【文档说明】《【解题思路培养】2023年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（新高考专用）》专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题 (典型例题+题型归类练)（解析版）.docx，共(21)页，1.239 MB，由envi的店铺上传

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专题01圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型例题+题型归类练)目录类型一：定义法求轨迹方程类型二：直接法类型三：代入法（相关点法）类型四：点差法一、必备秘籍1、曲线方程的定义一般地，如果曲线C与方程(,)0Fxy=之间有以下两个关系：①曲线C上的点的坐标都是方程(,)0Fxy=的解；

②以方程(,)0Fxy=的解为坐标的点都是曲线C上的点．此时，把方程(,)0Fxy=叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程(,)0Fxy=的曲线．2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点

的坐标为),(yx；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．3、求轨迹方程的方法：3.1定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如

圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。3.2直接法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关

系，再用点P的坐标(,)xy表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.3代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线yx、方程），则可以设出(,)Pxy，用(,)xy表示出相关点P的坐标，然后

把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。3.4点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)AxyBxy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，

利用平方差公式可得12xx+，12yy+，12xx−，12yy−等关系式，由于弦AB的中点(,)Pxy的坐标满足122xxx=+，122yyy=+且直线AB的斜率为2121yyxx−−，由此可求得弦AB中点的轨迹方程.二、典型例

题类型一：定义法求轨迹方程1.1圆的原始定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.1.2椭圆原始定义：平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF=+，这个动点P的轨迹叫椭圆.1.3双曲线

原始定义:到两个定点1F与2F的距离之差的绝对值等于定长（12||FF）的点的轨迹（21212FFaPFPF=−（a为常数））.这两个定点叫双曲线的焦点.1.4抛物线原始定义：平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.例题1．（2022·全国·高二课时练习）动圆M与圆22:430Cxyx+−+=外切，且与直线1x=−相切．(1)求动圆M圆心的轨迹的方程．【答案】(1)

28yx=圆22:430Cxyx+−+=的标准方程为()2221xy−+=，即()2,0C，半径1r=．设圆M的半径为R，则点M到点C的距离为1R+，点M到直线1x=−的距离为R，所以点M到C的距离等于点M到直线2x=−的距离，即点M的轨迹

为抛物线，且抛物线方程为28yx=．例题2．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知圆C的方程为()22116xy−+=，()1,0B−，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（）A．221169xy+=B．221169

xy−=C．22143xy+=D．22143xy−=【答案】C【详解】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以PAPB=，所以4PBPCPAPCAC+=+==，而2BC=，所以P点轨迹是以,BC为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程

为22221(0)xyabab+=，24a=，2a=，1c=，则223bac=−=，所以P点轨迹方程是22143xy+=．故选：C．例题3．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，动点(),Pxy到直线1x=的距离比它到定点()2,0−的距离小1，则P的轨迹方程为（

）A．22yx=B．24yx=C．24yx=−D．28yx=−【答案】D【详解】由题意知动点(),Pxy到直线2x=的距离与定点()2,0−的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以()2,0−为焦点，2x=为准线的抛物线，所以4p=，轨迹方程为28yx=−，

故选：D例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知点()3,0M−，()3,0N，()10B,，动圆C与直线MN切于点B，过,MN与圆C相切的两直线（非x轴）相交于点P，则点P的轨迹方程为______．【答案】2218yx−=()1x．【详解】如图所示：设,PMPN分别与圆C相切与,R

Q，由圆的切线长定理得,,PQPRMRMBNQNB===，所以()()PMPNPRMRPQNQMRNQ−=+−+=−422MBNBMN=−=−=，所以点P的轨迹是以,MN为焦点的双曲线的右支，且除去x轴上的点，且

3c=，1a=，知28b=，所以点P的轨迹方程为2218yx−=()1x．故答案为：2218yx−=()1x．例题5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知P是平面上的动点，且点P与12(2,0),(2,0)FF−的距离之差的绝对值为22．设点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；【

