【文档说明】《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训三十八：二次函数与几何综合：相似三角形存在性判定 解析版.docx，共(29)页，1.009 MB，由管理员店铺上传

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1计算力专训三十八：二次函数与几何综合：相似三角形存在性判定牛刀小试1．（2019·四川初三月考）如图，二次函数22yaxbx=++的图象与x轴相交于点()1,0A−、()4,0B，与y轴相交于点C．()1求该函数的表达式；()2点P为该

函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQBC⊥，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P、C、Q为顶点的三角形与ABCV相似，求点P的坐标．【答案】()1213222yxx=−++；()2①455，②满足条件的P点坐标为()3,2或325,28

．【解析】【分析】根据待定系数法求函数关系式；(2)①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为122yx=−+，设213,222Pttt−++，则1,22Mtt−+

，用t表示出2122PMtt=−+，再证明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ＝2545(2)55t−−+，然后利用二次函数的性质解决问题；2②讨论：当∠PCQ＝∠OBC时，△PCQ∽△CBO，PC∥x轴，利用对称性可确定此时P点坐

标；当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△CBO，则∠CPQ＝∠MPQ，所以△PCM为等腰三角形，则PC＝PM，利用两点间的距离公式得到22222131(22)(2)222ttttt+−++−=−+,然后解方程求出t得到此时P点坐标．【详解】()1抛物线

解析式为()()14yaxx=+−，即234yaxaxa=−−，则42a−=，解得12a=−，所以抛物线解析式为213222yxx=−++；()2①作PNx⊥轴于N，交BC于M，如图，当0x=时，2132222yxx=−++=，则()0,2C，222425BC

=+=，设直线BC的解析式为ymxn=+，把()0,2C，()4,0B得240nmn=+=，解得122mn=−=，∴直线BC的解析式为122yx=−+，3设213,222Pttt−++，则1,22Mtt−+，∴22

13112222222PMttttt=−++−−+=−+，∵NBMNPQ=，∴PQMBOCVV∽，∴PQPMOBBC=，即425PMPQ=，∴22545545(2)5555PQttt=−+=−−+，∴当2t=时

，线段PQ的最大值为455；②当PCQOBC=时，PCQCBOVV∽，此时//PCOB，点P和点C关于直线32x=对称，∴此时P点坐标为()3,2；当CPQOBC=时，CPQCBOVV∽，∵OBCNPQ=，∴CPQMPQ=，而PQCM⊥，∴PCM△为

等腰三角形，∴PCPM=，4∴22222131(22)(2)222ttttt+−++−=−+，解得32t=，此时P点坐标为325,28，综上所述，满足条件的P点坐标为()3,2或325,28．【点睛】本题考查

了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式．能运用相似比计算线段的长或表示线段之间的关系；能利用分类讨论的思想解决数学问题．2．（2020·全国初三课时练习）如图，二次函数的图象经过(

1,0)A−，(4,0)B，(2,6)C−三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若ABGV与ABCV相似，求点G的坐标．【答案】（1）234yxx=−−；（2）点G的坐标为210,33−【解析】5【分析】（1）由A、B、C三点的坐

标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）可求得直线AC的解析式，设G（k，-2k-2），可表示出AB、BC、AG的长，由条件可知只有△AGB∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求得k的值，从而可求得G点坐标．【

详解】（1）∵二次函数的图象经过(1,0)A−，(4,0)B两点，∴设二次函数的解析式为(1)(4)yaxx=+−．∵二次函数的图象经过点(2,6)C−，6(21)(24)a−=+−，解得1a=．∴二次函数的解析式为(1)(4)yxx=+−，即234yxx=−

−．（2）设直线AC的函数解析式为ysxt=+，把,AC的坐标代入，可得0,62,ststì=-+ïïíï-=+ïî解得2,2,stì=-ïïíï=-ïî∴直线AC的函数解析式为22yx=−−．设点G的坐标为(,22)kk−−．点G与点C不重合，ABGV与ABCV相似只有AGBABCVV∽

