【文档说明】《2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）》4.2.1 等差数列的概念（精练）（解析版）.docx，共(10)页，546.364 KB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-fcca037ba73ae1c385578fa2f28524d5.html

以下为本文档部分文字说明：

4.2.1等差数列的概念（精练）1等差数列基本量的计算1．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）已知数列na为等差数列，472,4aa==−，那么数列na的通项公式为（）A．210nan=−+B．2

5nan=−+C．1102nan=−+D．152nan=−+【答案】A【解析】设数列na的首项为1a，公差为d，由题得11+32+64adad==−，所以182ad==−.所以数列的通项为8(1)(2)210nann=+−−=−+.

故选：A2．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知等差数列na的通项公式53nan=−+，则它的公差为（）A．3B．3−C．5D．5−【答案】D【解析】依题意，等差数列na的通项公式53nan=−+，12

2,7aa=−=−，所以公差为215aa−=−.故选：D3．（2022·广西）等差数列na中，12236,8aaaa+=+=，则na的公差为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】设等差数列na的公差为d，因为12236,8aaaa+=+=，所以312aa−=，则22

d=，得1d=，故选：B4．（2022·陕西）等差数列na的前三项分别是1a−，1a+，3a+，则该数列的通项公式为（）A．23nan=−B．21nan=−C．23naan=+−D．21naan=+−【答案】C【解析】

∵等差数列{}na的前三项依次为1a−，1a+，3a+，∴2(1)13aaa+=−++，解得a为任意实数，故等差数列{}na的前三项依次为1a−，1a+，3a+，故数列na是以1a−为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式1(1)22

3naanan=−+−=+−，故选：C．5．（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）若数列na满足：15a=，且12(2)nnaan−−=−，则=na________【答案】2+7n−【解析】因为数列na满足：15a=，且12(2)nnaan−−=−，所以数列na是首项

为5，公差为2−的等差数列，所以()52127nnan=−−=−+.故答案为：27n−+.6．（2022·全国·高二单元测试）设na是公差为－2的等差数列，如果1479750aaaa++++=，那么36999aaaa++++=_____

_．【答案】－82【解析】∵{}na是公差为－2的等差数列，∴()()()()36999147972222aaaaadadadad++++=++++++++147973325013282aaaad=+++++=

−=−．故答案为：-827．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列na中，2524aa+=，1766a=．(1)求2021a的值；(2)2022是否为数列na中的项？若是，则为第几项？【答案】(1)8

082(2)2022是数列na中的第506项【解析】(1)由题意，设等差数列na的首项为1a，公差为d．由2524aa+=，1766a=，即111424,1666,adadad+++=+=解得12,4.ad==所以，数列na的通项公

式为24(1)42nann=+−=−．所以20214202128082a=−=．(2)令422022nan=−=，解得506n=，所以，2022是数列na中的第506项．8．（2022·江苏·高二课时练习）在等

差数列na中，(1)已知11a=−，公差4d=，求8a；(2)已知公差13d=−，78a=，求1a；(3)已知19a=，公差2d=−，15na=−，求n．【答案】(1)27(2)10(3)13【解析】(1)81727aad=+=；

(2)17610aad=−=；(3)()11naand+−=，()15921n−=−−，13n=；故答案为：27,，10，13.2等差数列的中项性质及应用1．（2022·四川省）已知数列na满足()*122nnnaaan++=+N，且38132πaaa++=，则()79cosaa+=（

）A．32−B．12−C．12D．32【答案】B【解析】由题意知，122nnnaaa++=+，由等差数列的等差中项，得数列{}na为等差数列，又38132aaa++=，所以823a=，则798423aaa+==，所以7941cos()c

oscos332aa+==−=−.故选：B2．（2022·全国·高二课时练习）()2ab+与()2ab−的等差中项是______．【答案】22ab+【解析】设()2ab+与()2ab−的等差中项是A，则()()22222ab

babAa++==−+故答案为：22ab+3．（2022·全国·高二课时练习）若m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是______．【答案】3【解析】由题设，28210mnmn+=+=，可得42mn=

=，所以6mn+=，故m和n的等差中项是3.故答案为：34．（2022·上海普陀·二模）已知等差数列na（*Nn）满足23751aaa+=+，则5a=__________.【答案】1【解析】由题设23755210aaaa+==+，所以2