答案】(1)22122xy−=解：依题意，P是平面上的动点，且点P与12(2,0),(2,0)FF−的距离之差的绝对值为22．即1212224PFPFFF−==，根据双曲线的定义，可得点P的轨迹E是以12(2,0)(2,0)FF

−、为焦点，其中222,24ac==，所以2,2ac==，则222bca=−=，所以轨迹E的方程为22122xy−=．感悟升华（核心秘籍）利用定义法求轨迹方程时，重点在于根据题意判断已知条件符合何种曲线的定义，然后利用定义求解.注意求解过程中变量,xy的取值范围.点评：对于例题5，6，注意在利

用双曲线定义求轨迹方程时：①1212||||||2||MFMFaFF−=，则轨迹为双曲线②1212||||2||MFMFaFF−=，则轨迹为远离1F的那支③2112||||2||MFMFaFF−=则轨迹为远离2

F的那支类型二：直接法例题1．（2022·全国·高二课时练习）设过点(),Pxy的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若2BPPA=，且1OQAB=，则点P的轨迹方程是______．【答案】()223310,02xyxy+=【详解】

设点(),Pxy，则(),Qxy−，设(),0Aa，()0,Bb，则0,0ab，(),BPxyb=−，(),PAaxy=−−，2BPPA=，3,32axby==，0,0xy，又()3,,32ABabxy=−=−，(),OQxy=−，

1OQAB=，()3312xxyy−−+=，即()223310,02xyxy+=.故答案为：()223310,02xyxy+=.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知定点()()0,40,1AB，，动点P满足2PAPB=，设动点P的轨迹为曲线E，直

线:4lykx=−．(1)求曲线E的轨迹方程．【答案】(1)224xy+=；（1）设点P的坐标为(),xy，因为2PAPB=，所以()()2222421xyxy+−=+−，化简，得224xy+=，所以曲线E的轨迹方程为224xy+=；例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知()2,0A−，()

2,0B平面内一动点P满足34PAPBkk=−．(1)求P点运动轨迹C的轨迹方程；【答案】(1)()221043xyy+=设(),Pxy，则3224PAPByykkxx==−+−，所以P点轨迹方程为：()221043xyy+=．例题4．（2022·安徽省宣城

市第二中学高二期末）圆O：224xy+=与x轴的两个交点分别为()12,0A−，()22,0A，点M为圆O上一动点，过M作x轴的垂线，垂足为N，点R满足12NRNM=(1)求点R的轨迹方程；【答案】(1)2214xy+=设点()00,Mxy在圆224xy+=上，

故有22004xy+=，设(),Rxy，又12NRNM=，可得0xx=，012yy=，即0xx=，02yy=代入22004xy+=可得()2224xy+=，化简得：2214xy+=，故点R的轨迹方程为：2214xy+=.例题5．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点A、B的坐标分别为

()1,0−和()1,0，动点P满足APOBPB=（O为坐标原点）．(1)求动点P的轨迹E的方程；【答案】(1)24yx=设(),Pxy，()1,APxy=+，()1,0OB=，()1,PBxy=−−，()1101APOBxyx=++=+，()221x

ByP=−+，因为APOBPB=，则()2211xxy+=−+，所以2222121xxxxy++=−++，即24yx=．例题6．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（文））已知直线2y=−上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且OPOQ⊥，记点P的轨迹为

1C，(1)求曲线1C的方程；【答案】(1)()220xyx=设点P的坐标为(),xy，则(),2Qx−，∵OPOQ⊥，∴0OPOQ=∴220xy−=，当0x=时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故0x．∴曲线C的方程为()220xyx=．感悟升华（核心秘籍

）直译法，就是根据题目给定的已知条件，利用代数法，直接翻译转化为代数式通过化简得到解答；如2PAPB=；34PAPBkk=−；12NRNM=；APOBPB=；OPOQ⊥等，根据这些已知条件直接转化为代数式求解.类型三：代入法（相关点法）例题1．（2022

