【文档说明】《【解题思路培养】2023年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（新高考专用）》专题01 数列求通项（数列前n项和Sn法、数列前n项积Tn法）(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx，共(13)页，719.304 KB，由envi的店铺上传

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专题01数列求通项（nS法、nT法）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1对于数列{}na，前n项和记为nS；①1231nnnSaaaaa−=++++；②11231(2)nnSaaaan−−=+++①-②：1(2)nnnSSan−−=nS法归类角度1：已知nS与na

的关系；或nS与n的关系用1nnSS−−，得到na例子：已知()241nnSa=+，求na角度2：已知na与1nnSS−的关系；或na与1nnSS−+的关系1nnSS−−替换题目中的na例子：已知12(2)nnnaSSn−=；已知11

nnnSaS++=−角度3：已知等式中左侧含有：1niiiab=作差法（类似1nnSS−−）例子：已知123232nnaaana++++=求na2对于数列{}na，前n项积记为nT；①1231nnnTaaaaa−=；②11231(2)nnTaaa

an−−=①②：1(2)nnnTanT−=nT法归类角度1：已知nT和n的关系角度1：用1nnTT−，得到na例子：nb的前n项之积()(1)*22NnnnTn+=.角度2：已知nT和na的关系角度1：用1nn

TT−替换题目中na例子：已知数列na的前n项积为nT，且121nnaT+=.二、典型例题nS法：角度1：用1nnSS−−，得到na例题1．（2022·湖北·黄冈中学二模）数列na的前n项和为nS，11a=，()

12NnnaSn+=.求数列na的通项na；感悟升华（核心秘籍）1、使用nS法注意两步：①1n=②2n2、在本例中化简1nnSS−−后，得到13(2)nnana+=，特别提醒，在化简后需跟上（2n），此时需要验证1n=是否符合，如本例2123aa=，则此时

，数列na是从第二项开始成以3为公比的等比数列【答案】(1)21,123,2nnnan−==①当时，思路点拨：根据题意：，已知与的关系，用②当时，；又由题意知作差，又因为：所以，数列从第二项开始成以为公比的等比数列，则，下结论解答：解：当1n=时，2122aS==，当2n时，

由12nnaS+=可得12nnaS−=，上述两个等式作差得12nnnaaa+=−，可得13nnaa+=，且213aa，所以，数列na从第二项开始成以3为公比的等比数列，则223nna−=，因为11a=不满足223nna−=，故21,1

23,2nnnan−==.nS法：角度2：将题意中的na用1nnSS−−替换例题2．（2022·全国·模拟预测）已知首项为1的数列na的前n项和为()*nSnN，且11nnnSaS++=−．求数列na的

通项公式；由思路点拨：根据题意：，已知与的关系，用替换题目中的由约分，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，当时，，又当时，也满足上式，所以解答过程化简再用作差法感悟升华（核心秘籍）1、已知1na+与1nnSS++，使用nS法时，用1nnS

S+−替换1na+作为核心秘籍记忆；2、当遇到1(2)nnnaSSn−=，使用nS法时，用1nnSS−−替换na作为核心秘籍记忆；【答案】21nan=−依题意，111nnnnnSSaSS++++==−，故()()111nnnnnnSSSSSS++++=−+，因为

10nnSS++，所以11nnSS+−=，又111Sa==，所以nS是首项为1，公差为1的等差数列，所以nSn=，2nSn=．当2n时，()221121nnnaSSnnn−=−=−−=−，又当n＝1时，11a=也满足上式，所以21nan=−．nS法：

角度3：已知等式中左侧含有：1niiiab=例题3．（2022·湖北十堰·三模）已知数列na满足()()1233521131nnaaanan++++−=−+L.求na的通项公式；①当时思路点拨：根

据题意：，用类似作差法②当时：，所以.又因为当时，上式也成立，所以的通项公式为.解答过程检验作差感悟升华（核心秘籍）已知等式中左侧含有：1niiiab=，如本例：()()1233521131nnaaanan++++−=−+L解题密码类似“1nnSS−−”；【答案】13−=nna解：因

为()()1233521131nnaaanan++++−=−+L，①当1n=时11a=，当2n时，()()112313523231nnaaanan−−++++−=−+L，②①−②得()()()()()11211312312132nnnnnannnn−−−=−+−−+=−.所以

()132−=nnan.又因为当1n=时，上式也成立，所以na的通项公式为13−=nna.nT法：角度1：已知nT和n的关系例题4．（2022·湖北·模拟预测）已知数列nb的前n项之积()(1)*22NnnnTn+=.求nb的通项公式.感悟升华（核心秘籍）使用nT法本质：1

