【文档说明】《2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）》4.2.1 等差数列的概念（精讲）（解析版）.docx，共(10)页，623.980 KB，由envi的店铺上传

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4.2.1等差数列的概念（精讲）考点一等差数列基本量的计算【例1-1】（2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等差数列na中，(1)已知331a=，776a=，求1a和公差d；(2)已知44a=，84a=−，求12a；(3)已知37a=

，616a=，求10a；(4)已知1612aa+=，47a=，求9a．【答案】(1)1172a=，454d=；(2)12−(3)28(4)17.【解析】(1)73445aad−==，454d=，134517231242aad=−=−=；(2

)8448aad−==−，2d=−，128412aad=+=−；(3)6339aad−==，3d=，106428aad=+=；(4)1612512aaad+=+=，4137aad=+=，上两式联立：2d=，11a=，91817aad=+=；故答案为：1172a

=，454d=，-12，28，17.【例1-2】（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）在等差数列na中，1=2a，1558a=．(1)求na的通项公式；(2)判断96是不是数列na中的项？【答案】(1)=

42nan−；(2)不是.【解析】（1）设等差数列na的公差为d，则1151845aad=+=，而1=2a，于是得=4d，1(1)42naandn=+−=−，所以数列na的通项公式是42nan=−.（2）由（1）知，

42nan=−，由4296n−=得：492n=不是正整数，所以96不是数列na中的项.【一隅三反】1．（2022·江苏·高二课时练习）等差数列na的首项为1a，公差为d，项数为n．(1)已知13a=，2d=，6n=，求na；(2)已知11a=，2d=，15na=，求n；(

3)已知112a=，5n=，8na=，求d；(4)已知32d=−，12n=，8na=−，求1a．【答案】(1)13(2)8(3)158(4)172【解析】(1)解：因为数列na为等差数列，13a=，2d=，6n=，所以()()1131221naand

nn=+−=+−=+，所以626113a=+=；(2)解：因为数列na为等差数列，11a=，2d=，15na=，所以()15112n=+−，解得8n=；(3)解：因为数列na为等差数列，112a=，5n=，8na=，所以()515182ad=+−=，解得158d=

；(4)解：因为数列na为等差数列，32d=−，12n=，8na=−，所以()121312182aa=+−−=−，解得1172a=.2．（2022·全国·高二课时练习）已知na为等差数列，且以12a=，23a=，若在每相邻两项之间插入三个数，使

它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：(1)原数列的第12项是新数列的第几项？(2)新数列的第29项是原数列的第几项？【答案】(1)第45项(2)第8项．【解析】（1）设新数列为nb，则112ba

==，523ba==，根据()11nbbnd=+−，有514bbd=+，即324d=+，所以14d=，所以()172144nnbn+=+−=．又因为()()14371114nnaann−+=+−=+=

，所以43nnab−=．即原数列的第n项为新数列的第43n−项．当12n=时，4345n−=，故原数列的第12项为新数列的第45项．（2）由(1)43nnab−=，令4329n−=，得8n=，即新数列的第29项是原数列的第8项．考点二等差中项及应用【例2-1】（2022·广东肇庆·高二期末）在等

差数列na中，267,21aa==，则4a=（）A．14B．16C．18D．28【答案】A【解析】因为等差数列na中，267,21aa==，624142aaa+==，故选：A.【例2-2】（2021·江

苏省灌南高级中学高二期中）在等差数列{an}中，a2、a4是方程2340xx−−＝的两根，则a3的值为（）A．2B．3C．±2D．32【答案】D【解析】由题意可得：243aa+=∵{an}为等差数列，则24323aaa+

==∴332a=故选：D.【例2-3】（2022·江苏）在等差数列na中，已知1328aa==，，则456aaa++等于（）A．40B．42C．43D．45【答案】B【解析】由题意得等差数列na中，已知1328aa==，，设公差为d，则8232d−

==，故456533(2+43=42aaaa==++），故选：B【一隅三反】1．（2022·四川省）等差数列na的前三项依次为x，21x+，42x+，则x的值为（）A．55+xB．21x+C．2D．0【答案】D【解析】依题意()22142xxx+=++，解得0x

=；故选：D2．（2022·辽宁省实验中学东戴河分校高三阶段练习）已知数列na为等差数列，且1594aaa++=，则37tan()aa+=（）A．3B．33−C．3−D．33【答案】C【解析】因为数列na为等差数列，且1594aaa+

+=所以159534aaaa++==，解得543a=，所以3758tan()tan2tantan3tan3333aaa+===−=−=−.故选：C3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知等差数列n

a满足1231010aaaa++++=，则（）A．11010aa+B．21000aa+C．3990aa+=D．510a=【答案】CD【解析】根据等差数列的性质，得110121005052512aaaaaaa+=+==+=，因为1231010

aaaa++++=，所以510a=，所以110121003995120aaaaaaa+=+=+==，故选：CD.4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设x是a与b的等差中项，2x是2a与2b−的等差中项，则a与b的关系为（）A．ab=−B．3ab=C．ab=D．

3ab=−【答案】AB【解析】由等差中项的定义知2abx+=，2222abx−=，所以22222abab−+=，即22230aabb−−=，所以()()30abab+−=，故ab=−或3ab=.故选：AB考点三等差数列的证明或判

断【例3-1】（2022广东）（多选）下列数列中，是等差数列的是（）A．1，4，7，10B．lg2,lg4,lg8,lg16C．54322,2,2,2D．10，8，6，4，2【答案】ABD【解析】根据等差数列的定义，可得：A中，满足41=74=1073−−−=(常数)，所

