【文档说明】《2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）》4.2.2 等差数列的前n项和（精练）（解析版）.docx，共(17)页，860.610 KB，由envi的店铺上传

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4.2.2等差数列的前n项和（精练）1等差数列基本量的计算1．（2022·四川省）等差数列na的前n项和为nS，已知36S=，48a=，则公差为（）A．-1B．2C．3D．-2【答案】C【解析】设等差数列na的公差为d，由题意可得：3141

=3+3=6=+3=8Sadaad，解得：1=1=3ad−.故公差为3.故选：C2.（2022·六盘山）《算法统宗》是我国中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对中国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许

多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为n

a，则3a=（）A．14B．18C．29D．32【答案】C【解析】由题意，数列na是以3−为公差的等差数列，因为91989(3)2072Sa=+−=，解得135a=，所以31(31)(3)29aa=+−−=.故选：C

.3．（2022·江苏·高二课时练习）在等差数列na中，(1)已知316a=，2020S=，求10S；(2)已知3737aa+=，求9S；(3)已知11a=，49SS=，求nS；(4)已知11a=，

2d=，224nnSS+−=，求n．【答案】(1)110；(2)3332；(3)21312nn−；(4)5.【解析】(1)设公差为d，则312012162019020aadSad=+==+=，解得1202ad==−，所以101104520090110Sad=+=−=.(2

)由1999()2aaS+=，而19aa+=3737aa+=，所以993733322S==.(3)由题设，19149()4()22aaaa++=，而11a=，则49459aa=+，若公差为d，则4125972dd+=++，可得16d=−，所以21(1)(1)1321212nnnnnnnnadn

S−−−=+=−=.(4)由21224nnnnSSaa+++−=+=，又11a=，2d=，所以12(21)4424andn++=+=，可得5n=.4．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列na的前n项和为nS．(1)已知11a=，公差2d=，15n=，求

na和nS；(2)已知113a=−，公差2d=，7na=，求n和nS；(3)已知18a=，5n=，12na=，求公差d和nS；(4)已知2na=，12n=，90nS=，求1a和公差d．【答案】(1)1529naa==，15225nSS==(2)11n

=，1133nSS==−(3)158d=−，5854nSS==(4)113,1ad==−【解析】(1)等差数列na中11a=，公差2d=，15n=，1512(151)29naa==+−=，1515(129)2252nSS+===；(2)等差数列na中113a=−，2d

=，由132(1)7n−+−=，可得11n=，1111(137)332nSS−+===−(3)等差数列na中18a=，5n=，由18(51)2d=+−，可得158d=−，515(8)85224nSS+===(4)等差数列na中2na=，12n=，90nS=，由112119

01266adad=+=+，可得1131ad==−2等差数列前n项和与中项性质1．（2022·天津·高二期末）若等差数列na，nb的前n项和分别为nS，nT，满足2131nnSnTn−=+，则44ab=

_______.【答案】1322【解析】依题意可得()()171717744447177227113272371222aaSaabbbaabbTb−====++=+++=；故答案为：13222．（2022·全国·高二课时练习）已知na、nb都是等差数列，nS为na的前n项和，nT

为nb的前n项和，且3523nnSnTn+=−，则66ab=______．【答案】2【解析】因为na、nb都是等差数列，nS为na的前n项和，nT为nb的前n项和，且3523nnSnTn+=−，所以()()11166111111116611111112311522112

21132aaaaaaSbbbbbbT+++======++−，故答案为：23．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知nS，nT分别是等差数列na，nb的前n项和，且()*31,1nnSnnNTn+=+，则1011318615aabbbb+=++

______．【答案】6121【解析】因为nb为等差数列，所以318615bbbb+=+，所以()()1201010111202011318615615120201201203201612120121202aaaaaaaS

abbbbbbbbTbb+++++======++++++.故答案为：61213等差数列前n项和性质1．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（）A．110B．150C．210D．

280【答案】D【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150，又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S

