【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 选择性必修第一册 第二章　2-5　2-5-1　第2课时　直线与圆的方程的应用含解析【高考】.doc，共(8)页，558.000 KB，由小赞的店铺上传

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1第2课时直线与圆的方程的应用课后训练巩固提升A组1.已知直线ax-by+c=0(abc≠0),与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形()A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在

解析:直线与圆相切,则圆心到切线的距离d==1,即a2+b2=c2,故三角形为直角三角形.答案:B2.已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上,则的最大值为()A.B.2C.1D.+1解析:可看作圆上的点(x,y)到定点(1,1)的距离.根据圆的几何

性质,最大值为点(1,1)到圆心(0,0)的距离与圆的半径之和,即+1=+1.答案:D3.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上的点到直线4x-3y-2=0的最近距离为1,则圆的半径r为()A.4B.5C.6D.9解析:由圆的方程可知

圆心为(3,-5),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d==5.依题意知,d-r=1,则r=4.答案:A4.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为()A

.-B.C.-D.2解析:∵∠POQ=120°,∴点O到直线y=kx+1的距离d=.由d=,得k=±.答案:A5.圆x2+y2=4上与直线l:4x-3y+12=0距离最小的点的坐标是()A.B.C.D.解析:圆心坐标为(0,0),过圆心与直线4

x-3y+12=0垂直的直线方程为3x+4y=0.方程3x+4y=0与x2+y2=4联立可得x=±,所以直线3x+4y=0与圆x2+y2=4的交点坐标是.交点到直线4x-3y+12=0的距离较小,所以所求点的坐标为.答案:C6.设A为圆C:(x+1)2+y2=4上的动点,PA是圆C的切线,且

|PA|=1,则点P的轨迹方程是.解析:由题意知CA⊥PA,在Rt△CAP中,|CP|2=|CA|2+|PA|2.已知|CA|=2,|PA|=1,则|CP|2=5,所以点P的轨迹是以C为圆心,|CP|=为半径的圆.设点

P的坐标为(x,y),已知圆心C(-1,0),则点P的轨迹方程为(x+1)2+y2=5.答案:(x+1)2+y2=57.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为.解析:直线

x-y+1=0与x轴的交点坐标为(-1,0),即圆心C(-1,0).3因为圆C与直线x+y+3=0相切,所以圆心到直线x+y+3=0的距离等于半径,即=r,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=28.圆x2+(y+4)2=4上的点

到直线l:x+y=1的距离的最大值为,最小值为.解析:由圆的方程x2+(y+4)2=4知,圆心C(0,-4),半径r=2.画出大致图象,如右图所示.圆上的点到直线l的距离的最小值dmin=-2=-2,最大值dmax=+2=+2.答案:+2-29.已知P(-1

,2)为圆x2+y2=8内一定点.(1)求过点P,且被圆所截得的弦最短的直线方程;(2)求过点P,且被圆所截得的弦最长的直线方程.解:由圆的方程,得圆心C(0,0),半径r=2.(1)当弦与PC垂直时,过点P且被圆

所截得的弦最短.因为kPC==-2,所以最短弦所在直线的斜率k=.所以所求直线的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.(2)当弦过圆心C时,过点P且被圆所截得的弦最长.由两点式,得最长弦所在的直线方程为.所以,所求直线的方程为=-x,即2x+y=

0.410.某公园有A,B两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路km和2km,且A,B两景点间相距2km,今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设在何处?解:所设观景点

的位置应使对两景点的视角最大.由平面几何知识知,该点应是过A,B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点.以小路所在直线为x轴,点B在y轴的正半轴上建立平面直角坐标系,如图所示.由题意得A(),B(0,2).设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,由A,B两点在圆上,得解得由实际意义知

a=0,b=.所以圆的方程为x2+(y-)2=2,切点为(0,0).所以观景点应设在B景点在小路的射影处.B组1.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程

