【文档说明】《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训三十六：二次函数与几何综合：直角三角形存在性判定 解析版.docx，共(31)页，1.166 MB，由管理员店铺上传

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1计算力专训三十六：二次函数与几何综合：直角三角形存在性判定牛刀小试1．（2020·河南初三月考）在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知抛物线2()(0)yaxmna=−+与y轴交于点A，它的顶点为B，连接,ABBO，

则称ABOV为抛物线的伴生三角形，直线AB为抛物线的伴生直线．（1）如图1，求抛物线2(2)1yx=++的伴生直线AB的解析式．（2）已知抛物线2(2)1ykx=−+的伴生直线为3yx=−+，求k的值．（3）如图2，若抛物线2()(0)yaxmnm=−+的伴生直线是4yx=−

，且伴生三角形ABO是直角三角形，求此抛物线的解析式．【答案】（1）25yx=+；（2）12k=；（3）21(4)4yx=−−或21(2)22yx=−−−．【解析】【分析】（1）求出抛物线与y轴的交点坐标和顶点坐标，然后利用待定系数法即可求出结论；（2）求出伴生直线3yx=−+与

y轴的交点坐标，然后代入抛物线解析式中即可求出结论；2（3）先求出伴生直线4yx=−与y轴的交点坐标，从而求出OA的长，然后根据点B的位置分类讨论，分别求出点B的坐标即可求出m和n的值，再将点A的坐标分别代入即可求出结论．【详解】解：（1）∵在2(2)1yx=++中，当0x=时，

5y=，∴抛物线2(2)1yx=++与y轴的交点坐标为(0,5)A，顶点坐标为(2,1)B−．设伴生直线AB的解析式为ybxc=+，则215bcc−+==，解得25bc==，∴抛物线2(2)1yx=++的伴生直线AB的解析式为

25yx=+．（2）∵伴生直线3yx=−+与y轴的交点为(0,3)，∴抛物线2(2)1ykx=−+与y轴的交点为(0,3)．把点(0,3)代入抛物线2(2)1ykx=−+中，得12k=．（3）∵伴生直

线4yx=−与y轴的交点A为(0,4)−，∴4OA=．∵伴生三角形ABO是直角三角形，满足条件的点B有两个．3①B点在x轴上时，90AOB=，则B点为(4,0)，∴4,0mn==．将点(0,4)A−代入2(4)yax=−中，得14a=−，∴抛物线

的解析式为21(4)4yx=−−．②B点在直线4yx=−上，且90=ABO，如图，过点B分别作BCy⊥轴，BDx⊥轴，易得2BCBD==，∴点B的坐标为(2,2)−，∴抛物线的解析式可表示为2(2)2yax=--．将点(0,4)A−代入2(2)2yax=--中，得12a=

−，∴抛物线的解析式为21(2)22yx=−−−．综上所述，抛物线的解析式为21(4)4yx=−−或21(2)22yx=−−−．【点睛】4此题考查的是二次函数、一次函数和几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二

次函数解析式、一次函数解析式和抛物线的伴生三角形、抛物线的伴生直线是解题关键．2．（2020·重庆南开中学初三月考）如图，抛物线21322yxx=−++与坐标轴分别交于A，B，C三点，D是抛物线的顶点，连接BC，BD，（1）求点

D的坐标及直线BC的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一点，E为BD上一动点，延长PE交x轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得PFQ△为直角三角形？若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）直线BC的解析式为1322yx=−+，D的

坐标为（1,2）；（2）Q点坐标为（1,6524）或（1,56）．【解析】【分析】（1）先通过解析式求出B、C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，将函数解析式配成顶点式即可求出点D的坐标；（2）由（2）可

知F点坐标为（32,0），设Q点坐标为（1,n），就PFQ△各个角分别是直角时进行讨论即可．【详解】5解：（1）在抛物线21322yxx=−++上，当0y=时，213022xx=−++，解得11x=−，23x=，∴点A的坐标为（-1,0），点B的坐标为（3,0），当0x=

