【文档说明】四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高二上学期十月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.250 MB，由小赞的店铺上传

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2023级高二上期十月月考数学考试时间150分钟，满分150分注意事项1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的

“贴条形码区”.2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：1.

直线3410xy+−=的一个方向向量是（）A.()3,4B.()4,3C.31,4−D.41,3−【答案】C【解析】【分析】由直线方程求出直线的斜率，从而可求出直线的方向向量.【详解】由题意，得直线3410xy+−=的斜率为34k=−，可得直线的一个方向向量为()31,1

,4mk==−，因为选项ABD中的向量均与向量m不共线，所以C正确.故选：C2.已知直线12:2210,:430lxylxny+−=++=，3610lmxy+−=：，若12ll//且13ll⊥，则mn+的值为（）A.10−B.10

C.2−D.2【答案】C【解析】【分析】由两直线的平行与垂直求得,nm值后可得结论.【详解】由题意43221n=−,4n=，2120m+=，6m=−，所以2mn+=−．故选：C．3.总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法

是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）（第一行）17121340332038261389510374177637（第二行）13040774211930566218373596835087A.20B.26C.17D.03【答案

】D【解析】【分析】先把编号按要求在随机数表中选出来，再剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，即可得到选出的个体编号.【详解】从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，选出的编号依次为：12，13，40，33，20，38，26，13，89，51，03，…，剔除掉总体

编号以外的编号，以及重复的编号，则选出来的个体的编号依次为：12，13，20，26，03，…，所以选出来的第5个个体的编号为03.故选：D.4.已知()()()1231,9,1,,3,2,0,2,1nnmn=−=−=，若123,,nnn不能构成空间的一个基底，则m=（）A.3B.1C

.5D.7【答案】B【解析】【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.【详解】若123,,nnn不能构成空间的一个基底，123,,nnn共面，存在,，使123nnn=+，即1093212m−=+=−+=+，解得131m

=−==，故选：B.5.某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为35，比赛不设平局，各局比赛的胜负

互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（）A.36125B.925C.80125D.81125【答案】D【解析】【分析】甲战胜乙包含两种情况：①甲连胜2局，②前两局甲一胜一负，第三局甲胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法

公式能求出甲战胜乙的概率．【详解】结合题意：甲队战胜乙队包含两种情况：甲连胜2局，概率为3395525=，前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为323362555125=，则甲战胜乙的概率为9368125125125P=+=．故选：D．6.在长方体1111ABCDABCD−中，1224

,AAABADE===为AB的中点，点P为线段1DE的中点，则点P到直线1CC的距离为（）A.52B.253C.3D.132【答案】D【解析】【分析】利用空间向量法求点到线的距离.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()111,,2,0,2,4

,0,2,02PCC，所以()1131,,2,0,0,42PCCC=−=−，设点P到直线1CC的距离为h，则()221121111212964131cos,4162PCCChPCPC

CCPCCC=−=−=−=，故选：D7.已知直线l的方程为()sin30Rxy++=，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.)0,πB.ππ,42C.π3π,44D.πππ

3,,422π4【答案】C【解析】【分析】根据条件，分sin0=和sin0两种情况讨论，再结合tank=的图像，即可求出结果.【详解】当sin0=时，直线l的倾斜角为π2，当sin0时，由sin30xy++=得到1

3sinsinyx=−−，又易知sin1,1−，所以()1,11,sin−−+，即(),11,k−+，由tank=的图像可知，πππ3π,,4224

，.综上，π3π,44故选：C.8.设mR，过定点A的动直线10xmy++=和过定点B的动直线230mxym−−+=交于点(),Pxy，则PAPB+的最大值（）A.25B.32C.3D.6【答案】D【解析】【分析】根据

动直线方程求出定点,AB的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得22||||18PAPB+=，最后由基本不等式222||||||||22PAPBPAPB++即可求解.【详解】解：由题意，动直线10xmy++=过定点(1,0)A−，直线230m

xym−−+=可化为(2)30xmy−+−=，令2030xy−=−=，可得()2,3B，又1(1)0mm+−=，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以()()22222||||||12031