(2)nnnTanT−=其中：①1231nnnTaaaaa−=；②11231(2)nnTaaaan−−=①当时，思路点拨：根据题意：，已知与的关系，用②当时，；当时，上式也成立，所以.检验解答过程【答案】2nn

b=解：由(1)22nnnT+=，当1n=时，112bT==，当2n时，12nnnnTTb−==，当1n=时，上式也成立，所以2nnb=.nT法：角度2：已知nT和na的关系例题5．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知数列na的前n项积为nT，且121n

naT+=.求数列nT的通项公式；【答案】21nTn=+，*nN当1n=时，113Ta==当2n时，1nnnTaT−=∴11nnnTaT−=由121nnaT+=得121nnnTTT−+=即12nnTT−

+=∴12nnTT−−=，∴nT是以3为首项，2为公差的等差数列，∴21nTn=+，*nN①当时，思路点拨：根据题意：，已知和的关系，用替换题目中②当时，∴代入已知条件，得即解答过程下结论∴12nnTT−−=∴nT是以3为首

项，2为公差的等差数列，∴21nTn=+，*nN三、题型归类练1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））数列na满足31232nanaaa+++=+()121nn−+，则7a=（）A．64B．128C．256D．512【答案】A当2n时，由31232nanaaa+

++=+()121nn−+，①得()1231231naaana−++++−=()1221nn−−+，②①－②，得()121nnnan=−+()1221nn−−−+12nn−=()2n，所以

()122nnan−=，则764a=．故选：A．2．（2022·辽宁实验中学高二期中）设数列na满足123211111222nnaaaan−++++=+，则na的前n项和（）A．21n−B．21n+C．2nD．121n+−【答案

】C解：当1n=时，12a=，当2n时，由1231221111112222nnnnaaaaan−−−+++++=+得123122111222nnaaaan−−++++=，两式相减得，1112nna−=，即12nna-=，综上，12,12,

2nnnan−==所以na的前n项和为()11212224822212nnn−−−+++++=+=−，故选：C.3．（2022·全国·模拟预测）若数列na前n项和为123nnSa=+，则数列na的通项公式是na=______．【答案】1132n

−−123nnSa=+①，当1n=时，11123aa=+，解得：13a=，当2n时，11123nnSa−−=+②，①-②得：11133nnnaaa−=−，解得：112nnaa−=−，所以na是首项为3，公比是12q=−的等

比数列，所以1132nna−=−，经检验，符合要求故答案为：1132nna−=−4．（2022·江苏江苏·三模）已知数列na的前n项和为nS，各项均为正数的数列nb的前n项积为nT，且21nnSa=−，

11ba=，()nnnnTab=.(1)求na的通项公式；(2)证明：nb为等比数列.【答案】(1)12nna-=(2)证明见解析(1)解：当1n=时，1121aa=−，11a=，当2n时，()()111212122nnnnnnnaSSaaaa−−−=

−=−−−=−，所以12nnaa−=，所以数列na是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12nna-=；(2)证明：1110ab==，()12nnnnTb−=，当2n时，()()122112111222nnnnnnnnnnnnnnbTbbTbb−−−−−−

−−===，则122112nnnnnbb−−−−=，由于0nb，则()1124nnbbn−=，所以数列nb是等比数列.5．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知数列na的前n项和为nS，且对任意正整数n，22nnaS−=成立.求证：数列na是等比数列，并求na的通项公式

；【答案】(1)证明见解析，nan=；在22nnaS−=中令1n=得12a=．因为对任意正整数n，22nnaS−=成立，所以1122nnaS++−=，两式相减得120nnaa+−=，所以12nnaa+=，即12nnaa+=，所以na为等比数列，所以1222nn

na−==.6．（2022·福建福州·高二期中）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足2412nnnSaa−=+．求数列na的通项公式；【答案】(1)21nan=−当1n=时，由2412nnnSaa−=+得

2111412aaa−=+，11a=．当2n时，由2412nnnSaa−=+得2111412nnnSaa−−−−=+，两式相减可得2211422nnnnnaaaaa−−=+−−，化简得()()1120nnnnaaaa−−+−−=，由条件得10nnaa−+，故()122nnaan−=+

，得数列na是以1为首项，2为公差的等差数列，从而数列na的通项公式为21nan=−．7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列na的首项为11a=，且1533+=+aaa，数列nb满足1122(21)31,2nnnnabababn

−++++=N．求na和nb；【答案】(1)nan=；123nnb−=因为na是等差数列，设其公差为d.因为1533+=+aaa，所以111342addaa+=+++．因为11a=，所以等差数列na的公差1d=，所以1(1

)naandn=+−=．因为1122(21)312nnnnababab−++++=，所以112ab=，所以12b=．当2n时，11(21)31(23)312322−−−+−+=−=nnnnnnnabn，结合nan=可知123nnb−

