【文档说明】《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训三十二、二次函数与几何综合：线段最值 解析版.docx，共(23)页，788.384 KB，由管理员店铺上传

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1计算力专训三十二、二次函数与几何综合：线段最值牛刀小试1．（2020·河南一模）已知抛物线()220yaxxca=++与x轴交于点()1,0A−和点B，与直线3yx=−+交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式及点M的坐标．（2）点P为直线BC上

方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时，求点P的坐标．【答案】（1）2yx2x3=−++，点M的坐标为()1,4；（2）点P的坐标为315,24；【解析】【分析】（1）先由直线解析式求出B点坐标，再把

A，B坐标代入抛物线解析式中，求出a,c的值，从而求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化成顶点式，求出顶点坐标即可；（2）过点P作PHyP轴，交BC于点H，连接PC，PB，设点P的坐标为()2,23(03

)mmmm−++，则(),3Hmm−+，写出△PCB面积的表达式，求出△PCB面积最大值所对应的m，从而求出P点坐标；【详解】2解：（1）∵直线3yx=−+，令y=0，解得x=3，∴()3,0B，将点()1,0A−，()3,0B代入抛物线2yax2

xc=++中，得20960acac−+=++=，解得13ac=−=∴抛物线的解析式为2yx2x3=−++，∵2223(1)4yxxx=−++=−−+，∴点M的坐标为()1,4；（2）过点P作PHyP轴，交BC于点H，连接PC，PB，如解图所

示，由题意，可知d有最大值时，PCBS有最大值，设点P的坐标为()2,23(03)mmmm−++，则(),3Hmm−+，∴()2223(3)3PHmmmmm=−++−−+=−+，3∴()()2113322PCBBCSPHxxmm=−=−+=2239332722228mmm−+=

−−+，∵302−，03m，∴当32m=时，PCBS有最大值，且最大值为278，此时d有最大值，∴点P的坐标为315,24；【点睛】本题是对二次函数的综合考查，熟练掌握二次函数解析式和

图像性质是解决本题的关键，属于中考压轴题，难度较大.2．（2019·福建石狮·初三一模）已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）试说明抛物线与直线有

两个交点；（3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ的最大值为6.【解析】【分析

】（1）化为顶点式即可求顶点坐标;（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛物线与直线有两个交点;（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t

，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．故分两种情况进行讨论：①如图1，当-1≤t≤0时；②如图2，当0＜t≤1时，4求出对应的最大值即可．【详解】解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，∴抛物线的顶点坐标为（-

1，-1）．（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，mx2+mx=0，mx（x+1）=0，∵m≠0，∴x1=0，x2=-1．∴抛物线与直线有两个交点．（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-

1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．①如图1，当-1≤t≤0时，PQ=2QPyymtmt−=−−=211()24mtm−++．∵m＞0，当12t=−时，PQ有最大值，且最大值为14m．∵0＜m≤3，∴14m≤34，即PQ的

最大值为34．5②如图2，当0＜t≤1时，PQ=2PQyymtmt−=+=211()24mtm+−．∵m＞0，∴当t=1时，PQ有最大值，且最大值为2m．∵0＜m≤3，∴0＜2m≤6，即PQ的最大值为6．综上所述，PQ的最大值为6

．【点睛】此题主要考查二次函数的应用，（1）（2）题相对简单，（3）题要分情况进行讨论方右解答，因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答．3．（2020·江苏灌南·初三一模）

如图，抛物线2yxbxc=−++与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为()1,0−，与y轴交于点()0,3C，作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PMx⊥轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（

1）直接写出抛物线的解析式__________和直线BC的解析式_________；（2）当点P在线段OB上运动时，直接写出线段MN长度的最大值_________；【答案】（1）y=−x2+2x+3，y=−x+3；（2）94；【解析】6【分析】(1)由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物

线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式；(2)用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出MN的长，再利用二次函数的最值可求得MN的最大值；【详解】解：(1)∵抛物线过A、C两点，∴代入抛物线解析式可得10