30－S20)，所以S40＝280.故选：D.2．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）已知数列na是等差数列，3613SS=，则612SS=（）A．310B．13C．18D．19【答案】A【解析】由3613SS=，得633SS=，设3Sm=，则63Sm=，因为数列n

a是等差数列，所以36396129,,,SSSSSSS−−−，……，是以m为首项，m为公差的等差数列，所以961293,4SSmSSm−=−=，所以96Sm=，1210Sm=，所以612331010SmSm==，故选：A3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列na

中，若12530aaa+++=，671080aaa+++=，则111215aaa+++=（）.A．110B．120C．130D．140【答案】C【解析】设公差为d，则()()6710125aaaaaa+++−+++()()()617210555555aaaaaaddd

dd=−+−++−=++++25803050d==−=，所以2d=，所以()11121565aaaad+++=++()()()71067110552580252130adadaaad++++=++

++=+=.故选：C4．（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知nS为等差数列na的前n项和，且75S=，1420S=，则28S=（）．A．35B．50C．80D．110【答案】C【解析】由nS为等差数列na的前n项和，

则7S，147SS−，2114SS−，2821SS−也成等差数列，所以5，15，2114SS−，2821SS−成等差数列，即211425SS−=，282135SS−=，所以2880S=．故选：C5．（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a

1＝﹣2018，20192013620192013SS−=，则S2020等于（）A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040【答案】C【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{nSn}是等差数列．∵a1＝﹣2018，2019201362019

2013SS−=，∴数列{nSn}的公差d616==，首项为﹣2018，∴20202020S=−2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故选：C．6．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列na中，n

S为其前n项和．若20232023S=，且2021202001202120SS−=，则1a等于（）A．-2021B．-2020C．-2019D．-2018【答案】A【解析】因为nS为等差数列{}na的前n项和，令nnbnS=

，则{}nb也为等差数列，设其公差为d，由2021202021202001202120SSbb−=−=，得1d=，又2023202312023Sb==，得1112023=20221Sbabd==−1

20222021=−=−.故选：A．7．（2022·广东）已知等差数列na共有21n+项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则1na+的值为（）．A．30B．29C．28D．27【答案】B【解析】奇

数项共有()1n+项，其和为()()121121129022nnaaann++++=+=，∴()11290nna++=．偶数项共有n项，其和为2211226122nnnaaannna+++===，∴129026129na+=−=．故选：B．8．

（2021·全国·高二专题练习）已知某等差数列na的项数n为奇数，前三项与最后三项这六项之和为78，所有奇数项的和为65，则这个数列的项数n为（）A．9B．11C．13D．15【答案】A【解析】由已知，1231278nnnaaaaaa

−−+++++=，所以126naa+=，所有奇数项的和为()()1135113126522nnnaanaaaa+++++++===，于是可得9n=.故选：A.9．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）已知等差数列na的前n项和为nS，若1020S=，3090S=，则20S=______

_____【答案】50【解析】由题设1020103020,,SSSSS−−成等差数列，所以20101030202()SSSSS−=+−，则20103033150SSS=+=，所以2050S=.故答案为：5010．（2022·辽宁·高二期末）等差数列na中，12

020a=，前n项和为nS，若101221210SS−=−，则2022S=______.【答案】2022−【解析】设na的公差为0d，由等差数列的性质可知，因为()12nnnaaS+=，故12nnS

aan+=，故111101222nnnnSSaaaadnn−−++−=−=−为常数，所以nSn为等差数列，设nSn公差为d12020a=，120201S=，1012221210SSd−==−，1d=−，202220202021(1)12022S=+−=

−，则20222022S=−故答案为：2022−11．（2022·全国·高二）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，SS奇偶＝1113，则公差d＝________.【答案】2【解析】由12011

13SSSS+==奇偶奇偶,得5565SS==奇偶,所以SS−奇偶＝5d＝10，所以d＝2.故答案为：2.12．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列na的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项中，奇数项

的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．【答案】29【解析】】因为n为奇数，所以1716SnSn+==−奇偶，解得13n=．所以13713377Sa==，所以729a=．故所求的中间项为29．故答案为：294等差数列前n项和的最值1．（2022·湖南