·全国·高二期中）当点A在曲线221xy+=上运动时，连接A与定点()6,0B，则AB的中点P的轨迹方程为______．【答案】221(3)4xy−+=【详解】设00(,),(,)AxyPxy，则由中点坐标公式可得00262xxyy=−

=，代入221xy+=得22(26)(2)1xy−+=整理得P的轨迹方程为221(3)4xy−+=.故答案为：221(3)4xy−+=例题2．（2022·上海市嘉定区第二中学高二阶段练习）已知点(),Mxy在曲线2224xy+=上运动，点A为()8,2，则MA中点P的轨迹方程是________

_____.【答案】22284170xyxy+−−+=【详解】设(),Pmn，由于点P是MA中点，且点(),Mxy，()8,2A，所以8222xmyn+=+=，所以2822xmyn=−=−，又点(),Mxy在曲线2224xy+=上，所以()()2

2282242mn−−+=，所以22284180mnmn+−−+=，所以MA中点P的轨迹方程是22284170xyxy+−−+=.故答案为：22284170xyxy+−−+=.例题3．（2022·四川乐山·高

二期末（理））从双曲线2212yx−=上一点P作x轴的垂线，垂足为Q，则线段PQ中点M的轨迹方程为___________.【答案】2221xy−=.【详解】由题意，设()()00,,,PxyMxy，则()0,0Qx，则0012xxyy==，

即002xxyy==，因为220012yx−=，则2221xy−=，即M的轨迹方程为2221xy−=.例题4．（2022·福建厦门·高二期末）圆()()22:224Cxy−+−=与x轴相切于点A．点B在圆C上运动，则AB的中点M的轨迹方

程为______（当点B运动到与A重合时，规定点M与点A重合）；点N是直线0xy+=上一点，则MNAN+的最小值为______．【答案】()()22211xy−+−=131−【详解】依题意得()2,0A，()2,2C，因为M为AB中

点，所以CMAM⊥，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆，又AC中点为()2,1，2AC=，所以点M的轨迹方程为()()22211xy−+−=，圆心()2,1D，设()2,0A关于直线0xy+=的对称点为(),Amn，则有012

2022nmmn−=−++=，解得02mn==−，所以()0,2A−，所以由对称性可知MNAN+的最小值为()()22102211131AD−=−+−−=−．故答案为：()()22211xy−+−=

，131−感悟升华（核心秘籍）代入法(相关点法）：如果动点(,)Pxy的运动是由另外某一点00(,)Pxy的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)Pxy，用(,)xy表

示出相关点00(,)Pxy的坐标，然后把00(,)Pxy的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点(,)Pxy的轨迹方程。类型四：点差法例题1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214xy+=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为__

_______________．【答案】2xy=−()22−x【详解】设斜率为12的直线方程为12yxb=+，与椭圆的交点为()()1122,,,AxyBxy，设中点坐标为(),xy，则211221121,,222yyxxyyxyxx−++

=−==−，所以221122221414+=+=xyxy，两式相减可得()()()()12221214+=−+−xxxxyyyy，()()22121124−+−=+xxyyyyxx，即2xy=−，由于在椭圆内部，由221412+==+xyyxb

得22102++−=xbxb，所以()22210=−−=bb时，即2b=直线与椭圆相切，此时由22102+=xx解得2x=或2x=−，所以22x−，所求得轨迹方程为2xy=−()22−x．故答案为：2xy=−()22−x．例题2．（

2022·全国·高二专题练习）已知椭圆22143xy+=的弦AB所在直线过点()1,1E，求弦AB中点F的轨迹方程.【答案】2234340xyxy+−−=【详解】设()()1122,,AxyBxy，，弦AB的中点(),Fxy，则121

