【文档说明】《2022年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019必修第一册）》专题07 函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）（课时训练）解析版.docx，共(30)页，1.543 MB，由管理员店铺上传

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专题07函数的基本性质灵活应用（单调性与奇偶性）A组基础巩固1．（江西省南昌市2023届高三上学期摸底测试（零模）数学（文）试题）设函数()fx的定义域为R，且(2)fx+是奇函数，(1)fx+是偶函数，则一定有（）A．(4)0f=

B．(1)0f−=C．(3)0f=D．(5)0f=【答案】A【分析】根据图象平移变换与奇偶性，可得函数的对称性，可得答案.【详解】()2fx+图象向右平移2个单位，可得()fx的图象，且()2fx+是奇函数，()fx的图象关于点()2,0成中心对称，()20f=，()1fx+

Q图象向右平移1个单位，可得()fx的图象，且()1fx+是偶函数，()fx的图象关于直线1x=成轴对称，由对称性，对称轴直线1x=关于()2,0成中心对称的直线为3x=，对称中心()2,0关于直线3

x=成轴对称的点为()4,0，即()40f=.故选：A.2．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））函数()225fxxx=−+的单调增区间是（）A．(),1−−和()0,1B．(),1−−和()1,+C．1,0−和)1,+D．()1,0-和()0,1【答

案】C【分析】由()fx可得()()2()25fxxxfx−=−−−+=，即()fx为偶函数，则当0x时，可得()fx的单调区间，进而得到0x时，()fx的单调区间，即可得到答案【详解】解：由()()22()2525fxxxxxfx−=−−−+

=−+=，则()fx为偶函数，()fx的图像关于y轴对称.当0x时，()225fxxx=−+，对称轴为1x=，所以()fx在)1,+上递增，在0,1递减；则当0x时，()fx在1,0−递增，在(,1−−递减，则有(

)fx的递增区间为)1,0,1,−+.故选：C3．（2022·全国·高一单元测试）设偶函数()fx在区间(1−−，上单调递增，则（）A．()()3122fff−−B．()()3212fff−−C．()()321

2fff−−D．()()3122fff−−【答案】B【分析】根据函数奇偶性，将()2f转化为()2f−，再利用函数单调性即可比较大小.【详解】根据题意()fx为偶函数，则()()22ff=−，又由函数()fx在区间(1−−，上单调递增，且3

212−−−,所以()()3122fff−−−，所以()()3212fff−−，故选：B．4．（2022·全国·高一课时练习）函数()()15yxx=−+的单调递增区间是（）A．()0,+B．)2,−+C．

()2,5−D．()5,1−【答案】B【分析】根据二次函数的性质及函数单调性的定义即可求解.【详解】由题意可知，()()()22154529yxxxxx=−+=+−=+−，所以函数()()15yxx=−+的图象开口向上，对称轴为2

x=−，因此函数()()15yxx=−+的单调递增区间为[2,)−+，故选：B.5．（2021·江苏·高一单元测试）函数()()252,2()213,2axxfxxaxax−−=−++，若对任意1212,()xxxxR，都有1212()()0fxfx

xx−−成立，则实数a的取值范围为（）A．(－∞，1]B．(1，5)C．[1，5)D．[1，4]【答案】D【分析】由函数的单调性可求解．【详解】因为对任意1212,()xxxxR，都有1212()()0f

xfxxx−−成立，所以()fx是减函数，则44(1)32(5)25012aaaaa−++−−−+，解得14a．故选：D．6．（2020·黑龙江·鸡西实验中学高一阶段练习）若函数()224fxxkx=−−在区间5,8上是单调递减函数，则实数

k的取值范围是（）A．(,20−B．)32+，C．(),2032,−+D．20,32【答案】B【分析】首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；【详解】解：函数()224fxxkx=−−的对称轴为4kx=，开

口向上，又函数在5,8上单调递减，所以84k，解得32k，即)32,k+；故选：B7．（2021·辽宁·高一期中）已知函数()22,11,1xaxxfxaxx−=−是R上的增函数，则实

数a的取值范围是（）A．20,3B．20,3C．(0,1)D．(0,1]【答案】B【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组，解之即可得出答案.【详解】因为函数22,1()1,1xaxxfxaxx−=−是定义在R上的增函数，所

以10121aaaa−−，解得203a，所以实数a的取值范围为20,3.故选：B.8．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x时，()21xfxx=+−，则不等式()12

fx−的解集为（）A．()0,2B．(),2−C．()2,+D．(),0−【答案】A【分析】根据函数解析式和奇偶性可确定()fx的单调性，结合()12f=可得自变量的大小关系，由此可解不等式求得结果.【

详解】当0x时，()21xfxx=+−，()fx在)0,+上单调递增；又()fx是定义在R上的偶函数，()fx在(,0−上单调递减；()12f=，由()12fx−得：()()11fxf−，则11x−，解得：02x，()12fx−