以是等差数列；B中，满足lg4lg2lg8lg4lg16lg8lg2−=−=−=(常数)，所以是等差数列；C中，因为453423222222−−−，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足8106846242−=

−=−=−=−(常数)，所以是等差数列.故选：ABD.【例3-2】（2022·陕西·西北农林科技大学附中）已知数列na满足13a=，11212nnnaaan−−=−，.(1)求2a､3a､4a；(2)求证：数列

11na−是等差数列，并求出数列na的通项公式.【答案】(1)253a=，375a=，497a=；(2)证明见解析，2121nnan+=−.【解析】(1)由1121nnnaaa−−=−得112nnaa−=−，代入13a=，n依次取值2，3，4，得215233a=−=，3

37255a=−=，459277a=−=.(2)证明：由1121nnnaaa−−=−变形，得()()()()111111nnnnaaaa−−−−=−−+−，即111111nnaa−−=−−，所以11na−是等差数列.由11112a=−，所以11

112nna=+−−，变形得2121nan−=−，所以2121nnan+=−.【一隅三反】1.（2021·全国高二课时练习）（多选）下列数列是等差数列的是（）A．0，0，0，0，0，…B．1，l，111，111l，…C．－5，－3，－1，1，3，…D．1，2，3，5，8，…

【答案】AC【解析】根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而BD中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数，故选：AC．2（2021·辽宁抚顺·高二期末）（多选）下列说法错误的有（）A．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则2loga

，2logb，2logc成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则2a+，2b+，2c+成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列【答案】ABD【解析】若a，b，c成等差数列，可取1,2,3abc===，

则21a=，24b=，29c=，所以22228bac=+，故A错误；则2log0a=，2log1b=，22loglog3c=，所以2222log2loglogbac=+，故B错误；则22a=，24b=，28c=，所以22822bac=+，故D错误

；若a，b，c成等差数列，则2bac=+，所以()2224422bbacac+=+=++=+++，所以2a+，2b+，2c+成等差数列，故C正确.故选：ABD.3．（2022·湖北）数列na满足()*196,2nnanNna−=−.(1)求证：数列13na

−是等差数列.(2)若16a=，求数列na的通项公式【答案】(1)证明见解析(2)33nan=+【解析】(1)当2n时，111111113111111933339339363nnnnnnnnnaaaaaaaaa−−−−−−−−−−=−=−=

=−−−−−−−−，数列13na−是以13为公差的等差数列.(2)11133a=−，数列13na−首项为13，公差为13，()11113333nnna=+−=−，则33nan

−=，33nan=+.4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝11na−.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)52nnan+=+【解析】（1）证

明：∵(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)111na+−－11na−＝11(1)(1)nnnnaaaa++−−−＝13，∴bn＋1－bn＝13，∴{bn}是以首项为b1＝111a−＝121−＝1，公差为13的等差数列．（2）由(1

)及b1＝111a−＝121−＝1，知bn＝13n＋23，∴an－1＝32n+，∴an＝52nn++.考点四等差数列的单调性【例4-1】（2022·北京）已知等差数列na单调递增且满足186aa+=，则6a的取值范围是（）A．(),3−B．()3,6C．()3+，D．()6,+【答案】C

【解析】因为na为等差数列，设公差为d，因为数列na单调递增，所以0d，所以18366236aaaaad+=+=−=，则62630ad−=，解得：63a，故选：C【例4-2】（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高二期中）已知数列na，()*1131,22,5−=

=−nnaannNa，数列nb满足()11nnbnNa=−.(1)求证：数列nb是等差数列；(2)求数列na中的最大项.【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】(1)因为()1122,nnannNa−=−，

()11nnbnNa=−.所以当2n时，111111111111121nnnnnnbbaaaa−−−−−=−=−=−−−−−又152b=−，所以数列nb是以5-2为首项，以1为公差的等差数列..(

2)由（1）知，72nbn=−.则12111,2,327nnanbn=+=+=−，时，1na,设函数()fx=2127x+−易知()fx在7，2+上为减函数所以当4n=时，na取得最大值3.【一隅三反】1．（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）首项为24−的

等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（）．A．83dB．3dC．533dD．833d【答案】D【解析】依题意，令该等差数列为{}na，则有24(1)nand=−+−，因数列

{}na从第10项开始为正数，因此91000aa，即82409240dd−−，解得：833d，所以公差d的取值范围是833d.故选：D2．（2022·北京顺义·高二期末）已知数

列na为各项均为整数的等差数列，公差为d，若11,25naa==，则nd+的最小值为（）A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】因为11,25naa==，所以1(1)1(1)25naandnd=+−=+−=，所以(1)24nd−=，所以241dn=−，因为数列na为各

项均为整数的等差数列，所以公差d也为正整数，所以d只能是1，2，3，4，6，8，12，24，此时n的相应取值为25，13，9，7，5，4，3，2，所以nd+的分别为26，15，12，11，11，12，15，26，所以nd+的最小值为11，故选：C3．

（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列na的公差为d，则“0d”是“数列na为单调递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若

0d，则10nnaad+−=，即1nnaa+，此时，数列na为单调递增数列，即“0d”“数列na为单调递增数列”；若等差数列na为单调递增数列，则10nndaa+=−，即“0d”“数列na为单调递增数列”.因此，“0d”是“数列na为单调递增数列”的充分

必要条件.故选：C.4．（2022·全国·高二课时练习）设等差数列na满足8790aaa++，7100aa+，若0na，则项数n的最大值是______．【答案】8【解析】由8779108023aaaaaa+++==，而710890aaaa+=+，

所以87910,00,0,0aaaa，故等差数列na递减，所以，对于等差数列na，要使0na最大n值为8.故答案为：8