这一种情况．由AGBABCVV∽，得AGABABAC=．5AB=Q，22[2(1)](60)35AC=−−+−−=，22(1)(22)5|1|AGkkk=++−−=+，65|1|5535k+=解得23k=或83k=−（舍去），∴点G的

坐标为210,33骣÷ç-÷ç÷ç桫．【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点．在（1）中注意二次函数解析式三种形式的灵活运用，在（2）中确定出只有△AG

B∽△ABC一种情况是解题的突破口．3．（2020·四川初三月考）如图，已知二次函数的图象过点()0,0O．()8,4A，与x轴交于另一点B，且对称轴是直线3x=．（1）求该二次函数的解析式；（2）P是x轴上的点，过P作PQx⊥轴与抛物线交于Q，过A作ACx⊥轴于C，当以,,OPQ为

顶点的三角形与以,,OAC为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【答案】（1）21342yxx=−；（2）()14,0或()2,0−或()4,0【解析】7【分析】（1）先根据对称轴求出点B的坐标，然后将抛物线设成交点式，再将点A代入求解即可；（2）设213(,0),,42PmQmmm−，

分两种情况：当PQPOOCAC=时，PQOCOAV:V，即PQPO84=；当PQPOACOC=时，PQOCAOV:V，即43PQPO=，分别建立关于m的方程求解即可得出m的值，进而可求P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线3x=

，∴B点坐标为()6,0．设抛物线解析式为()6yaxx=−，把()8,4A代入得824a=，解得14a=，∴抛物线解析式为()164yxx=−，即21342yxx=−；（2）设213(,0),,42PmQmmm−，∵

OPQACO=，当PQPOOCAC=时，PQOCOA:，即PQPO84=，∴2PQPO=，即213242mmm−=，8则213mm2m42−=，得10m=（舍去），214m=，此时P点坐标为()14,0，或21

3mm2m42−=−得10m=（舍去），22m=−，此时P点坐标为()2,0−；当PQPOACOC=时，PQOCAO:，即43PQPO=，∴12PQPO=，即2131mmm422−=，则2131422mmm−=得10m=（舍去）

，28m=（舍去），或2131422mmm−=−得10m=（舍去），24m=，此时P点坐标为()4,0；综上所述，P点坐标为()14,0或()2,0−或()4,0．【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定及性质，一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质

是解题的关键．4．（2018·湖南初三期中）如图，已知二次函数的图像过点(0,0)O,(8,4)A,与x轴交于另一点B,且对称轴是直线3x=.（1）求该二次函数的解析式；（2）P是x轴上的点，过P作PQx⊥轴，与抛物

线交于Q,过A作ACx⊥轴于C.当以O、P、Q为顶9点的三角形与O、A、C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标.【答案】（1）y=14x2﹣32x；（2）P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．【解析】【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设

交点式求抛物线解析式；（2）设Q（m，14m2﹣32m），根据相似三角形的判定方法，当PQOC=POAC时，△PQO∽△COA，则|14m2﹣32m|=2|m|；当PQAC=POOC时，△PQO∽△CAO，则|14m2﹣32m|=12|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可

得到对应的P点坐标．【详解】（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=14，∴抛物线解析式为y=14x（x﹣

6），即y=14x2﹣32x；（2）设Q（m，14m2﹣32m），∵∠OPQ=∠ACO，∴当PQOC=POAC时，△PQO∽△COA，即PQ8=PO4，∴PQ=2PO，即|14m2﹣32m|=2|m|，解方程14m2﹣32m=2m得m1=0（舍

去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；解方程14m2﹣32m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；10∴当PQAC=POOC时，△PQO∽△CAO，即PQ4=PO8，∴PQ=12PO，即|14m2﹣32m|=12|m|，解方程

14m2﹣32m=12m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），解方程14m2﹣32m=﹣12m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到

二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形性质、运用相似比表示线段之间的关系等，熟练掌握相关知识，运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．5．（2016·湖南初三期末）如图,二次函数y

