【文档说明】《【解题思路培养】2023年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（新高考专用）》专题02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx，共(9)页，430.665 KB，由envi的店铺上传

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专题02数列求通项（累加法、累乘法）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍一、累加法（叠加法）若数列na满足)()(*1Nnnfaann=−+，则称数列na为“变差数列”，求变差数列na的通项时，利用恒等式)2()1()3()2()1()()

()(1123121−+++++=−++−+−+=−nnffffaaaaaaaaannn求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：21(1)aaf−=32(2)aaf−=43(3)aaf−=1(1)nnaafn−−=−将上述1n−个式子相加（左边加左边，右边加右边）

得：2132431()()()()nnaaaaaaaa−−+−+−++−=(1)(2)(3)(1)ffffn++++−整理得：1naa−=(1)(2)(3)(1)ffffn++++−二、累乘法（叠乘法）若数列na满足)()

(*1Nnnfaann=+，则称数列na为“变比数列”，求变比数列na的通项时，利用)2()1()3()2()1(113423121−==−nnffffaaaaaaa

aaaannn求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：21(1)afa=32(2)afa=43(3)afa=1(1)nnafna−=−将上述1n−个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：2341231(1)(2)(3)(1)nnaaaaffffnaaaa−=−整理得：1(1

)(2)(3)(1)naffffna=−二、典型例题例题1．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））在数列na中，10a=，121(2)nnaann−−=−．求na的通项公式．感悟升华（核心秘籍）1、使用累加法的标准模型：①*1()()nnaafnnN+

−=或②1()(2)nnaafnn−−=2、累加法使用过程中，从21aa−开始，最后结束时应写到1nnaa−−，注意避免出现1nnaa+−，最大的下角标只写到n.思路点拨：根据题意：，符合累加法的标准模型解答过程：左边加左边，

右边加右【答案】21nan=−解：因为121(2)nnaann−−=−，所以()()()()21324311...nnnaaaaaaaaaa−−−−−=+++++，357...210n=++++−+，()()13212nn−+−=，21n=−，又10a

=适合上式，所以21nan=−；例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知数列na满足13a=，112nnnaa−−−=(2)n.求数列na的通项公式；【答案】21nna=+；112nnnaa−−

−=，212aa−=2322aa−=思路点拨：根据题意：，符合累加法的标准模型解答过程：左边加左边，右边加右112nnnaa−−−=12221nnnnaaa−=−=+.例题3．（2022·全国·高二）已知数列na中，()111,1nnanana+=+=.求na的通项公式；感

悟升华（核心秘籍）1、使用累乘法的标准模型：①*1()()nnafnnNa+=或②1()(2)nnafnna−=2、累加法使用过程中，从21aa开始，最后结束时应写到1nnaa−，注意避免出现1nnaa+，最大的下角标只写到n.3、累乘过程中，剩余分子分母是配对的，剩几个分母，搭配几个

分子如本例中，23412311nnn==−右边分母剩一个“1”，分子最后剩一个“n”【答案】nan=思路点拨：根据题意：，符合累乘法的标准模型解答过程：左边加左边，右边加右所以：解：由题意，11nnanan++=，又11a=，所以132112211321

1221nnnnnaaaannaanaaaann−−−−===−−，所以nan=.例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列nb满足()112,2nnbnbnb+=+=，其中*nN．求数列nb的通项公式；感悟升华（核心秘籍）本例标准模型

：12nnbnbn＋＋＝，再使用累乘法时，在计算等号右边时属于隔项相消，剩几个分母，就搭配几个分子，如本例剩分母“1,2”，则分母搭配剩“n，1n+”【答案】()()*1nbnnnN＝＋由()()*1122nnbnbnbnN＋＝，＋＝，得：12nnbnbn＋

＋＝，那么312412321345112321nnnnbbbbbnnbbbbnbn−−−−−＋＝，＝，＝，，＝，＝，以上n个式子相乘，可得()113451123212nnnbnnbnn−−＋＋＝＝，思路点拨：根据题意：，符合累乘法的标准模型解答过程：

