【文档说明】《2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第一册）》5.4 三角函数的图象与性质（精讲）（解析版）.docx，共(17)页，1.197 MB，由envi的店铺上传

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5.4三角函数的图象与性质（精讲）考点一周期性【例1-1】（2022·北京）在函数①cos|2|yx=，②|cos|yx=，③πcos26yx=+，④πtan24yx=−中，最小正周期为π的所有函数为

（）A．②④B．①③④C．①②③D．②③④【答案】C【解析】∵cos|2|yx==cos2x，∴T=22=；|cos|yx=图象是将y=cosx在x轴下方的图像对称翻折到x轴上方得到，所以周期为，由周期公式知，cos(2)6yx=+为，tan(2)

4yx=−为2，故选：C.【例1-2】（2021·上海市进才中学高一期中）已知函数()4tan,05yx=+的最小正周期为2，则=_____.【答案】2【解析】因为函数()4tan,05yx=+的最小正周期为2，所以=||

2，所以2=.故答案为：2【一隅三反】1．（2022·广东）（多选）下列函数中，最小正周期为的是（）A．cos|2|yx=B．|cos|yx=C．cos26yx=+D．tan24yx=−【答案】ABC【解析】对于A，c

os|2|cos2,yxx==最小正周期为22T==；对于B，1cos2|cos|2xyx+==，最小正周期为22T==；对于C，cos26yx=+，最小正周期为22T==；对于D，tan24yx=−，最小正周期为2T=，故选：ABC2．（2021·

齐河县第一中学高一期中）（多选）下列函数周期为的是（）A．sinyx=B．cosyx=C．tanyx=D．2sin24yx=+【答案】BCD【解析】sinyx=的最小正周期为2；由cosyx=的图象是由y=cosx的图象将x

轴上方的部分保持不变，下方的部分向上翻转而得到，由图象可知其周期为；tanyx=的最小正周期为；2sin24yx=+的最小正周期为22=.故选：BCD.考点二单调性【例2-1】（2022广西）函数()sin,[,0]3fxxx=−−的单

调递增区间是（）A．5,6−B．5,66−−C．,03−D．,06−【答案】D【解析】由22,232kxkkZ−−+，解得522,66kxkkZ−+，又0x−，∴06x−.所以函数()f

x的单调递增区间为,06−.故选：D.【例2-2】（2022高一下·南阳期末）函数()π3fxsinx=−的单调递增区间为（）A．π5π2π2π66kk−+，，ZkB．π5ππ

π66kk−+，，ZkC．5π11π2π2π66kk++，，ZkD．5π11πππ66kk++，，Zk【答案】C【解析】()ππ33fxsinxsinx=−=−−

，令ππ3π2π2π232kxkkZ+−+，，得5π11π2π2π66kxkkZ++，，所以函数()π3fxsinx=−的单调递增区间为5π11π2π2π66kk++，，Zk.故答案为：C.【例2-3】（20

22高一下·武汉期末）已知函数()()πωω03fxsinx=+在区间ππ62，上单调递减，则ω的取值范围是（）A．703，B．713，C．[1，3]D．(03，【答案】B【解析】设()fx的周期为T，因为ππ

262T−，即π2π32ω，解得ω3，由ππ3π2πω2π232kxk+++，解得()π2π7π2πZ6ωω6ωωkkxk++，即()fx在区间π2π7π2π6ωω6ωωkk++，上单调递减，因为0ω3，显然k只能取0，

所以ππ6ω6且7ππ6ω2，解得7ω13，.故答案为：B.【一隅三反】1．（2022高一下·镇江期末）下列区间中，函数π()2()6fxsinx=−单调递减的是（）A．π(0)2，B．π(π)2，C．3π(π)2，D．3π(2π)2，【答案】C【

解析】由ππ3π2π2πZ262kxkk+−+，，得2π5π2π2πZ33kxkk++，，当1k=−时，其递减区间为4ππ33−−，，当0k=时，其递减区间为2π5π33，，当1k=时，其递减区间为8π11π33，，