时，32y=，∴点C的坐标为（0,32），设直线BC的解析式为ykxb=+，将C（0,32）、B（3,0）代入得3203bkb==+解得3212bk==−，∴直线BC的解析式为1322yx=−+，又∵()2213112222yxxx=−++=

−−+，∴点D的坐标为（1,2）；（2）由（2）可知F点坐标为（32,0），设Q点坐标为（1,n），∴2215225864PF==，6222231124QFnn=−+=+，222231515441128464QPnnn=−+−=−+

，若∠QPF为直角，则222PQPFFQ+=，∴22154412251464644nnn−++=+，解得6524n=，∴Q点坐标为（1,6524），若∠FQP为直角，则222FQPQFP+=，∴221544112254

64464nnn−+++=，此时方程无解，若∠QFP为直角，则222FQPFPQ+=，∴22225115441644464nnn++=−+，解得56n=，∴Q点坐标为（1,56），综上Q点坐标为（1,6524）或（1,56）．【

点睛】本题考查了二次函数的综合问题，题目相对比较综合，正确的作出辅助线并设出点的坐标是解题的关键．3．（2020·河北张家口·初三二模）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对7称轴为直线l：x=2，过点A作

AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶

点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）P点的坐标为：P1（3+52，152−），P2（352-，1+52），P3（5+

52，1+52），P4（552−，152−）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图

形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，8由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三

角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，9解得：m=5+52或552−，∴P的坐标为（5+52，1+52）或（552−，152−）；如图4

，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=3+52或352-；P的坐标为（3+52，152−）或（352-，1+52）；综上所述

，点P的坐标是：（5+52，1+52）或（552−，152−）或（3+52，152−）或（352-，1+52）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元10二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方

法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．4．（2020·保定市第二十一中学期末）已知：如图，抛物线26yaxbx=++与x轴交于点()6,0B，()2,0C−，与y轴交于点A．（1）求

抛物线的解析式；（2）如图，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，连结PA、PB．设点P的横坐标为m．①过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做//PEx轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使PDE△为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由

．【答案】（1）2162yxbx=−++；（2）①点P的坐标为（4,6）或（517−，3175−）．【解析】【分析】（1）由()2(6)(2)412yaxxaxx=−+=−−，则-12a=6，求得a即可；（2）①△PDE为等腰直角三

角形，则PE=PD，然后再确定函数的对称轴、E点的横坐标，进一步可得|PE|=2m-4，即21266242mmmm−+++−=−求得m即可确定P的坐标．【详解】解：（1）由抛物线的表达式可化为()22(6)6

=(2)412yaxxaxaxbxx=+−++−=−，11则-12a=6，解得：a=12−，故抛物线的表达式为：2162yxbx=−++；（2）①∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE=PD，∵点21,262Pmmm−++，函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，则|PE|=

2m-4，即21266242mmmm−+++−=−，解得：m=4或-2或517+或517−（舍去-2和517−）当m=4时，21262mm−++=6；当m=517−时，21262mm−++=3175−．故点P的坐标为（4,6）

或（517−，3175−）．【点睛】本题属于二次函数综合应用题，主要考查了一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等知识点，掌握并灵活应用所学知识是解答本题的关键．5．（2020·黑龙江讷河·初三月考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点

C，点D是抛物线的顶点，且()60A−，，(28)D−−，．12（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2＋2x－6；（2）存在，M的坐标是（－2，4）或（

－2，－8）或（－2，－3＋17）或（－2，－3－17）．【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入即可求出解析式；（2）根据OA＝OC，得到∠OAC＝∠OCA＝45°，再分三种情况：①当∠CAM＝90°时，②当∠ACM＝90°时，③当∠AMC＝

90°时，分别求出答案.【详解】（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入得a（－6＋2）2－8＝0，解得a＝12，∴y＝12（x＋2）2－8＝12x2＋2x－6；（2）存在，抛物线的对称轴是直线x＝－2，设M（－

2，t）．直线x＝－2交x轴于H，在Rt△AOC中，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.13①当∠CAM＝90°时，如图1，∠MAO＝90°－∠OAC＝45°，∴AH＝MH＝4，∴M（－2，4）；②当∠ACM＝90°时

