【文档说明】《2022年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019必修第一册）》专题01 集合、集合间的关系、集合的运算（重难点突破）（解析版）.docx，共(24)页，1.125 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-f953102f6ed4df9c68d87715cd712ce6.html

以下为本文档部分文字说明：

专题01集合、集合间的关系、集合的运算一、考情分析二、考点梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不

重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号名称自然

数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集表示符号N*N或+NZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合

B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B【名师提醒】子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.3.集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集

合就称为全集，全集通常用字母U表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}【名师提醒】1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1，非空真子集n2-2个

.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B()()UUABABU==痧.3．奇数集：21,21,41.xxnnxxnnxxnn=+==−==ZZZ.4.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()(

)UUUABAB痧?；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()UUUABAB痧?．【名师点睛】1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2.集合中的元

素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题

，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的

数集，则可以借助数轴求解.6.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三、题型突破考点1集合的概念及其表示归纳总结：与集合中

的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．例1.（1）、（集合

的确定性）（2022·全国·高一专题练习）下面有四个命题：（1）集合N中最小的数是1；（2）0是自然数；（3）123，，是不大于3的自然数组成的集合；（4）N,Nab，则ab+不小于2．其中正确的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】根据自然

数集的定义即可判断.【详解】对于（1），集合N中最小的数是0，故错误，对于（2），0是自然数，故正确，对于（3），不大于3的自然数还包括0，故错误，对于（4），当1,0ab==，则2ab+，故错误，故选：A（

2）、（集合的互异性）（2021·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）已知集合22,2,Aaa=−−，若1A，则实数=a___________.【答案】1−【分析】根据1A可知若221a−=，则1a=，分类讨论1a

=−和1a=两种情况，注意要满足元素的互异性，即可得解.【详解】解：由22,2,Aaa=−−，1A，若221a−=，解得：1a=，当1a=−时，2,1,1A=−−，符合题意；当1a=时，2

21aa−==，不满足元素的互异性，故不符合题意；所以实数1a=−.故答案为：1−.（3）、（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合1,0,1A=−，,BabaAbA=+，则集合B=（）A．

1,1−B．1,0,1−C．2,1,1,2−−D．2,1,0,1,2−−【答案】D【分析】根据1,0,1A=−求解,BabaAbA=+即可【详解】由题，当aAbA,时ab+最小为()()112−+−=−，最大为112+=，且可得

()101,000,011−+=−+=+=，故集合B=2,1,0,1,2−−故选：D【变式训练1-1】、（集合的确定性）（2022·全国·高一专题练习）下列各组对象能构成集合的是（）A．充分接近的所有实数B．所有的正方形C．著名的数学家D．

1，2，3，3，4，4，4，4【答案】B【分析】由集合的确定性和互异性即可判断答案.【详解】选项A，C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．故选：B．【变式训练1-2】．（集合的确定性）（2022·全国·高一专题练

习）下列所给的对象能构成集合的是__________．（1）高中数学必修第一册课本上所有的难题；（2）高一（3）班的高个子；（3）英文26个字母；（4）中国古代四大发明；（5）方程22x=−的实数根.【答案】（3）（4）（5）【分析】由集

合的三要素即可求解【详解】（1）：高中数学必修第一册课本上所有的难题，“所有的难题”不确定，（2）：高一（3）班的高个子，“高个子”不确定，不满足集合的确定性，故（2）不能构成集合；（3）：英文26个字母，是确定的且满足互异性，故（3）能构成集合；（4）：中国古代四大

发明，是确定的且满足互异性，故（4）能构成集合；（5）方程22x=−没有实数根，故能构成空集.故能构成集合的是（3）（4）（5）故答案为：（3）（4）（5）【变式训练1-3】、（集合的互异性）若1{2−，21aa−−，21}a+，则(a=)A．1

−B．0C．1D．0或1【答案】B【答案】解：①若a2﹣a﹣1＝﹣1，则a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1，a＝1时，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a＝0；②若a2+1＝﹣1，则

a2＝﹣2，a无实数解；由①②知：a＝0．故选：B．考点2元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集