所以()fx在π(0)2，，π(π)2，，3π(2π)2，上不递减，在3π(π)2，上单调递减，故答案为：C2．（2022高一下·鄠邑期中）函数()π4fxtanx=+的单调递增区间为（）

A．()ππππ22kkkZ−+，B．()()πππkkkZ+，C．()3ππππ44kkkZ−+，D．()π3πππ44kkkZ−+，【答案】C【解析】根据正切函数性质可知，当()πππππ242kxkkZ−+++时，函数()π4fx

tanx=+单调递增，即()3ππππ44kxkkZ−++。故答案为：C.3．（2022·安丘模拟）下列区间中，函数()15sin23fxx=−+单调递减的区间是（）A．2−−，B．2，C．322，D．522

，【答案】B【解析】()115sin5sin2323fxxx=−+=−−的单调递减区间即函数15sin23yx=−的单调递增区间，令()1222232kxkkZ−−+，解不等式得到()54433kxkkZ−+

，令0k=得533x−，5233−，，，所以2，是函数的单调递减区间，其他选项均不符合，故答案为：B4．（2022高一下·宿州期中）已知函数()ωfxsinx=（ω0）在ππ66−

，上单调，则ω的可能值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】AB【解析】因为xππ66−，，ω0，故可得ππωωω66x−，，又因为ysinx=的单调增区间为ππ2π2π22kkkZ−+

，，，故ππππω2πω2π6262kk−−+，，解得ω123k−+且ω123kkZ+，，又因为ω0，故0k=，ω3。故答案为：AB.考点三奇偶性【例3-1】（2021·广东）（多选）下

列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是（）A．cosyx=B．sin2yx=C．πsin22yx=+D．1cos2yx=【答案】AC【解析】对于A，定义域为R，因为()cos()cos()fxxxfx−=−==，所以函数为偶函数，因为c

osyx=的图像是由cosyx=的图像在x轴下方的关于x轴对称后与x轴上方的图像共同组成，所以cosyx=的最小正周期为π，所以A正确，对于B，定义域为R，因为()sin(2)sin2()fxxxfx−=−=−=−，所以函数为奇

函数，所以B错误，对于C，定义域为R，π()sin2cos22fxxx=+=，最小正周期为π，因为()cos(2)cos2()fxxxfx−=−==，所以函数为偶函数，所以C正确，对于D，定

义域为R，最小正周期为2412=，所以D错误，故选：AC【例3-2】（2022高一上·资阳期末）已知函数(φ)(0φπ)ysinx=+为偶函数，则φ=（）A．π4B．π3C．π2D．5π6【答案】C【解

析】因为函数(φ)(0φπ)ysinx=+为偶函数，所以πφπ2k=+，kZ，因为0φπ，所以当0k=时，πφ2=，故答案为：C．【一隅三反】1．（2022·陕西）下列函数为奇函数的是（）A．2cosyxx=

+B．|sin|yx=C．2sinyxx=D．costanyxx=−【答案】C【解析】A.函数的定义域为R，满足()()fxfx−=，所以函数是偶函数，故错误；B.函数的定义域为R，满足()()fxfx−=

，所以函数是偶函数，故错误；C.函数的定义域为R，满足()()fxfx−=−，所以函数是奇函数，故正确；D.函数的定义域为,2xxkkZ+，函数既不满足()()fxfx−=，也不满足()()fxfx−=−，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故错误.故选：C2．（20

22·青海）下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是（）A．tan3yx=+B．cos22yx=+C．sin2yx=D．sinyx=【答案】D【解析】A.tan3yx=+的最小正周期为

，是非奇非偶函数，故错误；B.cos2sin22yxx=+=−的最小正周期为，是奇函数，故错误；C.如图所示：，sin2yx=不周期函数，为偶函数，故错误；D.如图所示：，sinyx=的最