是()A.6-2B.8C.4D.10解析:易知点A关于x轴的对称点A'(-1,-1),A'与圆心(5,7)的距离为=10.故所求最短路程为10-2=8.答案:B2.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC

和BD,则四边形ABCD的面积为()A.10B.205C.30D.40解析:圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则圆心坐标是(3,4),半径是5.由题意得最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直.最长弦长|AC|=10.圆心(3,4)与点(3,5)的距离为1,

故最短弦长|BD|=2=4.所以,四边形ABCD的面积为|AC||BD|=×10×4=20.答案:B3.已知圆C:x2+y2-4x-2y-15=0上有两个不同的点到直线l:y=k(x-7)+6的距离等于,则k的取值范围是()A.B.C.(-∞,-2)∪∪(2

,+∞)D.∪(2,+∞)解析:圆x2+y2-4x-2y-15=0的圆心为(2,1),半径为2.∵圆C:x2+y2-4x-2y-15=0上有两个不同的点到直线l:y=k(x-7)+6的距离等于,∴圆心到直线的距离大于半径与的差,小于半径与的和.∴<3.∴k的取值

范围是(-∞,-2)∪∪(2,+∞).答案:C64.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是()A.[1-2,1+2]B.[1-,3]C.[-1,1+2]D.[1-2,3]解析:数形结合,利用图象进行分析.由y=

3-,得(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3),它表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆.直线方程y=x+b,b是直线在y轴上的截距.由图象知,b的最大值为3;当直线与半圆相切时,b取得最小值,且bmin<0,由=

2,得bmin=1-2.故选D.答案:D5.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a=.解析:由题意可知,直线x-y+2=0过圆心,则-1-+2=0,解得

a=-2.答案:-26.已知直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9相交于A,B两点,则△AOB(O为坐标原点)的面积为.解析:圆心坐标为(2,-3),半径r=3.圆心到直线x-2y-3=0的距离d=,从而弦长|A

B|=2=4.原点(0,0)到AB所在直线的距离h=,所以△AOB的面积S=×4×.答案:7.已知圆C:(x-2)2+y2=2.(1)求与圆C相切,且在x轴、y轴上截距相等的直线方程;7(2)从圆C外一点P引圆C的一

条切线,切点为M,O为坐标原点,且|PM|=|PO|,求使|PM|最小时点P的坐标.解:由圆C的方程,得圆心C的坐标为(2,0),半径为.(1)若切线过原点,则切线的斜率存在,设切线方程为kx-y=0.由,得k=±1.所以切线方程为x+y=0或x-y=0.若切线不过原点,则

设切线方程为=1,a≠0,即x+y-a=0.由,得a=4.所以切线方程为x+y-4=0.综上所述,切线方程为x+y=0,x-y=0,x+y-4=0.(2)设点P的坐标为(x,y).因为|PM|=|PO|,|PM|2+r2=|PC|2,所以|PO|2+r2=|PC|2,即x2+y2+2=(x-

2)2+y2,整理得x=.所以点P的轨迹为直线x=.要使|PM|最小,即使|PO|最小,过点O作直线x=的垂线,垂足为,故使|PM|最小时点P的坐标为.8.在Rt△ABO中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P为它的内切圆C上任一点,求点P到顶点A,B,O的距离的平方和的最大值和最小

值.解:以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系xOy,则A(8,0),B(0,6).在Rt△AOB中,AB==10.8内切圆C的半径r==2.∴圆心坐标为(2,2).∴内切圆C的方程为(x

-2)2+(y-2)2=4.设P(x,y)为圆C上任一点,点P到顶点A,B,O的距离的平方和为d,则d=|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3[(x-2)2+

(y-2)2]-4x+76.∵点P(x,y)在圆上,∴(x-2)2+(y-2)2=4.∴d=3×4-4x+76=88-4x.∵点P(x,y)是圆C上的任意点,∴x∈[0,4].∴当x=0时,dmax=88;当x=4时,dmin=72.