都在抛物线24yxx=−++上，点()()()

2,2,1,4,2,2−−也都在反比例函数4yx=的图象上，所以三个不同的点不能确定一条曲线，A错误；若抛物线的解析式为2yax=，且抛物线过点()1,1，则1a=，此时抛物线的解析式为2yx=，故如果只知道抛物线的一个

点，那么在某些情况也是可以确定它的解析式的，B正确；当0,1ab==，函数2yaxbxc=++的解析式可化为yxc=+，该函数的图象没有对称轴，C错误；设反比例函数的解析式为kyx=，设函数kyx=的图象上存在三个不同的点共线，则该直线方程不可能为xt=，设其解析式为ymxn=+，联立ymx

nkyx=+=，化简可得200mxnxkx+−=，因为方程20mxnxk+−=至多只有2个解，所以方程组至多只有2组解，矛盾，D错误故选：B.4.下面说法正确的是（）A.借助两点间距离公式，可以知道甲地到

乙地的路程B.两点间距离公式是通过勾股定理推导出来的C.满足()()222xaybt−+−=这样轨迹方程的一定是圆，因为圆的有一个定义是，点(),xy到定点距离(),ab为定值t的轨迹，再根据两点间距离公式，将这个转换为数学

语言，就是()()222xaybt−+−=D.以上选项均不正确【答案】D【解析】【分析】根据两点间的距离公式、圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，两点间的距离是两点间的直线距离，甲乙两地的道路不一定是直线，所以A选项错误.B选项，两点间距离公式可以通过勾股定理来推导，也可

以通过向量法、解析几何法、坐标变换法、微积分等方法来进行推导，所以B选项错误.C选项，当0t=时，满足()()2220xaybt−+−==的点(),xy，即点(),ab，所以C选项错误.故选：D5.老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好

结果”，对于这句话，正确的理解是（）A任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果B.不努力学习也可能有好结果C.努力学习一定有好结果D.如果没有取得好结果，那么一定没有努力【答案】A..【解析】【分析】根据给定的语句的正确性，逐一分析各个选项即可.【详解】对于A，由给定的语句知，努

力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果，A正确.对于B，由给定的语句知，不努力学习一定没有好结果，B错误；对于C，由给定的语句知，努力学习不一定有好结果，C错误；对于D，命题“如果没有取得好结果，那么一定没有努力”，等价于：如果努力，就能取得好结果，D错误.故选：A6.抛物线与圆相交形成交点（）

A.横坐标相加之和为0B.可能有3个C.将交点连接后，其形状可能是等腰梯形或一条直线D.以上说法均不正确【答案】B【解析】【分析】由抛物线2(1)yx=−与圆22(1)(1)1xy−+−=有三个交点可判断每个选项的正确性.【详解】若抛物线方程为2(1)yx=−，圆的方程为

22(1)(1)1xy−+−=，联立方程组解得0y=或1y=，当0y=时，1x=，当1y=时，0x=或2x=，故此时抛物线与圆有三个交点(1,0),(0,1),(2,1)，故B正确；故横坐标之和不为0，故A错误；连接交点可得一个三角形，故C错误.故选：B.7

.请结合计算和画图，判断22sincos+=（）A.1B.2C.3D.无法确定【答案】A【解析】【分析】作出直角三角形，利用锐角三角函数的定义计算判断即可.【详解】在RtABC△中，令锐角的对边为a，邻边为b，斜边为c，则222cab=+

，的sin,cosabcc==，所以2222222sincos()()1ababccc++=+==.故选：A8.已知2bac=+，则直线0axbyc++=恒过定点（）A.(1,2)−B.(1,2)C.(1,2)−D.(1,2)−−【答案】A【解析

】【分析】由题意可得(1)(2)0axby−++=，可得定点坐标.【详解】因为2bac=+，所以2cba=−，由0axbyc++=，可得(2)0axbyba++−=，所以(1)(2)0axby−++=，当1,2xy==−时，所以(11)(22)0ab−+−+=对