小正周期为，是偶函数，故正确；故选：D3．（2022浙江）已知函数()sinyx=+是定义在R上的偶函数，则()cos2−=（）A．1B．-1C．0D．1或-1【答案】C【解析】∵函数()sinyx=+是定义在R上的

偶函数，∴函数的图象关于y轴对称∴ππ2k=+，k∈z∴()πcos2coscosπsinπ02kk−==+=−=考点四对称性【例4-1】（2022高一下·汉中期中）下列关于函数()π246fxsinx=+的图象，说法正确的是（）A．关于点π03，对称

B．关于直线π24x=−对称C．关于直线π12x=对称D．关于点π02，对称【答案】C【解析】A：π4ππ22336fsin=+=−，即()fx关于π3x=对称，故错误；B：πππ202466fsin−=−+=

，即()fx关于π024−，对称，故错误；C：πππ221236fsin=+=，即()fx关于π12x=对称，故正确；D：ππ22π026fsin=+

，故错误.故答案为：C.【例4-2】（2022·广州模拟）如果函数()(2φ)fxsinx=+的图像关于点2π03−，对称，则|φ|的最小值是（）A．π6B．π3C．5π6D．4π3【答案】B【解析】根据题意，2π2φ03sin−+=，即4πφπ3

kkZ−+=，，解得4πφπ3kkZ=+，；当1k=−时，φ取得最小值π3.故答案为：B.【一隅三反】1．（2022安徽开学考）函数()πtan23fxx=−的图象的一个对称中心为（）A．π012，B．7π012

，C．5π012−，D．π012−，【答案】D【解析】【解答】由ππ2Z32kxk−=，，可得ππZ46kxk=+，，当0k=时，π6x=，当1k=时，ππ5π4612x=+=，当2k

=时，8π2π123x==，当1k=−时，πππ4612x=−+=−，当2k=−时，4π1π123x=−=−，当3k=−时，7π12x=−，所以π012−，为()fx图象的一个对称中心，故答案为：D2．（

2022高一下·陕西期末）函数()sin23fxx=+的图象的对称轴方程可以为（）A．12x=B．512x=C．3x=D．6x=【答案】A【解析】由2x+π3=kπ+π2(k∈Z)，得x=ππ212kkZ+，，当k=0时，x=12.故选：A3．（2022·深圳模拟

）若π2x=是函数()ω(ω0)fxcosx=图象的对称轴，则()fx的最小正周期的最大值是（）A．πB．2πC．π2D．π4【答案】A【解析】依题意πωπ2kkZ=，，解得ω2kkZ=，，因为ω0，所以ω2kkZ=，且0k，所以()fx的最小正周期2π

2ππω2Tkk===，所以，当1k=时，πmaxT=。故答案为：A4．（2022·西安）如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点4π(0)3，对称，那么|φ|的最小值为（）A．π6B．π4C．π3D．π2【答案】A【解析】因函数y=3co

s(2x+φ)的图象关于点4π(0)3，对称，则有4ππ2φπ32kkZ+=+，，于是得πφ(2)π6kkZ=−−，，显然πφ(2)π6k=−−对于kZ是递增的，而2k=时，πφ6=−，π|φ|6=，当3k=时，5πφ6=，5π|φ|6=，所以|φ|的最小值为π6.故答案为：A考点

五解三角函数不等式【例5-1】（2022高一下·南阳月考）函数()()ln12cos2fxx=+的定义域是（）A．()2π2πππZ33kkk−++，B．()ππππZ33kkk−++，C．()2π2π2π2πZ33kkk

−++，D．()ππ2π2πZ33kkk−++，【答案】B【解析】依题意，12cos20x+，即1cos22x−，于是得2π2π2π22πZ33kxkk−+，，解得：ππππZ33kxkk−+，所以函数()()ln12c

os2fxx=+的定义域是ππ(ππ)(Z)33kkk−++，.故答案为：B【例5-2】（2021·上海高一专题练习）利用图像，不等式3tan21x−的解集为____________.【答案】(,],262

