【文档说明】《2022年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019必修第一册）》专题02 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词（重难点突破）（解析版）.docx，共(18)页，895.291 KB，由管理员店铺上传

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专题02充分条件与必要条件、全称量词与存在量词一、考情分析二、考点梳理知识点一充分条件与必要条件(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)几点说明若p⇒q，则p是q

的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p知识点二充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p

⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．知识点三全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；

存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0

，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．知识点四含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；(2)存在量词命题p：∃x∈

M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)【知识拓展】1．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集

合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；2.若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．①若AB，则p是

q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．三、题型突破重难点题型突破1充分必要条件的判断例1．（1）、（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学

业考试）设Rx，则“4x”是“4x”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可求解.【详解】解：因为Rx，故由4x可得4x或4x−，由4x，可得4x，故“4x”是“4x”必要

不充分条件.故选：B.（2）、（2022·全国·高一）设,xyR，则“1x或1y”是“2xy+”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】B【分析】利用原命题的逆否命题进行判断，即可得到答案；【详解】若“1x或1y”则“2xy+”为真，等

价于若“2xy+=”则“1x=且1y=”为真，显然该命题为假，“1x或1y”推不出“2xy+”，反之，若“2xy+”，则“1x或1y”为真，等价于若“1x=且1y=”则“2xy+=”为真，显然成立，“2x

y+”可推出“1x或1y”，“1x或1y”是“2xy+”的必要非充分条件故选：B【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）“不等式20xxm−+在R上恒成立”的充要条件是（）A．1

4mB．14mC．1mD．1m>【答案】A【分析】根据不等式20xxm−+在R上恒成立，求得14m，再由14m，说明不等式20xxm−+在R上恒成立，即可得答案.【详解】∵不等式20xxm−+在R上恒成立，∴24(10)m

−−＝，解得14m，又∵14m，∴140m=−，则不等式20xxm−+在R上恒成立，∴“14m”是“不等式20xxm−+在R上恒成立”的充要条件,故选:A.【变式训练1-2】、（黑龙江021·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）（多选题）下列说法正确的是（）A．“220xx−=”是

“2x=”的必要不充分条件B．“2x且3y”是“5xy+”的充分不必要条件C．当0a时，“240bac−”是“方程20axbxc++=有解”的充要条件D．若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件【答案】ABD【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定

义即可判断答案.【详解】对A，由220xx−=得到x=0或x=2.所以由2x=可以得到220xx−=，反之，若x=0，满足220xx−=成立，但显然得不到2x=.所以A正确；对B，由2x且3y显然可以得到5xy+，但若6,1xy==，满足5xy+，但不满足2x且3y.所以B正确；对C，

0a时，方程20axbxc++=有解240bac−.所以由240bac−得不到方程20axbxc++=有解，反之方程20axbxc++=有解，也无法得到240bac−.所以C错误.对D，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件

.所以D正确.故选：ABD.重难点题型突破2充分必要条件的应用（求参数的取值范围）例2．（1）、（2021·上海奉贤区致远高级中学高一期中）设:13x，:xm，若是的充分条件，则实数m的取值范围是_______.【答

案】3m【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，由此可求得实数m的取值范围.【详解】由已知可得13xxxxm，所以，3m.故答案为：3m.（2）、（2022·全国·高一）（多选题）命题“1,2x

，20xa−”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．1a−B．0aC．1aD．4a【答案】AB【分析】根据全称命题为真命题，利用恒成立思想，参变分离后求解1a，再由充分不必要条件可知即求(,

1−的真子集.【详解】若“1,2x，20xa−”为真命题，则()2minax，1,2x，∴1a，命题“1,2x，20xa−”为真命题的一个充分不必要条件是a的取值范围为(,1−的真子集．故选：AB．【变式训练2-1】、（2022·江苏·高一单

元测试）已知集合|1Axx=−，或2}|23xBxaxa=+，，若“xA”是“xB”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．【答案】()(),41,−−+U【分析】根

据充分条件和必要条件的概念可得集合A与B的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a的范围．【详解】∵“xA”是xB”的必要条件，∴BA，当B=时，23aa+，则3a；当B时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知3231aaa++

−或3222aaa+，解得4a<-或13a<?，综上可得，实数a的取值范围为()(),41,−−+U．【变式训练2-2】、（2020·浙江·高一阶段练习）已知aR，则“2a”是“方程2

210axx++=至少有一个负根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分类讨论a的正负，利用两根与系数的关系、判别式，进而求解判断即可.【详解】（1）当0a=时，方程变为210x+=，有一负根12x=−，满足题意；（2）当