的解集为()0,2.故选：A.9．（2022·全国·高三专题练习）函数()fx在(,)−+单调递减，且为奇函数．若(1)1f=−，则满足1(2)1fx−−的x的取值范围是（）A．[2,2]−B．[1,1]−C．[0,4]D．[1,3]【答案】D【分析】法一：

不妨设()fxx=−，解1(2)1fx−−即可得出答案.法二：取=0x，则有21()1f−−，又因为1(12)()ff−=−，所以与21()1f−−矛盾，即可得出答案.法三：根据题意，由函数的奇偶性可得()11f−=，利用函数的单调性可得121x

−−，解不等式即可求出答案.【详解】法一：（特殊函数法）由题意，不妨设()fxx=−，因为1(2)1fx−−，所以121x−−，化简得13x，故选D.法二：（特殊值法）假设可取=0x，则有21()1

f−−，又因为1(12)()ff−=−，所以与21()1f−−矛盾，故=0x不是不等式的解，于是排除A、B、C.法三：（直接法）根据题意，()fx为奇函数，若(1)1f=−，则()11f−=，因为

()fx在(,)−+单调递减，且1(2)1fx−−，所以()()1(2)1ffxf−−，即有：121x−−，解可得：13x.故选：D.10．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））若函数()()()21xfxxxa=−+为奇函数，则

=a（）A．12B．23C．34D．1【答案】A【分析】根据奇函数的定义可得()()()()2121xxaxxaxx−−−=−−−++，整理化简可求得a的值，即得答案.【详解】由函数()()()21xfxxxa=−+为奇函数，可得()()fxfx−=

−，所以()()()()2121xxaxxaxx−−−=−−−++，所以()()()()2121xxxaxxxa−−+=−−−−+，化简得()22210ax−=恒成立，所以210a−=，即12a=,经

验证()()22141212xxfxxxx==−−+，定义域关于原点对称，且满足()()fxfx−=−，故12a=；故选:A．11．（2022·全国·高一单元测试）函数()21xfxx−=的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】求定义

域，确定奇偶性后排除两个选项，再由单调性排除一个，得正确结论．【详解】()21xfxx−=的定义域是0xx，关于原点对称，()22()11()xxxfxfxx−−−−===−，所以()fx是偶函数，排除B，C；当0x时，211()xfxxxx−==−，易知()

fx在()0,+上是增函数，排除A．故选：D．12．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期末）设()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()2fxx=，不等式()()24fxfx的解集为（）A．(),04,−+UB．0,4C．(

),02,−+D．0,2【答案】C【分析】先分析函数的单调性，结合函数的解析式，原不等式等价于2()2xffx，结合函数的单调性可得22xx，解不等式可得结果.【详解】根据题意，当0x时，()2fxx=，所以()fx在[0,)+上为增

函数，因为()fx是定义在R上的奇函数，所以()fx在R上为增函数，因为20x，所以24()fxx=，24124xfx=，所以221()42xfxf=，所以不等式()()24fxfx可化为2()2xffx，所以

22xx，解得0x或2x，所以不等式()()24fxfx的解集为(),02,−+，故选：C13．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()fx是R上的偶函数，当0x时，()()ln1fxxx=++，则0x时，()

fx=（）A．()ln1xx−−−B．()ln1xx−−C．()ln1xx−+−D．()ln1xx+−【答案】C【分析】由偶函数的性质可求得函数()fx在0x时的解析式.【详解】因为()fx是R上的偶函数，当0x时，0x−，则()()

()ln1fxfxxx=−=−+−.故选：C.14．（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数()fx的定义域为R，()2fx+为奇函数，()21fx+为偶函数，则函数()fx的周期是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】由奇函数性质可得()()22fxfx−+=−+，由偶

函数性质可得()()2121fxfx−+=+，化简整理可得()()2fxfx+=−，即可求出周期.【详解】因为()2fx+为奇函数，所以()()22fxfx−+=−+，因为()21fx+为偶函数，所以()()2121fxfx−+=+，则()()11fxfx−

+=+，则()()112fxfx−++=+，即()()2fxfx−=+，所以()()2fxfx−+=−−，即()()2fxfx+=−，则()()()42fxfxfx+=−+=，所以()fx的周期是

4.故选：C.15．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x时，()21xfxx=+−，则不等式(1)2fx−的解集为（）A．(0,2)B．(,0)−C．(2)+，D．(,0)2−+（，）【答案】D【分

析】根据条件可得()fx在[0,)+上单调递增，然后结合其是偶函数可得答案.【详解】当0x时，()21xfxx=+−，则()fx在[0,)+上单调递增，又函数()fx是R上的偶函数，且(1)2f=，所以，不等式()()()121111fxfxfx−−−，解得0x或2x