·新邵县教研室高二期末）（多选）已知递减的等差数列na的前n项和为nS，59SS=，则（）A．70aB．7S最大C．140SD．130S【答案】ABD【解析】因为59SS=，故67890aaaa+++=，所以780+=aa

，因为等差数列na为递减数列，故公差0d，所以780,0aa，故AB正确.又()147870Saa=+=，137130Sa=，故C错误，D正确.故选：ABD.2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设Sn是等差数列{an}的前n项之和，且S6＜S7，S7＝S8＞

S9，则下列结论中正确的是（）A．d＞0B．a8＝0C．S10＞S6D．S7，S8均为Sn的最大项【答案】BD【解析】∵S6＜S7，S7＝S8＞S9，∴790,0aa，a8＝0，d＜0，且a1＞0，∴S7，S

8均为Sn的最大项，故A错误，B和D正确；∵Sn是关于n的二次函数，且开口向下，对称轴为782+=7.5，∴S10＜S6，故C错误，故选：BD.3．（2022·四川）已知等差数列na的前n项和为nS，则（）A．若98SS，910SS，则170S，180SB．若1

70S，180S，则98SS，910SSC．若170S，180S，则170a，180aD．若170a，180a，则170S，180S【答案】B【解析】设等差数列na的公差为d，A选项，若98SS，910SS，8989,0SaSa+，991010,0SSaa+

，则0d，11791792171717022aaaSa+===，则90a，()118189101892aaSaa+==+，无法判断符号，A选项错误.B选项，1179179217171702

2aaaSa+===，则90a，所以898SaS+，所以98SS.()1181891018902aaSaa+==+，则100a，所以9910SSa+，910SS，B选项正确.C选项，若1

70S，180S，171181880,0SSaa=+，11791792171717022aaaSa+===，则90a，()1181891018902aaSaa+==+，则100a，则10,0ad，170a，C选

项错误.D选项，若170a，180a，则10,0ad，当*117,Nnn时0na，所以170S，但()1181891018902aaSaa+==+，所以D选项错误.故选：B4．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习

）（多选）已知等差数列na的前n项和为nS，公差为d，若10911SSS，则（）A．0dB．10aC．200SD．210S【答案】AD【解析】因为109SS，1011SS，所以109100SSa−=，1110110aSS=

−，故等差数列首项为负，公差为正，所以0d，10a，故A正确，B错误；由911SS，可知11910110SSaa−=+，所以()()20120101110100Saaaa=+=+，故C错误；

因为110a，所以2111210Sa=，故D正确．故选：AD5．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知nS是等差数列na的前n项和，且675SSS，下列说法正确的是（）A．0dB．120SC．数列nS的最大项为11SD．67aa【答案】ABD【解析】因为7670SS

a−=，6560SSa−=，所以760daa=−，A正确；75670SSaa−=+，所以()()112126712602aaSaa+==+，B正确；因为60a，70a，所以数列nS的最大项为6S，C不正确；因为60a，70a，670aa+，所以670aa−

，即67aa，D正确．故选：ABD．6．（2022·云南·昆明一中高二期末）（多选）在等差数列na中，首项10a，公差0d，前n项和为()*nSnN，则下列命题中正确的有（）A．若78SS，则80aB．若78SS，则67S

SC．若311SS=，则140S=D．若311SS=，则7S是nS中的最小项【答案】AC【解析】对于A，因为78SS，所以870SS−，得80a，所以A正确，对于B，因为78SS，所以870SS−，得80a，因为10a，所以0d，所以7a有可能

大于零，也有可能小于零，所以6S与7S无法比较大小，所以B错误，对于C，因为311SS=，所以456110aaaa++++=，所以783()0aa+=，所以780+=aa，所以781114414

()14()220aaaaS++===，所以C正确，对于D，因为311SS=，可得780+=aa，因为10a，所以0d，780,0aa，所以7S是nS中的最大项，所以D错误，故选：AC7．（2022·

广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知等差数列na的通项公式为92nan=−，则其前n项和nS的最大值为____________.【答案】16【解析】根据题意，1231=nnnSaaaaa−+++++()()()()2*=7531129279282nnnnnnnN