0a时，440=−a，方程的两根满足1210xxa=，此时有且仅有一个负根，满足题意；（3）当0a时，由方程的根与系数关系可得2010aa−，方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件440a=−，01a.综上可得，1a.因此，“2a”是“方程22

10axx++=至少有一个负根”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查二次方程根的分布问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.重难点题型突破3全称命题与存在命题真假的判断例

3．（1）、（2021·江苏·高一单元测试）下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个学生都充满阳光【答案】C【分析】根据全称量词的定义进行判定.【详

解】A中的量词为“任意一个”，是全称量词；B中的量词为“都是”，是全称量词；D中的量词为“每一个”，是全称量词；C中的量词为“绝大多数”，是存在量词命题，不是全称量词．故选：C.（2）、（2022·全国·高一单元测试）（多选）下列命题中为

真命题的是（）．A．“4x”是“5x”的既不充分又不必要条件B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件C．“关于x的方程()200++=axbxca有实数根”的充要条件是

“240bac=−”D．若集合AB，则“xA”是“xB”的充分而不必要条件【答案】AC【分析】从“4x”与“5x”互相不能推出，得到A正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，故B错误；由一元二次方程根的判别式可知，

C正确；D选项可举出反例.【详解】A√45xx¿且54xx¿．B×正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件．C√一元二次方程有实数根，则0，反之亦然．D×当集合AB=时

，应为充要条件．故选：AC【变式训练3-1】、（2021·全国·高一课前预习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A．∀x∈R，x2＋2x＋1>0B．∃x∈N，2x为偶数C．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数【答案】C【分析】根据全称量词

命题的概念，结合命题的意义判定真假，从而做出判定.【详解】对A，是全称量词命题，但不是真命题(当1x=−时结论不成立），故A不正确；对B，是真命题(当0x=时2x即为偶数)，但不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题

，故D不正确，故选：C.【变式训练3-2】、（2021·黑龙江·哈尔滨七十三中高一期中）（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（）．A．xZ，2230xx−−=B．至少有一个xZ，使x能同时被2和3整除C．xR，0xD．有些自

然数是偶数【答案】ABD【分析】对于选项A、B、D能找到一个值使命题成立，而不存在任何实数满足0x，从而得出选项.【详解】A中，1x=−时，满足2230xx−−=，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实

数的绝对值非负，即0x，所以C是假命题．故选ABD．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.重难点题型突破4全称命题与存在命题的否定例4．（1）、（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）存在量词命题：“x

R，232xx+”的否定为_________.【答案】xR，232xx+【分析】利用特称命题的否定即可得出结论.【详解】命题xR，232xx+，为特称命题，所以其否定为:xR，232xx+.故答案为:xR，232xx+.（2）．（20

22·山东潍坊·高一期末）命题“任意xR，都有0xe”的否定为（）A．存在0xR，使得00xeB．不存在xR，使得0xeC．存在0xR，使得00xeD．对任意xR，都有0xe【答案】A【分析】根据全称量词命题的否定为特称量

词命题，改量词，否结论，即得答案.【详解】命题“任意xR，都有0xe”的否定为“存在0xR，使得00xe”，故选：A【变式训练4-1】．（2023·全国·高三专题练习）已知命题2:0,0pxx，则p：________

___.【答案】2000,0xx【分析】根据含有一个量词的命题的否定的方法即可求解.【详解】2:0,0pxx，则p：2000,0xx.故答案为：2000,0xx.【变式训练4-2】、（2021·吉林·长春市第二十中

学高三阶段练习（文））命题“xR，220x+”的否定是（）A．xR，220x+B．xR，220x+C．xR，220x+D．xR，220x+【答案】B【分析】全称量词命题的否定为特称量词命题，换量词，否结论即得.【详解】

因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“xR，220x+”的否定是：xR，220x+.故选:B.重难点题型突破5全称命题与存在命题的应用（求参数的取值范围）例5．（1）、（2021·重庆市璧山中学校高一阶段练习）命题“2,10xRaxax++”为假命题，则实数

a的取值范围是___________.【答案】04，【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.【详解】解：命题“2,10xRaxax++”的否定为：“xR，210axax++”，因为原命题为假命题，则其否定为真，所以当0a=

时，10恒成立，满足题意；当0a时，只需2>040aaa=−，解得：04a.所以实数a的取值范围是04，.故答案为：04，.（2）．（2021·全国·高一专题练习）已知命题P：2,(1)10xRxax+