所以不等式(1)2fx−的解集为(,0)2−+（，），故选：D16．（2022·云南普洱·高二期末）已知()fx是定义域为(,)−+的奇函数，满足(1)(1)fxfx−=+，若(1)2f=，则(1)(2)(3)(2022)f

fff++++=（）A．4−B．2−C．0D．2【答案】D【分析】由已知条件可得()fx的周期为4，再利用奇函数的性质结合已知条件可得(4)(0)0ff==，(3)(1)(1)2fff=−=−=−，(2)(0

)0ff==，从而可得一个周期上的4个数的函数值的和为0，进而可求得结果【详解】因为()fx是定义域为(,)−+的奇函数，所以(0)0f=，因为(1)(1)fxfx−=+，所以(1)(1)[(1)](1)f

xfxfxfx+=−=−−=−−，所以(2)()fxfx+=−，所以(4)(2)()fxfxfx+=−+=，所以()fx是以4为周期的周期函数，所以(4)(0)0ff==，因为(1)(1)fxfx−=+，(1)2f=所以

(2)(0)0ff==，(3)(1)(1)2fff=−=−=−，所以(1)(2)(3)(4)20(2)00ffff+++=++−+=，所以(1)(2)(3)(2022)ffff++++=5050(1)(2)2ff++=，故选：D17．（2022·全国·高一课时练习）()fx是定义在R

上的偶函数，()1fx+是奇函数，当0,1x时，()22fxxm=−，则112f=（）A．32B．32−C．12D．12−【答案】A【分析】分析可得()10f=，可得出m的值，求出12f

的值，推导出函数()fx是以4为周期的周期函数，利用函数()fx的周期性和对称性可求得112f的值.【详解】因为()1fx+是奇函数，所以()()11fxfx−+=−+，则()()11ff=−，所以，()120f

m=−=，解得2m=，所以，211322222f=−=−，又()fx是偶函数，所以()()11fxfx−+=−，故()()()113fxfxfx+=−−=−，则()fx是以4为周期的周期函数，因此，11313.2222fff==−=

故选：A.18．（2022·山东日照·高二期末）已知()2yfx=+是定义域为R的奇函数，()1ygx=−是定义域为R的偶函数，且()yfx=与()ygx=的图像关于y轴对称，则（）A．()yfx=是奇函数B

．()ygx=是偶函数C．2是()yfx=一个周期D．()ygx=关于直线2x=对称【答案】A【分析】根据函数奇偶性，对称性、周期性的定义一一判断即可；【详解】解：根据题意，()2yfx=+是定义域为R的奇函数，则()yfx=关于点()2,0成中心

对称，()1ygx=−是定义域为R的偶函数，则()ygx=关于1x=−对称，()yfx=与()ygx=的图像关于y轴对称，则()yfx=关于1x=对称，所以()yfx=关于原点中心对称，故()yfx=是奇函数，故A正确.()yfx=是

奇函数，且()yfx=与()ygx=的图像关于y轴对称，故()ygx=是奇函数，故B错误.()2yfx=+是定义域为R的奇函数，则()()22fxfx−+=−+，①()yfx=关于1x=对称，故()()11fxfx−+=+，可得()()2fxfx+=−，联立①得()()2fx

fx−=−−+，故()()2=−+fxfx，可得()()24fxfx+=−+，故()()()24fxfxfx=−+=+，函数()fx是周期为4的周期函数，由题意可得出4是函数()fx的周期，故C错误.因为4是函数()fx的周期，()yfx=

关于点()2,0中心对称，所以()2,0−是()yfx=的中心对称，()2,0−关于y轴对称为()2,0，为()ygx=的对称中心，故D错误.故选：A19．（2022·安徽·高二期末）已知函数()fx的定义域是R，(1)fx+为偶函数，(4

)()fxfx+=−−，且(1)2f=，则(2023)f=（）A．2B．1C．2−D．3−【答案】C【分析】由已知条件可得函数()fx是以4为周期的周期函数，然后利用周期可求得结果【详解】因为(1)fx+为偶函数，所以(1)(1)fxfx+=−，所以(2)()fxfx+=−，所以(4)()(

2)fxfxfx+=−−=−+，所以(2)()fxfx+=−，所以(4)(2)()fxfxfx+=−+=，所以函数()fx是以4为周期的周期函数，所以(2023)(50543)(3)fff=+=(41)[(1)](1)2fff=−=−−−=−=−，故选：C20．

（2022·江苏·句容碧桂园学校高三开学考试）已知函数()fx是定义域为(,)−+的奇函数，满足(2)(2)fxfx−=+，若(1)2f=，则(1)(2)(3)(2022)ffff++++=（）A．2−B．0C．2D．4【答案】C【分析】结合函数的奇偶性、对称性和周期性求得正确答

案.【详解】()fx是奇函数，()()22fxfx−=+，即()fx关于2x=对称，()()()()()()42222fxfxfxfxfx+=++=−+=−=−，()()()()()()8444fxfxfxfxfx+=++=−+=