222xxxyyy+=+=，将AB，代入椭圆方程得22112222143143xyxy+=+=，两式相减得()()()()12121212043xxxxyyyy+−+−+=，所以()()12122023xxxyyy−

−+=，当12xx时，()()1212121222002323−−−=−=−−yyyyyxxyxxxx，因为EFABkk=，所以121211yyyxxx−−=−−，则210231−−=−xyyx，整理得()22343401xyxyx+−

−=；当12xx=时，则直线AB方程为1x=，代入椭圆方程解得3311,22,,−AB所以()10F，满足上述方程，故点F的轨迹方程2234340xyxy+−−=.例题3．（2021·全国·高二课前预

习）已知抛物线22yx=，过点()2,1Q作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点轨迹方程.【答案】21724yx−=−.【详解】方法1：设()11,Axy，()22,Bxy，弦AB的中点为

(),Mxy，则122yyy+=，当直线AB的斜率存在时，121212AByyykxxx−−==−−.因为2112222,2,yxyx==两式相减，得()()()1212122+−=−yyyyxx.所以121222yyyxx−=−

，即1222yyx−=−，即21724yx−=−.当直线AB斜率不存在，即ABx⊥轴时，AB的中点为()2,0，适合上式，故所求轨迹方程为21724yx−=−.方法2：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为()12yk

x−=−（0k），由()212,2,ykxyx−=−=得21202kyyk−+−=.所以()()20,14120.2kkk=−−−所以()(),00,k−+.设()11,Axy，()22,Bxy，AB的中点为(),Pxy，则122yyk+

=，()12212kyyk−=.所以()()2221212121211222xxyyyyyy+=+=+−()222412142242kkkkkk−−+=−=.所以21221221,21,2xxkkxkyyyk+−+==+==消去参数k，得21724yx

−=−.当直线AB的斜率不存在时，即ABx⊥轴时，AB的中点为()2,0，适合上式，故所求轨迹方程为21724yx−=−.感悟升华（核心秘籍）点差法具有一定的局限性，适用中点弦问题，遇到

中点弦问题可以优先考虑点差法。三、题型归类练1．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．【答案】y2＝－8x.【详解】由题意知

：点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，且焦点为A，准线为x＝2，故点P的轨迹方程为y2＝－8x.2．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学三模（理））在平面直角坐标系

xOy中，动点G到点()4,0F的距离比到直线60x+=的距离小2．(1)求G的轨迹的方程；【答案】(1)216yx=由题意可得动点G到点()4,0F的距离比到直线60x+=的距离小2，则动点G到点()4,0F的距离与到直线40x+=的距离相等，故G的轨迹是

以(4,0)F为焦点，以直线40x+=为准线的抛物线，设抛物线方程为22,(0)ypxp=，则焦准距8p=，故G的轨迹的方程为：216yx=；3．（2022·江西省乐平中学高一期末）已知P是圆22:(1)16Axy−+=上的动点，M是线段AP上一点，()1

,0B−，且PMMB=(1)求点M的轨迹C的方程【答案】(1)22143xy+=由题意知()1,0A,4PA=.因为PMMB=，所以2|4MAMBMAPMPAAB+=+===,所以点M的轨迹C是以A,B为左、右焦点,长轴长为4的椭圆.设椭圆C的标准方程为22221(0)xy

abab+=，则a=2,c=1,所以2223bac=−=，所以点M的轨迹C的方程为22143xy+=.4．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知平面内两点12(2,0),(2,0)FF−，动点P满足：122

3PFPF+=.(1)求动点P的轨迹C的方程；【答案】(1)2213xy+=；(1)因为121223PFPFFF+=.所以点P的轨迹是以12,FF为焦点的椭圆，其中2223,2,1acb===，所以轨迹C的方程为2213xy+=.5．（2022·全国·高三