8PAPBAB+==−−+−=，因为222||||||||22PAPBPAPB++，所以()222||8|216|PAPPBAPB++==，当且仅当||||3PAPB==时取等号.故选：D.二、多选题：9.已知甲､乙两位同学在高

一年级六次考试中数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（）的A.若甲､乙两组数据的平均数分别为12,xx，则12xxB.若甲､乙两组数据的方差分别为2212,ss，则2212ssC.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差【答案】ACD【解析】【分

析】对四个选项一一判断：根据散点图直接判断选项A、B、D；分析甲、乙的中位数特点，即可判断C.【详解】由散点图的点的分布可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,所以12x

x，故选项A正确；由散点图点的分步变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得2212ss.故选项B错误；因为统计了6次数学成绩，故将一组数据从小到大排序后，第三个和第四个数据的平均数为该组数据的中位数，由散点图知，甲同学成绩排序后的第三次和第四次成

绩均在90以上，而乙同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以下，故甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数.故选项C正确；因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D正确.故选：ACD.10.关于空间向量，

以下说法正确的是（）A.若0ab，则向量a，b的夹角是锐角B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C.若对空间中任意一点O，有111488APOAOBOC=−++，则,,,PABC四点共面D.若分

别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面【答案】BC【解析】【分析】举反例判断A，利用空间向量共面定理判断B，利用空间向量的线性运算判断C，利用空间向量的平移性质判断D即可.【详解】对于A，当a，b夹角为0时，10abab=，故A错

误，对于B，由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确，对于C，因为111488APOAOBOC=−++，所以()1111188888APAOOBAOOCABAC=+++=+，所以,,,PABC四点共面，故C正确，对于D，由

向量平移性质可得，空间中任意两个向量一定共面，故D错误.故选：BC11.已知正四面体ABCD−的棱长为2，点M，N分别为ABCV和ABD△的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是（）A.若APBP+取得最小值，则

CPPN=B.若3CPPN=，则DP⊥平面ABCC.若DP⊥平面ABC，则三棱锥PABC−外接球的表面积为27π2D.直线MN到平面ACD的距离为269【答案】BCD【解析】【分析】将正四面体ABCD−放入正方体DEBFGAHC−中，建立空间直角坐标系，对每个选

项逐一分析即可．【详解】将正四面体ABCD−放入正方体DEBFGAHC−中，以点D为原点，以DE，DF，DG所在直线为x轴，y轴，z轴，如图所示，的因为正四面体ABCD−的长为2，所以正方体的棱长为2，则(2,0,2)A，(2,2,

0)B，(0,2,2)C，因为点M，N分别为ABCV和ABD△的重心，所以点N的坐标为2222(,,)333，点M的坐标为222222(,,)333所以222222(,,)333NC=−设NPNC=，则NP=222222(,,)333−，所以2222222222(,,)333333OPON

NP=+=−++，所以2222222222(,,)333333AP=−−+−+，2222222222(,,)333333BP=−−−++，对于Ａ：因为2222214(2882888168)(21)93AP=+++

+++−+=+，2222214(2888168288)(21)93BP=+++−++++=+，所以2224443(21)(21)21333APBP+=+++=+，当0=时，即CPCN=，0PN=，取得最小值433，故A错误；对于B：若3CPPN=，则14NPN

C=，所以222(,,)222OP=，因为(0,2,2)BA=−，(2,0,2)BC=−，设平面ABC的一个法向量为1(,,)nxyz=，则220220yzxz−+=−+=，取1x=，则1(1,1,1)n=，因为122OPn=，所以OP⊥平面ABC，即DP⊥平面ABC，故B正确；对

于C：若DP⊥平面ABC，则NP=222(,,)666−，即66NP=，2222(,,)333AN=−，即233AN=，设平面ABO的一个法向量为2(,,)nxyz=，因为(2,0,2)OA=，(2,2,0)O

B=，则220220xzxy+=+=，取1x=，则2(1,1,1)n=−−，因为226NPn=−，所以NP⊥平面ABO，则三棱锥PABC−外接球的球心在直线NP上，又因为点N为等边三角形ABO的重心，所以点N为等边三角形ABO的外

心，ABO外接圆半径为233AN=，设三棱锥PABC−外接球的半径为R，则222()RRNPAN=−+，即2264()63RR=−+，解得364R=，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为227π4π2R=，故C选项正确；