−−=，所以()fx是周期为8的周期函数.()()()()()()00,12,3212112ffffff===+=−==，()()()()4222200ffff=+=−==，()()()()()52323112fffff=+=−=−=−=

−，()()()()()6242422fffff=+=−=−=−，()()()74332fff=+=−=−，()()800ff==，所以()()()()()()()()123456780ffffffff+++++++=，由于202225286=+，

所以(1)(2)(3)(2022)ffff++++=()()()()()()1234562ffffff+++++=.故选：C21．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知()fx是定义在R上的奇函数，且满足()()22fxfx+=−，当(0,2x时，()2fxx

a=+，若()20220f=，则=a（）A．－8B．－4C．0D．4【答案】B【分析】结合条件证得()fx的周期为8，即可求出结果.【详解】因为()fx是定义在R上的奇函数，所以()()()222fxfxfx+=−=−−，所以()()4fxfx+=−，所以()()8fxfx+=，所以()fx的周

期为8，所以()()()20222240fffa=−=−=−−=，故4a=−．故选：B.22．（2022·山东青岛·二模）函数()221xfxx=−的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排

除一个选项后得正确结论．【详解】由题可得函数()fx定义域为|1xx，且()()221xfxfxx−−==−−，故函数为奇函数，故排除BD，由()4203f=，1143234f==−−，故C错误，故选：A.23．（2022·全国·高一课时练习）若对

任意3,2x−，不等式2212xxmx+−恒成立，则实数m的取值范围是_________．【答案】2,3−【分析】变形给定的不等式，构造二次函数，利用二次函数在闭区间上的最大值不大于0求解作答.【详解】3,2x−，22212(

2)120xxmxxmx+−+−−，令()()2212gxxmx=+−−，3,2x−，依题意，3,2x−，()0gx，而函数()gx是二次项系数为正的二次函数，因此有()()2030gg−，即

420930mm−−−+，解得23m−，所以实数m的取值范围是2,3−.故答案为：2,3−24．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）函数()2,1(),1axxfxaxx−=在R上是增函数，则a的取值范围为________．【答案】)1,2【分析

】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.【详解】解：因为函数()2,1(),1axxfxaxx−=在R上是增函数，所以当1x时，(2)ax−为增函数，则20a−，解得2a，当1x时，为ax增函数，则0a，且(2)11

aa−，解得1a，综上，a的取值范围为)1,2.故答案为：)1,2.25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221fxaxx=++的定义域为R，则实数a的取值范围是__．【答案】[1，+∞）【分析】等价于ax2+2x+1≥0恒成立，再对a分类讨论得解.【详解】解：函数()2

21fxaxx=++的定义域为R，即为ax2+2x+1≥0恒成立，若a＝0，则2x+1≥0不恒成立；当a＞0，＝4﹣4a≤0，解得a≥1；当a＜0，ax2+2x+1≥0不恒成立．综上可得，a的取值范围是[1

，+∞）．故答案为：[1，+∞）．26．（2022·福建南平·高二期末）若函数()()211,1,26,1axxfxxaxx−+=−+的值域为R，则实数a的取值范围是______.【答案】)2,+【

分析】分1a=，1a和1a三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.【详解】解：当1x时，()()222266fxxaxxaa=−+=

−+−，当1a=时，1x，()()2222665fxxaxxaa=−+=−+−，1x，()()111fxax=−+=，则此时函数()fx的值域不是R，故1a=不符合题意；当1a时，1x，()22627fxxa

xa=−+−+，1x，()()11fxaxa=−+，则此时函数()fx的值域不是R，故1a不符合题意；当1a时，1x，()()22222666fxxaxxaaa=−+=−+−−，1x，()()11fxaxa=−+，因

为函数()()211,1,26,1axxfxxaxx−+=−+的值域为R，所以216aaa−，解得2a，综上所述实数a的取值范围是)2,+.故答案为：)2,+.27．（2021·辽宁·沈阳二十中高二期末）若不等式210xax++对一切2,3x都成立，则a的取

值范围是______．【答案】5[,)2−+【分析】利用参变分离法将不等式210xax++转化为1()axx−+，令1()()fxxx=−+，将不等式恒成立问题转化为max()afx成立，求解函数()fx的最大值

.【详解】解：因为不等式210xax++对一切2,3x恒成立，所以1()axx−+对一切2,3x恒成立，令1()()fxxx=−+，可知max()afx成立，当2,3x，函数单调递

减，所以5()(2)2fxf=−，所以52a−.故答案为：5[,)2−+.28．（2023·全国·高三专题练习）函数()268fxxx=−+的单调减区间是______．【答案】0,3，(,3−−【分析】根据

绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间．【详解】去绝对值，得函数2268()68xxfxxx−+=++00xx当0x时，函数2()68fxxx=−+的单调递减区间为0

,3当0x时，函数2()68fxxx=++的单调递减区间为(,3−−综上，函数2268()68xxfxxx−+=++00xx的单调递减区间为0,3，(,3−−故答案为：0,3，(,3−−29．（2022·全