，如图2，过点M作MG⊥y轴于G，则∠MCG＝180°－∠ACM－∠ACO＝45°，∴MG＝CG＝2，∴OG＝OC＋CG＝8，∴M（－2，－8）；③当∠AMC＝90°时，如图3，设M（-2，t），∵AM2＋CM2＝AC2，∴（－2＋6）2＋t2＋（－2）2＋（t＋6）2＝72，解得t

＝－3±17，∴M（－2，－3＋17）或（－2，－3－17），∴综上所述，M的坐标是（－2，4）或（－2，－8）或（－2，－3＋17）或（－2，－3－17）.【点睛】14此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数与几何图形面积问题，勾股定理，直角三角形与函数图象的结合

问题，正确理解题意根据题意画出图形解答是关键.熟能生巧6．（2020·河南初三一模）已知抛物线()220yaxxca=++与x轴交于点()1,0A−和点B，与直线3yx=−+交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物

线的对称轴．（1）求抛物线的解析式及点M的坐标．（2）若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A，连接AC，AF，当FAC是直角三角形时，直接写出点F的坐标．【答案】（1）2yx2x3=−++，点M的坐标为()1,4；（2）点F的坐标为51,22

或()2,1．【解析】【分析】（1）先由直线解析式求出B点坐标，再把A，B坐标代入抛物线解析式中，求出a,c的值，从而求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化成顶点式，求出顶点坐标即可；（2）由题意，知(

)1,0A，()0,3C．设点F的坐标为(),t3t−+，分别求出2AC，2AF，2FC，在分类讨论①当90CAF=时，222ACAFCF+=，②当90AFC=时，222AFFCAC+=，求出t，15即可求出F的坐标.【详解】解：（1）∵直线3yx=−+，令y=

0，解得x=3，∴()3,0B，将点()1,0A−，()3,0B代入抛物线2yax2xc=++中，得20960acac−+=++=，解得13ac=−=∴抛物线的解析式为2yx2x3=−++，∵2223(1)4yxxx=−++=−−+，∴点M的坐标

为()1,4；（2）由题意，知()1,0A，()0,3C．设点F的坐标为(),t3t−+，则2231310AC=+=，()22221(3)2810tttAFt−+=−++=−，2222()2FCttt=+

−=，由题，易知90ACF，则当FAC是直角三角形时，需分以下两种情况进行讨论，①当90CAF=时，222ACAFCF+=，即221028102ttt+−+=，解得52t=，∴点F的

坐标为51,22；②当90AFC=时，222AFFCAC+=，16即222810210ttt−++=，解得0t=（与点C重合，故舍去）或2t=，∴点F的坐标为()2,1，综上所述，点F的坐标为51,22或(

)2,1．【点睛】本题是对二次函数的综合考查，熟练掌握二次函数解析式和图像性质是解决本题的关键，属于中考压轴题，难度较大.7．（2020·浙江省鄞州区宋诏桥中学初三一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，直

线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物

线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．【答案】（1）y＝x+3﹣10＝x﹣7；（2）y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1；（3）a=1或a=22.【解析】17【分析】（

1）先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据关联直线的定义即可得出答案；（2）由题意可得a=2，c=3，设抛物线的顶点式为y=2（x-m）2+k，可得22323mkmk−+=+=，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；（3）由题意可得A（1，4

a），B（2，3a），C（-1，0），可求AB2=1+a2，BC2=9+9a2，AC2=4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．【详解】解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10，∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7；（2）∵抛物线y＝ax2

+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，∴a＝2，c＝3，可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，∴22323mkmk−+=+=，解得03mk==

或11mk=−=，∴抛物线解析式为y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1；（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，显然AB2＜BC2且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，18当A

B2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得a=22，∵抛物线的顶点在第一象限，∴a＞0，即a=1或a=22.【点睛】本题是二次函

数综合题，考查了直角三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，理解坐标与图象性质，记住两点间的距离公式，注意分情况讨论思想的应用．8．（2020·哈尔滨市第六十九中学校初三月考）如图，已知二次函数23yaxbx=+−与x轴交与A，B两点，与y轴交于C点，连AC，tan