=12x2+2x+6的图像与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点为点D,该二次函数图像的对称轴与直线BC相交于点E,与x轴交于点F;(1)求直线BC的解析式;(2)试判断△BFE与△DCE是否相似?并说明理由.(3)在坐标轴上是否存在这样的点P,使得以点P、B

、C为顶点的三角形与△DCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。【答案】(1)y=-x+6．(2)△BFE与△DCE相似．理由见解析；（3）在坐标轴上存在这样的点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△DCE相似，P点的坐标为（0，0）、（-6，0）和（0，-

6）．11【解析】试题分析：（1）令x=0，可求得C点坐标，令y=0，可求得A、B点坐标，设出直线BC解析式，由待定系数法即可得出结论；（2）观察两三角形可知，存在一个对顶角，只需再有一个角相等即可，由于DF⊥x轴，在△DCE中只要找到一个直角即可，结合边的长

度由勾股定理可得出结论；（3）结合（2）的结论，只要找到以点P、B、C为顶点的三角形与△BFE相似即可，分BC为斜边，直角边讨论即可．试题解析：（1）令x=0，则有y=6，∴C点坐标为（0，6）；令y=0，则有-12

x2+2x+6=0，解得：x1=-2，x2=6，∴A点坐标为（-2，0），B点坐标为（6，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有606bkb==+，解得：16kb=−=．∴直线BC的解析式为y=-x+6

．（2）假设△BFE与△DCE相似．∵二次函数y=-12x2+2x+6=-12（x-2）2+8，∴D点坐标为（2，8），直线DE解析式为x=2．∵直线BC、DE相交于点E，∴62yxx=−+=，解得24xy

==，12即点E坐标为（2，4）．∵点C（0，6），点D（2，8），∴DE=4，CE=()()22026224−+−=，CD=()()22026228−+−=，∴DE2=CE2+CD2，∴∠DCE=90°．又∵∠BFE=90°，且∠DEC=∠BEF，∴△DCE∽△

BEF．（3）假设存在．由（2）可知△DCE∽△BEF，故只需找到以点P、B、C为顶点的三角形与△BEF相似即可．①以BC为斜边，如图1．此时P点与O点重合，故P点坐标为（0，0）；②以BC为直角边，点P在x轴上，

如图2．13∵点C（0，6），点B（6，0），∴BO=6，CO=6，∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=2262OBOC=+，∴BP=621222BCsinOBC==，∴P点坐标为（-6，0）；③以BC为直角边，点P在y轴上，如图3．14CP=621222BCsinOBC==，∴P点

坐标为（0，-6）．综上可知：在坐标轴上存在这样的点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△DCE相似，P点的坐标为（0，0）、（-6，0）和（0，-6）．考点：二次函数综合题．熟能生巧6．（2017·天津初三）如图，已知

二次函数2yaxbxc=++（a，b，c为常数）的对称轴为1x=，与y轴的交点为()0,4C，y的最大值为5，顶点为M，过点()0,1D且平行于x轴的直线与抛物线交于点A，B.（1）求该二次函数的解析式和点A，B的坐标.（2）

点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与BCDV相似，求出所有点P的坐标.【答案】（1）y＝−x2＋2x＋4；B（−1，1）；A（3，1）（2）（3，1）或（−3，7）或（13，113）或（−13，133）【解析】【分析

】（1）先确定顶点M的坐标，再设顶点式y＝a（x−1）2＋5，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；在计算函数值为1所对应的自变量的值即可得到A、B点的坐标；15（2）先计算出CD＝3，BD＝1，AM＝25，CM＝2，AC＝32，则利用勾股定理的逆定理得到△

ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，根据相似三角形的判定，当CMCPBDCD=时，△MCP∽△BDC，即213CP=，解得PC＝32，设此时P（x，−x＋4），利用两点间的距离公式得到x2＋（−x＋4−4）2＝（32）2，求出x从而得到此时P