5(1)0a−=，即51a=.故答案为：15．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）在等差数列na中，若357911100aaaaa++++=，则212aa+=________．【答案】4

0【解析】在等差数列na中，因为357911100aaaaa++++=，又3115972122aaaaaaa+=+==+所以()21251002aa+=，解得21240aa+=；故答案为：406．（2021·河北衡水·高三阶段练习）已知等差数列na中，1

2021,aa分别是方程2410xx−−=的两个根，则1011a=__________．【答案】2【解析】由12021,aa分别是方程2410xx−−=的两个根，得120214aa+=，因为na是等差数列，所以1202110114222aaa

+===．故答案为：27．（2022·全国·高三专题练习）已知{}na是等差数列，3912aa+=，则132012aa−=___________.【答案】3【解析】因为3912aa+=，所以39662aaa+==，因为()()()1320111611111219522

22aaadadada−=+−+=+=，所以1320132aa−=.故答案为：3.8．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列na中，若3410112021aaaa+++=，则579aaa++的

值为__________．【答案】60634【解析】由341011742021aaaaa+++==，而59773aaaa=++，所以57960634aaa=++.故答案为：606349．（2022·安徽）在等差数列na

中，1815360aaa++=，则214aa+的值为__________.【答案】24【解析】依题意，等差数列na中，1815360aaa++=，88560,12aa==，2148224aaa+==.故答案为：2410．（2022·全国·高二专题练习）已知实数abc，，成等差数列，

则点()21P−，到直线0axbyc++=的最大距离是____．【答案】2【解析】由abc，，成等差数列，得2acb+=，所以2cba=－；又点()21P，－到直线0axbyc++=的距离是222222222abcabbaabdababab−+−+−+===+++，由()222

2abab++，即22212abab++，所以2212abab++．当且仅当ab=时取等号，所以22212ababdabab++==++，即点()21P，－到直线0axbyc++=的最大距离是2．故答案为：2．3等差数列的证明或判断1．（202

2·黑龙江）已知数列na满足1133nnnaa+=+，123a=，设3nnnba=.证明：nb为等差数列；【答案】证明见解析【解析】111113333313nnnnnnnnnnnabbaaa+++++−=−=−=，令1n=时，则1123ba==，所

以nb是以2为首项，1为公差的等差数列.2．（2022·云南）已知数列na满足11a=，112nnaa+=−+．（1）求证数列1{}1na+为等差数列；（2）求数列na的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）3

221nnan−=−．【解析】解：（1）数列na满足11a=，112nnaa+=−+．整理得1211111111nnnnnaaaaa++−=−=++++（常数），所以数列1{}1na+是以12为首项，1为公差的等差数列．（2）由于数列1{}

1na+是以12为首项，1为公差的等差数列．所以()111112nna=+−+，所以3221nnan−=−．3（2022山东）已知数列na满足13a=，1311nnnaaa+−=+.证明：数列11na−是等差数列，并求na的通项公式.【答案

】证明见解析，2nnan+=.【解析】（1）1311nnnaaa+−=+，1312(1)1111nnnnnaaaaa+−−−=−=++，1111112(1)12nnnnaaaa++==+−−−，1111121nnaa

+−=−−，13a=，11112a=−，数列11na−是以12为首项，以12为公差的等差数列，1111(1)1222nnna=+−=−，2nnan+=4．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－11na−(n≥2，n∈N*)．设bn

＝11na−，n∈N*，求证：数列{bn}是等差数列；【答案】见解析【解析】证明∵an＝2－11na−，∴an＋1＝2－1na．∴bn＋1－bn＝111na+−－11na−＝1121na−−－11na−＝11nnaa−−＝1，∴{bn

}是首项为b1＝121−＝1，公差为1的等差数列．5．（2022·江西）已知首项为1的数列{}na的前n项和为nS，且11(2)(1)(2)3nnnSnSnnn+−+=++．求证：数列(1)nSnn+是等差数列；【答案】证明见解析【解析】证明：两边同时除以(1)(2)nnn++

，得11(1)(2)(1)3nnSSnnnn+−=+++，又11122S=，故(1)nSnn+是以12为首项，13为公差的等差数列．6．（2022·全国·高二课时练习）已知数列na满足11a=，且()12