对于D：因为点N的坐标为2222(,,)333，点M的坐标为222222(,,)333，所以22(0,,)33MN=−−，设平面ACD的一个法向量为3(,,)nxyz=，因为(2,0,2)OA=，(0,2,2)OC=，所以220220xzyz+=+=，取1x=，则3(1,1,1)n

=−，因为30MNn=，且直线MN平面ACD，所以直线//MN平面ACD，所以点N到平面ACD的距离就是直线MN到平面ACD的距离，则点N到平面ACD的距离332226393ONndn===，即直线MN到平面ACD的距离为269，故D正确，故

选：BCD．三、填空题：12.若连续抛两次骰子得到的点数分别为a，b，则点(,)Pab在直线7ab+=上的概率为____________.【答案】16【解析】【分析】用列举法写出样本空间的样本点，然后根据古典概型概率公式计算即得．【详解】样本空

间中所有样本点个数为6636=，其中在直线7ab+=上的样本点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1）共6个，所以所求概率为61366P==．故答案为：16．13.在等腰直角三角形ABC中，1ABAC==，

点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过ABCV的重心G，则AP的长度为_______.【答案】13【解析】【分析】求出点P关于y和直线BC的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得.【详解】以A为原点

，,ABAC分别为,xy轴建立平面直角坐标系，则直线BC方程为10xy+−=，设(),0Pa关于y和直线BC的对称点分别为,NM，则(),0Na−，记()00,Mxy，则0000011022yxaxay−=−++−=，解得()1,1

Ma−，因为G为ABCV重心，()()()0,0,1,0,0,1ABC，所以11,33G，由光的反射原理可知，,,MNG三点共线，所以MNNGkk=，即113113aaa−=++，解得0a=（舍去）或13a=.故答案为：1314.已知四面体OAB

C中，2OC=，且OC与平面OAB所成的角为π4，则当,xyR时，2OCxOAyOBOCxOAyOB−−+−−的最小值是___________.的【答案】10【解析】【分析】设ODxOAyOB=+，且点D在平

面OBA内，根据条件，将问题转化成当OC在面OAB上的投影与OD共线时，求2OCODOCOD−+−的最小值，建立平面直角坐标系，得到2221(1)4(2)OCODOCODbb−+−=+−++−，即点(0,)Eb与(1,1)C，(2,2)F的距离之和，即可求出结果.【详解】设ODxOAy

OB=+，且点D在平面OBA内，取OD中点H，则222OCxOAyOBOCxOAyOBOCODOCODDCHC−−+−−=−+−=+，显然，当OC在面OAB上的投影与OD共线时，会比不共线的小，当OC在面OAB上的投影与OD共线时，以O为坐标原点，OD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，又2OC

=，且OC与平面OAB所成的角为π4，设ODb=，则(1,1)C，(,0)Db，(0,0)O，得到(1,1)OCODb−=−，2(2,2)OCODb−=−，所以2221(1)4(2)OCODOCODbb−+−=+−++

−，其可表示为点(0,)Eb与(1,1)C，(2,2)F的距离之和，作(1,1)关于y轴的对称点1(1,1)C−，显然119110ECEFECEFCF+=+=+=，故答案为：10.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于将问题转化成当OC在面OAB上的投影与OD共线时，求2

OCODOCOD−+−的最小值，再通过建立平面直角坐标系，将问题转化成点(0,)Eb与(1,1)C，(2,2)F的距离之和，从而解决问题.四、解答题：15.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为1的

正方形，侧棱AP的长为2，且AP与AB、AD的夹角都等于60°，M在棱PC上，12PMMC=，设ABa=，ADb=，APc=．（1）试用a，b，c表示出向量BM；（2）求BMAP．【答案】（1）BM=212333abc−++；（2）73【解析】【分析】（1）由向量对

应线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义用AB，AD，AP表示出BM即可；（2）应用数量积的运算律及其定义求BMAP即可.【小问1详解】由图知：BPAPABca=−=−，ADBCb==，1121212()3333333BMBPPMBPP

