【文档说明】《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训三十九：二次函数与几何综合：平行四边形存在性判定 解析版.docx，共(30)页，1.144 MB，由管理员店铺上传

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1计算力专训三十九：二次函数与几何综合：平行四边形存在性判定牛刀小试1．（2020·兰溪市实验中学初三月考）如图，抛物线23yxbx=+−与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中点A、C的横坐标

分别为1−和2．点G是抛物线上的动点，在x轴上存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点F的坐标为_____．【答案】()1,0、()3,0−、()47,0+、()47,0−【解析】【分析】此题要分两种情况，以AC为边，以AC为对角线

，在确定平行四边形后，根据平行四边形的性质求解即可；【详解】存在4个这样的点，分别是()1,0、()3,0−、()47,0+、()47,0−，如图，连接C与抛物线和y轴的交点，∵()2,3C−，()0,

3G−，∴CG∥x轴，此时AF=CG=2，2∴F点的坐标是()3,0−；如图，AF=CG=2，点A的坐标为()1,0−，因此F点的坐标为()1,0；如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得到G点的坐标为()17,3，由于

直线GF与直线AC的k相同，可设直线GF的解析式为yxh=−+，将G点带入后可得出直线的解析式为47yx=−++，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为()47,0+；3如图，同③可求出F的坐标为()47,0−，综合四种情况即可得出符合条件的点有4个：()1,0、()3,0−、

()47,0+、()47,0−．故答案为：()1,0、()3,0−、()47,0+、()47,0−【点睛】本题主要考查了二次函数综合，准确计算是解题的关键．2．（2019·宜春市第八中学初三期中）如图1，抛物线22yaxbx=

++与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，4AB=，矩形OBDC的边1CD=，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式：（2）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；

若不存在，请说明理由．4【答案】（1）224233yxx=−−+；（2）存在，点M的坐标为102,3−或104,3−−或()2,2−．【解析】【分析】（1）由抛物线解析式需确定a，b两

个值，找抛物线上两点坐标，由AB=4，CD=1，可确定B（1，0），A（-3，0）即可．（2）以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，A，C固定，为此考虑以AC为边和以AC为对角线两种情况即可．【详解】（1）∵

矩形OBDC的边1CD=，∴1OB=，∵4AB=，∴3OA=，∴()30A−,，()1,0B，把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得209320abab++=−+=，解得2343ab=−=−，∴抛物线解析式为2242

33yxx=−−+；（2）①当AC为平行四边形的边时，则有//MNAC，且MNAC=，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，5则ALFACOFNM==，在MFN△和AOC△中MFNAOCFNMACOMNAC===

∴()MFNAOCAAS≌△△，∴3MFAO==，∴点M到对称轴的距离为3，又224233yxx=−−+，∴抛物线对称轴为1x=−，设M点坐标为(),xy，则13x+=，解得2x=或4x=−，当2x=

时，103y=−，当4x=−时，103y=−，∴M点坐标为102,3−或104,3−−；②当AC为对角线时，设AC的中点为K，∵()30A−,，()0,2C，∴3,12K−，∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为1−，设M点

横坐标为x，6∴根据中点坐标公式：()31232x+−=−=−，解得2x=−，此时2y=．∴()2,2M−；综上可知点M的坐标为102,3−或104,3−−或()2,2−．【点睛】本题是抛物线中的重点题型，综合性比较强，考查求抛物线解析式，点到直线的最大

距离，用平行四边形确定动点P的坐标，看抛物线需确定几个量，就求几个点坐标，发现△PGH为等腰直角三角形，转求PG最值为就问题铺平道路，平行四边形由A、C两点不动，作平行四边形分类考虑是关键．3．（2020·东莞市石碣中学初三月考）如图1（注：与图2完全相同

），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A，,(50)B，,4(0)C，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）【答案】（

1）2545442yxx−+＝，函数的对称轴为：3x＝；（2）存在，点E的坐标为12(2,)5-或12,)5(4-．【解析】【分析】71（）根据点AB、的坐标可设二次函数表达式为：()()()21565yaxxaxx+−−＝﹣＝，由C点坐标即可求解；2（）512EEO

EBFSOByy四边形＝＝＝，则125Ey＝，将该坐标代入二次函数表达式即可求解．【详解】解：1（）根据点0(1)A，,(50)B，的坐标设二次函数表达式为：()()()21565yaxxaxx+−−＝﹣＝，∵抛物线经过点4(0)C，，则54a＝，解得：

45a＝，抛物线的表达式为：()()2224416465345555245yxxxxx−−+−−+＝=＝，函数的对称轴为：3x＝；2（）存在，理由：四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，则512EEOEBFSOByy四边形＝＝＝，点E在第四象限，故：则12