专题练习）已知动圆M过定点()4,0P−，且与圆22:80Cxyx+−=相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.【答案】()2212412xyx−=−【详解】整理可得：圆()22:416Cxy−+=，圆C的圆心()4,0C，半径4r=；圆M与圆C相外切，4MCMP

rPC−==，动圆圆心M的轨迹是以()4,0为焦点的双曲线的左半支，24a=，4c=，24a=，22212bca=−=，动圆圆心M的轨迹方程为：()2212412xyx−=−.6．（2022·全国·高三专

题练习）已知两个定圆()221:21Oxy++=和()222:24Oxy−+=，它们的半径分别是1和2，动圆M与圆1O内切，又与圆2O外切，求动圆圆心M的轨迹方程.【答案】224431972xyx−=−【详解】由圆1O方程知：圆心()12,0O−，半

径11r=；由圆2O方程知：圆心()22,0O，半径22r=；设动圆M的半径为r，动圆M与圆1O内切，与圆2O外切，11MOr=−，22MOr=+，213MOMO−=，动圆圆心M的轨迹是以12,OO

为焦点，实轴长为3的双曲线的左半支，32a=，2c=，297444b=−=，动圆圆心M的轨迹方程为：224431972xyx−=−.7．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆1O与圆2O内切，且124OO=，大圆1O的半径为5.过动点P分别

作圆1O､圆2O的切线PM､PN（M､N分别为切点），使2PMPN=，试通过建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹.【答案】圆心为(6,0)，半径为3的圆.【详解】如图，以12OO所在直线为x轴，以12OO的中点

为原点，建立直角坐标系，则12(2,0),(2,0)OO−，设(,)Pxy，连接1122,,,,MOPONOPO则12,,MOPMNOPN⊥⊥根据勾股定理可得，22(2)25PMxy=++−22(2)1PNxy=−+

−，由2PMPN=，可得2222(2)252(2)1xyxy++−=−+−，平方整理可得：22(6)9xy−+=，所以动点P的轨迹为圆心为(6,0)，半径为3的圆.8．（2022·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且BQ

CR=．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．【答案】221100,022xyyxy+−=【详解】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．如图所示，则点(0,0)A、(1,0)B、(1,1)C、(0,1)D，设动点(

,)Pxy，(,0)Qt(01)t，由BQCR=知：AQBR=，则(1,)Rt．当0t时，直线AR：ytx=①，直线DQ：1xyt+=，则1xyt−=②，①×②得：(1)xyytxt−=，化简得220xyy+−=．当0=t时，点P与原点重合，坐标(0,0)也满足上

述方程．故点P的轨迹方程为221100,022xyyxy+−=．9．（2022·江苏·高二专题练习）在ABC中，(2,0)A−，(2,0)B，AC与BC斜率的积是14−．(1)求点C的轨迹

方程；【答案】(1)221(2)4xyx+=设点C坐标为(,)xy，由题知1224ACBCyykkxx==−+−整理得点C的轨迹方程为221(2)4xyx+=10．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高

二阶段练习）已知动点M到定点()2,0A、()3,0B的距离之比为63，动直线l与AM垂直，垂足为点M．(1)求动点M的轨迹方程；【答案】(1)226xy+=解：设点(),Mxy，由已知可得()()22222633xyMAMBxy−+==−+，整理可得226xy+=.因此，点M的轨迹

方程为226xy+=.11．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知12,AA两点的坐标分别是(3,0),(3,0)−，直线,ABAB12相交于点B，且它们的斜率之积为13.(1)求点

B的轨迹方程；【答案】(1)()22133xyx−=；设(,)Mxy，因为直线,ABAB12相交于点B，且它们的斜率之积为13，所以1333yyxx=+−，整理可得2213xy−=，所以点B的轨迹方程为()22133xy

x−=.12．（2022·河南商丘·三模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知()4,0A−，()4,0B，M是一个动点，C，D分别为线段AM，BM的中点，且直线OC，OD的斜率之积是34-．记M的轨迹为E．(1)求E的方程；【答案】(1

