【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 选择性必修第一册 第一章　1-4　1-4-1　第1课时　用空间向量研究直线、平面的平行关系含解析【高考】.doc，共(9)页，965.000 KB，由小赞的店铺上传

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11.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时用空间向量研究直线、平面的平行关系课后训练巩固提升A组1.设平面α内两条直线的方向向量分别为a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则下列向量中是平面α的法向量的是()A.(-

1,-2,5)B.(-1,1,-1)C.(1,1,1)D.(1,-1,-1)解析:平面α的法向量应当与a,b都垂直,检验知选B.答案:B2.已知向量a=(2,-3,5)与b=(4,x,y)平行,则x,y的值分别为()A.6和-1

0B.-6和10C.-6和-10D.6和10解析:∵a与b平行,∴,解得x=-6,y=10.答案:B3.若=λ+μ,λ,μ∈R,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析:∵

=λ+μ,∴共面.∴直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案:D4.已知点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个法向量的单位向量是()A.(1,1,1)B.C.D.2解

析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),=(0,-1,1),=(-1,1,0),则解得x=y=z.因为单位向量的模为1,所以只有选项B正确.答案:B5.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,

BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则下列四个结论中正确的是()A.A1M∥D1PB.A1M∥B1QC.A1M∥平面DCC1D1D.A1M∥平面D1PQB1解析:,所以,即A1M∥D1P,故A正确;由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A

1M∥平面D1PQB1,故C,D正确;因为PQ与D1B1平行但不相等,所以四边形D1PQB1为梯形,即D1P与B1Q不平行,从而A1M与B1Q不平行,故B不正确.答案:ACD6.已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8

),且l1∥l2,则x=,y=.解析:∵l1∥l2,∴.∴x=-14,y=6.答案:-1467.若A,B,C是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=.3解析:.因为a·=0,a·=0,所以所以x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).答案:

2∶3∶(-4)8.已知点O(0,0,0),A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),以=(x,-1,3)为方向向量的直线与平面ABC平行,则x=.解析:=(-2,2,-2),=(-1,6,-8).可得平面ABC的一个法向量n=(2,7,5).由

n·=0,得2x-7+15=0,解得x=-4.答案:-49.如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.

求证:直线BC∥EF.证明:过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,连接QE.由平面ABED⊥平面ACFD,平面ABED∩平面ACFD=AD,FQ⊂平面ACFD,得FQ⊥平面ABED.4因为△ODF,△ODE是正三角形,所以Q为OD的中点,所以EQ⊥OD.以Q为原点,分别为x轴、y轴、z轴的方

向向量,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得E(,0,0),F(0,0,),B,-,0,C,所以=(-,0,).因为=2,且B∉EF,所以BC∥EF.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD

1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD.证法一:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(2,0,0),B(2,3,0),M(1,0,4),N,E,F(1,3,4),∴=(-1,0,4)

,=(-1,0,4).∵,∴MN∥EF.又EF⊂平面EFBD,MN⊄平面EFBD,∴MN∥平面EFBD.同理,可证AM∥平面EFBD.又MN⊂平面AMN,AM⊂平面AMN,且MN∩AM=M,∴平面AMN∥平面EFBD.证法二:建立空间直角坐标系

Dxyz如证法一,则A(2,0,0),M(1,0,4),N,D(0,0,0),E,F(1,3,4),5∴=(-1,0,4),=(1,3,4).设平面AMN的法向量为n1=(x1,y1,z1),则∴∴可取n1=.∴n1=为平面AMN的一个法向量.同理,可得

平面EFBD的一个法向量为n2=.∵n1=n2,∴n1∥n2.∴平面AMN∥平面EFBD.B组1.在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则下列等式不成立的是()A.=0B.=0C.=0D.=0解析:由题意知PA⊥平面ABCD

,所以PA与平面内的直线AB,CD都垂直,故A,B正确;因为菱形的对角线互相垂直,所以对角线BD⊥平面PAC,所以PC⊥BD,故C正确.若PC⊥AB,则AC⊥AB,在菱形中不成立,故选D.答案:D62.(多选题)已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M

(1,2,3),则下列向量是平面α的法向量的是()A.(1,-4,2)B.(0,-1,1)C.D.解析:=(0,2,4),直线l平行于向量a,若n是平面α的法向量,则必须满足把选项代入验证,选项A,C,D都满足,只有选项B不满足.答案:ACD3.(多选题)已知点P是平行

四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).则下列结论正确的是()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.是平面ABCD的法向量D.解析:∵=0,=0,∴AB⊥AP,AD⊥AP.故A,B正确.又不平行,∴是平面AB

CD的法向量.故C正确.∵=(2,3,4),=(-1,2,-1),∴不平行.故D错误.答案:ABC74.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z=.解析:∵α∥β,∴u1∥u2.∵u1=(-3,y,2),∴z≠

0.∴,解得y=1,z=-4.∴y+z=-3.答案:-35.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,点M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为.解析:设AC与BD相交于点O,连接OE.因为AM∥平面BDE,且AM⊂平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE

=OE,所以AM∥EO.又O是正方形ABCD对角线的交点,且ACEF是矩形,所以M为线段EF的中点.在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(,1).因此点M的坐标为.答案:86.如图所示,在直角梯形ABC

P中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.请用向量方法证明AP∥平面EFG.解:以D为原点,分别为x轴、y轴、z

轴的方向向量,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0),所以=(-2,0,2),=(0,-1,0),=(1,1,-1).设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则所以所以取z=1,则

x=1.于是n=(1,0,1)是平面EFG的一个法向量.因为n·=1×(-2)+0×0+1×2=0,所以n⊥.又AP⊄平面EFG,所以AP∥平面EFG.97.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底

面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.问:在棱PD上是否存在一点E,使得CE∥平面PAB?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.解:存在,当E为PD的中点时,CE∥平面PAB.以A为原点,AB,AD,AP所

在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),∴=(0,2,-1).设点E的坐标为(0,y,z),则=(0,y,z-1),=(-1

,y-1,z).∵点E在PD上,∴.∴.①=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量.∵CE∥平面PAB,∴.∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=2(y-1)=0.∴y=1.代入①,得z=.∴E是PD的中点.∴在棱PD上存在点E,且当E为PD中点时,CE∥平面PA

B.