实数集符号NN*或N＋ZQR归纳总结：(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要

注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．例2．（1）（2022·浙江丽水·高一开学考试）下列元素与集合的关系中，正确的是（）A．2−NB．*0NC．2QD．12R【答案】B【分析】根据自然数、有理数、实数集的范围，判断元素归属

即可.【详解】因为2−是整数，不是自然数，所以A不正确；因为0不是正整数，所以B正确；因为2是无理数，不是有理数，所以C不正确：因为12是实数．所以D不正确．故选：B．（2）、（元素个数问题）集合12{|3AxZyx==+，}yZ的元素个数为()A．4B．5C．10D．12【思路分

析】根据题意，集合中的元素满足x是整数，且12𝑥+3是整数．由此列出x与y对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x∈Z|y=12𝑥+3∈Z}中的元素满足x是整数，且y是整数，由此可

得x＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x共有12个，故选：D．【变式训练2-1】、（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）集合12,5Annn

=−NZ，则集合A的元素有（）个.A．4B．5C．6D．7【答案】C【分析】根据*125Nn−，由5n−为12的正约数求解.【详解】因为*125Nn−，所以5n−为12的正约数，故7,1,1,2,3,4A=−−，故集合A的元素有6个，故选：C.【变

式训练2-2】、（2021·重庆·万州纯阳中学校高一阶段练习）若集合210AxRaxax=++=中至少有一个元素，则a的可能取值是（）A．4B．2−C．0D．0或4【答案】AB【分析】分0a=和0a讨论即

可【详解】当0a=时,10=无解,不合题意所以20,404aaaa=−厖或0a.结合选项,A,B符合.故选:AB.例3．（2021·河北·石家庄市第三十八中学高一阶段练习）已知集合2|210,RAxaxxa=−+=.（1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取

值范围；（2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值.【答案】（1）1a；（2）0或1.【分析】(1)根据给定条件可得A=，再借助一元二次方程根的判别式列式作答；(2)根据给定条件确定方程2210axx−+=只有一个根

或者有两个等根即可得解.【详解】（1）因为集合A的子集只有一个，则A=，即方程2210axx−+=无实数根，于是得00a，即0440aa−，解得1a，所以实数a的取值范围为1a；（2）因为集合A中有且只有一个元素，则方程2210axx−+=

只有一个实数根或者两个相等实根，当0a=时，集合12102Axx=−+==满足题意，则0a=，当0a时，则440a=−=，1a=，集合22101Axxx=−+==满足题意，即1a=，所以实数a的值为0或1.【变式训练3-1】、（单元素集合）（20

21·全国高一课时练习）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则11a−∈A，且1∉A，（1）若3∈A，求A.（2）证明:若a∈A，则11Aa−.【答案】（1）123,,23A=−;（2）证明见解析.【分析】根据题意求依次求解即可.【详解】(1)因为3∈A，所以11

132A=−−，所以12131()2A=−−，所以13213A=−，所以123,,23A=−.(2)因为a∈A，所以11Aa−，所以1111111aAaaa−==−−−−.考点3集合间的基本关系1.集合A中含有n个元素，则有

(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．2.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问

题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例4．（1）.（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合25Axx=−,121Bxmxm=+−,若BA,则实数m的取值范围是______.【答案】(

,3−【解析】由BA可得：当B=,则121mm+−，∴2m，当B,则m应满足:12112215mmmm+−+−−,解得23m，综上得3m;∴实数m的取值范围是(,3−.故答案为:(

,3−.（2）.（2022·江苏·高一）（多选题）若1,2B1,2,3,4，则B=()A．1,2B．1,2,3C．1,2,4D．1,2,3,4【答案】ABC【分析】根据题意可知集合B最少包含1，2两个元素，最多包含1，2，3或1，2，4三个元素.