)2211612xy+=（0y）解：由题意可知，直线,OCOD的斜率存在，且//AMOD，//BMOC．由直线OC，OD的斜率之积是34−可知，直线BM，AM的斜率之积是34−，设(),Mxy，则直线AM的斜率为4yx+，直线BM的斜率为4yx−，可得3444yyxx

=−+−，整理得221(0)1612xyy+=，故E的方程为221(0)1612xyy+=．13．（2022·全国·高三专题练习）已知平面上一动点P到定点()1,0F的距离与它到定直线1x=−的距离相等，设动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的轨迹方程【答案】(1)24yx＝；设(,)Pxy

，根据题意可得22(1)|1|xyx−+=+，化简得()222(1)1xyx−+=+，所以24yx=，所以曲线C的方程为24yx＝，14．（2022·云南·昆明一中高二期中）已知椭圆E：2213xy+=上任意一点P，过点P作PQy⊥轴，Q为垂足，且33QMQP=.(1)求动点M的轨迹的方程；【

答案】(1)221xy+=；设00(,),(,)PxyMxy，则0(0,)Qy，所以00(,0),(,)QPxQMxyy==−，由33QMQP=得00330xxyy=−=，即003xxyy==，又因为

点P在椭圆上，可得220013xy+=，即()22313xy+=，故动点M的轨迹的方程为221xy+=；15．（2022·全国·高二课时练习）设1F为椭圆22:11612xyC+=的左焦点，M是椭圆上任意一点，P是线段1FM

的中点，则动点P的轨迹的方程为______．【答案】()221143xy++=【详解】对椭圆2211612xy+=，其左焦点1F的坐标为()2,0−，设点,MP的坐标分别为()()00,,,xyxy，因为点P是线

段1FM的中点，故可得002,22xyxy−+==，即0022,2xxyy=+=，又点M在椭圆上，故220011612xy+=，即()2222411612xy++=，整理得：()221143xy++=.故答案为：()221143xy++=.16．（2022·广

东·高二阶段练习）已知点E是圆C：()2234xy−+=上的动点，点()3,0F−，M是线段EF的中点，P（m，0）（0m）是x轴上的一个动点．(1)求点M的轨迹方程；【答案】(1)221xy+=设M（x，y），()11,Exy，则()221134xy−+=①，又因

为M是EF的中点，所以11322xxyy−==，则11232xxyy=+=，代入①式整理得221xy+=，即点M的轨迹方程为圆O：221xy+=．17．（2022·江苏·高二课时练习）如图，长为2a（a是正常数）的线段AB的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动

，求线段AB的中点M的轨迹．【答案】点M的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为a的圆.【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系，两条互相垂直的直线分别为x轴、y轴，两直线的交点为坐标原点

.设线段AB的中点(,)Mxy，若A、B不与原点重合时，则AOB是直角三角形，且∠O为直角，则OM12=AB，而AB＝2a，∴OP＝a，即P的轨迹是以原点为圆心，以a为半径的圆，方程为x2+y2＝a2（

a＞0）；若A、B有一个是原点，同样满足x2+y2＝a2（a＞0）．故线段AB的中点M的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为a的圆.18．（2022·全国·高二课时练习）在①过

点()20C，，②圆E恒被直线()0Rmxymm−−=平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知圆E经过点()()0011AB，，，，且______.(1)求圆E的一般方程；(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程

.【答案】(1)2220xyx+−=(2)220xyx+−=（1）方案一：选条件①.设圆的方程为()2222040xyDxEyFDEF++++=+−，则020420FDEFDF=+++=++=，解得200DEF=−=

=，则圆E的方程为2220xyx+−=.方案二：选条件②.直线0mxym−−=恒过点()1,0.因为圆E恒被直线()0mxymmR−−=平分，所以0mxym−−=恒过圆心，所以圆心坐标为()1,0，又圆E经过点()0,0A，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为()