CBPBCBPBPBCabc=+=+=+−=+=−++.【小问2详解】2212212()333333abccacbBMPcAc=−++=−++21212cos6012cos604333=−++21873333=−++=.16

.已知直线l经过点()2,4P−.（1）若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；（2）若直线l被两条相交直线1l：220xy−−=和2l：30xy++=所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程.【答案】（1）2x=−或34100xy

+−=；（2）4y=.【解析】【分析】（1）当直线l的斜率不存在时，直线方程为2x=−，符合条件.当直线l的斜率存在时，设直线方程为()42ykx−=+，由点到直线l的距离公式求得k值，则直线方程可求；（2）设直线l夹在直线1l，2l之间的线段为AB(A在1l

上，B在2l上)，用点A的坐标表示出点B坐标，根据A在1l上，B在2l上，求得点A的坐标，即可求得直线方程.【详解】（1）①直线l的斜率不存在时，直线方程为2x=−，符合条件.②直线l的斜率存在时，设直线方程为(

)42ykx−=+，由原点到直线l的距离为2得22421kk+=+，解得34k=−.故直线l的方程为()3424yx−=−+，即34100xy+−=.综上，所求直线l的方程为2x=−或34100xy+−=.（2）设直线l夹在直线1l，2l之间的线段为AB(A在1l上

，B在2l上)，AB，的坐标分别设为()11,xy，()22,xy，因为AB被点P平分，所以124xx+=−，128yy+=，即214xx=−−，218yy=−.由于A在1l上，B在2l上，即1111220,70,xyxy−−=+−=解

得13x=，14y=，即A的坐标是()3,4，故直线l的方程是4y=.17.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直

方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；（2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；（3）已知落在[60,70)内的平均成绩为67，方差是9，落在)60,80内的平均成绩是73，方差是29，求落在)70,80内的平均

成绩和方差．【答案】（1）平均数为71，众数为75．（2）88（3）平均数为76，方差为12．【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解.（2）依题意可知

题目所求是第90％分位数，先判断第90％分位数落在哪个区间再求解即可；（3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.【小问1详解】一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，平均

数450.10550.15650.15750.30850.25950.0571=+++++=由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.【小问2详解】前4组的频率之和为0.100.150.150.300.700.90

+++=，前5组的频率之和为0.700.250.950.90+=，第90%分位数落在第5组，设为x，则()0.70800.0250.90x+−=，解得88x=．“防溺水达人”的成绩至少为88分．【小问3详解】

)60,70的频率为0.15，)70,80的频率为0.30，所以)60,70的频率与)60,80的频率之比为0.1510.150.303=+)70,80的频率与)60,80的频率之比为0.3020.150.303=+设)70,80内的平均成绩和方差分别为2x，22s，依题意

有212736733x=+，解得276x=，()()2222122996773767333s=+−++−，解得2212s=，所以)70,80内的平均成绩为76，方差为12．18.如图，在三棱台111ABCABC−中，111ABC△和ABCV都为等腰直角三角形，111

112,4,90,CCCACAACCBCCCBAG======为线段AC的中点，H为线段BC上的点.（1）若点H为线段BC的中点，求证：1AB∥平面1CGH；（2）若平面1CGH分三棱台111ABCABC−所成两部分几何体的体积比为2:

5，求二面角11CGHB−−的正弦值.【答案】（1）见解析（2）1010【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用体积比为2:5确定点H的位置，然后利用空间向量求解即可.【小问1详解】连接1AC，设,ACCGO=1₁连接1,HOAG，三棱台1

11ABCABC−，则//ACAC₁₁，又1112,2CGACCA===∴四边形11ACCG为平行四边形，故O是1AC的中点，且点H是BC的中点，故1//HOAB,且HO平面1CGH，1AB平面1CGH，故1AB∥平面1CGH【小问2详解】190CCABCC==111,,CCB

CCCACBCACC⊥⊥=，且,BCAC面ABC，则1CC⊥面ABC，故()1111111113ABCABCABCABCABCABCVSSSSCC−=++，1113CCGHCGHVSCC−=,且三棱台111ABCABC−中，11111112ABCBCAABCBC