【详解】∵1,2B1,2,3,4，∴B＝{1，2}或B＝{1，2，3}或B＝{1，2，4}.故选：ABC.（3）（子集与真子集）已知集合1{|42kMxx==+，}kZ，1{|24kNxx==+，}kZ，则()A．M

N=B．M⊊NC．N⊊MD．M∩N=∅【思路分析】将集合M，N中的表达式形式改为一致，由N的元素都是M的元素，即可得出结论．【答案】M＝{x|x=𝑘4+12，k∈Z}＝{x|𝑥=𝑘+24，k∈Z}，N＝{x|x=𝑘2+1

4，k∈Z}＝{x|𝑥=2𝑘+14，k∈Z}，∵k+2（k∈Z）为整数，而2k+1（k∈Z）为奇数，∴集合M、N的关系为N⊊M．故选：C．【变式训练4-1】、（2022·全国·高一专题练习）（多选题）以下满足{0,2,4}{0,1,2,3

,4}AÜ的集合A有（）A．{0,2,4}B．{0,1,3,4}C．{0,1,2,4}D．{0,1,2,3,4}【答案】AC【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.【详解】由题意可

知，集合A包含集合{0,2,4}，同时又是集合{0,1,2,3,4}的真子集，则所有符合条件的集合A为{0,2,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4}.选项BD均不符合要求，排除.故选：AC【变式训练4-2】、（2022·全国·高一专题练习）已知集合{2,3,1}A=−，集合2{3,}Bm

=．若BA，则实数m的取值集合为（）A．{1}B．3C．{1,1}−D．3,3−【答案】C【分析】根据B是A的子集列方程，由此求得m的取值集合.【详解】由于BA，所以211mm==，所以实数m的取值集合为{1,1}−.故选：C【变式训练4-3

】、（2022·全国·高一专题练习）已知集合11{|,N}{|,N}623nMxxmmNxxn==+==−，，则,MN的关系为（）A．MN=B．NMÖC．MNÜD．NM【答案】C【分析】由321{|,N}6mMxxm+==，32311{|,N}66n

nNxxn−−+===即可判断集合,MN的关系.【详解】解：因为321{|,N}6mMxxm+==，32311{|,N}66nnNxxn−−+===，所以MNÜ.故选：C．例5．（2021·湖北·高一阶段练习）（1）

设集合24,||,2Aaaaa=+−，若3A，求a的值；（2）设集合11,,22M=−，集合2|10Nxaxax=−+=，若NM，求a的取值范围.【答案】（1）3a=−；（2）04a或12

a=−.【分析】（1）利用元素与集合的关系以及集合的三要素即可求解；（2）利用集合与集合间的包含关系与元素与集合的属于关系即可求解.【详解】解：（1）若43a+=，即1a=−时，不满足互异性.若||3a=，即3a=或3a=−，同理

验证3a=时不满足互异性，舍去.3a=−成立.若223aa−=，即1a=−或3a=，验证都不满足互异性.综上所述3a=−（2）当0a=时，N=，满足题意当0a时，若，即04a时，N=，满足题意若0，即0a或4a时.假设1N−，则12

a=−，则{1,2}N=−，符合题意；假设12N，则4a=，则12N=，符合题意；假设2N，则12a=−，也符合题意综上所述：04a或12a=−【变式训练5-1】、（2022·全国·高一课时练习）已知集合220Axxxa=+−=．（1）若是A的真子集，求a的范围；（2）若

20Bxxx=+=，且A是B的子集，求实数a的取值范围．【答案】（1）1a−；（2）1a−.【解析】（1）根据是A的真子集可得0得解；（2）由A是B的子集对集合A进行讨论可求解.【详解】（1）∵若是A的真子集∴2

20Axxxa=+−=，∴440aD=+?，∴1a−；（2）200,1Bxxx=+==−，∵AB，∴A=，0，1−，0,1−，A=，则440a=+，∴1a−；A是单元素集合，440a=+=，∴1a=−此时1A=−，符合题意；0,1A=−，011

2−=−−不符合.综上，1a−．【点睛】本题考查了集合的基本运算，分类讨论集合的包含关系求参数，属于基础题.考点4集合的基本运算1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}2．并集的性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅

＝A，A⊆A∪B.3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。4.交集的性质A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A.5、对于

一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA。符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}。归纳总结：集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．(2)集合中的元素

若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．例6．（1）、（2023·全国·高三专题练习）集合{1,0,1,2,3}A=

−，{0,2,4}B=，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0,2}B．{1,1,3,4}−C．{1,0,2,4}−D．{1,0,1,2,3,4}−【答案】B【分析】求()()ABABð得解.【详解

