【文档说明】《【解题思路培养】2023年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（新高考专用）》专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx，共(14)页，918.358 KB，由envi的店铺上传

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专题03三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍()()sinfxAxk=+=实根问题，换元法令tx=+将函数()fx化简为sinyAt=，在利用正弦函数sint的图象来解决交点（根，零

点）的问题.二、典型例题例题1．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数()()sin0,0,2fxAxA=+在一个周期内的图像如图所示.(1)求函数()fx的解析式；(2)设02x

，且方程()fxm=有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.第（2）问思路点拨：本小题要求时，方程有两个根，求的取值范围,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，作出函数的图象，根据图象讨论的的个数.图象可知：与的图象在内有两个不同的

交点时，，故实数的取值范围为.【答案】(1)()2sin26fxx=+(2)()1,2(1)显然2A=，又1121212T=−−==，所以2=，所以()()2sin2fxx=+，又函数过点,012−，所以2sin0

6−+=，所以()Z6kk−+=，又2，所以6π=，所以所求的函数的解析式为()2sin26fxx=+.(2)02x，且方程()fxm=有两个不同的实数根，即()yfx=与ym=的图像在02x内

有两个不同的交点，令26tx=+，则7,66t，作出函数2sinyt=的图像如下：由图像可知：2sinyt=与ym=的图像在7,66t内有两个不同的交点时，12m，故实数m的取值范围为()1,2.例题2．（

2022·山东德州·高一期中）已知()3sin,sincosaxxx=+，()1cos,cossin2bxxx=−()01，函数()1fxab=+，直线6x=是函数()fx图像的一条对称轴．(1)求函数()fx的解析式；(2)当0,x时，讨论方程()

0fxm−=的根的情况．【答案】(1)()sin216fxx=++(2)答案见解析(1)已知()3sin,sincosaxxx=+，()()1cos,cossin012bxxx=−，第（2）问思路点拨：本小题要求时，讨论方

程的根的情况,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，则讨论方程的根的情况，转化为的根的情况.作出的图象.1．当或，即或时，有0个根；2．当或，即或时，有1个根；3．当或，即或时，有2个根；4．当，即时，有3个根由图象可知则()31sin2cos21sin21226fxxxx

=++=++，由于直线6x=是函数()fx图像的一条对称轴．所以26f=或0，所以2662k+=+，()kZ，所以31k=+．由于01，所以，当0k

=时，1=，所以()sin216fxx=++(2)由题意得sin216xm+=−，因为0,x，所以132,666x+，令26ux=+，13,66u，则sin1um=−，如图．1．当11m−或11m−−，即0m或2m

时，()fx有0个根；2．当11m−=或11m−=−，即0m=或2m=时，()fx有1个根；3．当1112m−或1112m−−，即322m或302m时，()fx有2个根；4．当112m−=，即32m=时，()fx有3个根综上，当0m

或2m时，()fx有0个根；当0m=或2m=时，()fx有1个根；当322m或302m时，()fx有2个根；32m=时，()fx有3个根．例题3．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数()2sinfxx=，将()fx的图象

向右平移3个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()ygx=的图象.(1)求函数()gx的解析式及单调递增区间；(2)方程()25gx=在17,612上的根从小到大依次为123,,xxx，求1232xxx++的值.第（2）问思路点拨：方程

在上的根从小到大依次为，求的值.可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则其中，；即，，，，.根据图象作答转化为：方程在有个解，作出图象和问题转化作图象，找交点【答案】(1)()2sin23gxx

=−，单调递增区间为()5,1212kkk−++Z(2)123823xxx++=(1)2sin33fxx−=−，()2sin23gxx=−；令()2

22232kxkk−+−+Z，解得：()51212kxkk−++Z，()fx的单调递增区间为()5,1212kkk−++Z(2)令()22sin235gxx=−=，即1sin235x−=；17,612x

，520,32x−，设23x=−，其中50,2，即1sin5=，结合正弦函数5sin02yxx=的图象可知：方程1sin5=在50,2有3个解123,,，其中12+=，233

+=；即122233xx−+−=，2322333xx−+−=，1256xx+=，23116xx+=，123823xxx++=.三、题型归类练1．（2022·河南驻马店·高一期中（理））已知点()()11,Axfx，()()22,Bxfx是函数

()()2sin0,02fxx=+−图象上的任意两点，且角的终边经过点()1,3P−，()()124fxfx−=时，12xx−的最小值为3．(1)求函数()fx的解析式；(2)()yf

xm=−在0,3x内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)()2sin33fxx=−；(2)32m.(1)角的终边经过点()1,3P−，∴tan3=−，∵02−，∴3

=−，由()()124fxfx−=时，12xx−的最小值为3，得23T=，即223=，∴3=，∴()2sin33fxx=−；(2)∵()yfxm=−在0,3x内有两个不同的零点，即()yfx=与y

m=的图象在0,3x内有两个不同的交点，令33tx=−，由0,3x，则2,33t−，即2sinyt=与ym=在2,33t−上有两个交点，

由图象可知：32m.2．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）已知函数()4coscos1(0)3fxxx=−−的部分图像如图所示，若288ABBC=−，B，C分别为最高点

与最低点．(1)求函数()fx的解析式；(2)若函数()yfxm=−在130,12，上有且仅有三个不同的零点1x，2x，3x，（123xxx），求实数m的取值范围，并求出123cos(2)xxx++的值．【答案】(1)()2s

in26fxx=+(2)1,3m，12(1)解：()()2cos3sincos1fxxxx=+−，223sincos2cos1xxx=+−，3sin2cos2xx=+，2sin26x=+，设函数()fx的周期为T，则,