国·高三专题练习）若函数22yxmx=−的递增区间是)1,+，则实数m=______.【答案】1【分析】求得二次函数的单调增区间，即可求得参数m的值.【详解】因为二次函数22yxmx=−开口向上，对称

轴为xm=，故其单调增区间为),m+，又由题可知：其递增区间是)1,+，故1m=.故答案为：1.30．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知()539fxaxbxcx=++−，且(3)12f−=，那么(3)f=________

___【答案】30−【分析】设()53gxaxbxcx=++，得到()()9fxgx=−，且求得()321g=−，进而求得()3f的值，得到答案.【详解】设()53gxaxbxcx=++，则()()9f

xgx=−，易得定义域为R，又()()5353()()()gxaxbxcxaxbxcxgx−=−+−+−=−−−=−，所以函数()gx为奇函数，又因为(3)12f−=，即()3912g−−=，可得()321g−=，所以(

)321g=−，则(3)(3)921930fg=−=−−=−.故答案为：30−.31．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知()yfx=是定义在R上的奇函数，当0x时，2()4fxxx=−，则0x时，()fx的解析式为________．【答案】2(4)=−−

fxxx【分析】首先当0x时，可知0x−，结合已知条件求出()fx−，然后利用函数奇偶性求()fx的解析式即可.【详解】解：当0x时，则0x−，因为当0x时，()24fxxx=−，且()yfx=是定义在R上

的奇函数，所以22()()4()4()fxxxxxfx−=−−−=+=−，即2(4)=−−fxxx，故0x时，()fx的解析式为2(4)=−−fxxx.故答案为：2(4)=−−fxxx.32．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知函数()31fx+是定

义在R上的奇函数，函数()fx的图象与函数()gx的图象关于直线yx=对称，则()()gxgx+−=______．【答案】2【分析】由奇函数性质可得()31(31)fxfx−+=−+，进而得到()fx关于(1,0)对称，结合已知()fx与()gx的对称

关系，确定()gx的对称中心，即可得结果.【详解】由题设()31(31)fxfx−+=−+，若13tx=−，则()(2)0ftft+−=，所以()fx关于(1,0)对称，又()fx与()gx关于直线yx=对称，则()gx关于(0,1)对称，所以()()2gxgx+−=.故答案为：

2【点睛】关键点点睛：根据奇函数及()fx与()gx的对称关系判断()gx的对称中心.33．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知()fx是定义在R上的奇函数﹐且满足()()22fxfx+=−，当(0,2x时，()2fxxa=+，若()20

220f=，则=a_____________.【答案】4−【分析】根据奇函数的性质结合已知条件可得函数的周期为8，从而得()2022(2)(2)fff=−=−，进而可求出结果【详解】因为()fx是定义在R

上的奇函数，所以()()()222fxfxfx+=−=−−，所以()()4fxfx+=−，所以()()8fxfx+=，所以()fx的周期为8，所以()()()20222240fffa=−=−=−−=，故4a=−.故答案为：4−B组能力提升34．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶

段练习）（多选题）已知函数()fx为R上的奇函数，()()1gxfx=+为偶函数，下列说法正确的有（）A．()fx图象关于(10)−，对称B．()20230g=C．()gx的最小正周期为4D．对任意xR都有()()11fxfx−=+【答案】BCD【分析】由题，由奇偶函数

性质得()()fxfx=−−，()00f=，()()2fxfx=−−，即可进一步判断()fx最小正周期为4.对A，由()()2ffxx−−−可判断不关于(10)−，对称；对B，由()fx周期化简即可判断；对C，由()()4gxgx+=可判

断；对D，由()()()131fxfxfx−=−=+可判断；【详解】()fx为R上的奇函数，则()()fxfx=−−，()00f=.()()1gxfx=+为偶函数，即()fx关于1x=−轴对称，则()()2fxfx=−−.所以()()()22fxfxfx

=−−=−+，则()()24fxfx+=−+，故()()4fxfx=+，则()fx最小正周期为4；对A，()()()22ffxfxx=−−−−−，故()fx图象不关于(10)−，对称，A错；对B，()()()()2023

45061100gggf=−=−==，B对；对C，()fx最小正周期为4，()()()()154gxfxfxgx=+=+=+，()gx的最小正周期为4，C对；对D，()()()()()11231fxfxfxfx−=−−−=−=+，D对；故选：BC

D35．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）已知函数()fx，()gx均为定义在R上的奇函数，且()0fx，()0gx，则（）A．()()fxgx+是奇函数B．()()fxgx−是奇函数C．()()fxgx是偶函数D．()()fxgx是偶函数【答案】ABC【分析】根

据题意，函数()fx，()gx均为定义在R上的奇函数，利用奇偶函数的定义，可以依次判断ABC正确，可以证明D是奇函数，故D错误.【详解】因为函数()fx，()gx均为定义在R上的奇函数，所以()()fxfx−=−，()()gxgx−=−，对于A选项