3bcc−−+==，解得23bc==，∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3，令y=0可得，−x2+2x+3=0，解x1=−1，x2=3，∵B点在A点右侧，∴B点坐标为(3,0)，设直线BC解析式为y=kx+b，把B、C

坐标代入可得30b3kb+==，解得1b3k=−=，∴直线BC解析式为y=−x+3,故答案为y=−x2+2x+3，y=−x+3；(2)∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∴M(m,−m2+2m+3)，N(m,−m+3)，∵P在线

段OB上运动，∴M点在N点上方，∴MN=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m=−(m−32)2+94，∴∴当m=32时，MN有最大值，MN的最大值为94，故答案为94；【点睛】7本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值

、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在(2)中用m表示出MN的长是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．4．（2019·湖南涟源·初三学业考试）如图，抛物线22yaxbx=++与x轴交于两点(1,0)

A和(4,0)B，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，过点D作x轴的垂线，与直线BC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，线段DE的长度是否存在最大值？存在的话，求出其最

大值和此时点D的坐标；【答案】（1）215222yxx=−+；（2）存在，DE取最大值2，D（2，﹣1）；【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解可得；(2)设点D坐标为(m，215222mm−+)，则E点的坐标为(m，122m−+)，求得DE关于m的函数关系式()2122

2m−−+，根据二次函数的性质即可求解；【详解】(1)把点A(1，0)、B(4，0)代入22yaxbx=++，得：8201642abab++=++，解得1252ab==，∴抛物线的解析式是215222yxx=−+；(2)存在．对于二次函数2152

22yxx=−+，令0x=，则2y=，∴点C的坐标为(0，2)，设直线BC的解析式为y＝kx+t，把点B(4，0)，C(0，2)代入y＝kx+t，得：402ktt+==，解得1k2t2=−=，∴122yx=−+；设点D的坐标

为215222mmm−+，，则点E的坐标为122mm−+，，∴22211511222(2)222222DEmmmmmm=−+−−+=−+=−−+，9∴当m＝2时，DE取最大值2，此时2152122mm−+=−

，∴点D的坐标为(2，﹣1)；【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识点，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的

关系．5．（2019·四川南充·初三一模）如图1，已知抛物线2()30yaxbxa=++与x轴交于点()1,0A和点B，与y轴交于点,45CABC=．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，点E为第二象限抛物线上一动点，EFx

⊥轴与BC交于F，求EF的最大值.10【答案】（1）223yxx=−−+；（2）EF的最大值是94【解析】【分析】（1）由已知先求出点C坐标，进而求得点B坐标，将点A、B坐标分别代入抛物线的解析式中，得到关于a、b的

二元一次方程组，解之即可解答；（2）先利用待定系数法求得直线BC的表达式，设出点F、点E的坐标，建立EF的函数表达式，利用二次函数的性质求出EF的最大值，即可得出结论．【详解】解：（1）Q抛物线23yaxbx=+＋与y轴交于C，()0,3C，45ABC=

Q，3OBOC==，点()3,0B−，将()()1,0,3,0AB−代入抛物线，得：309330abab++=−+=，解得1,2ab=−=−，抛物线解析式为223yxx=−−+；（2）直线BC的解析式为ykxt=+（k≠0），

11将B(﹣3,0)、C(0,3)代入，得：303ktt−+==，解得：13kt==，∴直线BC的解析式为3yx=+，设(),3Fmm+，则()2,23Emmm−−+，()()22239233324EFmmmmmm=−−+−+=−−=−+

+，当32m=−时，EF的最大值是94，【点睛】本题属于二次函数的综合题型，涉及有利用待定系数法求函数解析式、直角坐标系中点的坐标与线段长度的关系、利用二次函数的性质求最值等知识，解答的关键是认真审题，结合图象获取相关联的信

息，借助数形结合法、待定系数法、分类讨论法等解题方法进行推理、探究、发现和计算．熟能生巧6．（2021·厦门市第十中学月考）如图，一次函数122yx=−+的图象交y轴于点A，交x轴于点B点，抛物线2yxbxc=−++过A、B两点．12（1）求A，B两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；（2）作

垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？【答案】(1)A（0，2），B(4，0)，2722yxx=−++；(2)当t=2时，MN有最大值4；【解析】【分析

】(1)首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；【详解】解：(1)∵122yx=−+的图象交y轴于点A，交x轴于点B点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B(4，0)

，将x=0，y=2代入2yxbxc=−++得c=2，将x=4，y=0,代入2yxbxc=−++得b=72，13∴抛物线解析式为：2722yxx=−++；(2)如答图1所示，设MN交x轴于点E，则E(t，0)，则M(t，122t−)，又N点在抛物线上，且xN=t，∴2722Nytt=−+

+，∴()22271224=2422NMMNyytttttt=−=−++−−=−+−−+，∴当t=2时，MN有最大值4．【点睛】本题主要考查的是二次函数综合，经常作为压轴题出现，正确的掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（2020·昆山市城北中学初三月考）

抛物线2yaxbxc=++与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于C（0，2）（1）分别求直线AC及抛物线的解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；【答案】（1）2yx23

=+，224yxx233=−−+；（2）axm3PE2=；【解析】【分析】14（1）已知抛物线上三个点的坐标，用待定系数法即可求得抛物线解析式；首先设直线AC的解析式为：ykxb=+（k≠0，k、b是常数），同样利用待定系数法将A、C两点坐标代入即可求解；（2）已知P是线段AC上的一个

动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，可设P点的横坐标为x(30x−)，分别表示出P、E两点坐标，纵坐标作差，用含x的式子表示PE的长度，即可求出PE的最大值；【详解】解：（1）将点A（-3，0），B（1，0），C（0，2）代入2yaxbxc=++，220(3)(3)011

2abcabcc=−+−+=++=化解得：23432abc=−=−=，抛物线的解析式为：224yxx233=−−+，设直线AC的解析式为：ykxb=+（k≠0，k、b是常数），将点A（-3，0），C（0

，2）代入ykxb=+，03kbb2=−+=化解得：2k3b2==，直线AC的解析式为：2yx23=+；（2）如图1所示，P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，15设P点的横坐标为x(30x−)，则P(x，223x+)，

E(x，224233xx−−+)，QE点在P点的上方，PE=22422(2)333xxx−−+−+，=2223xx−−，=2222333322xx−++−，=2233322x

−++，当3=-2x时，axm3PE2=；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法解一次函数、二次函数、平行四边形的应用以及分类讨论等知识，分类讨论时所有的位置都应考虑是本题的易错点．8．（2020·浙江长兴·初三开学考试）已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经

过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．16【答案】（1）y

＝﹣x2+4x；（2）94．【解析】【分析】（1）把A与O坐标代入抛物线解析式求出a与c的值，即可求出解析式；（2）根据题意表示出P与C的纵坐标，进而表示出线段PC的长，确定出最大值即可．【详解】解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：0912

3cac=++=，解得：10ac=−=，则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；（2）设直线OA解析式为y＝kx，把A（3，3）代入得：k＝1，即直线OA解析式为y＝x，∵PB⊥x轴，∴P，C，B三点横坐标相等，∵B（m，0），∴把x＝m代入y＝x中得：y＝m

，即C（m，m），把x＝m代入y＝﹣x2+4x中得：y＝﹣m2+4m，即P（m，﹣m2+4m），∵P在直线OA上方，∴PC＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m（0＜m＜3），17当m＝()33-=22-1时，PC取得最大值，最大值为()2-39=44-1．【点睛】本题主要考查了二次函数

的综合应用，准确求出解析式是本题的关键．9．（2020·浙江宁波·初三月考）如图，二次函数2yxbxc=++的图象交x轴于点()30A−,，()10B,，交y轴于点C．点(),0Pm是x轴上的一动点，PMx⊥轴，交直线AC