8kkkZ−+【解析】tan2yx=函数图象如下所示：令tan21x=，则2,4xkkZ=+，解得,82kxkZ=+；令tan23x=−，则2,3xkkZ=−+，解得,62kxkZ=−+，因为3tan21x−，所以

,6282kkxkZ−++，即原不等式的解集为,,6282kkkZ−++，故答案为：,,6282kkkZ−++.【一隅三反】1．（2022湖南）使得sincosxx正确的一个区间是（）A．2，B．34

2，C．04，D．64，【答案】A【解析】作出sinyx=与cosyx=的图象，如图：由图可知，若sincosxx，其中2，满足，故选：A2．（2022·南京）满足2sin13x−=，[0,2)x的角

x的集合___________.【答案】7,26【解析】由2sin13x−=得，1sin32x−=，因为[0,2)x，所以5333x−−.当5333x−−时，若1sin32x−=，则3x−可能的取值为6，56

，相应的x的取值为2，76.所以所求角x的集合为7,26.故答案为：7,26.3．（2021·上海）函数sin1cosxyx=+的定义域为______.【答案】2,xxkk+Z【解析】

要使函数有意义，则1cos0x+，即cos1x−，所以()2xkk+Z.故答案为：2,xxkk+Z.4．（2022陕西）若()0,x，则满足2sin2x<的x的取值范围为__________

____；【答案】30,,44【解析】当()0,x时，令2sin2x=，解得4x=或34，结合正弦函数的图象与性质，可得当[)0,xÎp时，2sin2x<的解集为30,,44.故答案为：30,,44

考点六最值【例6-1】（2022·河南）已知函数()()π2ωω06fxsinx=+的最小正周期为π，则()fx在区间ππ33−，上的最小值为．【答案】-2【解析】因为ω0，且函数的最小正周期

为π，所以2ππω2ω==，所以π()2(2)6fxsinx=+，由ππ[]33x−，，得ππ5π2[]626x+−，，又函数ysinx=在ππ[]22−，上单调递增，在π3π[]22，上单调递减，所以当ππ262x+=−即π3x=−时，函数(

)fx取得最小值，且最小值为-2。故答案为：-2。【例6-2】（2022高一下·镇巴县期中）已知函数()π23fxcosx=−在()0m，上的值域为112，，则m的取值范围是．【答案】ππ63，【解析】因

为()0xm，，所以πππ22333xm−−−，因为()fx在()0m，上的值域为112，，()π1032fcos=−=，所以ππ0233m−，解得ππ63m。故答案为

：ππ63，。【一隅三反】1．（2022·宁夏）函数2sin26yx=+在区间0,2上的值域是___________．【答案】[1,2]−【解析】当0,2x

时，72,666x+，∴1sin(2),162x+−，故2sin(2)1,26x+−，即2sin26yx=+的值域为1,2−.故答案为：1,2−.2．（2021·建平县实验中学）已

知函数()2cos(0)6fxx=+，在0,内的值域为2,3−，则的取值范围为___________.【答案】55,63【解析】函数()2cos(0)6fxx=+，当0,x时，,666x+

+，又()2,3fx−，31cos62x−+，画出图形如图所示；所以1166+剟，解得5563剟，的取值范围是55,63．故答案为：55,63

．3．（2022高一下·电白期末）已知函数()π323fxsinx=−，Rx.（1）求()fx的最小正周期及单调增区间；（2）求()fx在区间ππ44−，的值域.【答案】见解析【解析】（1）解：∵()π323fxsinx=−，Rx∴2ππ2T

==，即最小正周期π.由πππ2π22π232kxk−−+，解得π5πππ1212kxk−+，Zk∴增区间为π5πππ1212kk−+，，Zk（2）解：∵ππ44x−，∴5πππ2636x−−，∴

π11232sinx−−，∴π333232sinx−−，∴值域为332−，.