,ab为任意实数均成立,故直线过定点(1,2)−.故选：A.二.不定项选择题.（每题6分，共18分）9.当二次函数自变量有范围限制的时候，会出现（）情况A.若限制范围包含顶点，那么最小值或最大值是不变的B.若限制范围不包含顶点，那么一定存在最小值或者

最大值C.若限制范围不包含顶点，那么一定存在最小值和最大值D.若限制范围为确定的值，而不是一个区间，那么它的最小值和最大值相等【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，结合二次函数图象性质逐项判断即得.【详解】对于A，限制范围包含顶点，若二次函数图象开口向上，则顶点的纵坐标值为二次函数最小值；若

二次函数图象开口向下，则顶点的纵坐标值为二次函数最大值，因此最小值或最大值不变，A正确；对于BC，限制范围不包含顶点，当限制范围的端点值不能被取到时，该函数可能没有最小值和最大值，BC错误；对于D，限制范围为确定的值，而不是一个区间，该函数只有一个函数值，其最小值

和最大值相等，D正确.故选：AD10.下面图形是矩形的是（）A.长方形B.正方形C菱形D.直角梯形【答案】AB【解析】【分析】由矩形的定义可得结论.【详解】由矩形的定义可得是矩形的有长方形，正方形.故选：AB.11.一个直角三角形，直角边

分别是1,aa，那么下面说法正确的是（）A.斜边长度为221aa+B.斜边长度最小值是2C.将其绕其直角顶点旋转一周，那么其斜边上任何一个点（包含端点）的运动轨迹都是圆D.这个直角三角形可能是等腰直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，结合直

角三角形的性质逐项判断即可.【详解】对于A，由直角三角形勾股定理得斜边长度为221aa+，A正确；对于B，22211()22aaaa+=−+，当且仅当1aa=，即1a=取等号，B错误；对于C，直角三角形斜边上一点与直角顶点为端点的线段，绕直角顶点旋转

一周，另一端点的轨迹是圆，C正确；对于D，当1a=时，该直角三角形是等腰直角三角形，D正确..故选：ACD三.填空题：（每题5分，共15分）12.若集合A有3个元素，集合B有4个元素，那么集合A和集合B的交集可能有_________

个元素.【答案】0或1或2或3【解析】【分析】利用集合,AB公共元素个数即可得解.【详解】集合A有3个元素，集合B有4个元素，则集合,AB的公共元素个数最多为3个，所以集合A和集合B的交集可能有0或1或2或3.故答案为：0或1或2

或313.已知一元二次方程23440xx−+=的两根分别为,ab，那么ab+=_________.【答案】43−【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】因为一元二次方程23440+−=xx的两根分别为,ab，所以43ab+=−.故答案为：43−.14.函数()223yax

axa=+−+（a为确定的实数）的因变量取值范围是__________.【答案】当0a=时，因变量的取值范围是R；当0a时，因变量的取值范围是21144,4aaa+−+；当0a时，因变量的取值范围是21144,4aaa+−−.【

解析】【分析】对a进行分类讨论，根据一次函数、二次函数的知识求得正确答案.【详解】当0a=时，2yx=，则yR；当0a时，二次函数()223yaxaxa=+−+，则顶点的纵坐标为()22432114444aaaaaaa−−+−=，所以，当0a时，因

变量的取值范围是21144,4aaa+−+；当0a时，因变量的取值范围是21144,4aaa+−−.故答案为：当0a=时，因变量的取值范围是𝑅；当0a时，因变量的取值范围是21144,4aaa