∠OAC＝3，OC＝OB．（1）求二次函数解析式；（2）直线l经过B，C两点，如图，P是直线BC下方抛物线上一点，横坐标为t，PBC为直角三角形，并且∠BPC＝90°时，求P点坐标．【答案】（1）223yxx=−−（2）1555(,)22P++−

19【解析】【分析】（1）根据所给解析式可求出点C的坐标，得到OC的长，则OB的长也知道了，得到点B的坐标，再根据tan3OAC=，求出OA的长，得到点A的坐标，将点A和点B的坐标代入解析式，求出系数a和b，得到解析式（2）过点P作x轴的平行线，交y轴于点M，再过点B作y轴的平行线，交直线P

M于点N，设()2,23Pttt−−，再表示出M和N的坐标，用t表示出CM、MP、PN、NB的长，再证明CMPPNBV:V，利用相似三角形对应边成比例列式求出t的值，得到点P坐标．【详解】解：（1）令0x=，则3y=−，∴()0,3C−，∴3O

COB==，则()3,0B，∵tan3OAC=，∴3OCOA=，即1OA=，则()1,0A−，将点A和点B的坐标代入解析式，得309330abab−−=+−=，解得12ab==−，∴二次函数

解析式为：223yxx=−−；（2）如图，90BPC=，过点P作x轴的平行线，交y轴于点M，再过点B作y轴的平行线，交直线PM于点N，20设()2,23Pttt−−，则()20,23Mtt−−，()23,23Ntt−−，()223232CMtttt=−−−−=−+

，MPt=，3PNt=−，()222323BNtttt=−−−=−++，∵90BPC=，∴90CPMBPN+=，∵90CPMPCM+=，∴BPNPCM=，∵90CMPPNB==，∴C

MPPNBV:V，∴CMMPPNNB=，则222323tttttt−+=−−++，转换得()()()2331tttttt−+−=−+，整理得()()211tt−++=，解得1152t−+=，2152t−−=（

舍去），21当152t−+=时，255232tt+−−=−，∴1555,22P−++−．【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握二次函数解析式的求法，平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，以及利用数形结合的思想，根据相似三角形的性质求

点坐标的方法．9．（2019·佛山市顺德区凤城实验学校初三月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）直接写出抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）试探究：在抛物线上

是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式：223yxx=−++；直线AC的解析式：33yx+＝

；（2）存在，符合条件的点P的坐标为720,39或1013,39−；【解析】【分析】22（1）设交点式()()13yaxx=+−，展开得到22a−=，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）过点C作AC的

垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为13yxb=−+，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为133yx=−+，再解方程组213323yxyxx=−+=−++得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线

于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标；【详解】（1）设抛物线解析式为()()13yaxx=+−，即223yaxaxa=−−，∴22a−=，解得1a=−，∴抛物线解析式为2yx2x3=−++；当0x=时，2233yxx=−++=，则

C（0，3），设直线AC的解析式为3ypx=+，把A（-1，0）代入得：03p=−+，解得3p=，∴直线AC的解析式为33yx=+；（2）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，23∵直线AC的解析式为33yx=+，∴直线PC的解析式可设为13yxb=−+，把C（0，

3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为133yx=−+，解方程组213323yxyxx=−+=−++，得：03xy==或73209xy==，则此时P点坐标为(73，209)；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线AP的解析式可设为13yx

d=−+，把A（-1，0）代入得：()113yd=−−+，解得：13d=−，∴直线AP的解析式为1133yx=−−，24解方程组2113323yxyxx=−−=−++，得：10xy=−=或103139xy==−，则此时P点坐标为(10

3，139−)，综上所述，符合条件的点P的坐标为(73，209)或(103，139−)；【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组

求两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；相似三角形的判定和性质；用分类讨论的思想解决数学问题．10．（2019·江苏镇江·）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线255yxx=−+与直线:(0)lykxmk=+

交于A（1,1），B两点，与y轴交于点C，直线l与轴交于点D．（1）求抛物线的对称轴和点C的坐标；（2）若在x轴上有且只有一点P，使∠APB=90°，求k的值；25【答案】（1）对称轴是x=2.5，C的坐标为（0,5）

