【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 第2章 圆与方程综合能力测试 Word版含解析.docx，共(15)页，1.874 MB，由小赞的店铺上传

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第2章圆与方程综合能力测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．圆221xy+=和228690xyxy+−++=的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切【答案】D【解析】圆221xy+=的圆心为(0,0)，半径为1，圆

228690xyxy+−++=可化为()()224316xy−++=，圆心为()4,3−，半径为4，而两圆心的距离为224314+=+，故两圆外切，故选：D2．圆心坐标为()2,1−，并经过点()2,2A

−，则圆的标准方程为（）A．()()22215xy−+−=B．()()22215xy++−=C．()()222125xy+++=D．()()222125xy++−=【答案】D【解析】由题意可设圆的标准方程为：()()22221x

yr++−=，()()222222125r=++−−=，圆的标准方程为：()()222125xy++−=.故选：D.3．直线10xy−+=被圆221xy+=所截得的弦长为（）A．22B．1C．2D．2【答案】C【解析】由圆的方程221xy

+=，则其圆心为()0,0，半径为1r=，圆心到直线10xy−+=的距离0012211d−+==+，则弦长22122122lrd=−=−=.故选：C.4．如图所示，,AB是直线l上的两点，且2AB=，

两个半径相等的动圆分别与l相切于,AB两点，C是两个圆的公共点，则圆弧,ACCB与线段AB围成图形面积S的取值范围为（）A．π0,2B．(0,π]C．π0,22−D．(0,2π]−【答案】C【解析】如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值，此时四

边形21ABOO为矩形，且2max1π21π12242S=−=−.答案：C5．圆2240xyx+−=在点(1,3)P处的切线方程为（）A．320xy+−=B．340xy+−=C．340xy−+=D．320xy−+=【

答案】D【解析】圆2240xyx+−=的圆心(2,0)C，显然点(1,3)P在此圆上，直线CP的斜率为30312−=−−，所以所求切线斜率为13，切线方程为13(1)3yx−=−，即320xy−+=.故选：D6．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德

、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（0，且1），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到(1,0)A−，(1,0)B的距离之比为3，则点C到直线280xy−+=的距离

的最小值为（）A．253−B．53−C．25D．3【答案】A【解析】设(),Cxy，则()()2222131xyxy++=−+，化简得()2223xy−+=，即点C的轨迹方程为以()2,0为圆心，3为半径

的圆，则点C到直线280xy−+=的距离的最小值为圆心()2,0到直线280xy−+=的距离减去半径，即208325314−+−=−+，点C到直线280xy−+=的距离最小值为253−.故选：A7．已知圆C：22430xyy+−+=，一条光

线从点()2,1P射出经x轴反射，则下列结论不正确的是（）A．圆C关于x轴的对称圆的方程为22430xyy+++=B．若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3240xy−−=C．若反射光线与

圆C相切于A，与x轴相交于点B，则2PBPA+=D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则CNM面积的最大值为12【答案】C【解析】对于A，由圆C方程可得()2221xy+−=，故圆心()0,2C，半径1r=，

圆C关于x轴对称的圆的圆心为()0,2C−，半径为1，所求圆的方程为：()2221xy++=，即22430xyy+++=，A正确；对于B，反射光线平分圆C的周长，反射光线经过圆心()0,2C，入射光线所在直线经过点()0,2C−，12

322CPk+==，入射光线所在直线方程为：322yx+=，即3240xy−−=，B正确；对于C，反射光线经过点()2,1P关于x轴的对称点()2,1P−，PBBAPBBAPA+=+=，2

123PAPC=−=，则23PBBA+=，C错误；对于D，设π02CMN=，则圆心()0,2C到直线()12ykx+=−的距离sind=，221sin2cosMN=−=，11si

ncossin222CNMSMNd===，则当π4=时，()max12CNMS=，D正确.故选：C.8．已知点P为直线l：20xy+−=上的动点，过点P作圆C：2220xxy++=的切线PA，PB，切点为,AB，当PCAB最小时，

直线AB的方程为（）A．3310xy++=B．3310xy+−=C．2210xy++=D．2210xy+−=【答案】A【解析】因为圆C：2220xxy++=可化为()2211xy++=，所以圆心()1,0C−，半径为1r=，因为PA，PB是圆C的两条切线，则