2211xy−+=，即2220xyx+−=.方案三：选条件③.设圆E的方程为()()222xaybr−+−=.由题意可得()()22222211arabrabr=+=−+−=，解得101abr===，则圆E的方程为()2211xy−+=

，即2220xyx+−=.（2）设()Mxy，.因为M为线段AP的中点，所以()22Pxy，，因为点P是圆E上的动点，所以()()2222220xyx+−=，即220xyx+−=，所以M的轨迹方程为220xyx+−=.19．（2022·吉林·东北师大

附中高二期末）已知圆()222:0Oxyrr+=与直线42yx=+相切．(1)求圆O的标准方程；(2)若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是()6,0，求线段AB的中点M的轨迹方程．【答案】(1)2216xy+=(2)()2234xy−+=(1)已知圆()22

2:0Oxyrr+=与直线42yx=+相切，所以圆心()00O，到直线420xy−+=的距离为半径r．所以0042=411r−+=+，所以圆O的标准方程为：2216xy+=．(2)设()()00,,,,MxyAxy因为AB的中点是M，则006202

xxyy+=+=，所以0026,2xxyy=−=，又因为A在圆O上运动，则220016xy+=，所以带入有：()()2226216xy−+=，化简得：()2234xy−+=．线段AB的中点M的轨迹方程

为:()2234xy−+=.．20．（2021·全国·高二课时练习）已知点()1,1P是椭圆22143xy+=某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为_________.【答案】3470xy+−=【详解

】设过点()1,1P的直线与椭圆22143xy+=的两个交点分别为()11,Axy，()22,Bxy，则2211143xy+=，2222143xy+=，两式相减得()()()()12121212043xxxxyyyy+−+−+=，化简得121234yyxx−

=−−，即34ABk=−，直线AB的方程为()3114yx−=−−，所以直线AB的一般方程为3470xy+−=，故答案为：3470xy+−=21．（2022·上海中学东校高二期末）已知椭圆的C的方程：22163xy+=．(1)

设P为椭圆C异于椭圆左右顶点12AA、上任一点，直线1PA的斜率为1k，直线2PA的斜率为2k，试证明12kk为定值．(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．【答案】(1)12−(2)20(22)xyx+=−（1

）设()()()0012,,6,0,6,0PxyAA−，因为P为椭圆C上一点，所以2200163xy+=，所以220032xy=−，所以010020,66yyxxkk==+−，所以2020002220000131266266xyyyxxxxkk−====−−

−+−.故12kk为定值12−.（2）设弦的两个端点分别为()()1122,,,PxyQxy，PQ的中点为(),Mxy.则2211163xy+=，①2222631xy+=，②①减②得：22221212063x

xyy−−+=，()()12121212063xxyyyyxx+−++=−.又121212122,2,1yyxxxyyyxx−+=+==−，20xy+=.由于弦中点轨迹在已知椭圆内，联立22126320xyxxy+==+=故斜率

为1的平行弦中点的轨迹方程：20(22)xyx+=−22．（2020·全国·高二课时练习）已知过点()1,1A−的直线l与椭圆22184xy+=交于点B，C，当直线l绕点()1,1A−旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程.【答案】22220xyxy++−=

【详解】解：设直线l与椭圆的交点()()1122,,,BxyCxy，弦BC中点(),Mxy，则2211184xy+=——①，2222184xy+=——②，①−②，得22221212084xxyy−−+=，所以()()()()12121

21220xxxxyyyy+−++−=——③，当12xx时，121221211,,221xxyyyyyxyxxx++−−===−+，所以③式可化为()()2112122120yyxxyyxx−+++=−，所以122201yxyx−+=+，化简得22220

xyxy++−=，当12xx=时，因为点(),Mxy是线段BC中点，所以1,0xy=−=，显然适合上式.综上所述，所求弦BC中点M的轨迹方程是22220xyxy++−=.