5Ey＝-，将该坐标代入二次函数表达式得：()24126555yxx−+＝＝-，解得：2x＝或4，故点E的坐标为122,5（-）或12,5（4-）．【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中2（），

求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．84．（2020·齐齐哈尔市第二十八中学初三月考）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函

数的关系解析式，x满足什么值时y﹤0?（2）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）24233yxx=−−+，

13x−或21x；（2）1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)−−+−QQQQ【解析】【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）带入y＝ax2＋bx＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x满足什么值时y﹤0；（2

）分两种情况讨论，一种是CM平行于x轴，另一种是CM不平行于x轴，画出点Q大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q坐标的方程，解出即可得到Q点坐标.【详解】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点带入y＝ax2＋bx＋2可得：093

202abab=−+=++9解得：2343ab=−=−∴二次函数解析式为24233yxx=−−+.由图像可知，当x3−或x1时y﹤0；综上：二次函数解析式为24233yxx=−−+，当x3−或x1时y﹤0；（2）存在，1234(5,0),(1,0),(27,0),(2

7,0)−−+−QQQQ假设存在点Q使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形①若CM平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点12QQ、，此时1QA=2.QACM=∵CM∥x轴，∴点M、点C（0,2）关于对称轴x1=−对称，

∴M（﹣2,2），∴CM=2.由1QA=22QACM==，得到12(5,0),(1,0)−−QQ；②若CM不平行于x轴，如下图，过点M作MG⊥x轴于点G，10易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即2My=−.设M（x，﹣2），则有2

42=233−−+−xx，解得：x17=−.又QG=3,∴327QGxx=+=，∴34(27,0),(27,0)+−QQ综上所述，存在点P使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，Q点坐标为：1234(5,0),(1

,0),(27,0),(27,0)−−+−QQQQ.【点睛】本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，在解答（2）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析.5．（2

020·合肥工业大学附属中学初三月考）如图，抛物线C1的图象与x轴交A（−3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线C1的解析式和D点坐标；（2）将抛物线C1关于

点B对称后的抛物线记为C2，点E为抛物线C2的顶点，求抛物线C2的解析式和E点坐标；（3）是否在抛物线C2上存在一点P，在x轴上存在一点Q，使得以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四11边形，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．【答案

】（1）抛物线C1的解析式为-x2-2x+3；点D的坐标为（-1,4）；（2）抛物线C2的解析式为y=（x－3）2－4；E点坐标（3，-4）；（3）存在，点P的坐标为（3＋23，8）或（3－23，8）或（5,0）【解析】【分析】（1）设抛物线C1

的解析式为y=a（x＋3）（x－1），将点C的坐标代入即可求出抛物线C1的解析式，化为顶点式即可求出点D的坐标；（2）根据点的对称性求出点E的坐标，从而求出抛物线C2的解析式；（3）根据DE为平行四边形的边和对角线分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质和点的平移规律即可求出结论．【详解

】解：（1）∵抛物线C1的图象与x轴交A（−3，0），B（1，0）两点可设抛物线C1的解析式为y=a（x＋3）（x－1）将点C的坐标代入，得3=a（0＋3）（0－1）解得：a=-1∴抛物线C1的解析式为y=-（x＋3）（x－1）=-x2-2x+3=-（x＋1）2+412∴抛物

线C1的顶点D的坐标为（-1,4）；（2）将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C2，点E为抛物线C2的顶点，设C2与x轴的另一交点为K，如下图所示∴抛物线C2的二次项系数为1∵点D（-1,4），B（1,0）∴抛物线C2的顶点E的坐标为（3，-4）∴抛物线C2的解析式为y=（x－3

）2－4；（3）存在，由对称性可知：BK=AB=1－（-3）=4∴点K的坐标为（5,0）①当DE为平行四边形的边时，∴DP∥EQ，DP=EQ，即EQ可看作DP平移得到∵点D（-1,4）到点E（3，-4）的平移方式为：先向右平移4个单位，再向下平移8个单位∴点P到

点Q的平移方式为：先向右平移4个单位，再向下平移8个单位13∵点Q在x轴上∴点P的纵坐标为8将y=8代入C2的解析式中，解得：x=3±23∴此时点P的坐标为（3＋23，8）或（3－23，8）；②当DE为平行四边形的对角线时，由D

E的中点为点B，∴PQ的中点也为点B，由点Q在x轴上，点B也在x轴上∴点P也在x轴上，即此时点P与点K重合∴此时点P的坐标为（5,0）；综上：点P的坐标为（3＋23，8）或（3－23，8）或（5,0）．【点睛】此题考查的是二次

函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、旋转的性质、点的平移规律和平行四边形的性质是解题关键．14熟能生巧6．（2020·民勤县第六中学初三三模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点C