点坐标；当CMCPDCBD=时，△MCP∽△CDB，即231CP=，解得PC＝23，利用同样方法求出对应的P点坐标．【详解】（1）根据题意得抛物线的顶点M的坐标为（1，5），设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋5，把C（0，4）代入y＝a（x−1）2＋5得a＋5＝4，

解得a＝−1，所以抛物线解析式为y＝−（x−1）2＋5，即y＝−x2＋2x＋4；当y＝1时，−x2＋2x＋4＝1，解得x1＝−1，x2＝3，则B（−1，1），A（3，1）；（2）∵()0,1D，∴CD＝3，BD＝1，故AM＝()()221

351−+−=25，CM＝22112+=，AC=223332+=设直线AC的解析式为y＝kx＋b把A（3，1），C（0，4）代入得314kbb+==16解得14kb=−=∴直线AC的解析式为y＝−x＋4，∵CM2＋AC2＝AM2，∴△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，

∴∠BDC＝∠MCP，如图1，当CMCPBDCD=时，△MCP∽△BDC，即213CP=，解得PC＝32，设此时P（x，−x＋4），∴x2＋（−x＋4−4）2＝（32）2，解得x＝±3，则此时P点坐标为（3，1）或（−3，7）；如图2，当CMCPDCBD=时，△

MCP∽△CDB，即231CP=，解得PC＝23，设此时P（x，−x＋4），∴x2＋（−x＋4−4）2＝（23）2，解得x＝±13，则此时P点坐标为（13，113）或（−13，133）；综上所述，满足

条件的P点坐标为（3，1）或（−3，7）或（13，113）或（−13，133）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．177．（2017·上海初三期末）如图，

已知直线𝑦=𝑥与二次函数𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图像交于点A、O，(O是坐标原点)，点P为二次函数图像的顶点，OA=3√2，AP的中点为B．（1）求二次函数的解析式；（2）求线段OB的长；（3）若射线OB上

存在点Q，使得△AOQ与△AOP相似，求点Q的坐标．【答案】𝑦=𝑥2−2𝑥；（2）𝑂𝐵=√5；(3)点Q的坐标𝑄1(185,95),𝑄2(4,2)时，△AOQ与△AOP相似.【解析】【分

析】（1）由点A在直线y=x上，可知A的横纵坐标相等，又因为OA=3√2，所以可以求出A的坐标，再把O和A的坐标代入y=x2+bx+c，求出b和c的值即可求出函数的解析式；（2）用配方法求出顶点P的坐标，再利用勾股定理求出OP的长和AP的长，利用勾股定

理的逆定理即可判定三角形AOP的形状，进而求出OB的长；（3）若△AOQ与△AOP相似，则①△AOP∽△OQA或②△AOP∽△OAQ，根据相似三角形的性质得到比例式，求出满足题意的OQ值即可．【详解】（1

）∵点A在直线𝑦=𝑥上，且𝑂𝐴=3√2，∴A(3,3).∵点O(0,0)，A(3,3)在𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图像上，18∴{0=𝑐9+3𝑏+𝑐=3，解得：{𝑏=2𝑐=0．∴二次函数的解析式为𝑦=

𝑥2−2𝑥.（2）由题意得顶点P(1,-1)．∴𝐴𝑂=3√2,𝑃𝑂=√2,𝐴𝑃=2√5∴𝐴𝑂2+𝑃𝑂2=𝐴𝑃2，∴∠AOP=90°.∵∠AOP=90°，B为AP的中点，∴𝑂𝐵=√5.(3)∵∠AOP=90°，B为AP

的中点，∴OB=AB.∴∠AOB=∠OAB.若△AOQ与△AOP相似，，则①△AOP∽△OQA，∴𝐴𝑂𝑂𝑄=𝐴𝑃𝑂𝐴，∴𝑂𝑄1=95√5.②△AOP∽△OAQ，∴𝐴𝑂𝐴𝑂=𝐴𝑃𝑂𝑄𝑂𝑄2=2√5.∵B(2,1)∴𝑄1(185,95),𝑄2(4,