,PAACPBBC⊥⊥，由圆的知识可知，,,,APBC四点共圆，且ABCP⊥，PAPB=，所以14422PACPCABSPAACPA===，又21PAPC=−，所以当PC最小，即PCl⊥时，PCAB取得最小值，此时PC的方程为1yx=+，联立120yxxy=+

+−=，解得13,22xy==，即13,22P，故以PC为直径的圆的方程为13(1)022xxyy−++−=，即，221031222xxyy+−+=−，又圆22:20Cxxy++=，两圆的方程相减即为直线AB的

方程：3310xy++=.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．圆22230xyy++−=被直线0xyk+−

=分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1:3，则k的值可以是（）A．21−B．1C．3−D．2【答案】BC【解析】由题意知，圆的标准方程为22(1)4xy++=，较短弧所对圆心角是90，因为较短弧长与较长弧长之比为1:3，所以

圆心(0,1)−到直线0xyk+−=的距离为222r=，即122k+=，解得1k=或3k=−.故选：BC.10．如图所示，已知直线l的方程是443yx=−，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5

个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为（）A．6B．8C．10D．16【答案】AD【解析】设当圆与直线l相切时，设圆心坐标为(0,)m，则圆心到直线l的距离为243241()3m+=+，解得32m=−或132m=−，所以该圆运动的时间为33()226(

s)0.5−−=或()3132216s0.5−−=.故选：AD.11．设有一组圆()()()224：kCxkykk−+−=R，下列命题正确的是（）A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆kC均不经过点()3,0C．经过点()2,2的圆kC有且

只有一个D．所有圆的面积均为4【答案】AB【解析】由题意可知：圆()()()224：kCxkykk−+−=R的圆心(),Ckk，半径2r=.对于选项A：不论k如何变化，圆心(),Ckk始终在直线yx=上，故A正确；对于选项B：令()()22304kk−+−=，整理得22650kk−+=，因为

()2642540=−−=−，可知方程无解，所以所有圆kC均不经过点()3,0，故B正确；对于选项C：令()()22224kk−+−=，整理得2420kk−+=，因为()2Δ441280=−−=，可

知方程有两个不同的解，所以经过点()2,2的圆kC有且只有两个，故C错误；对于选项D：因为半径2r=，所以所有圆的面积均为2π24π=，故D错误；故答案为：AB.12．已知动直线m：0xy−+=和n：320xy+−−=，P是两直线的交点，A、B是两直线m和

n分别过的定点，下列说法正确的是（）A．B点的坐标为()3,2−B．mn⊥C．PAPB的最大值为10D．P的轨迹方程为222230xyxy+−−−=【答案】BC【解析】直线m的方程0xy−+=可化为()1y

x=+，所以直线m过定点()1,0−，直线n的方程320xy+−−=可化为()320xy−+−=，所以直线n过定点()3,2，所以点A的坐标为()1,0−，点B的坐标为()3,2，所以A错误，由已知()110+−=，所以直线m与直线n垂直，即mn⊥，B正确，因为PAPB⊥，所以

222PAPBAB+=，故()()2222312020PAPB+=++−=，所以22102PAPBPAPB+=，当且仅当10PAPB==时等号成立，C正确；因为PAPB⊥，故222PAPBAB+=，设点P的坐标为(),xy，则()()()222213220xyxy+++−+−=，化简可得

222230xyxy+−−−=，又点()12−，不是直线,mn的交点，点()12−，在圆上，故点P的轨迹为圆222230xyxy+−−−=除去点()12−，，D错误；故选：BC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆()()221:481Cxy−+−=，圆()()222:669Cxy−++=，若圆心在x轴上的圆C同时经过圆C1和圆C2的圆心，则圆C的方程是．【答案】()222100xy++=【解析】由圆的性质可知，线段12CC的垂直平分线过圆心，易知()()124,8,6

,6CC−，则线段12CC的中点坐标为4686,22+−，即()5,1，直线12CC的斜率()86746k−−==−−，所以线段12CC的垂直平分线方程为()1157yx−=−，令02yx==−，即