，设()()()Fxfxgx=+，则()()()()()()FxfxgxfxgxFx−=−+−=−−=−，所以()()fxgx+为奇函数，故A正确；对于B选项，设()()()Fxfxgx=−，则()()()()()()Fxfxgxfx

gxFx−=−−−=−+=−，所以()()fxgx−为奇函数，故B正确；对于C选项，设()()()Fxfxgx=，则()()()()()()FxfxgxfxgxFx−=−−=−−=，所以()()fxgx为偶函数，故C

正确；对于D选项，设()()()Fxfxgx=，则()()()()()()FxfxgxfxgxFx−=−−=−−=−，所以()()fxgx是奇函数，故D错误.故选：ABC.36．（2022·黑龙江哈尔滨·

高三开学考试）（多选题）已知函数()1yfx=−的图象关于直线1x=对称，且对于()()yfxx=R，当1x，)20,x+，且12xx时，()()12210fxfxxx−−恒成立．若()()2221faxfx+对任意的

xR恒成立，则实数a的范围可以是下面选项中的（）A．()2,1−B．1,12−C．()0,2D．()2,2【答案】ABC【分析】首先得到()fx为偶函数且在)0,+上单调递增，则在(),0−上单调递减，则问题转化为2221

axx+恒成立，再根据一元二次不等式恒成立求出参数的取值范围.【详解】解：因为函数()1yfx=−的图象关于直线1x=对称，所以()fx的图象关于y轴对称，即()fx为偶函数，又当1x，)20,x+，且12xx时，()()12210fxfxxx−−恒成立，即()()12120fxf

xxx−−恒成立，所以()fx在)0,+上单调递增，则()fx在(),0−上单调递减，若()()2221faxfx+对任意的xR恒成立，即2221axx+恒成立，即2221221xaxx−−+恒成立，即2222102210xaxxax−+++恒成立，即

2480a=−，解得22a−，即()2,2a−，故符合条件的有A、B、C；故选：ABC37．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）下列判断正确的是（）A．()()111xfxxx+=−−是偶函数B．()22,0,0xxxfxxxx+=−+是奇函数C．()2233fxx

x=−+−是奇函数D．()2133xfxx−=+−是非奇非偶函数【答案】BC【分析】判断函数的奇偶性应先求函数的定义域，若定义域不关于“0”对称，则函数非奇非偶；若定义域关于“0”对称，再看()fx与()f

x−是相等还是互为相反数，确定函数的奇偶性.【详解】对于A，由101xx+−且10x−，得11x−，则()fx的定义域不关于原点对称，所以函数()fx为非奇非偶函数，故A错误;对于B，函数()fx的定义域关于原点对称，当x>0时，0x−，()()()220f

xfxxxxx+−=−++−−=，当x<0时，也有()()0fxfx+−=，所以()fx为奇函数，故B正确;对于C，由230x−且230x−，得23x=，即3x=，()fx的定义域关于原点对称，此时()0fx=，所以()fx既是奇函数又

是偶函数，故C正确;对于D，由210x−且330x+−，得11x−且x≠0，()fx的定义域关于原点对称，因为()221133xxfxxx−−==+−，()()21xxfxfx−==−−−，所以

函数()fx为奇函数，故D错误.故选:BC.38．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）定义在R上的偶函数()fx满足()()1fxfx+=−，且在1,0−上是增函数，则（）A．()fx的图象关于直线1x=对称B．()fx在[]0,1上是增函数C．(

)fx在1,2上是减函数D．()()20ff=【答案】AD【分析】由题可得分析可得()()11fxfx+=−，进而可判断AD，利用函数的对称性结合条件可判断BC.【详解】因为()()1fxfx+=−，()fx是偶函数，所以()()()1fxfxfx−=−−+=

，即()()11fxfx+=−，所以函数()fx的图象关于直线1x=对称，故A正确；由偶函数在对称区间上的单调性相反，得()fx在[]0,1上是减函数，故B错误；因为函数()fx的图象关于直线1x=对称，且()fx在[]0,1上是减函数，所以()fx在1,2上

是增函数，故C错误；由()()11fxfx+=−，可得()()20ff=，故D正确.故选：AD.39．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）若()fx是奇函数，则下列说法正确的是（）A．()fx一定是偶函数B．()()fxfx−一定是偶函数C．()()0fxfx−D．()()0fxfx−

+=【答案】AB【分析】根据奇函数和偶函数的定义可判断A，B；计算()()()20fxfxfx−=−可判断C；计算()()()()0fxfxfxfx−+=−=可判断D.【详解】∵()fx是奇函数，∴()()fxfx−=−.A中，()()()fx

fxfx−=−=，∴()fx是偶函数，故A正确；B中，令()()()gxfxfx=−，则()()()()gxfxfxgx−=−=，∴()()fxfx−是偶函数，故B正确；C中，()()()20fxfxfx−=−，故C错误；D中