（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（

2）存在．F1（1，0），F2（2+7，0），F3（2﹣7，0），F4（﹣3，0）【解析】【分析】（1）根据抛物线y＝−x2＋bx＋c经过点A（−1，0），点C（0，3），可以用待定系数法求得抛物线的表达式；（2）根据题意可知AC可能为平行四边形的边，也可能为对角线，从而可以分为两种情况分别求

得点F的坐标．【详解】（1）∵点A（−1，0），点C（0，3）在抛物线y＝−2x＋bx＋c上，∴103bcc−−+==解得b＝2，c＝3．15即抛物线的表达式是223yxx−++＝；（2）存在．当AC是平行四边形的边时，则点E的纵坐标为3或−3，∵E是抛物线上的一点，∴将y＝3代入22

3yxx−++＝，得1x＝0（舍去），2x＝2；将y＝−3代入223yxx−++＝，得3x＝1＋7，417x=−．∴1E（2，3），2E（1＋7，−3），3E（17−，−3），则点1F（1，0），2F（2＋7，0），3F（2−7，0），当AC

为平行四边形的对角线时，则点E的纵坐标为3，∵E是抛物线上的一点，∴将y＝3代入223yxx−++＝，得1x＝0（舍去），2x＝2；即点4E（2，3）．则4F（−3，0）．点F的坐标是：1F（1，0），2F（2＋7，0），3F（2−7，0），4F（−3，0）．

【点睛】本题是考查二次函数综合题，解题的关键是根据题意找出其中相关联的量，利用分类讨论的数学思想解答各个问题．7．（2020·广州市增城区派潭镇第二中学初三期中）如图，抛物线2()30yaxbxa=++与轴交于A（—1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线ykxn=+

过B，C两点．16（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在

，请说明理由．【答案】（1）抛物线的表达式：2yx2x3=−++；直线BC的表达式：3yx=−+；（2）存在，P（2，3）Q（1，2）或（1，-2）．【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数的解析式求解，然后再求一次函数的

解析式即可；（2）当以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则有两种情况：①过点F作FG⊥OB于G，如图1中，易得点F的坐标为()2,1，以EF为边时，则QEPF=，QE∥PF∥y轴，根据点的坐标及平行四边形的性质进行求解；②当EF为对角线时，如图2中，同理①中的方法进行求解即可．

【详解】（1）把()()1,0,3,0AB−代入23yaxbx=++，得：309+330abab−+=+=解得，12ab=−=，抛物线的表达式2yx2x3=−++，17点C坐标为()0,3，把()()3

,0,0,3BC代入ykxn=+，得：303knn+==解得，13kn=−=，直线BC的表达式：3yx=−+；（2）存在，理由如下：①过点F作FG⊥OB于G，如图1中，223yxx=−++Q的对称轴为1x=，1OE=，()()3,0

,0,3BCQ，3,90OCOBOCB===，OCBV是等腰直角三角形，90,2EFBBEOBOE==−=Q1EGGBEG===点F的坐标为()2,1，当EF为边时，∵四边形EFPQ为平行四边形，QEPF=，QE∥PF∥y轴，点P的横坐标与点F的横坐标同为2，18

当2x=时，222233y=−++=，点P的坐标为()2,3，312QEPF==−=，点Q的坐标为()1,2；②当EF为对角线时，如图2中，∵四边形EFPQ为平行四边形，QEPF=，QE∥PF∥y轴，

同理求得：点P的坐标为()2,3，312QEPF==−=，点Q的坐标为()1,2−．综上，点P的标为()2,3，点Q的坐标为()1,2或()1,2−．【点睛】19本题主要考查二次函数与几何的综合，关键是根据题意得到函数表达式，然后根据平行四边形的分类讨论进

行求解即可．8．（2020·河南龙亭·初三月考）综合与探究如图，抛物线26yaxbx=++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为(14)mm.连接A

C，BC，DB，DC，(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值；(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请

直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642yxx=−++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)MMMM−.【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE⊥x轴于点E，交BC于点G，作CF⊥D

E，垂足为F，先求出S△OAC=6，再根据S△BCD=34S△AOC，得到S△BCD=92，然后求出BC的解析式为362yx=−+，则可得点G的坐标为3(,6)2mm−+，由此可得202334DGmm=−

+，再根据S△BCD=S△CDG+S△BDG=12DGBO，可得关于m的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，由点D的坐标可得点N点纵坐标为±154，然后分点N的纵坐标为154和点N的纵坐标为

154−两种情况分别求解；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4，继而求得OM1=8，由此即可求得答案.【详解】(1)抛物线2yaxbxc=++经过点A(-2,0)，B(

4,0)，∴426016460abab−+=++=，解得3432ab=−=，∴抛物线的函数表达式为233642yxx=−++；(2)作直线DE⊥x轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，∵点A的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x=

，得6y=，∴点C的坐标为(0,6)，∴OC=6，∴S△OAC=1126622OAOC==，∵S△BCD=34S△AOC，∴S△BCD=39642=，设直线BC的函数表达式为ykxn=+，21由B，C两点的坐标得406knn+==，解得326kn=−=