=．经检验：12b=也适合上式.所以123nnb−=．8．（2022·湖北·模拟预测）已知各项均为正数的数列na的前n项和为()*11,1,,2nnnnSaaSSnNn−==+.求证；数列nS是等差数列，并求na的通项公式；【答案】(1)

证明见解析，21nan=−因为1nnnaSS−=+，所以当2n时，11nnnnSSSS−−−=+，即()()111nnnnnnSSSSSS−−−−+=+，而0na，有10nnSS−+，所以()112nnSSn−−=所以数列nS是以111Sa==为首项，公差为1的等差

数列；()111nSnn=+−=，则2,nSn=当2n时，1121nnnaSSnnn−=+=+−=−，又11a=满足上式，所以na的通项公式为21nan=−.9．（2022·广东·测试·编辑教研五高二阶段练习）数列na满足2

313123nnaaaan++++=−．求na；【答案】(1)123nnan−=解：因为2313123nnaaaan++++=−，当1n=时，11312a=−=，当2n时，1231131231nnaaaan−−++++

=−−，两式相减得113323nnnnan−−=−=，所以123(2)nnann−=，又12a=符合上式，所以123nnan−=．10．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列na的前n项和为nS，且()112,N,2nnnaaSSnn

−==+；(1)求数列na的通项公式；【答案】(1)2,12223,2,Nnnannn==+−由题意正项数列na的前n项和为nS，当2n时，1nnnaSS−=−，故11nnnnnaSSSS−−=−=+，所以2211()(

)nnnnSSSS−−=+−，即11nnSS−−=，所以{}nS是以112Sa==为首项，以1为公差的等差数列，则2(1)21nSnn=+−=+−，所以1211212223,(2)nnnaSSnnnn−=+=+−

+−+−=+−，即2223nan=+−，但12a=不适合上式，故2,12223,2,Nnnannn==+−；11．（2022·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的数列{}na的前n项和为nS，且满足1

1S=，()12nnnSSa−+=（2N*nn，），求数列{}na的通项公式na；【答案】11882nnann==−，，∵an＞0，当2n时，∵()12nnnSSa−+=，∴()12nnnSSa−+==Sn﹣Sn﹣1()()11nnnnSSSS−−=+−，∴1nn

SS−−=2，又∵11S=，∴{nS}是首项为1，公差为2的等差数列，∴nS=1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴()221nSn=−，当2n时，()()221212388nnnaSSnnn−=−=−−−

=−，111aS==不满足该式，∴an11882nnn==−，，；12．（2022·广东·高三阶段练习）已知正项数列{}na满足11,a=前n项和nS满足*12(2,)nnnaSSnnN−−=.求数列{}na的通项公式；【答案】(1)1,121,24nnann==+由*

12(2,)nnnaSSnnN−−=可得()*122,nnnaSSnnN−=+即：()()*1122,nnnnSSSSnnN−−−=+0na0nS，()10nnSS−+()()1112nnnnnnSSSSSS−−−+−=+11=2nnSS−−，nS是以111Sa==为

首项，公差为12的等差数列211,22nnnnSS++==当2n时，1214nnnnaSS−+=−=当1n=时，11a=所以：1,121,24nnann==+13．（2022·湖北恩施·高二期中）记nb为数列na的前n项积，已知13a=，12

1nnab+=.证明：数列nb是等差数列.由题意可得1(2)nnnbanb−=…，因为121nnab+=，所以121(2)nnnbnbb−+=…，即12(2)nnbbn−+=…，所以12(2)nnbbn−−=….又11121ab+=，13a=，所以13

b=，故nb是以3为首项，2为公差的等差数列.14．（2022·新疆·乌市八中高二期中（理））设数列na的前n项积为nT，且()*22nnTan=−N.求证数列1nT是等差数列；因为数列na的前n项积为nT，且()*22nnTan=−N，∴当n=1时，11122Taa

==−，则123a=，1132T=.当n≥2时，1121222nnnnnTTTTT−−=−=−，∴11112nnTT−−=，所以1nT是以1132T=为首项，12为公差的等差数列；15．（2021·湖北黄冈市·黄冈中

学高三其他模拟）在数列{}na中，若12a=−且12(2)nnnaSSn−=.求数列na的通项公式。【详解】∵12nnnaSS−=，∴112()nnnnSSSS−−−=，∴11112nnSS−−=−，∴1nS

是首项为12−，公差为12−的等差数列.111(1)222nnnS=−−−=−，∴2nSn=−.当2n时，12221(1)nnnaSSnnnn−=−=−+=−−，2,12,2(1)nnannn−=

=−.