++++−+−=+−=−+，所以当842n=−=−时，nS有最大值且最大值为：4163216S=−+=.故答案为：168．（2022·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2021＜0，S2022＞0，则当Sn最小时，n的值为__．

【答案】1011【解析】因为等差数列{an}的中，S2021()1202120212aa+==2021a1011＜0，S2022＝1011（a1+a2022）＝1011（a1011+a1012）＞0，所以a1011＜0，a101

1+a1012＞0，则当Sn最小时，n＝1011．故答案为：1011．5含有绝对值等差数列求和1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na的前n项和为nS，123n=，，，，从条件①、条件②和条件③中

选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：55a=；条件②：12nnaa+−=；条件③：24S=−.）选择条件和．(1)求数列na的通项公式；(2)设数列nb满足nnba=，并求数列nb的前n项的和nT【

答案】(1)25nan=−(2)当12n≤≤时2=4nTnn−+，当3n时248nTnn=−+【解析】（1）选①②，由12nnaa+−=可知数列na是以公差2d=的等差数列，又55a=得13a=−，故()32125nann=−

+−=−选②③，由12nnaa+−=可知数列na是以公差2d=的等差数列，由24S=−可知124,aa+=−13a=−，()32125nann=−+−=−选①③，无法确定数列.（2）52,12;252525,3nnnnnanbannn−

=−==−=−，其中nN,当12n≤≤，nN时，2=4nTnn−+当3n，nN时，数列nb是从第三项开始，以公差2d=的等差数列()()21252=4+482nnnTnn+−−=−

+.2．（2022·辽宁·高二期中）已知在前n项和为nS的等差数列na中，42222aa−=，3102S=．(1)求数列na的通项公式；(2)求数列na的前20项和20T．【答案】(1)403nan=−；(2)324.【解析】(1)由13323()3102

2aaSa+===，则234a=，由424223422aaa−=−=，则428a=，所以4226daa=−=−，即3d=−，故137a=，则403nan=−.(2)由（1）知：4030nan=−，可得403n，即13n，故13n时0na，所以11

3142020113142013()7()...(...)13197(11)32422aaaaTaaaa++=++−++=−=−−=.3．（2022·四川省）已知数列{an}是等差数列，公差为d，Sn为数列{an}的前n项和，a1+a7

=-2，S3=15.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.【答案】(1)311nan=−+*()nN(2)Tn=2(193)323196042nnnnnn−−+，，【解析】(1)解法一∵{an}是等

差数列，公差为d，且a1+a7=-2，S3=15，∴11262323152adad+=−+=，，解得a1=8，d=-3，∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11，∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).解法二∵{a

n}是等差数列，∴2a4=a1+a7=-2，∴a4=-1.∵S3=15，∴3a2=15，∴a2=5.∵a4=a2+2d，即-1=5+2d，∴d=-3，∴an=5+(n-2)(-3)=-3n+11.∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).(2)令an≥0，则-3n+11≥0，∴

3n≤11，∴n≤113，又n∈N*，∴当n≤3时，an>0;当n≥4时，an<0.∵a1=8，an=-3n+11，∴当n≤3时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=(8-311)(19-3)22nnnn+=，当n≥4时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=

a1+a2+a3+(-a4-…-an)=2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3-Sn=2×15-2(193)3196022nnnn−+−=，∴Tn=2(193)32319604.2nnnnnn−−+，，，4．（20

22·广东·测试·编辑教研五高二阶段练习）等差数列na的前n项和为nS．已知110a=，2a为整数，且4nSS．(1)求数列na的通项公式；(2)若nnba=，设数列nb的前n项和为nT，求20T的值．【答案】(1)133nan

=−(2)414【解析】(1)解：设等差数列na的公差为d，因为4nSS，则3454SSSS，可得4500aa，即10301040dd++，解得10532d−−，因为2Za，则Zd，3d=−，因此，()()111031133naand

nn=+−=−−=−.此时()()12101333232222nnnaannSnn++−===−+，故当4n=时，nS取得最大值，合乎题意，所以，133nan=−.(2)解：由（1）知133nan=−，所以133,4133313,5nnnnbannn−==−=−，因此，