，∴直线BC的函数表达式为362yx=−+，∴点G的坐标为3(,6)2mm−+，∴2233336(6)34224DGmmmmm=−++−−+=−+，∵点B的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S△BCD=S△CDG+S△BDG

=1111()2222DGCFDGBEDGCFBEDGBO+=+=，∴S△BCD=22133346242mmmm−+=−+（），∴239622mm−+=，解得11m=(舍)，23m=，∴m

的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，∵D点坐标为15(3,)4，∴点N点纵坐标为±154，22当点N的纵坐标为154时，如点N2，此时2

33156424xx−++=，解得：121,3xx=−=(舍)，∴215(1,)4N−，∴2(0,0)M；当点N的纵坐标为154−时，如点N3，N4，此时233156424xx−++=−，解得：12114,114xx=−=+∴315(114,)4N+−，415(114,)4N−−，∴3(14,0)

M，4(14,0)M−；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，∵115(1,)4N−，D(3，154)，∴N1D=4，∴BM1=N1D=4，∴OM1=OB+BM1=8，∴M1(8，0)，综上，点M的坐标为：12

34(80)(00)(140)(140)MMMM−，，，，，，，.23【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的

关键.9．（2020·四川峨眉山·初三二模）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC

于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；24【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或5+412或5-412；【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待

定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=22，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=22，PQ⊥B

C，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6

m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得253005acc++==−，解得15ab=−

=−，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，25∴AM=22AB=

22×4=22，∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，∴PD=2PQ=2×22=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当P点在直线BC上

方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+412，m2=5-412，综上所述，P点的横坐标为4或5+412或5-412；点睛：本题考查了二次函数的

综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直26角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．10．（2020·渝中·重庆市实验学校初三月考）如图，抛物线223yxx=−−与x轴相交于A、B两点，与y轴相

交于点C．（1）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点G的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】（1）存在，G点坐标分别为(2，-3

)或(4，5)或(-2，5)．【解析】【分析】（1）可以分三种情况讨论，针对每一种情况，设G坐标为()223xxx−−，后构造全等的直角三角形，再由全等三角形的性质可以求得G点坐标．【详解】解：（1）可分三

种情况讨论：a、如图，设G坐标为()223xxx−−，，分别过G、C作x轴、y轴的垂线相交于点E，再过B、D作x轴、y轴的垂线相交于点F，则由四边形BCDG是平行四边形不难得到GECBFDVV，27∴CE=DF，∴-x=3-1，即x=-2，∴()()22232223

5xx−−=−−−−=，即G为（-2，5）；b、如图，设G坐标为()223xxx−−，，分别过G、B作y轴、x轴的垂线相交于点E，再过C、D作x轴、y轴的垂线相交于点F，则由四边形BGCD是平行四边形不难得到

BEGCFDVV，∴EG=DF，∴3-x=1，即x=2，∴222322233xx--=-?=-，即G点为（2，-3）；28c、如图，设G坐标为()223xxx−−，，分别过G、B作x轴、y轴的垂线相交于点E，再过C、D作x轴、y轴的垂线相交于点F，则由四

边形BGDC是平行四边形不难得到GEBCFDVV，∴EB=DF，∴x-3=1，即x=4，∴222342435xx−−=−−=，∴G点坐标为（4,5)；综上所述，G点坐标存在，且其坐标分别为(2，-3)或(4，5)或(-2，5)．29【点睛】本题考查二次函数的动点问题，灵活应用一次函数、二次函

数、平行四边形、全等三角形等知识求解是解题关键．11．（2020·辽宁顺城·初三一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）P在对称轴上，Q在抛物线上，以P，Q，B，C为顶点的四边形为平行四边形，直接写

出点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点P（12，14）或（12，﹣154）或（12，34）．【解析】【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），即可求解；（2）分BC是平行四边形的边、BC是平行四边形

的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】30解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）设点Q（m，n），n＝﹣m2+m+2，点P（12，s），点B、C的坐

标分别为：（2，0）、（0，2），①当BC是平行四边形的边时，点C向右平移2个单位向上平移2个单位得到B，同样点Q（P）向右平移2个单位向上平移2个单位得到点P（Q），则m+2＝12，n﹣2＝s或m﹣2＝12，n+2＝s，解得：s＝14或﹣154，故点P（

12，14）或（12，﹣34）；②当BC是平行四边形的对角线时，m+12＝2，n+s＝2，解得：s＝34，故点P（12，34），综上，故点P的坐标为：（12，14）或（12，﹣154）或（12，34）．【点睛】本题考查了二次函数的综合性问题，能够正确求出函数解析式以及读懂题干意思，画出具体图

形，求出点的坐标是解题的关键