A===,故1114ABCABCSS=，则1111734ABCABCABCVSCC−=1，平面1CGH分三棱台111ABCABC−所成两部分几何体的体积比为2:5，故1111125CCGHABCABCCCGHVVV−−−=−，化简得：12CGHABCSS=,故此时点H和

点B重合，又ABCV为等腰直角三角形，则BGAC⊥，又（1）知11//AGCC，则1AG⊥面ABC，故建立如图所示的坐标系Gxyz−，则()()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0,0,2,2,HAGCC−−()11,1,2B−，()()1

0,2,2,2,0,0GCGH=−=，()11,1,2GB=−设平面1CHG的法向量(),,,nxyz=则122020nGCyznGHx=−+===，令1,y=解得()0,1,1n=，设平面1BGH的法向量(),,,mabc=，则12020mGBabcm

GHa=−+===，令1c=，解得()0,2,1m=，设二面角11CGHB−−的平面角为，·21310cos,1025mnmnmn+===，所以2210sin1cos1cos,10mn=−=−=.19.

离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为()1223111Φ12πPkkkQPQQPQQPQQPQ−=−+++，其中()1,2,,,3iQikk=为多面体M的

所有与点P相邻的顶点，且平面12QPQ，平面23QPQ，…，平面1kkQPQ−和平面1kQPQ为多面体M的所有以P为公共点的面．（1）求三棱锥PABC−在各个顶点处的离散曲率的和；（2）如图，已知在三棱锥PABC−中，PA⊥平面ABC，ACBC⊥，ACBC=，三棱锥PABC

−在顶点C处的离散曲率为13．①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．【答案】（1）2（2）①24；②60【解析】【分析】（1）根据离散曲率的定义计算即可（2）①首先证明BCPC⊥，再由C点处的离散曲率可求出PCA

，从而其它相应的线段都可计算，把PC与AB平移至中位线处，得出FDE为异面直线AB与PC的夹角或其补角，在用余弦定理求解即可.②首先是把线面角做出，设BGx=，再把角的三角函数值表示成x的函数，最后转化为函数最值问题.【小问1详解】由离散曲率的定义得：()1Φ

12PAPBBPCCPA=−++，()1Φ12ABAPCAPBAC=−++，()1Φ12BABPCBPABC=−++，()1Φ12CACBBCPACP=−++，四个式子相加得：1ΦΦΦΦ4422PABC+++=−=.【小问2详解】①如

图，分别取,,ACBCAP的中点,,DEF，连接,,,AEDEDFEF，显然有//,//ABDEPCDF，所以FDE为异面直线AB与PC的夹角或其补角，设2ACBC==，因为90ACB=，所以22AB=，5AE=，因

为PA⊥平面ABC，,,,ABACAEBC平面ABC，所以PAAB⊥，PAAC⊥，PAAE⊥，PABC⊥，因为ACBC⊥，PAACC=，所以⊥BC平面PAC，又因为PC平面PAC，所以BCPC⊥，由C点处的离散曲率为13可得()111Φ11232

223CACBBCPACPACPACP=−++=−++=，所以323PAAC==，24PCAC==，223522EFAFAE=+=+=，而122DEAB==，122DFPC==，所以2224282cos2422

2DFDEEFFDEDFDE+−+−===−，故异面直线AB与PC夹角的余弦值为24.②如图，过Q点做//QGPA交AB与G，连接CG，因为PA⊥平面ABC，所以QG⊥平面ABC，则GCQ为直线CQ与平面ABC所成的角，设B

Gx=()022x，在BCG中22222cos422CGBCBGBCBGBxx=+−=+−，因为//QGPA，所以BGQPAB△△，所以2223632222QGBGBGPAxxQGQGxPABABA=====，故2222222333222tan224224221122xQGGCQC

Gxxxxx====−+−+−+，的当分母最小时，2tanGCQ最大，即GCQ最大，此时222x=，即x=22（Q与P重合），2tan3tan360GCQGCQGCQ===

，所以GCQ的最大值为60.【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过题目所给的新定义求出PCA，从而计算出各边的长度，求CQ与平面ABC所成的角的最大值，首先是把线面角做出，设BGx=，再把角的三角函数值表示成x的函数，转化为函数最值问题，求最值是把式子经过适当的变形最终转化为二次函

数最值问题.