()()()20122024716107412547224142Tbbb+=+++=+++++++=+=.5．（2021·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）记nS为等差数列na的前n项和，已知9534Saa−==.(1)求na的通项公式.(2)记12nnT

aaa=+++，求nT.【答案】(1)85139186nan=−(2)2285749,4363685749818,536369nnnnTnnn−+=−+【解析】(1)设公差为d，则()1995992aaSa+==，又9534Saa−==，所以39a=−，549

a=，故5385218aad−==，所以1316629aad=−=−，所以()1851391186naandn=+−=−(2)当4n时，851390186nan=−，当5n时，851390186nan=−，所以当4n

时，2857493636nnTSnn=−=−+，当5n时，()()1141244442222nnnnnnaaaaTaaaSSSSS++=+++=−+−=−=−28574981836369nn=−+综上：2285749,436368

5749818,536369nnnnTnnn−+=−+6．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列na为等差数列，且280aa+=，26log1a=.(1)求数列na的通项公式及前n项和nS；(2)求数列n

a的前n项和nT.【答案】(1)210nan=−，29nSnn=−(2)229,4940,5nnnnTnnn−+=−+，*nN【解析】（1）设na的公差为d，则2811617052,aaadadaad+=+++==+=，解得182ad=−=，所以210na

n=−，2(8210)92nnnSnn−+−==−.（2）由2100nan=−，得5n，所以当4n时，0na；当5n时，0na，所以当4n时，()212129nnnnTaaaaaaSnn=+++=−+++=−

=−+；当5n时，1245nnTaaaaa=++++++()()()212454442940nnnaaaaaSSSSSnn=−++++++=−+−=−=−+，所以229,4940,

5nnnnTnnn−+=−+，*nN.7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知数列na中，12325a=，112nnaa−=−（2n，*Nn），数列nb满足()*1N1nnbna=−．(1)证明nb是等差数列，并求nb的通项公式；(2

)求123nbbbb++++；(3)求数列na中的最大项和最小项，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；272=−nbn(2)①13n时，123nbbbb++++=2262nn−+；②13n时123nbbbb+++

+2263382nn−+=(3)()max3=na，()min1=−na；理由见解析【解析】（1）证明：111111111111111111121nnnnnnnnnabbaaaaaa−−−−−−−−=−=−=−=−−−−−−−，又11125

12ba==−−，∴数列nb是252−为首项，1为公差的等差数列．∴()127112nbbnn=+−=−（2）记nb的前n项和为nS，则2262nnnS−=由2702nbn=−，得272n，即13n时，0nb；14n时，0nb，①13n时，123nbb

bb++++=212326-2nnnnbbbbS−+−−−−=−=．②13n时123nbbbb++++=12313141516-nbbbbbbbb−−−−+++++=2132633822

nnnSS−+=−=．（3）由12712nnbna==−−，得()*21N227nann=+−．又函数()21227fxx=+−在27,2−和27,2+上均是单调递减．由函数()21227fxx=+−的图象，可得：()14max3naa==，()

13min1naa==−．8．（2022·江苏省镇江中学高二开学考试）已知数列na中，()11231,22,N25nnaanna−==−，数列nb满足：()1N1nnbna=−．(1)

求证：数列nb是等差数列，并求数列nb的通项公式；(2)求1220bbb+++的值；(3)求数列na中的最大项和最小项，并说明理由．【答案】(1)证明见详解；272=−nbn(2)109(3)()max3=na，()min1=−na，理由见详解【解析

】（1）因为111111111111121nnnnnnbbaaaa−−−−−=−=−=−−−−−()*2,Nnn，又1112512ba==−−，∴数列nb是252−为首项，1为公差的等差数列．∴()127112nbbnn=+−=−.（2）由270

2nbn=−，得272n，即13n时，0nb；14n时，0nb，∴()123201213141520bbbbbbbbbb++++=−+++++++251312277613171411

092222=−−++−+=（3）由12712nnbna==−−，得()*21N227nann=+−又函数()21227fxx=+−在27,2−

和27,2+上均是单调递减．由函数()21227fxx=+−的图象，可得：()14max3naa==，()13min1naa==−.