】解：图中阴影部分所表示的集合为()(){1,1,3,4}ABAB=−ð.故选：B（2）、（2021·河北唐山·高一期中）（多选题）若集合{|5}AxNx=，{|5}Bxx=，则下列表述正确的是（）A．AB=B．ABA=C．ABB=D．()RCAB=【答案】BC

【分析】根据集合的知识逐一判断即可.【详解】因为{|5}0,1,2,3,4,5AxNx==，{|5}Bxx=所以ABA=，ABB=故选：BC（3）．（2022·广东广州·高一期末）若集合

21,0,1,2AxZxB=−=，则AB=（）A．(2,1)−B．{1,0}−C．(2,1]{2}−D．{1,0,1,2}−【答案】D【分析】根据已知条件求出集合A，再利用并集的定义即可求解.【详解】由题意可知211,0AxZx=−=−，

又0,1,2B=，所以1,00,1,2{1,0,1,2}AB=−=−．故选：D．【变式训练6-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知全集N27Uxx=−，()1,5,6UAB=ð，2,

4B=，则图中阴影部分表示的集合是（）A．2,1,0,3−−B．0,3C．0,2,3,4D．3【答案】B【分析】确定全集中的元素，根据()1,5,6UAB=ð可确定AB=0,2

,3,4，再结合图中阴影部分的含义即可得答案.【详解】全集N270,1,2,3,4,5,6Uxx=−=,又因为()1,5,6UAB=ð，所以AB=0,2,3,4,而2,4B=所以阴影部分表示的集合是()UAB∩ð

即为0,3，故选：B.【变式训练6-2】、（2022·全国·高一单元测试）已知集合)2,4A=，3,5B=，则()RAB=ð___________.【答案】4,5【分析】先求出集合A的补集，再求交集即可.【详解】集合)2,4A=，则())

R,24,A=−+ð，又3,5B=，所以()R4,5BA=ð.故答案为：4,5【变式训练6-3】、（2021·徐州市第三十六中学）若A=(,)21xyyx=−，B=2(,)xyyx=，则AB=____________【答案】{(

1,1)}【分析】由集合中的条件组成方程组求解可得.【详解】将21yx=−代入2yx=，得2210xx−+=，解得1x=，则211y=−=，所以{(1,1)}AB=.故答案为：{(1,1)}例7．（2021·河北·高碑店市第三中学高二阶段练习）设集合4Uxx=，12Axx=−

，13Bxx=.求：(1)AB；(2)()UABð；(3)()()UUAB痧.【答案】(1){|12}ABxx=；(2)(){|1UBxAx=−ð或14}x；(3)()(){|1UUxBxA=−痧或34}x.【分析】（1）由集合的交集运算可求得答案；（2）先算出

UAð，再求()UABð；（3）先求UBð，再求()()UUAB痧.(1)解：∵{|12}Axx=−，{|13}Bxx=，∴{|12}ABxx=；(2)解：{|4}Uxx=，12Axx=−

，所以{|1UAxx=−ð或24}x．又∵{|13}Bxx=，∴(){|1UBxAx=−ð或14}x．(3)∵{|4}Uxx=，{|13}Bxx=，∴{|1UBxx=ð或34}x，∴()(){|1UUxBxA=−痧或34}x.例8．（2

021·江苏·扬州大学附属中学高一期中）已知集合2,1,0,1,2A=−−，0,1B=，1,2C=.(1)求BC；(2)求()ABCð.【答案】(1){0,1,2}(2){2,1,0,2}−−【分析】（1）利用并集的概念即可求解；（2）利用交集及补集

的运算即可求解.(1)0,1B=，1,2C=，{0,1,2}BC=(2)∵0,1B=，1,2C=，∴{1}BC=，又2,1,0,1,2A=−−故(){2,1,0,2}ABC=−−ð．例9．（2022·全国·高一课时练习）已知集合2

2190Axxaxa=−+−=，集合2560Bxxx=−+=，集合2280Cxxx=+−=．(1)若2AB=，求实数a的值；(2)若AB，AC=，求实数a的值．【答案】(1)3−(2)2−【分析】（1）求