；（2）k=512；【解析】【分析】（1）根据对称轴公式即可求出对称轴，根据常数项可得C点坐标；（2）过点A作AK⊥x轴于点K，过B作BR⊥x轴于点R，设B（p，q），通过△AKP∽△PRB得到q=12p−²，然后根

据q=p²-5p+5可解得p1=2（舍去），p2=4，然后用待定系数法可求出k的值；【详解】解：（1）对称轴是x=2ba−=2.5C的坐标为（0,5）（2）∵在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90º，∴以AB为直径的圆与x轴相切，取AB中点Q，作Q

P⊥x轴，垂足为P，过点A作AK⊥x轴于点K，过B作BR⊥x轴于点R，构造“三垂直模型”设B（p，q），则Q（12p+，12q+），P（12p+，0），K（1，0），R（p，0），△AKP∽△PRB，

AK∶RP=KP∶BR，∴1∶（p-12p+）=(12p+-1)∶q，化简，得：q=12p−²，∴12p−2=p²-5p+5，26解得：p1=2，p2=4；当p=2时，q=14＜1，k＜0，与题中条

件k＞0矛盾，∴B（4，94），代入直线l解析式：4k+m=94；又直线l过A（1，1），∴k+m=1，联立方程组，解得：k=512;【点睛】本题综合考查了二次函数与一次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质以及圆切线的性质，涉及知识点较多，

综合性较强，正确理解题意，利用数形结合的思想思考问题是解题关键.11．（2020·辽宁铁东·初三月考）如图所示，抛物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣32x﹣92交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标．27（2）根据图象回答：①当

x取何值时，y1的值随x的增大而增大？②当x取何值时，y1＜y2？（3）求△AOB的面积．（4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（5）抛物线上找一点Q，使得△

ABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标【答案】（1）A（﹣32，﹣94），B（3，﹣9）；（2）①当x＜0时，y1的值随x的增大而增大，②当x＞3或x＜﹣32时，y1＜y2；（3）818；（4）(-3，0)，(3134−，0），（3134，0），（3916−，0）；

（5）(56，113−)，(3654−+，3654−−)．【解析】【分析】（1）令12yy=，即可得到关于x的一元二次方程，解方程得到x的值后再代入抛物线解析式可以得到A、B两点的坐标；（2）分别根据抛物线的图象与抛物线与直线的相

对关系可以得到解答；（3）运用割补法将三角形补成一个直角梯形，进行解答即可；(4)分OA=OP、AP=OP、AP=OA三种情况讨论；28（5）分角Q为直角、角A为直角、角B为直角三种情况讨论．【详解】解：（1）∵抛

物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣32x﹣92交于A，B两点．∴﹣x2＝﹣32x﹣92，解得x1＝3，x2＝﹣32，∴y1＝﹣9，y2＝﹣94，∴A（﹣32，﹣94），B（3，﹣9），（2）由图象得，①当x＜0时，y1的值随x的增大而增大，

②当x＞3或x＜﹣32时，y1＜y2．（3）由()393924AB−−−，，，知，193193181933924224228AOBS=++−−=V（4）设P（

x,0)，则有：当OA=OP时，有：22239313244xx+==，；当AP=OP时，有：2223939,2416xxx++==−；当AP=OA时，有：22223

9392424x++=+，x=0(舍去）或x=-3；∴在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形，其中点P的坐标为：(-3，0)或(3134−，0）或（3134，0）或（3916−，0）．（5）设Q坐标为（x,-x2)，则分三种情况讨论：

当角Q为直角时，可作图如下：29则不难得到2293~,3924BNNQxxBNQQMAQMMAxx−+−==+−+nn，,可解得x=3654−+或x=3654−−；当角A为直角时，可作图如下：30则不难得到299924~,9342BMMABMAANQANNQxx−=

=−++nn，,可解得x=56；当角B为直角时，可作图如下：31则不难得到293~,99924BMMQxxBMQANBANNB−−==−nn，，可解得x=113−．∴使得△ABQ是直角三角形的Q点横坐标为：x=3654−+或x=3654−

−或x=56或x=113−．【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点问题，两个函数联立方程是解决问题的关键．