2).即点Q的坐标𝑄1(185,95),𝑄2(4,2)时，△AOQ与△AOP相似.【点睛】本题考查了二次函数综合题解题能力，主要涉及到待定系数法求二次函数解析式、勾股定理逆定理应用，相似三角形判定和性质，熟练掌握以上

性质是解答关键.8．（2016·江苏初三月考）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．（1）这个二次函数的对称轴是直线；（2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交

于点E，连接AD、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式。19【答案】（1）x=2；（2）2343333yxx=−+或2343333yxx=−+−．【解析】试题分析：（1）根据二次函数对称性得出对称轴即可；（2）首先求出C，D点坐标，进而得

出CO的长，利用当△AOC与△DEB相似时，根据①假设∠OCA=∠EBD，②假设∠OCA=∠EDB，分别求出即可．试题解析：（1）∵二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2；（2）设二次函数的表达式为：y=a（x-1）（x-3）（a≠0），当

x=0时，y=3a，当x=2时，y=-a，∴点C坐标为：（0，3a），顶点D坐标为：（2，-a），∴OC=|3a|，又∵A（1，0），E（2，0），∴AO=1，EB=1，DE=|-a|=|a|，当△AOC与△DEB相似时，20①

假设∠OCA=∠EBD，可得AOOCDEEB=，即1|3a|||1a=，∴a=33或a=-33，②假设∠OCA=∠EDB，可得AOOCEBDE=，∴1|3|1||aa=，此方程无解，综上所述，所得二次函数的表达式为：2343333yxx=−+或2343333yxx=−+

−．考点：二次函数综合题．9．（2020·邹城市第八中学初三）如图，二次函数2yax2xc=++的图象与x轴交于点()1,0A−和点B，与y轴交于点()0,3C．()1求该二次函数的表达式；()2过点A的直线//ADBC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；()3在

()2的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与ABD△相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21【答案】（1）y=-x2+2x+3；；（2）y=-x-1；（3）存在，P（35，0）或

P（92−，0）．【解析】【分析】（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果；（2）在y=-x2+2x+3中，令y=0，则-x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解

析式为y=-x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=-x+b，即可得到结论；（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，只要当BCPBADAB=或BCPBABAD=时，△PBC∽△ABD，求出AD=52，AB=4，BC=32，代入比例式解得BP的长度，即可得到P（35，0）或P（92−

，0）．【详解】解：（1）∵次函数y=ax2+2x+c的图象经过点A（-1，0）和点C（0，3），∴023acc=−+=，解得13ac=−=，∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+3；（2）在y=-x2+2x+3中，令y=0，则-x2+2x+3=0，22解得：x1

=-1，x2=3，∴B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3，∵AD∥BC，∴设直线AD的解析式为y=-x+b，∴0=1+b，∴b=-1，∴直线AD的解析式为y=-x-1．（3）①∵BC∥AD，∴∠DAB=∠CBA，又∵D（4，-5），∴∠ABD≠45°，点P

在点B得到左侧，∴只可能△ABD∽△BPC或△ABD∽△BCP，∴BCPBADAB=或BCPBABAD=时，∵A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（4，-5），∵AD=52，AB=4，BC=32，即32452PB=或3245

2PB=，解得BP=125或BP=152，∵3-125=35，3-152=92−，23∴P（35，0）或P（92−，0）．【点睛】本题主要考查了二次函数解析式得确定、函数图象交点的求法，锐角三角形，最值得求法，相似三角形的判定和性质，解答（3）时，要分类讨论，以防漏解或错解．1

0．（2019·内蒙古初三期末）已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂

直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x的代数式表示）；（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角

形与△AOB相似，请求出P点的坐标．24【答案】（1）y=12（x﹣1）2﹣2；（2）PE=﹣12x2+32x；（3）P点坐标为（6﹣1，642−）或（1+2，22﹣1）．【解析】【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式.(2)先求出直线AB方程，再求出P