左边加左边，右边加右所以：()()12nbnnn＝＋，又12b＝满足上式，所以nb的通项公式()()*1nbnnnN＝＋．三、题型归类练1．（2022·河北唐山·三模）已知正项数列na满足221111,(21)(21)++=−+=++nnnnaana

ana．求数列na的通项公式；【答案】(1)2nan=由已知()2211(21)0++−−++=nnnnaanaa，即()()11210+++−−−=nnnnaaaan．又0na，故121nnaan+−=+，即121

nnaan−−=−（2n且nN）．所以，当2n时，()()()121321nnnaaaaaaaa−=+−+−++−135(21)=++++−n2n=当1n=时，11a=．所以2nan=．2．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）设数列na满足12a=，2113

2nnnaa−+−=．求数列na的通项公式；【答案】212nna−=因为数列na满足12a=，21132nnnaa−+−=，所以()()()()23252111221132222−−−−−−=−+−++−+=++++nnnnnnnaaaaaaaa()1121241

3224241−−−−=+==−nnn．3．（2022·重庆八中高二阶段练习）已知数列{}na满足112,342nnnaaa+=−=−，*nN．求数列{}na的通项公式；【答案】(1)42nnan=−；由题可知

，当2n…时，132211()()()nnnaaaaaaaa−=−++−+−+123(444)2(1)2nnn−−=+++−−+14(14)32414nn−−=−+−42nn=−，当1n=时，142

2a=−=也符合上式，42nnan=−．4．（2022·浙江金华·高二期末）已知数列na满足12a=，1342nnnaa+−=−，数列nb的前n项和为()*1,nnnN+.求数列na，nb的通项公式；【

答案】(1)na=42nn=−，2nbn=由题可知，当n≥2时，()()()132211nnnaaaaaaaa−=−++−+−+()()123444212nnn−−=+++−−+＝()141432414nn−−−+−42nn=−当n＝1时，1422a=−=

也符合上式，∴42nnan=−；当2n…时，()()112nbnnnnn=+−−=，当n＝1时，12b=也符合上式，∴2nbn=；5．（2022·浙江绍兴·高二期末）已知等差数列na中，16a=，前5项的和为590S=，数列nb满足11b=，()*12Nnnnbbn+−=．求数列

na，nb的通项公式；【答案】(1)()6N*nann=，()*21Nnnbn=−；设公差为d，由题设可得5456902d+=，解得6d=，所以()6N*nann=；当2n时，2123221111222222nnnnnbbbbbb

bb−−−−=−=−=+++−=，∴122112nnnb−==−−，当1n=时，11b=（满足上述的nb），所以()*21Nnnbn=−．6．（2022·福建南平·三模）已知数列na满足11a=，11

nnanan++=.求数列na的通项公式；【答案】nan=因为11a=，11nnanan++=，所以当2n时，3212123121nnaaanaaan−=−，则1nana=，即nan=，当1n=时，也成立，所以nan=.7．（

2022·全国·高三专题练习（理））已知数列na满足()111,2102nnanana−=−−=．求数列na的通项公式；【答案】2nnna=；当2n时，()–1210nnnana−−=，则()121nn

nana−−=，即1121nnanan−=−，113211221113212122122nnnnnnnaaaannnaaaaaann−−−−−===−−，n＝1也满足上式，故2nnna=；8．（2022·上海市松江二中高二阶段练习）

在数列na中，114a=，()122nnanan+=+（n为正整数）.求na的通项公式；【答案】()112nnnna=+；因为()122nnanan+=+，所以21123aa=，32224aa=，4332

5aa=，54426aa=，…，()1121nnanan−−=+，把以上()1n−个式子相乘，得()352412341123412324252621nnaaaaanaaaaan−−=+…

…，即()1111123411223456121nnnanannn−−−==++…，所以()1121214nnann−=+，即()112nnnna=+.9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na的首项为12，且满足()()()*1112,nnnanannN

−+=−.求na的通项公式.【答案】()11nann=+.由()()111nnnana−+=−，得111nnanan−−=+，又112a=，所以当2n时，123211232112321······1143n

nnnnnnaaaaannnaaaaaaannn−−−−−−−−==+−()1121nn=+，又1n=也满足上式，所以()11nann=+；10．（2022·全国·高三专题练习）在数列na中，

()()22112,1222nnananna+=+=−+，求数列na的通项公式；【答案】()2211nn−+依题意，()()22112,1222nnananna+=+=−+，即()()()2221

121,2111211nnnnnananaan++−++=+=−+，所以当2n时13211221nnnnnaaaaaaaaaa−−−=()()()()222222222112

01222212311121111nnnn−+−+−+−+++=++()2211nn=−+当1n=时也满足上式，所以()2211nnan=−+