−+若命题P是假命题，则a的取值范围为（）A．13aB．13a−C．13aD．02a【答案】B【分析】命题P是假命题，其否定为真命题:2,(1)10xRxax+−+为真命题，转化成不等式恒成立求参数范围，即可求解.【详解】由题：命题P是假命题

，其否定:2,(1)10xRxax+−+为真命题，即2(1)40a=−−，解得13a−.故选：B【点睛】此题考查特称命题和全称命题的否定和真假性判断，当一个命题为假，则其否定为真，在解题中若发现正面解决问题

比较繁琐，可以考虑通过解该命题的否定进而求解.【变式训练5-1】、（2022·全国·高三专题练习）若()0,x+，241xmx+，则实数m的取值范围为___________.【答案】(,4−【分析】利用基本不等式24114xx

xx+=+的最小值，由此可得出实数m的取值范围.【详解】()0,x+，241xmx+，则2min41xmx+，由基本不等式可得241114244xxxxxx+=+=，当且仅当14x

x=即12x=时，等号成立，所以4m，因此实数m的取值范围是(,4−.故答案为：(,4−.【变式训练5-2】、（2021·山东省实验中学高三阶段练习）命题“()1,2x−，220xa+=”是真命题，则实数a的取值范

围是___________.【答案】(8,0−【分析】由题意可得220xa+=在()1,2x−有解，可得22ax=−，只需求()1,2x−时，22yx=−的值域即为实数a的取值范围.【详解】若命题

“()1,2x−，220xa+=”是真命题，则220xa+=在()1,2x−有解，所以22ax=−在()1,2x−有解，因为()1,2x−，所以(282,0x−−，所以(8,0a−，故答案为：(8,0−.例6．（2021·全国·高一专题练习）设命题:

[2,1]px−−，20xa−；命题0:qxR，使2002(2)0xaxa+−−=．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p，q一真一假，求实数a的取值范围．【答案】（1）1a„；（2）1a或21a−【解析】（1）令2()fxxa=−，若命

题p为真命题，只要[2x−，1]−时，()0minfx…即可，进而得到实数a的取值范围；（2）首先求出命题q为真时参数的取值范围，根据命题p与q一真一假，分两种情况讨论，进而得到答案．【详解】解：（1）因为命题:[2px−，1]−，20xa−…．令2()fxxa=−，根据题意，只要[2x

−，1]−时，()0minfx…即可，也就是10a−…，即1a„；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，1a„，命题q为真命题时，△244(2)0aa=−−…，解得2a−„或1a…因为命题p与q一真一假，当命题p为真，命题

q为假时，21a−，当命题p为假，命题q为真时，1a．综上：1a或21a−．【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数(),,yfxxab=，(),

,ygxxcd=（1）若1,xab，2,xcd，总有()()12fxgx成立，故()()2maxminfxgx；（2）若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx成立，故()()2maxmaxfxgx；（3）若1,xab，2

,xcd，有()()12fxgx成立，故()()2minminfxgx；（4）若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx=，则()fx的值域是()gx值域的子集．【变式训练6-1】、（2021·全国·高一

期中）已知2{|320}Pxxx=−+„，{|11}Sxmxm=−+剟.（1）是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？若存在，求出m的取值范围.（2）是否存在实数m，使xP是xS的必要不充分条件？若存

在，求出m的取值范围.【答案】（1）不存在；（2）存在，0m„.【分析】（1）要使xP是xS的充要条件，可得PS=，即可得出结论.（2）要使xP是xS的必要不充分条件，可得SPÖ.分类讨论：①当S=时；②当S时，得到

参数m的取值范围.【详解】解：2{|320}Pxxx=−+„，{|11}Sxmxm=−+剟.（1）要使xP是xS的充要条件，则PS=.1112mm−=+=，此方程组无解，即不存在实数m，使得xP是xS的充要条件

.（2）要使xP是xS的必要不充分条件，则SPÖ.①当S=时，11mm−+，解得0m.②当S时，11mm−+„，解得0m….要使SPÖ.则1112mm−+…„，(两个等号不同时成立)，解得0m„，0m=.综上可得：当实数0m„时，使xP是xS

的必要不充分条件.【点睛】本题考查了充分条件必要条件的应用，可将充分条件必要条件转化为两集合的包含关系，属于中档题.例7．（2021·全国·高二课时练习）已知a∈R，命题p：∀x∈[－2，－1]，x2－a≥0，命题q：()2000,220x