圆心的坐标为()2,0C−，其半径()()()221428010rCC==−−+−=，所以圆C的方程为()222100xy++=.故答案为：()222100xy++=14．已知(),Pab是圆2224200xyxy+−+−=上的点，则22ab+的最小值是．【答案】30105−【解

析】圆2224200xyxy+−+−=，即()()222512xy+=−+，所以圆的圆心为()1,2-，半径为5，原点()0,0到圆心()1,2-的距离是5，所以圆上的点到原点的距离的最小值是55−，则22ab+的

最小值是()25530105−=−.故答案为：30105−15．若圆1C：224xy+=与圆2C：()2217xy++=相交于,AB两点，则公共弦AB的长为．【答案】23【解析】由()2222417xyxy+=+

+=解得=31xy=或=31xy−=，不妨设()()3,1,3,1AB−，所以=23AB.故答案为：2316．在平面直角坐标系xOy中，已知圆()()221:2Cxaya−+−+=，点(0,2)A，若圆C上的点M均满足2210MAMO+，则实数a的取值

范围是．【答案】a<0或3a【解析】设(,)Mxy，由点(0,2)A，2210MAMO+222222(2)2(22)10xyxyxyy+−++=+−+即点M满足22(1)4xy+−，即22(1)2xy+−，设点(0,1)B，即2MB

恒成立则min2MB，圆上所有点到定点(0,1)B最小值大于2，又圆(,2)Caa−，半径为1，圆上所有点到定点(0,1)B最小值即为：1BC−.12BC−.即22(3)3BCaa=+−，化简得23

0aa−，解得a<0或3a.故答案为：a<0或3a.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）如图，已知两点()14,9P和2(6,3)P.(1)求以

12PP为直径的圆的方程；(2)试判断点(6,9),(3,3),(5,3)MNQ是在圆上，在圆内，还是在圆外？【解析】（1）设圆心(,)Cab，半径r，则由C为12PP的中点得4652a+==，9362b+==.又由两点间的距离公式得()()221459610rCP==−+

−=，∴所求圆的方程为22(5)(6)10xy−+−=.（2）分别计算点到圆心的距离：||CM=()()22659610−+−=；||CN=()()2235361310−+−=；||CQ=()()225536310−+−=.因此，点

M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.18．（12分）已知圆C的圆心在直线2yx=−上，并经过点(2,1)A−，与直线1xy+=相切．(1)求圆C的方程；(2)已知(2,0)Q，动点M到圆C的切线长等于MQ的2倍，求

出点M的轨迹1C方程．【解析】（1）设圆心坐标为(),2aa−，故()()222122111aaaa−−−+−+=+，解得：1a=，故圆心为()1,2-，半径为11211−−=+，故圆C的方程为()()22122xy−+=+；（2）设(),Mxy，则()()

2212MCxy=−++，故动点M到圆C的切线长为()()2222122MCxy−=−++−，()222MQxy=−+，所以()()()222212222xxyy−++−+−=，化简得：2241413333

0xxyy+−−+=，故点M的轨迹方程为：22414133330xxyy+−−+=.19．（12分）圆C：22280xyx+−−＝内有一点()2,2P，过点P作直线l交圆C于A，B两点.(1)当弦AB最长时，求直线l的方程；(2)当直线l被圆C截得的弦

长为42时，求l的方程.【解析】（1）圆C：22280xyx+−−＝化为标准方程为()2219xy−+=，则圆C的圆心为()1,0C.又弦AB最长时，直线l过点()1,0和()2,2，所以直线l的方程为012021yx−−=−−，即220xy−−

=.（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为(22)ykx−=−，即220kxyk−+−=，弦长为42时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得，圆心到直线距离为()223221−=，即22211kkk+−=+，解得34k=，此时直线l的方程为3420xy+=

−，经检验k不存在时的直线20x−=也符合条件.所以直线l的方程为20x−=或3420xy+=−.20．（12分）已知曲线2:14Cyx=+−，直线:(2)4lykx=−+．(1)试探究曲线C的形状；(2)若直线l与曲线C有两个公共点，求k的取