E长.(3)利用相似的性质，列比例式，再代入，解方程，可求出P点坐标.【详解】（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，∵A（3，0）在抛物线上，∴0=a（3﹣1）2﹣2∴a=12，∴y=12（x﹣1）2﹣2，（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，32−），设直线AB的

解析式为y=kx+m，∴3032kmm+==−,∴1232km==−,25∴直线AB的解析式为y=1322x−.∵P为线段AB上的一个动点，∴P点坐标为（x，12x﹣32.）．（0＜x＜3）由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，12x2﹣x﹣32），∵0＜x

＜3，∴PE=（1322x−.）﹣（12x2﹣x﹣32）=﹣12x2+32x.（3）由题意可知D点横坐标为x=1，又D点在直线AB上，∴D点坐标（1，﹣1）．当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP，∴ABPEOBDP=.过点D作DQ⊥PE于Q，∴xQ=xP=x，yQ=﹣1

，∴△DQP∽△AOB∽△EDP，∴DPABDQOA=,又OA=3，OB=32，AB=352,又DQ=x﹣1，∴DP=52（x﹣1），26∴()3513222235122xxX+=−﹣,解得：x=﹣1±6（负值舍去）．∴P（6﹣1，642−）（如图中的P1点）；②当∠DEP=90°时，△AOB∽

△DEP，∴OADEOBPE=.由（2）PE=﹣12x2+32.，DE=x﹣1，∴2132.x32231xx+=−﹣解得：x=1±2，（负值舍去）．∴P（1+2，22﹣1）（如图中的P2点）；综上所述，P点坐标为（6﹣1，642−）或（1+2，22﹣1）．【点睛】271.求二次函数的解析式

（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（0a）.列方程组求二次函数解析式.(2)已知二次函数与x轴的两个交点1,0x（）(2,0)x，利用双根式，y=()()12axxxx−−（0a）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点,122xxx+=.(3)已知二

次函数的顶点坐标，利用顶点式()2yaxhk=−+,（0a）求二次函数解析式.（4）已知条件中a，b，c，给定了一个值，则需要列两个方程求解.(5)已知条件有对称轴，对称轴也可以作为一个方程；如果给定的两个点纵坐标相同1,yx（）(2,)xy，则可以得到对称轴方程122

xxx+=.2.处理直角坐标系下，二次函数与一次函数图像问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，找出不同点间的关系.如果需要得到一次函数的解析式，依然利用待定

系数法求解析式.11．（2020·东海晶都双语学校初三）在直角坐标系XOY中，二次函数图像的顶点坐标为()4,3C−，且与x轴的两个交点间的距离为6.（1）求二次函数解析式；（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△AB

C相似？如果存在，请求出Q点的坐标，如果不存在，请说明理由.28【答案】（1）238373999yxx=−+；（2）存在点()10,33Q或()2,33−【解析】【分析】（1）由已知开设解析式：()243ya

x=−−，B（7，0），进一步可求出结果；（2）过点O作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E，利用三角函数求出E,Q坐标，证明点Q在抛物线上，由抛物线的对称性，还存在一点()2,33Q−，使△ABQ′∽△CAB.【详解】（1）由已知

开设解析式：()243yax=−−，B（7，0）把B（7，0）代入，求得a=39故所求解析式为238373999yxx=−+（2）在x轴上方的抛物线上存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，因为△ABC为等腰三角形，∴当AB=BQ，∵AB=6，∴BQ=6，过点O作C

D⊥x轴于D，则AD=3，CD=3，∴∠BAC=∠ABC=30°，∴∠ACB=120°，∴∠ABQ=120°，过点Q作QE⊥x轴于E，则∠QBE=60°，29∴QE=BQsin60°=36332=,∴BE=3,∴E(10,0),()10,33Q.当x=10时，()()33101107933

99y=−−==∴点Q在抛物线上，由抛物线的对称性，还存在一点()2,33Q−，使△ABQ′∽△CAB故存在点()10,33Q或()2,33−.【点睛】二次函数与相似三角形的判定.数形结合分析问题是关键.