【文档说明】安徽省合肥市第八中学2020-2021学年高一下学期期末复习数学限时作业（5）（解析版）.docx，共(11)页，775.445 KB，由小赞的店铺上传

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合肥八中高一（下）数学限时作业（5）一、选择题：本题共8小题，前6小题为单项选择，每小题5分；后2小题为多项选择，每小题7分，合计共44分。1．设43(izii=−为虚数单位），则复数z的虚部为()A．4−B．4C．4i−D．4i【答案】A【分

析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的虚部概念得答案．【详解】解：43izi=−，2243(43)43341iiiiiziii−−−====−−−，复数z的虚部为4−，故选：A．

2．如图所示的ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE→=（）A．1136BABC→→−−B．1163BABC→→−−C．5163BABC→→−−D．5163BABC→→−+【答案】B【分析】根据向量的加法减法运算即可求解.【详解】依题意，111

11113233263DAAEACBABDECBABABABC→→→→→→→→→→+=−−=−+−=−−=，故选：B3．在ABC中，已知ABAC=，D为BC边中点，点O在直线AD上，且3BCBO=uuuruuur，则BC边的

长度为（）A．6B．23C．26D．6【答案】A【分析】由等腰三角形的性质知ADBC⊥、2BCBD=，有cos2BCBOOBD=，根据向量数量积的几何意义可得232BC=，即可求BC边的长度.【详解】在ABC中，ABAC=，D为BC边中点，∴ADBC⊥，

即RtBDO△中有cosBDBOOBD=，且2BCBD=，∵,BCBO的夹角为OBD，即||||cos3BCBOBCBOOBD==uuuruuuruuuruuur，∴232BC=，可得6=B

C.故选：A.4．在ABC中，2cos3C=，4AC=，3BC=，则sinB=（）A．306B．2521C．459D．45【答案】C【分析】先根据余弦定理求c，再根据余弦定理求cosB，最后根据同角三角函数关系求sinB【详解】设,,ABcBCaCAb==

=，22222cos916234933cababCc=+−=+−==，22221145cossin1()2999acbBBac+−===−=，.故选：C.5．ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinsin4sins

inbCcBaBC+=，2228bca+−=，则ABC的面积为（）A．33B．233C．3D．34【答案】B【分析】先由正弦定理边角互化，计算求得sinA，再根据余弦定理求bc，最后计算面积.【详解】根据正弦定理有2sinsin4sinsinsinBCA

BC=，B、C、()0,A，则sin0B，sin0C，可得1sin2A=，由余弦定理可得2224cos02bcaAbcbc+−==，则A为锐角，所以，6A=，所以，43cos2Abc==，解得833bc=.因此

，1183123sin22323ABCSbcA===.故选：B.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原

则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现

两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.6．已知平面向量,,abc是单位向量，且0ab=.则abc+−的取值范围是（）A．21,21−+B．21,1−C．1,2+1D．2,3【答案】A【分析】根据题意，

求得abc+−的表达式，分析可得表示单位圆上的点到定点(1,1)P的距离，由点到圆的位置关系分析，即可得到答案.【详解】根据题意，三个平面向量,,abc是单位向量，且0ab=，可设(1,0),(0,1),(,)abcxy===，则(1,1)abc

xy+−=−−，若c为单位向量，则221xy+=，表示单位圆上的任意一点，所以22(1)(1)abcxy+−=−+−，表示单位圆上的点到定点(1,1)P的距离，其最大值为12PMrOP=+=+,最小值为21OPr−=−，所以abc+−的取值范围是21,21−+.故选：A.【点睛】求平面向

量的模的2种方法：1、利用aaa=及22()2abaabb+=+，把向量模的运算转化为数量积的运算；2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.二、多选题7．(多选题)锐角△ABC中，三

个内角分别是A，B，C，且AB，则下列说法正确的是（）A．sinA>sinBB．cosA<cosBC．sinA>cosBD．sinB>cosA【答案】ABCD【分析】由正弦定理得出sinsinABAB，判断A，由余弦函数

性质判断B，由正弦函数性质及诱导公式判断CD．【详解】因为sinsinabAB=，所以A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，故A成立.函数y=cosx在区间[0，π]上是减函数，∵A>B，∴cosA<cosB，故B成立.在锐角三角形中，∵A+B>2，∴A>

2−B，函数y=sinx在区间[0,]2上是增函数，则有sinA>sin()2B−，即sinA>cosB，C成立，同理sinB>cosA，故D成立.故选：ABCD．8．下列说法中错误．．的为（）．A．已知()1,2

a=，()1,1b=且a与ab+的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3−+B．向量()12,3e=−，213,24e=−不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量a，b，满足ab且a与b同向，则abD．非零向量a和b

，满足||||||baba+==，则a与ba−的夹角为30°【答案】AC【分析】由向量的数量积，向量的夹角，判断A；向量的基本定理判断B；向量的定义判断C；平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识判断D．【详解】解：对于A，(1,2