于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图1．求线段MN的最大值；【答案】（1）223yxx=+−；（2）①94，【解析】【分析】（1）把(3,0),(1,0)AB−代入2yx

bxc=++中求出b，c的值即可；（2）①由点(),0Pm得()2(,3),,23MmmNmmm−−+−，从而得()2(3)23MNmmm=−−−+−，整理，化为顶点式即可得到结论；【详解】解：（1）把(3,0),(1,0)AB−代入2yxbxc=++中，得

18093,01.bcxc=−+=++解得2,3.bc==−∴223yxx=+−．（2）设直线AC的表达式为ykxb=+，把(3,0),(0,3)AC−−代入ykxb=+．得，03,3.kbb=−+−=

解这个方程组，得1,3.kb=−=−∴3yx=−−．∵点(),0Pm是x轴上的一动点，且PMx⊥轴．∴()2(,3),,23MmmNmmm−−+−．∴()2(3)23MNmmm=−−−+−23mm=−−23924m=−++．∵10a=−，∴此函数有

最大值．又∵点P在线段OA上运动，且3302−−∴当32m=−时，MN有最大值94．【点睛】19本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．10．（2020·广东初三其他）如图，抛物线2yax2xc=++

与x轴交于,AB两点，于y轴交于C点，连接BC，已知(1,0A），B(-3,0)．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段BC上一动点，过点P作xPD⊥轴，交抛物线于点D，求PD的长的最大值；【答案】（1）223yxx=+−；（2）94；【解析

】【分析】（1）把A，B两点坐标代入2yax2xc=++求出a，c的值即可得出结论；（2）求出直线BC的解析式为3yx=−−，设设(,3)Pmm−−，则2(,23)Dmmm+−，从而得到22393(23)24PDmmmm=−−−+−=−++，进而得到结论；【

详解】解：（1）把(1,0)A，(3,0)B−分别代入2yax2xc=++，得2020960acac++=−+=解得13ac==−∴抛物线的解析式为223yxx=+−．（2）由（1）知，抛物线的解

析式为223yxx=+−，当0x=时，3y=−，∴(0,3)C−．设直线BC的解析式为ykxb=+，把(3,0)B−，(0,3)C−分别代入ykxb=+，得303kbb−+==−解得13kb=−=−∴直线BC的解析式为3yx=−−．∵点P在线段BC上，点D在抛物线上，PDx⊥轴

，∴设(,3)Pmm−−，则2(,23)Dmmm+−，∴22393(23)24PDmmmm=−−−+−=−++．∴当32m=−，即33,22P−−时，PD的长的值最大，21PD的长的最大值为94．【点睛】本题是二次函数综

合题，考查了待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想以及分类讨论思想等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．11．（2020·浙江温州·初三月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-2，0）、（0，-4），点B在x

轴上，已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=2，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若

设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长．（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．【答案】（1）214433yxx=−−（2）PF=2123mm−+（3）9；()35，-．【解析】22【分析】（1）根据题意及待定系数法可直接列出方程求解即可；（2）先求直

线BC的解析式，则点F的坐标即可求得，然后根据两点距离可求解；（3）由（2）及铅垂法来表示出三角形的面积，然后根据二次函数的性质求解最大面积．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为2yaxbxc=++，由题意得：Q点A、C的坐标分别为()()2004−，、，-，对称轴为直线2

x=，224420bacabc−==−−+=解得：13443acb==−=−，二次函数解析式为214433yxx=−−；（2）由（1）及题意可得：214,433Pmmm−−，令y=0时，2140433xx=−−，解得122,6

xx=−=，()6,0B设直线BC的解析式为ykxb=+，604kbb+==−，解得234kb==−，243yx=−，2,43Fmm−，232221414423333PFmmmmm=−−++=−+；（3）由（2）得：2123PFmm=−

+，由铅垂法得水平宽表示为B点的横坐标与C点的横坐标之差，即=6xxBC−，Q()12PBCxxSBCPF=−V，221162623PBCSmmmm=−+=−+V，当()63221bma=−=−=−时，PBCSV取最大值，即2363=9PBCS=−+V，()3,5

P−．【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，关键是根据待定系数法求出解析式，然后利用两点距离求出线段的长，主要还是要根据铅垂法求出三角形的面积．