Rxaxa+−−=．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【答案】（1）1a；（2）21a－【分析】（1）令f(x

)＝x2－a，可将问题转化为“当2,1x−−时，()0minfx”，故求出()minfx即可．（2）根据“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题可得p与q一真一假，然后分类讨论可得所求的结果．【详解】(1)令()2,2,1fxxax=−−−，根据题意，“命

题p为真命题”等价于“当2,1x−−时，()0minfx”．∵()1minfxa=−，∴10a−，解得1a.∴实数a的取值范围为(,1−．(2)由(1)可知，当命题p为真命题时，实数a满足1a．当命题q为真命题，即方程有实数根

时，则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得2a−或1a．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假①当命题p为真，命题q为假时，得121aa−，解得21a−；②当命题p为假，命题q为真时，得121aaa

−或，解得1a．综上可得21a−或1a．∴实数a的取值范围为()()2,11,−+．【点睛】根据命题的真假求参数的取值范围的方法(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)判断命题p，q的真假性；(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数

的取值范围．【变式训练7-1】、（2021·宁夏·贺兰县景博中学高二期中（文））已知2:,10pxRmx+，2:,10.qxxmx++R（Ⅰ）写出命题p的否定p；命题q的否定q；（Ⅱ）若pq为真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）2:,10pxRmx

+；2:,10qxRxmx++；（2）2m.【详解】（1）p：2,10xmx+R；q：2,10.xRxmx++（2）由题意知，p真或q真，当p真时，0m，当q真时，240m=−，解得22m−，因此，当pq为真命题时

，0m或22m−，即2m.考点：全称命题、特称命题的否定及复合命题的判定.73．（2020·广东·清远市清新区凤霞中学高二期中）（1）已知条件p：()()10Axxax=−−，条件q：2320Bxxx=−+．且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值

范围．（2）若命题“xR，2230axax−−”是真命题，求实数a的取值范围．【答案】（1）()2a,+；（2）3,0a−.【解析】（1）解不等式确定集合B，由p是q的必要不充分条件知BA，即可求a的取值范围．（2）由全称命题为真命题，讨论参数a分别求可使不等式恒成立

，a的取值范围.【详解】（1）由2320xx−+，得12x，故q对应的集合为12Bxx=因为p是q的必要不充分条件，所以BA，可知1Axxa=且2a，∴()2a,+（2）由题意知xR，2230ax

ax−−恒成立，当0a=时，30−成立；当0a时，得204120aaa=+，解得30a−，综上，得3,0a−.四、定时训练（30分钟）1．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知,Rab，则“1a或1b

”是“2ab+”的（）条件.A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分义非必要【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】当1a或1b时，如2a=，3b=−，此时1ab+=2，因此不充分，若1a且1b，则2a

bab++，因此是必要的．即为必要不充分条件．故选：B．2．（2021·山东·济南外国语学校高三阶段练习）命题“0x，20xx+”的否定是（）A．0x，20xx+B．0x，20xx+C．0x，20xx+

D．0x，20xx+【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词，否结论即得【详解】命题“0x，20xx+”的否定是“0x，20xx+”故选：B.3．（2022·江苏·高一

课时练习）（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）A．Rx，2104xx−+B．所有的正方形都是矩形C．Rx，2220xx++=D．至少有一个实数x，使310x+=【答案】AC【分析】AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B.原命题

为全称量词命题，其否定为存在量词命题.所以该选项不符合题意；D.原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.【详解】A.原命题的否定为：xR，2104xx−+≥，是全称量词命题；因为2211042xxx−+=−，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题

意；B.原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题.所以该选项不符合题意；C.原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程2220xx++=，22840=−=−，所以2220xx++，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选

项符合题意；.D.原命题的否定为：对于任意实数x，都有310x+，如1x=−时，310x+=，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC4．（2022·全国·高一单元测试）已知命题:RPx

，使240xxm−+=为假命题．(1)求实数m的取值集合B；(2)设34Axaxa=+为非空集合，若xA是xB的充分不必要条件，求实数a的取值围．【答案】(1)(4,)B=+(2)423a【分析】（1）由

命题的真假转化为方程无实根，再利用判别式进行求解；（2）先根据A为非空集合求出2a，再将充分不必要条件转化为集合间的包含关系进行求解.(1)解：由题意，得关于x的方程240xxm−+=无实数根，所以1640=−m，解得4m，即(4,)B=+；(2)解：因为

34Axaxa=+为非空集合，所以34aa+，即2a，因为xA是xB的充分不必要条件，则34a，即43a，所以423a，