值范围．【解析】（1）由240x−，得22x−，则1y，由214yx=+-，得22(1)4xy+−=（22x−，1y）所以曲线C是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，如图所示．（2）直线:(2)4lykx=−+恒过定点(2,4)A，当直线l与半圆相切，D为切点时，

圆心到直线l的距离dr=，所以23221kk−=+，解得512k=．当直线l过点(2,1)B−时，直线l的斜率4132(2)4k−==−−，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为53,124．21．（12

分）已知直线l过定点()0,3，且与圆22:40Cxxy−+=交于MN、两点．(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)若O为坐标原点，直线OMON、的斜率分别为12kk、，试问12kk+是否为定值？若是，求出

该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）法一：圆C的标准方程为()2224xy−+=，圆心为()2,0C，半径为2．若直线l的斜率不存在，此时直线l与圆C相切，不合乎题意．所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为3ykx=+，即30kxy−+=由题意可得22321kk++，解得512k

−．因此，直线l的斜率的取值范围是5,12−−．法二：若直线l的斜率不存在，此时直线l与圆C相切，不合乎题意．所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为3ykx=+．联立22340ykxxxy=+−+=，得()()2216490kxkx+

+−+=，其中512k−因为直线与圆相交，所以()()226449148200kkk=−−+=−−，解得512k−，因此，直线l的斜率的取值范围是5,12−−．（2）设()11,Mxy，()22,Nxy，设直线l的方程为3ykx=

+．联立22340ykxxxy=+−+=，得()()2216490kxkx++−+=，其中512k−，所以122461kxxk−+=+，12291xxk=+，则()()()1221121212122

112121212123323kxxkxxkxxxxyyyxyxkkxxxxxxxx+++++++=+===224634641229331kkkkkk−−+=+=+=+，所以12kk+为定值43．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点

O且圆心在曲线33yx=上.(1)设直线l：343yx=−+与圆M交于C，D两点，且OCOD=，求圆M的方程；(2)设直线3y=与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线5x=上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，

且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标.【解析】（1）因为圆心在曲线33yx=上，所以设圆心为3,Mtt，又圆M过坐标原点O，则半径为：223rtt=+，设圆的方程为()222233xtxttt−+−=+

，又直线l：343yx=−+与圆M交于C，D两点，且OCOD=,所以OMl⊥，则233OMkt==，解得1t=，当1t=时，圆的方程为()()22134xx−+−=，此时，圆心到直线343yx=−+的距离()2312dr=−=，符合题意；当1t=−时，圆的

方程为：()()22134xx+++=，此时，圆心到直线343yx=−+的距离()2312dr=+=，不符合题意；（2）如图所示：由题意设()()()011115,,,,,PyGxyHxy，又()()1,3

,3,3EF−，则0033,62PEPFyykk−−==，则3PEPFkk=，设,3PEPFkmkm==，则直线PE的方程为()31ymx−=−，代入圆的方程消去y得：()()222212230mxmxm++−+−=，()()()222222413160mmm=−

−+−=，由韦达定理得212311mxm−−=+，即21231mxm−=−+，设直线PF的方程为：()333ymx−=−，代入圆的方程消去y得：()()2222195428130mxmxm++++−=，()()()2222542419813160mmm=+−+−=，由韦达定理得222

813319mxm−=+，即22237119mxm−=+，所以22122233712119mmxxmm−−+=−+=++，222122242337111231199101mmmxxmmmm−−=−=−

+++++，消去m得()121227200xxxx−++=，设直线GH的方程为：ykxb=+，代入圆的方程消去y得：()()22212232230kxkbkxbb++−−+−=，()()()()22

22222324123128834483kbkkbbkbkbb=−−−+−=−−+−+，由韦达定理得12222321kbkxxk−−+=−+，2122231bbxxk−=−+，则()22723107330bkbkk+−+−+=，

即()()23530bkbk+−+−=，解得23bk=−+或53bk=−+，当23bk=−+时，212120k=+，直线GH的方程为()23ykx=−+，过定点()2,3；当53bk=−+时，248160k=

−+，解得3333k−，直线GH的方程为()53ykx=−+，过定点()5,3，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意，