),(1,1),aba==与ab+的夹角为锐角，()(1,2)(1,2)142350aab+=++=+++=+，且0(0=时a与ab+的夹角为0)，所以53−且0，故A错

误；对于B，向量124ee=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；对于D．因为||||aab=−，两边平方得，2||2?bab=，则223()||||2aabaa

ba+=+=，222||()||2||3||ababaabba+=+=++=，故23||()32cos,2||||||3||aaabaabaabaa++===+，而向量的夹角范围为[0，180]，得a与ab+的夹角为30°，故D项正确．故错误的选项为AC．故选：AC．

三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分9．已知a=（2，3），b=（−2,4），向量a在b上的投影向量____________；【答案】48,55−【分析】根据向量的数量积计算出向量a在b上的投影，然后由投影数乘向量b方

向的单位向量．【详解】由题意向量a在b上的投影为22412455(2)4abb−+==−+，25b=，向量a在b上的投影向量为451248(2,4),555525b=−=−．故答案为：4

8,55−．10．已知复数z＝23(13)ii+−，则z·z＝________.【答案】14【分析】化简z,计算z·z即可.【详解】z＝23(13)ii+−＝223(13)iii−+−＝()213(13)iii−−＝13ii−＝(13)(13)(13)iiii+−

+＝344i−+344iz=−−31116164zz=+=故答案为：1411．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为15，2ca−=，1cos4B=，则b的值为______

_.【答案】4【分析】由1cos4B=得15sin4B=，再由面积得8ac=，最后结合余弦定理求解即可得答案.【详解】解：因为1cos4B=，所以2115sin144B=−=，因为已知ABC的面积为15，所以111

5sin15224ABCSacBac===△，整理得8ac=，由余弦定理得()222212cos2162bacacBcaacac=+−=−+−=，所以4b=.故答案为：412．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋

蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A、B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C、D，测得45mCD=，135ADB=，15BDCDCA==，120ACB=，则A、B两点的距离为______m.【答案】455【分析】在BCD△中，利用正弦定理计算出BD，分析出ACD△为等腰

三角形，可求得AD，然后在ABD△中，利用余弦定理可求得AB.【详解】在ACD△中，150ADCADBBDC=+=，15DCA=，15DAC=，()45ADCDm==，在BCD△中，15BDC=，135BCDACBACD=+=，30CBD=，由正弦定理可得sins

inCDBDCBDBCD=，()245245212BDm==，在ABD△中，()45ADm=，()452BDm=，135ADB=，由余弦定理可得22222cos455ABADBDADBDADB=+−=，因此，()455ABm=

.故答案为：455.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边

”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦

定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.四、解答题：本题共2小题，共32分；第13题14分，第14题18分13．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设EFABAD

=+，求λ+μ的值．（2）若AB＝2，当AEBF=1时，求DF的长．【答案】（1）16；（2）32．【分析】（1）先转化得到13CFAB=−，12ECAD=，再表示出1132EFABAD=−+，求出λ13=−，μ12=，最后求λ+μ的

值；（2）先得到12AEABAD=+uuuruuuruuur和0ABAD=uuuruuur，再建立方程421−+=求解λ14=，最后求DF的长.【详解】（1）∵点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C

的三等分点，∴1133CFDCAB=−=−uuuruuuruuur，1122ECBCAD==，∴1132EFECCFABAD=+=−+，∴λ13=−，μ12=，故λ+μ111326=−+=.（2）设CF=λCD，则BFBCCFAD=+=−λAB，又12=+=+AEABBEABAD，ABAD

=0，∴AEBF=（12ABAD+）•（AD−λAB）＝﹣λAB2212AD+=−4λ+2＝1，故λ14=，∴DF＝（1﹣λ）×232=．【点睛】本题考查利用向量的运算求参数，是基础题14．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin3sin02cAaC++=，

6c=.（1）求ABC外接圆的面积；（2）若3=cb，13AMAB=，求ACM△的周长.【答案】（1）12；（2）423+.【分析】（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角C的大小，然后运用正弦定理2sincRC=求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.（2）

由6c=及3=cb可解出b，sinB的大小，得出角B的大小，进而得出角A，然后在ACM△中，由余弦定理可解得CM的值，得出ACM△的周长.【详解】（1）∵sin3sin02cAaC++=，∴sin3cos0cAaC+=，由正弦定理得：sins

in3sincos0CAAC+=，因为sin0A，所以sin3cos0CC+=，得tan3C=−，又0C，故23C=，∴ABC外接圆的半径116232sin232cRC===，∴ABC外接圆的面积为12.（2）由6c=及3=cb得：23b=，3sin12sn23i3

CB===，∵23C=，则B为锐角，∴6B=，故6ABC=−−=.如图所示，在ACM△中，由余弦定理得，()2222232cos223222342CMAMACAMACA=+−=+−=，解得2CM=，则ACM△的周长为423+.【点睛】解三角形时，若题目所给式子中含

有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到.