出集合2,3B=，由2AB=，得到2A，由此能求出a的值，再注意3A检验即可；（2）求出集合4,2C=−，由AB，AC=，得3A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合22190Axxaxa=−+−=，集合25602,3Bxxx=−+==，且

2AB=，所以2A，所以242190aa−+−=，即22150aa−−=，解得3a=−或5a=．当3a=−时，231005,2Axxx=+−==−，2AB=，符合题意；当5a=时，25602,3Axxx=−+==，2,3AB=，不符合题意．综上，实数a的值为3−

．（2）因为22190Axxaxa=−+−=，2,3B=，22804,2Cxxx=+−==−，且AB，AC=，所以3A，所以293190aa−+−=，即23100aa−−=，解得2a=−或5a=．当2a=−时，221505,3Axxx=+−==−，满足

题意；当5a=时，25602,3Axxx=−+==，不满足题意．综上，实数a的值为2−．例10．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A02xx=，B32xaxa=−．（1）若()RAB=Rð，求实数a的取值范围；（2）若ABB=，求实数a的取值范围．【答案】（

1）(,0−；（2）12aa【分析】（1）由集合A可得RAð，利用()RAB=Rð列出不等式组，求出实数a的取值范围；（2）若ABB=，则BA，分B=和B两种情况，分别列不等式可得实数a的取值范围．【详解】（1

）因为A02xx=，所以RA|0xx=ð或2x．又B32xaxa=−且()RAB=Rð，所以320322aaaa−−，解得0a所以实数a的取值范围是(,0

−．（2）若ABB=（补集思想），则BA．当B=时，32−aa，解得1a；当B时，32aa−，即1a，要使BA，则0322aa−，得112a≤≤．综上，知ABB=时，12a，所以A

BB时，实数a的取值范围是12aa．考点5集合的综合应用（压轴题训练）例11．（2023·全国·高三专题练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学

生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（）A．18B．19C．20D．21【答案】D【分析】根据给定条件利用集合并结合Venn图列出方程求解作答.【详解】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素.设对A，B都

赞成的学生人数为x，则集合()UABð的元素个数为13x+，如图，由Venn图可知，(30)(33)1503xxxx−+−+++=，即21403x−=，解得21x=，所以对A，B都赞成的学生有21人.故选：D例12．（2022·江苏·高一单元测试）对集合{1A=，2，3，，

}n的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合1,2,4,7,10的“交替和”为1074216−+−+=，集合

7,10的“交替和”为1073−=，集合{10}的“交替和”为10，则集合A所有非空子集的“交替和”的总和为（）A．12nn−B．2nnC．2(1)2nnn−+D．1(1)2nnn−+【答案】A【分析】因为集合A的非空子集有()21n−个，

逐个计算“交替和”再求总和是不可能的，必须通过分析“交替和”的特点，寻找“交替和”的规律.为了找到“交替和”的规律，令4n=，则1,2,3,4A=的非空子集共有15个，写出它们的全部“交替和”如下：1,2,3,44321

2−+−=；1,2,44213−+=；3,4431−=；1,2,33212−+=；1,2211−=；33；1,3,44312−+=；2,3,44323−+=；44.1,3312−=；2,3321−=；1,4413−=；

2,4422−=；11；22；从以上写出的“交替和”我们发现，除了集合4以外，可以把集合A的子集分成两类：一类子集中包含4，另一类不包含4，并且可以在这两类集合之间建立起一个一一映射：设iA是集合A的一个不包含4的子集，则令iA与集合4iA相对应

，显然iA与4iA的“交替和”之和为4.因为这样的iA共有()412272−=个，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为74432.+=【详解】解：集合{1A=，2，3，，}n的非空子集中，除去集合n，还有22n−个非空子集，将这

22n−个子集分成两类：第一类是包含元素n的子集；第二类是不包含元素n的子集；在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系:iifAAn→，其中iA是第二类子集，显然这种对应是一一映射，设iA的“交替和”为k，则iAn的“交替和”为nk−，这一对集合的“交替