+−+；当0a时，因变量的取值范围是21144,4aaa+−−.四．解答题：（15题13分，16题～17题每题15分，18～19题每题17分，共77分）15.已知2()34fxxx=−，请作出(||)fx，|()

|fx，(1)fx−的图象，并说说你是怎么作出的.【答案】作图见解析.【解析】【分析】利用函数()fx利用变换法作出图象，并叙述作图过程.【详解】当0x时，(||)()fxfx=，此时(||)fx的图象为函数()fx图象在y轴及右侧图象，当0x时，)(||)(fxfx=−，此时(||)f

x的图象为函数()fx在y轴右侧图象关于y轴对称而得，函数(||)fx的图象，如图，当()0fx时，|()|()fxfx=，此时|()|fx的图象为函数()fx图象在x轴及上方图象，当()0fx时，|()|()fxfx=−，此时|()|fx的图象为函数()fx在

x轴下方图象关于x对称而得，函数|()|fx的图象，如图：函数(1)fx−的图象是将函数()fx图象向右平移1个单位而得，如图.16.请利用3种方法证明勾股定理.并说出一例勾股定理在生活中的运用.【答案】证明见解析，举例见解析.【解析】【分析】方法一：

过C作CDAB⊥，垂足为D，证明ACBCDB∽，由此可得2BCABBD=，同理可得2ACABAD=，由此证明结论；方法二：以AB为边作正方形ABEF，过点E作ENBC⊥垂足为N，过点F作FMEN⊥，垂足为M，延长AC，交FM于点G，证

明ABCBENEFMFAG，再证明四边形CNMG为正方形，结合面积关系证明结论；方法三：以点A为圆心，AC为半径作圆，分别交AB和BA的延长线于点,QP，证明BC为圆A的切线，结合切割线定理证明结论.再举例说明勾股定理在生活中的应用.【详解】如图，在直角三角形ABC中，

ACBC⊥，求证：222ACBCAB+=.方法一：过C作CDAB⊥，垂足为D，则90AACD+=，90BCDACD+=，故ABCD=，又ACBCDB=，所以ACBCDB∽，所以BCBDABBC=，即2BCABBD=，同理：2ACABAD=，所以()22

2ACBCABADABBDABADBDAB+=+=+=，所以222ACBCAB+=.方法二：如图，以AB为边作正方形ABEF，过点E作ENBC⊥垂足为N，过点F作FMEN⊥，垂足为M，延长AC，交

FM于点G，由已知，90GCNMNCGMN===，所以90MGC=，故90AGF=，因为90ABCEBN+=，90BENEBN+=,所以ABCBEN=，又ACBBNE=，ABBE=，所以ABCBEN,同理可证B

ENEFM，EFMFAG，所以ABENFMAG===，ACBNEMFG===，所以CNNMMGGCBCAC====−，又90GCNMNCGMN===，所以四边形CNMG为正方形，设正方形ABEF的面积为S，正方

形CNMG的面积为1S，ABCV的面积为2S，则124SSS+=，所以()22142BCACBCACAB−+=，所以222BCACAB+=.方法三：以点A为圆心，AC为半径作圆，分别交AB和BA的延长线于点,QP，则ACAQAP==，因为90ACB=，点C在圆A

上，所以BC为圆A的切线，所以()()()()222BCBQBPBAAQBAAPABACABACABAC==−+=−+=−，所以222BCACAB+=.家装时，工人为了判断一个墙角是否标准直角，可以分别在墙角向两个墙面量出30cm40cm，并标记在一个点，然后量这两

点间距离是否是50cm，如果超出一定误差，则说明墙角不是直角.17.请讨论方程()2223430aaxax−−+−=解的个数.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据a的不同取值分类讨论，结合一元二次方程性质判断解的个数，即可得到答案.【详解】当()()223

310aaaa−−=−+=，即3a=或1a=−时，方程()222343yaaxax=−−+−为一元一次方程，有一个解；当()()223310aaaa−−=−+，即3a且1a−时，方程()222343yaaxax=

−−+−为一元二次方程，()()()222Δ44233282436aaaaa=−−−−=−−，令22824360yaa=−−=，即27690aa−−=，解得()()266479362277a−−−==，所以当3627a=时，0=，方程()2223430aaxa

x−−+−=有一个解，当36236277a−+时，0，方程()2223430aaxax−−+−=无解，当3627a−且1a−或3627a+且3a时，0，方程()2223430aaxax−−+−=有两个解，综上，当3a=或1a=−或36