22nnnaan−=+．(1)求2a，3a；(2)证明：数列2nna是等差数列；(3)求数列na的通项公式na．【答案】(1)2a=6，3a=20；(2)证明见解析；(3)122nnan=−.【解析】（1）由题设，221226a

a=+=，3322220aa=+=.（2）证明：因为()1222nnnaan−=+，所以()111222nnnnaan−−=+，即()111222nnnnaan−−−=，所以数列2nna是首项111

22a=，公差1d=的等差数列．（3）由（2）得：()1111222nnann=+−=−，所以122nnan=−．7．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知数列na满足：11a=，且112nnnaaa+=−．(1)求证：1na禳镲睚镲铪是

等差数列，并求na的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得221mmaa=+，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析，132nan=−(2)不存在，理由见解析【解析】（1）由112nnnaaa+=−，得112112nnnnaaaa+−==−，∴1112n

naa+−=−又111a=，∴数列1na禳镲睚镲铪是以1为首项，2−为公差的等差数列∴()112123nnna=−−=−+∴132nan=−（2）∵221mmaa=+，∴1213432mm=+−−则22630mm−+=，解得332m=，不符合题意∴不存在正整数m，使得221mmaa=+.

8．（2022·全国·高二课时练习）无穷数列na满足：11340nnnnaaaa+++++=且12a−．（1）求证：12na+为等差数列；（2）若2021a为数列na中的最小项，求1a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）40414043,202020

21−−.【解析】（1）因为11340nnnnaaaa+++++=，则1134nnnnaaaa++=−−−所以()()111112222nnnnnnaaaaaa+++−=++−++()11124nnnnnnaaaaaa+++++=−+()11

12434nnnnnnaaaaaa+++−++−−−+=11nnnnaaaa++=−+−1=，故数列12na+是以1为公差的等差数列；（2）若1102a+，则数列12na+是递增数列，所以数列12na+无最大项，因此na中无最小项，故1102a

+，又数列12na+是递增数列，且2021a为数列na中的最小项，所以202112a+是数列12na+中的最大负项，从而有20212022102102aa+

+，而111122nnaa=+−++，则1112020021202102aa++++，解得14041404320202021a−−，故1a的取值范围为40414043,20202021−−

.4等差数列的单调性1．（2022广东）已知等差数列{}na的公差d为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d等于A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】A【解析】在等差数列na中，由15130aa=，＜，得4513301340adad++＝＝＜，得131334d−−＜，

∵公差d为整数，4=−d．故选A．2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知数列na的通项公式为naabn=+（a，b为常数），则下列说法正确的是（）A．若21aa，则31aaB．若21aa，则32aaC．若31aa，则21aa

D．若21aa，则121aaa+【答案】ABC【解析】由naabn=+,知()111,nnnaabnaab++=++−=，故数列na是等差数列，且公差为b．由等差数列的单调性可得，若21aa，则公差0d，所以数列na是递增数列，故A，B一定

成立；若31aa，则3120daa−=，所以数列na是递增数列，所以21aa，故C一定成立；当20a时，121aaa+不成立，故D不一定成立．故选：ABC．3．（2021·全国·高二课时练习）首项为﹣21的等差

数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A．d>3B．d72C．3≤d72D．3<d72【答案】D【解析】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵从第8项起开始为正数，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，

解得3＜d72．故选：D．4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}na是递增数列，且1233aaa++，7338aa−，则4a的取值范围为___________.【答案】(4,11−【解析】∵等差数列na是递增数列，且1233aaa++，∴21,0ad，又∵(

)731113863228aaadada−=+−+=−，∴14a−，2105daa=−，4134aad=+−，42211011aad=++=，即4a的取值范围为(4,11−，故答案为(4,11−.5．（2022广西）已知数列{}na的通项公式为2514nann=

−−.（1）试问10是数列{}na中的项吗？（2）求数列{}na中的最小项.【答案】（1）8（2）当2n=或3n=时，na取得最小值-20.【解析】（1）令251410nn−−=，即25240nn−−=，解得

3n=−（舍去）或8n=，因此10是数列na中的第8项.（2）由258124nan=−−，且*nN知，当2n=或3n=时，na取得最小值-20.所以数列na中的最小项为：2320aa==−