，()()()()0fxfxfxfx−+=−=不―定成立，故D错误.故选：AB.40．（2022·江苏·苏州中学高二期末）（多选题）已知定义在R上的函数()fx满足()()0fxfx+−=，()(6)0fxfx++=，且对任意的12,[3]0xx−，，当12

xx时，都有11221221()()()()xfxxfxxfxxfx++，则以下判断正确的是（）A．函数()fx是偶函数B．函数()fx在[96]−−，上单调递增C．x=2是函数(1)fx+的对称轴D．函数()fx的最小正周期是12【答案】BCD【分析】根据函数的奇偶性的定义

判断A;由()(6)0fxfx++=结合函数的奇偶性可推得(6)()fxfx+=−以及(12)()fxfx+=，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;【详解】因为定义

在R上的函数()fx满足()()0fxfx+−=，即()()fxfx−=−，故函数()fx是奇函数，故A错误；因为()(6)0fxfx++=，故(6)()fxfx+=−，而()()fxfx−=−，所以(6)()f

xfx+=−，即()fx的图象关于3x=对称，则x=2是函数(1)fx+的对称轴，故C正确；因为(6)()fxfx+=−，所以(12)(6)()fxfxfx+=−+=，故12是函数()fx的周期；对任意的12,[3]0xx−，，当12xx时，都有11221221()(

)()()xfxxfxxfxxfx++，即1212()[()()]0xxfxfx−−，故3[]0x−，时，()fx单调递减，又因为()fx为奇函数，所以]3[0x，时，()fx单调递减，又因为()

fx的图象关于3x=对称，故6[3,]x时，()fx单调递增，因为12是函数()fx的周期，故函数()fx在[9,6]−−单调性与[3,6]x时的单调性相同，故函数()fx在[9,6]−−上单调递增，故B正确，作出函数()fx的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数()fx的最小

正周期，D正确；故选：BCD【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用.41．（2022·全国·

高一课时练习）设函数()223fxxxa=−−+，xR．(1)某同学认为，无论实数a取何值，()fx都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．(2)若()fx是偶函数，求实数a的值．(3)在（2）的情况下，()2fxmm−恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)该同学的观点正确

，理由见解析(2)0(3)1,2−【分析】（1）由奇函数的定义，求()()0fafa+−=是否有解，即可得出答案（2）若()fx为偶函数，则有()()fxfx=−，求出实数a的值，即可得出答案.（3）()2fxmm−恒成立转

化为()2minfxmm−，画出()fx的图象，求出()minfx，解不等式即可得出答案.（1）该同学的观点正确，理由如下：()23faa=+，()243faaa−=−+．若()fx为奇函数，则有()()0fafa+−=，∴2230

aa−+=．显然2230aa−+=无实数解，∴()fx不可能是奇函数．（2）若()fx为偶函数，则有()()fxfx=−，∴222323xxaxxa−−+=−−−+，即0ax=．∴0a=，此时()223fxxx=−+，是偶函数．∴实数a的值为0．（3）由（2）知()

223fxxx=−+，其图象如图所示：由图象，知()min2fx=，∴22mm−，解得12m−．∴实数m的取值范围为1,2−．42．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数22()xxafxx++=．(1)若()()2

gxfx=−，判断()gx的奇偶性并加以证明．(2)当12a=时，先用定义法证明函数f（x）在[1，+）上单调递增，再求函数()fx在[1，+）上的最小值．(3)若对任意[1,),()0xfx+恒成立，求实数a的取值范围

．【答案】(1)奇函数；证明见解析(2)证明见解析；最小值为72(3)()3,−+【分析】（1）证得()()gxgx−=−，即可得到()gx为奇函数.（2）将12a=代入，由定义法证明()fx在[1，

+）上的单调性即可，再由单调性即可求得最小值.（3）首先参变分离，然后将题目转化为a大于函数()()22xxx=−+在)1,+上的最大值即可.（1）因为()()()20agxfxxxx=−=+，

定义域为()(),00,−+关于原点对称，且()()agxxgxx−=−−=−，所以()gx为奇函数.（2）当12a=时，())1212,,1,2fxxxxx=+++，且12xx，有()()()()121212122102xxxxf

xfxxx−−−=．所以，函数()fx在)1,+上单调递增，函数()fx在)1,+上的最小值为()712f=．（3）若对任意)()1,,0xfx+恒成立，则()2222011axxxxaxx

−+++，所以，问题转化为a大于函数()()22xxx=−+在)1,+上的最大值．且函数()x在)1,+上单调递减，所以()x最大值为()13=−，故实数a的取值范围是()3,−+43．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数()2

1axbfxx+=+是定义在()1,1−上的奇函数，且1225f=.(1)确定函数()fx的解析式并用定义证明()fx在()1,1−上是增函数．(2)解不等式：()()10ftft−+.【答案】(1)()21xfxx=