27a=时，方程有1个解，当36236277a−+时，方程无解，当当3627a−且1a−或3627a+且3a时，方程有两个解.18.已知抛物线C的顶点在原点，开口向上，且经过点(,)mn.（1）求它向左平移3个单位，向上平移1个单位后的解析式；（2）

当m，n是方程28150xx−+=的两根的时候，求抛物线C的解析式；（3）求经过(,)mn的切线方程，并说明这样的切线有几条.【答案】（1）22(3)1nyxm=++；（2）259yx=或2325yx=；（3）2nyxnm=−，1条.【解析】【分析】（1）

求出抛物线C的解析式，利用平移变换求出解析式.（2）求出,mn，再分类求出解析式.（3）求出过点(,)mn的切线方程，再与抛物线方程联立即可求解即得.【小问1详解】依题意，设抛物线C的解析式为2,0yaxa=，则2nam=

，解得2nam=，因此抛物线的解析式为22,0nyxnm=，将抛物线C向左平移3个单位，向上平移1个单位后的解析式为22(3)1nyxm=++.【小问2详解】解方程28150xx−+=，得123,5xx==，当3,5mn==时，抛物线C

对应的解析式为259yx=，当5,3mn==时，抛物线C对应的解析式为2325yx=，所以抛物线C的解析式为259yx=或2325yx=.小问3详解】设过点(,)mn的切线方程为ykxb=+，则nkmb=+，解得bnkm=−

，即切线方程为ykxnkm=+−，由22nyxmykxnkm==+−消去y得220nxkxnkmm−−+=，22224()()0nnkkmnkmm=−−=−=，解得2nkm=，所以经过(

,)mn的抛物线切线方程为2nyxnm=−，这样的切线方程只有一条.19.在初中的时候，我们知道三角形是有稳定性的，那为什么它有稳定性，而平行四边形没有稳定性呢？GGbond数学研究小组对这个问题进行了探究，上网查

阅了资料，了解了一个公式，已知三角形三边长度为a，b，c，三个角为A，B，C，那么222cos2bacBac−++=，请你结合这个公式，来思考这个问题，并回答：（1）请利用这个公式说明边长为3，3，7的三角形是不存在的；（2）证明这个公式；（3

）若一个平行四边形四边长为1，1，2，2，请说明这样的平行四边形有几个，请直接写出你的答案；（4）请利用这个公式，阐述为什么三角形有稳定性，而平行四边形没有稳定性.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）无数个；（4）见解析.【解析】【分析】（1）由题意求出49cos142B=，即可

判断；（2）以B为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，由两点间的距离公式即可证明.（3）如图，设2,1ADAB==，由题意可得254cosBDA=−，当BD长度变化时，cosA也会变化，所以说明这样的平行四边形有无数个.（

4）三角形的三边长是固定的，由题意可知三个角的余弦值也是固定的，所以三角形有稳定性，当一个平行四边形四边长固定，由题意可知平行四边形的角不固定.【小问1详解】【设3,3,7abc===，所以222994949cos1223742bacBac−++−++===，所以边长为3，3，7

的三角形是不存在的.【小问2详解】如图，以B为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则()()()0,0,,0,cos,sinBAcCaBaB，所以()()2222222cossincos2cossinbACaBcaBaBcacBaB==−+=+−+，所以222cosbacacB

=+−，所以2222cosbacacB=+−，所以222cos2bacBac−++=.【小问3详解】无数个.如图，设2,1ADAB==，则2222125cos2124BDBDA+−−==，所以254cosBDA=−，

当BD长度变化时，cosA也会变化，所以若一个平行四边形四边长为1，1，2，2，这样的平行四边形有无数个.【小问4详解】三角形的三边长是固定的，由222cos2bacBac−++=可知，三个角的余弦值也是固定的，所以三角形有稳定性，当一

个平行四边形四边长固定，但是平行四边形的四个角不固定，所以平行四边形没有稳定性.