和”的和等于n，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为()112222nnnnn−−+=.故选:A.【变式训练12-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知集合1234,,,Axxxx=且1234xxxx<<<，定义集合|,,1234ijijBx

xxxxxAij==−=∣、、、、、，若BA=，给出下列说法：①1423xxxx+=+；②2132xxx=+；③3242xxx=+；其中所有正确序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】D【分析】由集合的新定义结合BA=，可得324321xxxxxx−=

−=−，由此即可求解【详解】因为集合1234,,,Axxxx=且1234xxxx<<<，若BA=，则B中也包含四个元素，即2131410,,,Bxxxxxx−−−=，剩下的324321xxxxxx−=−=−，对于①：由4321xxxx−=−得4123xxxx+=+，故①正确；对于②：由3

221xxxx−=−得2132xxx=+，故②正确；对于③：由3243xxxx−=−得3242xxx=+，故③正确；故选：D【变式训练12-2】、（2021·全国·高一专题练习）已知集合B和C，使得1,2,3,4,5,6,7,8,9,10BC=，BC=，并且C的元素乘积等于B的元

素和，写出所有满足条件的集合C=___________.【答案】6,7或1,4,10或1,2,3,7.【分析】求得,BC中所有元素之和后，根据C中元素个数得到其元素所满足的关系式，依次判断C中元素不同个数时可能的结果即可.【详解】1,2,3,4,5,6,7,8,

9,10BC=，,BC中所有元素之和为121055+++=；若C中仅有一个元素，设Ca=，则55aa=−，解得：552a=，不合题意；若C中有且仅有两个元素，设(),Cabab=，则()55abab=−+，当6a=，7b=时，()55abab

=−+，6,7C=；若C中有且仅有三个元素，设(),,Cabcabc=，则()55abcabc=−++；当1a=，4b=，10c=时，()55abcabc=−++，1,4,10C=若C中有且仅有四个元素，设(),

,,Cabcdabcd=，则()55abcdabcd=−+++，当1a=，2b=，3c=，7d=时，()55abcdabcd=−+++，1,2,3,7C=；若C中有且仅有五个元素，若1,2,3,4,5C=，此时1234512

055=，C中最多能有四个元素；综上所述：6,7C=或1,4,10或1,2,3,7.故答案为：6,7或1,4,10或1,2,3,7.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过对C中元素个数的分类讨论，依次从小至大排列C中元素可能的取值，根据

满足的关系式分析即可得到满足题意的集合.四、课堂训练1．（2022·全国·高一专题练习）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可【答案

】B【分析】由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．【详解】∵2∈A，∴m＝2或m2﹣3m+2＝2．当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．综上可知，m＝3．故选：B．2．（2022·

全国·高一专题练习）集合1,2A=−，{|20}Bxax=−=，若BA，则由实数a组成的集合为____【答案】2,1,0−.【分析】由集合的包含关系可得B=或1B=−或2B=，再求出对应的a值，即可得结果.【详解】集合1,2

A=−，{|20}Bxax=−=，且BA，B=或1B=−或2B=，0,1,2a=−．则实数a组成的集合为2,1,0−.故答案为：2,1,0−.3．（2022·全国·高一专题练习）已知集合2230Axxx=−−=，20Bx

ax=−=，且BA，则实数a的值为___________.【答案】2a=−或23a=或0【分析】先求得集合A，分情况讨论，0,aB==满足题意；当0a时，220Bxaxa=−==，因为BA，故得到21a=−或23

a=，解出即可.【详解】解：已知集合22301,3Axxx=−−==−，20Bxax=−=，当0,aB==，满足BA；当0a时，220Bxaxa=−==，因为BA，故得到21a=−或23a=，解得2a=−或23a=；故答案为：2a=−或23a=或0.4．（

2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设全集U=R，集合{|24}Axx=−，{|13}Bxx=，{|}Cxxa=．(1)求()UAB∩ð；(2)若()UBC=Ið，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2,1][3,4)UACB=-IU(2)3a【分析】（1）先求UBð，再

求交集即可；（2）先求UCð，再根据数轴上的关系分析()UBC=Ið时实数a的取值范围即可(1){|1UBxx=ð或3}x，故IUð(2,1][3,4)UAB=-．(2)ð{|}UCxxa=?，因为()UBC=Ið，故3a．