+，证明见解析(2)10,2【分析】（1）由题意可得(0)0f=，从而可求出b，再由1225f=，可求出a，从而可求出函数的解析式，然后利用单调性的定义证明即可，（2）由于函数为奇函数，所以

将()()10ftft−+转化为()(1)ftft−，再利用函数为增函数可得111111tttt−−−−，从而求得解集(1)因为函数()21axbfxx+=+是定义在()1,1−上的奇函数，所以(0)0f

=，即0010b+=+，得0b=，所以()21axfxx=+，因为1225f=，所以21225112a=+，解得1a=，所以()21xfxx=+，证明：任取12,(1,1)xx−，且12xx，则21212

221()()11xxfxfxxx−=−++2221122212(1)(1)(1)(1)xxxxxx+−+=++21122212()(1)(1)(1)xxxxxx−−=++，因为1211xx−，所以210xx−，1210xx−，2212(1

)(1)0xx++，所以21()()0fxfx−，即21()()fxfx，所以()fx在()1,1−上是增函数．(2)因为()fx在()1,1−上为奇函数，所以()()10ftft−+转化为()(1)ftft−，因为()fx在()1,1−上是增函数，所以111111tttt−−

−−，解得102t，所以不等式的解集为10,244．（2021·四川·宁南中学高一开学考试）定义域在R的单调函数()fx满足恒等式()()(),(,)fxfyfxyxyR=+−，且(1)(2)6ff+=.(1)求(0)f，(1)f；(2)判断函数()fx

的奇偶性，并证明；(3)若对于任意1,12x都有2()(1)0fkxxfx++−成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)()00f=，()12f=(2)函数()fx是奇函数，证明见解析(3)

(,1]−−【分析】（1）取0x=代入函数满足的等式，整理可得()00f=，再令2,1xy==，根据()()221ff=，可算出()12f=；（2）令0x=，可得()()fyfy−=−，即()()fx

fx−=−，可得函数为奇函数；（3）根据函数是单调函数且()()01ff，得()fx是定义域在R上的增函数，再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为212kxx−在1,12x上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出k的取值范围.(1

)令0xy==可得()00f=，令2,1xy==∴()()221ff=∴()()()12316fff+==∴()12f=；(2)令0x=∴()()()00ffyfy=+−=∴()()fyfy−=−，即()()fxfx−=−∴函数()fx是奇函数.(3)()fx是奇函数，且()()

210fkxxfx++−在1,12x时恒成立，∴()()21fkxxfx+−在1,12x时恒成立，又∵()fx是定义域在R的单调函数，且()()0012ff==∴()fx是R上的增函

数，∴21kxxx+−即212kxx−在1,12x时恒成立，∴2112kxx−在1,12x时恒成立.令()22111211gxxxx=−=−−

，∵1,12x∴()11,2x.由抛物线图象可得()10gx−∴1k−，则实数k的取值范围为(,1−−.5．（2022·山西太原·高一开学考试）若定义在R上的函数()fx对任意实数1x，2x，都有

()()()12122fxxfxfx+=+−成立，且当0x时，()2fx.(1)求证：()2fx−为奇函数；(2)判断()fx在R上的单调性，并说明理由；(3)若()45f=，解不等式()2328fmm−−.【答案】(1)证明见解析(2)函数()fx在R上单调递增，理由见解析(3)5,23

−【分析】（1）()()2gxfx=−，则()()()1212gxxgxgx+=+，进而令特殊值得()00g=，()()gxgx−=−，进而证明结论；（2）根据题意取12xx，则()122fxx−，进而()()()121220gxgxfxx−=−−，即()()12gxgx，

进而得函数的单调性；（3）根据题意得()2328fmm−−等价于()()2328gmmg−−，进而根据函数单调性解不等式即可.(1)证明：∵()()()12122fxxfxfx+=+−，∴()()()1212222fxxfxfx+−=−+−.设()()2gxfx=−，则()()

()1212gxxgxgx+=+.令120xx==，则()()()000ggg=+，解得()00g=.令1xx=，2xx=−，则()()()0ggxgx=+−，∴()()gxgx−=−.由函数()fx的定义域为R，得函数()gx的定义域为R，关于原点对称

，综上，()2fx−为奇函数.(2)解：函数()fx在R上单调递增，理由如下：任取12xx，则120xx−，∴()122fxx−，由（1）知，()()()()()()1212121220gxgxgxgxgxxfxx−=+−=−=−−，即()()12gxgx，∴函数()()2g

xfx=−在R上单调递增，即函数()fx在R上单调递增.(3)解：∵()45f=，∴()()4423gf=−=，∴()()()()844446gggg=+=+=，由()2328fmm−−，得()23228gmm−−+，即()()23268gmmg−−=，∵函数()()2gxfx

=−在R上单调递增，∴2328mm−−，即23100mm−−，解得523m−，即不等式()2328fmm−−的解集为5,23−.