24TAB=，,42TBC=−，则228888TABBC=−=−，所以T=．故22T==，故1=，所以()2sin26fxx=+．(2)由题意，函数()yfxm=

−在130,12上有且仅有三个不同的零点，1x，2x，3x，即曲线()yfx=与ym=在130,12上有且仅有三个不同的交点．设26tx=+，当130,12x

时，7,63t．则2sinyt=，7,63t，则1,3m，12tt+=，233tt+=，所以12324ttt++=，即12322224666xxx+++++=，即123523xxx+

+=，所以12351cos(2)cos32++==xxx．3．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知函数()()32sincoscos232fxxxx=+−．(1)求函数f(x)的最小正周期T及()1003f的值；(2)若关于x的方程()3122fxa++=在20,3

上有2个解，求实数a的取值范围．【答案】(1)最小正周期，34−；(2)1142a，.(1)解：()32sincoscos232fxxxx=+−1332sincossinco

s2222xxxx=−−23sincos3sincos22xxxx=−−11cos23sin23?cos2222xxx−=−−13sin222x=−，则最小正周期T=，10013333sin

23332324fff=+==−=−．(2)解：3sin221226fxaxa++=+=．23023662xx

+，，，设32,[,]662txt=+，所以sin2ta=有两个解，结合图像可知1212a故1142a，．4．（2022·山东潍坊·高一期中）已知函数()33sin26sin

sin644fxxxx=+−++．(1)求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()yfxk=−在区间130,12上有且仅有两个零点

12,xx，求k的取值范围，并求12xx+的值．【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为(),63kkk−+Z；(2)k的范围为()33,0,32−−，12xx+为53π或23.(1)因为()33sin26sins

in644fxxxx=+−++()()333cos2sin23sincossincos22xxxxxx=+++−()2233cos2sin23sinc3s2o2xxxx=++−33cos2sin23cos2223xxx=+−63si

n2x=−，所以()fx的最小正周期22T==，令222262kxk−−+，kZ，则()63kxkk−+Z，所以()fx的单调递增区间为(),63kkk−+Z.(2)由题意，()0

fxk−=在130,12上有且仅有两个解12,xx，即()yfx=与yk=在130,12上有且仅有两个交点，由130,12x，则2,266x−−，设26tx=−，则3sin,,26ytt=

−，3sin,,26ytt=−的图象如下，由图知：k的取值范围为()33,0,32−−，设3sinyt=与yk=在,26−上的两个交点的横坐标分别为12,tt，当33,2k−−时1

2,tt关于32t=对称，即12,xx关于56x=对称，则1253xx+=；当()0,3k时12,tt关于2t=对称，即12,xx关于3x=对称，则1223xx+=；综上，12xx+的值

是53π或23.5．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知函数()()sin22fxx=+的图像向左平移6个单位，得到函数()gx的图像，且()gx为偶函数．(1)求函数()fx和()gx的解析式；(2)若

对a，0,bm．当ab时，都有()()()()fbfagagb−−成立，求m的取值范围；(3)若关于x的方程()()fxgxk+=在130,6上恰有四个不等实根1x，2x，3x，

()41234xxxxx，求k的取值范围和123422xxxx+++的值．【答案】(1)()sin26fxx+=，()cos2gxx=(2)012m.(3)332−k，132(1)由题意()sin263gxfxx=+=+

+，因为()gx为偶函数，所以()()gxgx−=，即sin2sin233xx−++=++，所以32k+=+，kZ，而2，故0k=，6π=，()sin26fxx+=

，()sin2cos22=+=gxxx．(2)对a，0,bm，ab，都有()()()()fbfagagb−−，()()()()fbgbfaga++，设()()()hxfxgx=+，则()hx在0,m单调递增．又()(

)()33sin2cos2sin2cos23sin26223hxfxgxxxxxx=+=++=+=+，令23ux=+，则,233um+，3sinyu=在,233um

+递增，故232m+，012m．(3)()()()3sin23hxfxgxx=+=+，令23tx=+，则14,33t，则sin3kt=恰有4个不等实根1t，2t，3t，4t，则332−k，不妨设1234tttt，函数(

)sintt=，14,33t与函数3ky=的图像恰有4个交点，如图所示（略），()sintt=在,32，35,22，79,22递增，在3,22，57,22，914,22

递减，143332==，591222===，37122==−，12322tt+=，23522tt+=，34722tt+=，12342215

tttt+++=，()1234222215xxxx++++=，123413222xxxx+++=．6．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）已知函数()()cosfxAx=+（0A，0，2）的部分图象大致如图．(1)求()fx的单调递增区间．(2)将函数

()fx的图象向右平移4个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数()gx的图象．若关于x的方程()0gxm−=在0,2上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．【答案】(1)5,1212kk

−++，Zk(2))1,2(1)根据图象，可得1A=，由124312=−，得2=．所以()()cos2fxxφ=+，由2012+=，得6=−，所以()cos26fxx=−．令2226k

xk−−，Zk，得51212kxk−++，Zk，所以()fx的单调递增区间为5,1212kk−++，Zk．(2)将函数()yfx=的图象向右平移4个单位长度得到曲线C：cos2sin2466yxx=−−=−

，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin26gxx=−的图象．由()0gxm−=在0,2上有两个不同的实数解，即2sin26mx

=−在0,2上有两个不同的实数解，因为0,2x，设26tx=−，则5,66t−，则需直线ym=与2sinyt=的图象在5,66t−

两个不同的公共点．画出2sinyt=在5,66t−时的简图如下：所以实数m的取值范围为)1,2．